第1章 第6课时 直角三角形(2)（课后巩固）-【宝典训练】2024-2025学年八年级下册数学高效课堂（北师大版）

八年级下册1数学·（北师大版） 第6课时」 直角三角形(2) 课后巩固 ● 审夯实基础 6.如图所示，BE⊥AC,CF⊥AB,若BE=CF,则 1.如图，PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,且 图中全等三角形有 PD=PE,则△APD与△APE全等的理由是 ( A.SAS B.AAS C.SSS D.HL A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 7.如图，在四边形ABCD中，DE⊥BC,BD平分 dC E ∠ABC,AD=CD,BE=4,DE=3,CE=1,则 第1题图 第2题图 2.如图，∠C=∠F=90°，要用“HL”判断Rt△ABC △ABD的面积是 和Rt△DEF全等的条件是 A.4.5 A.AC=DF,BC=EF B.6 B.AC=DF,AB=DE C.9 C.∠A=∠D,AB=DE D.12 D.∠B=∠E,BC=EF 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A= 3.如图，∠B=∠D=90°，CB=CD,∠1=25°，则 90°，E是AB上的一点，且AD=BE,连接DE, ∠2= () CE,∠1=∠2.求证：△ADE≌△BEC. A.25 B.40° C.65 D.60 第3题图 第4题图 4.如图所示，已知BF⊥AC,DE⊥AC,垂足分别 为F,E,且BF=DE,又AE=CF,则AB与CD 的位置关系是 年能力提升 5.如图，已知DB⊥AN于点B,交AE于点O,OC⊥ AM于点C,且OB=OC.若∠ADB=54°，则∠OAB 的大小为 A.15° B.18 C.22 D.30 ●)》6 数学·课后巩固 …●●● 9.如图，已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和11.(2024·广东深圳·期末)如图，在Rt△ABC △ABE的高，如果AD=AF,AC=AE.求证： 中，AC=BC,G为AB的中点，直角∠MGN BC=BE. D 绕点G旋转，它的两条边分别交CA,BC的延 长线于点E,F,连接EF,当AE=3,BF=5 时，求EF的长. 拓展思维 10.如图，将一个含有45°角的直角三角板放在平面 直角坐标系中，三角板两锐角顶点分别落在x 轴，y轴上的点A,B处，直角顶点在点C(3,3) 处，则OA+OB的值为 A.4 B.4.5 C.6 D.8 7第4课时等腰三角形(4) .BCAC=4BC*...AC=/3BC. 1.B2.60°3.34.60°5.3 ,.BC1AC:AB=1:/3:2. 6.解：过E点作EH⊥BF,如答图所示， 8.解：，a2+B+2-6a-8b-10c+50=0. 设DE-x,,△AC是等边三角形， .a2-6a+9+b-8h+16+2-10e+25=0, ∠A=∠ABC=∠ACB=60°， .(a-3)+(b-4)1+(c-5)°=0 ,DE∥BC, .a-3=0.b-4=0.c-5=0. .∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°， .a=3.b=4.c=5..a2+=c2 △ADE是等边三角形， .三角形是直角三角形，两直角边为a,b. BD=3, :.EC=BD=3.AB=BC=AC=3+x. ∴三角形的面积=号a6=号×3X4=6。 ∠ACB=60°. 9.(1)证明：D,AD⊥MN,BE⊥MN 在RI△CHE中 .∠BCA=∠ADC=∠CEB=90°， ∠ACB=60°，EC=BD=3, ∴.∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°. ·∠HEC=18O°-∠ACB-∠EHC= .∠DAC=∠ECB, 180°-60°-90°=30°. ∠ADC=∠CEB, 5CH- 在△ADC和△CEB中，∠DAC=∠ECB, AC=CB. BH=BC-CH=3+F是=+， .