第1章 2 直角三角形(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 △ABC 和 △DCB 中， ∠A=∠D=90° ， AC=BD ， AC 与 BD 相交于点 O． 请猜想 △OBC 的形状并证明你的猜想 ． 【分析】 根据已知条件， 用 HL 定理证 Rt△ABC≌Rt△DCB ， 进而证出对应角相等， 再由 等角对等边证得 △OBC 是等腰三角形 ． 【解答】 △OBC 是等腰三角形 ． 证明： 在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中， ∵BC=CB ， AC=DB ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB （ HL ） . ∴∠ACB=∠DBC ， ∴OB=OC ， ∴△OBC 是等腰三角形 ． 【点拨】 此题主要考查直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定 ． 题目本身并不难， 但 这是一个基本图形， 同学们在学习中应学会从复杂图形中分解出这样的基本图形 ． 基础巩固 达标闯关 1. 如图 ， 已知 AC⊥BD 于点 P ， AP=CP ， 请增加一个条件 ， 使 △ABP≌△CDP （不能添加辅助线）， 你增加的条件是 . 2. 如图， D 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的一点， 且 BD=AB ， 过点 D 作 BC 的垂线， 交 AC 于点 E ， 若 AE=12 cm ， 则 DE 的长为 cm. 3. 如图， MN∥PQ ， AB⊥PQ ， 点 A ， D 和 B ， C 分别 在直线 MN 与 PQ 上， 点 E 在 AB 上， AD+BC=7 ， AD= EB ， DE=EC ， 则 AB= . 4. 下列条件中： ① 两条直角边对应相等； ② 斜边和一锐角对应相等； ③ 斜边和一条直角 边对应相等； ④ 面积相等 . 其中能判定两个直角三角形全等的是 （ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③ 5. 利用尺规作图， 下列条件中， 不能作出唯一直角三角形的是 （ ） A. 已知斜边和一锐角 B. 已知两直角边 C. 已知斜边和一直角边 D. 已知两个锐角 6. 如图， 在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， AB=AC ， AE 是经过点 A 的一 条直线 ， 且 B ， C 在 AE 的两侧 ， BD⊥AE 于点 D ， CE⊥AE 于点 E ， CE=2 ， BD=6 ， 则 DE 的长为 （ ） 2 直角三角形 （第 2课时） A B C D O 例题图 A B D E C 第 2 题图 A B D C P 第 1 题图 M N P Q A B D E C 第 3 题图 A B D E C 第 6 题图 20 三角形的证明 第一章 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图， 在四边形 ABCD 中， AB=AD ， AC=5 ， ∠DAB=∠DCB=90° ， 则四边形 ABCD 的面积为 （ ） A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17 8. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， D 为 AC 的中点， DE⊥AB ， DF⊥BC ， 垂足分别为点 E ， F ， 且 DE=DF． 求证： △ABC 是等边三角形 ． 能力提升 综合拓展 9. 在 △ABC 中， AB=AC ， DE 是过点 A 的直线， BD⊥DE 于点 D ， CE⊥DE 于点 E ， 且 AD=CE. （ 1 ） 如图 1 ， 若 B ， C 在 DE 的同侧， 求证： AB⊥AC. （ 2 ） 如图 2 ， 若 B ， C 在 DE 的两侧， 其他条件不变， AB 与 AC 仍垂直吗？ 若是， 请给 出证明； 若不是， 请说明理由 . 第 7 题图 A B C D 第 8 题图 A B C D E F A B D E C A B D E C 第 9 题图 图 1 图 2 21 八年级下册 （北师大版）数学 * 10. 已知 ∠AOB=90° ， 在 ∠AOB 的平分线 OM 上有一点 C ， 将一块三角板的直角顶点与 点 C 重合， 它的两条直角边分别与 OA ， OB （或它们的反向延长线） 相交于点 D ， E. （ 1 ） 如图 1 ， 当三角板两条直角边分别与 OA ， OB 垂直时， 求证： OD+OE= 2 姨 OC. （ 2 ） 当三角板一边 CD 与 OA 不垂直时， 在图 2 、 图 3 这两种情况下， 上述结论是否还 成立？ 