△ADC≌△CEB(AAS): ②DE=AD+BE,理由如下： ,EB=EF,△EBF是等腰三角形， △ADC≌△CEB(AAS),.AD=CE,CD=BE EHLBF,BF=5BH=FH-号心号+= 2 .DE=CD+CE...DE=AD+BE: .x=1,∴.DE=1. (2)解：DE=AD一BE,理由如下： 'AD⊥MV,BE⊥MN, 7.(1)证明：：△CDE是等边三角形， ∠CED=60°，∠EDB=60-∠B=30, .∠BCA=∠ADC=∠CEB=90°， ∴.∠DAC+∠ACD=90,∠ECB+∠ACD=90°， .∠EDB=∠B,∴，DE=EB: ∴.∠DAC=∠ECB, (2)解：ED=EB,理由如下： ∠ADC=∠CEB, 如答图1，取AB的中点O,连接CO,EO. 在△ADC和△CEB中，∠DAC=∠ECB. ∠ACB=90°，∠ABC=30°， AC-CB. .∠A=60°.0C=0A, .△ADC≌△CEB(AAS),..AD=CE,CD=BE, .△ACO为等边三角形 、E .DE=CE-CD. .CA=CO.∠ACO=60°， :△CDE是等边三角形， ..DE=AD-BE 答图1 ∴.∠DCE=60°=∠ACO,CD=CE 第6课时 直角三角形(2) .∠ACD=∠(OCE, 1.D2.B3.C4.平行5.B6.C7.A .△ACD≌△OCE(SAS),∴.∠COE=∠A=60, 8.证明：AD∥BC.,∠A+∠B=180°， ,∴.∠BOE=60°=∠COE, ∠A=90°.∠B=90": 又，∠(OCB=∠OBC=30°，.C=OB,又，OE=OE, ∠1=∠2.∴DE=EC. ,∴.△COE≌△BOE(SAS),.EC=EB. 在R△ADE和R△BEC中，AD=BE, ..ED=EB: DE=EC. (3)解：如答图2，取AB的中点O,连接CO,EO,EB, ∴.Rt△ADE≌Rt△BEC(HL) 由(2)得△ACD≌△OCE, G 9,证明：在Rt△ADC和R△AFD中，AD=AF,A=AE. .∠COE=∠A=60°， .Rt△ADC≌Rt△AFE(HI.),∴.CD=EF, .∠BOE=60, AD-AF.AB-AB, 同(2)可得△COE≌△BOE, .R1△ABD≌Rt△ABF(HL),.BD=BF, ..EC=EB,.ED=EB. ..BD-CD=BF-EF. OD H B EH⊥AB..DH=BH=1 答图2 即BC=BE GE∥AB,∴∠G=180°-∠A=120°=∠D0C. 10.C :∠CDO=60°-∠OCD=∠ECG,CE=DC, 1L.解：如答图，连接C℃，过点G作GH⊥BC于点H, .△CEG2△DCOCAAS). 'AC=C,∠ACB=90,G为AB的中点. ..CG=OD. .∠BCG=∠ACG=45°=∠ABC=∠CAB. 设CG=a.则AG=5a,OD=a, .AG=BG=CG,∠CGA=90°， ..AC=0C=4a. .∠GAE=∠GCF=135”., OC=OB,.4a=a十1十1 :∠EGF=∠AGC=90°， 解得。=号即CG=吕 .∠EGA=∠FGC, ,.△AGE≌△CGF(ASA), 第5课时直角三角形(1) AE=CF=3,GE=GF. 1.A2.B3.3 BF=5.∴.BC=2, 4.两直线平行，内错角相等 :BG=GC.∠BGC=90°， 5.C6.C GH⊥BC, 答图 7.解：∠A=∠B=言∠C,∠A+∠B+∠C=180 .∠BGH=45'=∠GBH, ..BH=HC=GH=1,..HF=4. .∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， .GF=VGH+HF=V1+16-V17. ∴.AB=2BC.BC+AC=AB, 21 数学八年级下册（北师大版） ∴.EF=/GE+GF=2GF=√/34. (2),DE,MV是边AB,AC的垂直平分线， 第7课时线段的垂直平分线(1) ∴.AE=BE,AN=CN, 1.42.C3.D4.D5.B6.C7.A ,'.∠BAE=∠B,∠CAN=∠C 8.