若成立， 请给予证明； 若不成立， 线段 OD ， OE ， OC 之间又有怎样的数量关系？ 请 写出你的猜想， 不需证明 . 中考链接 真题演练 11. （ 2021 ·鄂州） 如图， 四边形 ABDC 中， AC＝BC ， ∠ACB＝90° ， AD⊥BD 于点 D． 若 BD＝2 ， CD＝4 2 姨 ， 则线段 AB 的长为 . 12. （ 2020 ·锦州） 如图， 过直线 l ： y= 3 姨 x 上的点 A 1 作 A 1 B 1 ⊥l ， 交 x 轴于点 B 1 ， 过点 B 1 作 B 1 A 2 ⊥x 轴交直线 l 于点 A 2 ； 过点 A 2 作 A 2 B 2 ⊥l ， 交 x 轴于点 B 2 ， 过点 B 2 作 B 2 A 3 ⊥x 轴， 交直线 l 于点 A 3 ； …按照此方法继续作下去， 若 OB 1 =1 ， 则线段 A n A n+1 的长度为 （结果用含正整数 n 的代数式表示） . 13. （ 2022 ·贵港） 尺规作图 （保留作图痕迹， 不要求写出作法） . 如图， 已知线段 m ， n． 求作 △ABC ， 使 ∠A=90° ， AB=m ， BC=n． O M A B D E C O M A B D E C O M A B D E C 第 10 题图 图 1 图 2 图 3 第 12 题图 x y O A 3 A 2 B 1 B 2 … l A 1 第 11 题图 D A B C 第 13 题图 m n 22 参 考 答 案 ∴∠EAF=∠FAC．∵∠FAD=∠FAC+∠DAC= 1 2 ∠EAC+ 1 2 ∠BAC= 1 2 ×180°=90° ， ∴△ADF 是直角三角形 ． ∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB． ∵∠EAC=2∠EAF=∠B+ ∠ACB ， ∴∠EAF =∠B. ∴AF∥BC. ∴∠AFD = ∠FDC． ∵DF 平 分 ∠ADC ， ∴∠ADF =∠FDC = ∠AFD. ∴AD=AF ， 即直角三角形 ADF 是等腰直 角三角形 ． * 10. （ 1 ） 证 明 ： 如 图 1 ， 连 接 AD. ∵ ∠BAC=90° ， AB=AC ， ∴∠B=∠C=45°. 又 ∵BD= DC ， ∴∠BAD=∠CAD=45° ， AD⊥BD. ∴∠B=∠DAF=45° ， ∠BDE+∠ADE=90° ， AD=BD. 又 ∵∠EDF=90° ， ∴∠ADF+ ∠ADE=90°. ∴∠ADF=∠BDE. ∴△ADF≌△BDE. ∴AF=BE. ∴AE=FC. 在 Rt△AEF 中， ∵EF 2 =AE 2 +AF 2 ， ∴EF 2 =FC 2 +BE 2 . （ 2 ） 成立 . 证明 ： 如图 2 ， 延长 FD 至点 M ， 使 DM=DF ， 连接 BM ， EM ， 易证 △DFC≌△DMB ， ∴BM=CF ， ∠DBM=∠C. ∴BM∥AC. ∴∠ABM=∠BAC=90°. ∵DE⊥DF ， DM=DF ， ED=ED ， ∴△MED≌△FED ， ∴ME=EF. 在 Rt△BEM 中， BE 2 +BM 2 = EM 2 ， ∴BE 2 +FC 2 =EF 2 . 11. D 12. C 2 直角三角形 （第 2 课时） 1. AB∥DC 或 BP=DP 或 AB=CD 或 ∠A=∠C 或 ∠B=∠D 2. 12 3. 7 4. B 5. D 6. C 7. B 8. 证明： ∵DE⊥AB ， DF⊥BC ， ∴∠AED=∠CFD=90°. ∵D 为 AC 的中点， ∴AD=DC. 在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中， AD=CD ， DE=DF ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF. ∴∠A=∠C. ∴BA=BC. ∵AB=AC ， ∴AB=BC=AC. ∴△ABC 是等边三角形 . 9. （ 1 ） 证明 ： ∵BD⊥DE ， CE⊥DE ， ∴∠ADB=∠AEC=90° . 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中 ， ∵ AB＝CA ， AD＝CE ， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE. ∴∠BAD=∠ECA. ∵∠CAE+∠ECA=90° ， ∴∠BAD+∠CAE=90°. ∴∠BAC=180°－ （ ∠BAD+∠CAE ） = 90°. ∴AB⊥AC. （ 2 ） AB⊥AC. 证明： 同 （ 1 ） 一样可证得 Rt△ABD≌Rt△CAE ， ∴∠BAD=∠ECA. ∵∠CAE+∠ECA= 90° ， ∴∠CAE+∠BAD=90°. 即 ∠BAC=90° ， ∴AB⊥AC. * 10. （ 1 ） 证明： ∵OM 是 ∠AOB 的平分线， ∠AOB=90° ， ∴∠DOC=∠EOC=45°. ∵CD⊥OD ， CE⊥OE ， ∴∠ODC=∠OEC= 90°. ∴OD=CD ， OE=CE. 又 ∵OC=OC ， ∴△ODC≌△OEC. ∴OD=DC=OE=CE. 由勾股定理， 得 OC 2 =OD 2 +DC 2 ， 即 OD= 2 姨 2 OC ， ∴OD+OE= 2 姨 OC. （ 2 ） 正文图 2 的结论与 （ 1 ） 相同 . 证明： 过点 C 分别作 OA ， OB 的垂线 ， 垂足分别为 P ， Q ， 则由 （ 1 ） 知 OP=CP=CQ=OQ ， 易证 Rt△PDC≌ Rt△QEC ， ∴QE=PD. ∵OP=OD+DP ， OQ=OE－EQ ， 由 （ 1 ） 知 OP+ OQ= 2 姨 OC ， ∴OD+DP+OE－EQ= 2 姨 OC ， 即 OD+OE= 2 姨 OC. 正文图 3 的结论是 OE－OD= 2 姨 OC. 11. 2 26 姨 提示 ： 在 AD 上截取 AE=BD ， 连接 EC ， 易证 △ACE≌△BCD ， ∴AD=10 ， AB= AD 2 +BD 2 姨 . 12. 3×2 2n-3 13. 如图， △ABC 为所作 . 3 线段的垂直平分线 （第 1 课时） 1. 5 cm 2. 17 cm 3. 22.5° 4. 2 或 2 7 姨 5. A 6. D 7. 证明： ∵FE 垂直平分 AD ， ∴FA=FD. ∴∠ADF=∠DAF. ∵AD 是 ∠BAC 的平分线， ∴∠CAD=∠BAD. 又 ∵∠ADF= ∠B+∠BAD ， ∠FAD=∠CAF+∠CAD ， ∴∠B=∠CAF. 8. 证明 ： ∵∠ACB=90° ， ED⊥AB ， ∴∠EDB=∠ECB=90° . ∵BD=BC ， BE=BE ， ∴Rt△BEC≌Rt△BED. ∴DE=CE. 又 ∵BD=BC ， ∴BE 垂直平分 CD. 9. 证明： 连接 AC. ∵∠AMB=75° ， ∠DMC=45° ， ∴∠AMD=180°－∠AMB－∠DMC=60°. 又 ∵AM=DM ， ∴△AMD 是等边 三角形 . ∴AM=AD. ∵CD⊥BC ， ∠DMC=45° ， ∴∠MDC=45°. ∴MC=DC. ∴AC 是 MD 的垂直平分线 . ∴∠ACD=∠ACB=45°. ∵AB⊥BC ， ∴∠BAC=45°. ∴AB=BC. 10. 证明： ∵AB=AC ， AD 为 BC 边上的中线， ∴∠B=∠C ， ∠ADC=90°. ∵EM∥AD ， ∴∠CEN=∠ADB=90°. ∴∠B+∠M= 90° ， ∠C+∠ENC=90°. ∴∠M=∠ENC. 又 ∵∠ENC=∠ANM ， ∴∠M=∠ANM. ∴AM=AN. ∴ 点 A 在 MN 的垂直平分线上 . * 11. 解： （ 1 ） ∵AB=AC ， ∠A=50° ， ∴∠B=∠ACB=65°. ∵DM 是 AB 的垂直平分线， ∴∠BDM=90°. ∴∠DMB=25°. （ 2 ） 图形略 . 此时 M 点在 BC 边上 . 同 （ 1 ） 方法可得 ∠DMB=40°. （ 3 ） ∠DMB 的度数等于顶角度数的一半， 即 ∠DMB= 1 2 α. 证明： ∵AB=AC ， ∠A=α ， ∴∠B= 1 2 （ 180°－∠A ） =90°－ 1 2 α. 又 ∵∠DMB+∠B=90° ， ∴∠DMB= 1 2 α. （ 4 ） 成立 . 等腰 三角形一腰的垂直平分线与底边所在直线相交所夹的角 （锐角） 等于顶角度数的一半 . 12. 3 13. C 3 线段的垂直平分线 （第 2 课时） 1. A 2. D 3. B 4. C 5. 提示： 分别过点 A ， B ， C 作 BC ， AC ， AB 的垂线， 垂足分别为 D ， E ， F ， 则 AD ， BE ， CF 即为所求 . 作图略 . 6. 解： （ 1 ） 如图， △ABC 即为所求 . （ 2 ） 这样的直线不唯一 . ① 作线段 OB 的垂直平分线 AC. ② 作长方形 OA′BC′ 、 直线 A′C′ ， 则 直线 AC 和直线 A′C′ 即为所求的直线 . 设 A （ m ， 0 ）， C （ 0 ， n ）， 由勾股 定理， 得 AB 2 =AA′ 2 +A′B 2 ， BC 2 =BC′ 2 +CC′ 2 ， 即 m 2 = （ 6-m ） 2 +4 2 ， n 2 = （ n- 4 ） 2 +6 2 . 解得 m= 13 3 ， n= 13 2 ， ∴A 13 3 ， ， ( 0 ， C 0 ， 13 2 ， 2 ， 易得直线 AC 的函数表达式为 y=- 3 2 x+ 13 2 ， 则点 A′ （ 6 ， 0 ）， C′ （ 0 ， 4 ）， 易得直线 A′C′ 的函数表达式为 y=- 2 3 x+4. 7. D 8. 如图， △ABC 即为所求 . 第 9 题答图 B C A D E M F N G H 第 10 题答图 图 1 图 2 A B D F E C M A B D F E C A B C l m n 第 13 题答图 第 6 题答图 O x y B A′ A C′ C 第 8 题答图 l A B M N C D 181