(1)证明：连接CE,如答图， :∠EAN=4O°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C= :D是BC的中点，DE⊥BC, 180,.∠BAE+∠CAN=70 ∴.EB=EC, ∴.∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN=110, BE-EA=AC. :∠ADF=∠AMF=90°..∠F=360°-∠ADF-∠AMF ∴.EC-EA=AC, -∠BAC=360-90°-90°-110°=70°： .E=EA十AC,,∠A=90°： (3),DE.MN是边AB,AC的垂直平分线 (2)解：：D是BC的中点，BD=25, ..AE-BE.AN-CN. ,.BC=2BD=5, .BC=BE+EN+CN=AE+EN+AN,即△AEN的周长 ∠A=90°，AC=3, ,AB=8,AC=3,.5<BC<11, ∴△AEN周长的范围为5<△AEN的周长<1I. ∴.AB=V/BC-AC=√5-3=4 6.解：(1)如答图，过点A作x轴的垂线，垂足C即为所求作的 ,EB=EC,.设EB=EC=x,则AE=4一x: 点，此时，汽车距离A点最近，此位置的坐标是(2,0)； 在Rt△EAC中，3十(4一x)=x, AV 解得=票AE=AB-BE=4一5-名 B(7,4) 9.解：(1)25 (2)如答图，EF即为所求 2.2 0 P D 1- 答图 (2)如答图所示，连接AB,过点B作x轴的垂线，垂足为D, 作AB的垂直平分线.与x轴的交点P即为所求作， 根据题意可知AC=2,BD=4,OC=2,OD=7, K- ∴.CD=5,则DP=5-CP, L4-1767 根据勾股定理得AC+CP=AP=BP=DP+BD. 答图 作法：取格点E,F,使DE=CE=DF=CF,连接EF即可 即艺+CP=5-CPy+,解得CP- 10.(1)证明：∠ACB=90°.CG平分∠ACB, ∴.∠ACG=∠BCG=45, 根据勾股定理得AP=BP=√2+（品） =176丽 10 又：∠ACB=90°，AC=BC ∴∠CAF=∠CBF=45,.∠CAF=∠BCG 所以距和为酒×？-面 5 ∠ACF=∠CBG, 7.解：(1)①若PB=PC.则∠PCB=∠PBC 在△AFC与△CGB中，AC=BC, :CD为等边三角形ABC的高， ∠CAF=∠BCG, .△AFC≌△CGB(ASA), AD-BD-2AB.∠PCB-专∠ACB=30. .AF-=CG. .∠PBC=30°..∠PBD=30°， (2)解：CF=2DE,理由如下： 在Rt△PDB中，∠PBD=30°，∴.PB=2PD, 如答图，延长CG交AB于点H, ∴BD=/PB-PD=√(2PD)-(PD)F=√3PD, :CG平分∠ACB.AC=BC, ∴.CH⊥AB,AH=BH, PD=号BD=AB,与已知PD=含AB矛盾，∴PB AD⊥AB,.AD∥CG ≠PC: .∠D=∠EGC, ②若PA=PC,同理可得PA≠PC: :E为AC边的中点， .AE-CE. ③若PA=PB,由PD=AB,得PD=AD=BD, ∠AED=∠CEG, ∴∠APD=∠BPD=45..∠APB=90': 在△ADE与△CGE中， ∠D=∠EGC, AE=CE. 2PA的长为2或安 △ADE≌△CGE(AAS),.DE=GE,.DG=2DE 第9课时角平分线(1) 连接AG,如答图， ,CH⊥AB,AH=BH, LD2Aa64号 5.3 ∴CH是AB的垂直平分线， 6,解：如答图，交点P即为所求 AG=BG,∴.∠GAB=∠GBA, A :∠DAB=90°， .∠GAB+∠DAG=90°=∠GBA+∠D. .∠DAG=∠D,∴.GA=GD=GB, ,△AFC≌△CGB,.CF=BG. 0 B .CF=2DE. 答图 第8课时线段的垂直平分线(2) 7解：，∠1=∠2，DE⊥AB,DF⊥AC, 1.B2.A3.B4.(-2,-1) ..DE-DF 5.解：(1)由DE是边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的 性质，即可得AE=BE,又由等边对等角，可得∠BAE=20: 在R△BDE和R△CDF中，/DEDF, BD-CD. 22