精品解析：天津市 河西区海河博爱学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

2024-2025学年度第二学期九年级 数学学科 命题人：九年级数学组 考试时间：90min 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 计算的结果等于（ ） A. 6 B. C. 12 D. 2. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 3. 2024年国庆小长假期间旅游创新高，达到474000000人次，同比上涨34.3%，将数据474000000用科学记数法表示为______． 4. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，可以看作是中心对称但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若，则旋转角的度数为( ) A. B. C. D. 12. 二次函数（a，b，c为常数，）的图像开口向下，与x轴交于和，且．有下列结论： ①； ②； ③若方程有两个不相等的实数根，则； ④当时，若方程有四个根，则这四个根的和为-1． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13. 计算的结果等于_________． 14. 计算的结果等于____________． 15. 一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是_________． 16. 若m，n是方程的两个解，则的值为________． 17. 如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连接 ， ．若，，则的面积为___________________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，的顶点，均在格点上，顶点在网格线上，． （1）线段的长等于 ； （2）是如图所示的的外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 三、解答题（共7小题，满分66分） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得____________； （2）解不等式②，得____________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为____________． 20. 根据某校女子排球训练队队员的年龄统计的结果，绘制出了如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）训练队的队员人数为____人，图①中m的值为_________； （2）求训练队队员年龄数据的平均数、众数和中位数． 21. 已知是的直径，是的弦，连接并延长交于点E，，，连接． （1）如图①，求和 的大小； （2）如图②，过点E作的切线，与的延长线相交于点G．若，求 的长． 22. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上） （1）求 的长（结果保留根号）； （2）山峰高度的长（结果精确到米）． （参考数据：， ） 23. 已知甲、乙、丙三地依次在同一直线上，乙地离甲地，丙地离乙地．一艘游轮从甲地出发，途经乙地前往丙地．当游轮到达乙地时，一艘货轮沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为，离开甲地的时间记为t（单位： ），两艘轮船离甲地的距离y（单位：）关于t的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．货轮比游轮早到达丙地． 根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 游轮离开甲地的时间/h 6 13 16 22 24 游轮离甲地的距离/km 120 260 （2）填空： ①游轮在乙地停靠的时长为_______ ； ②货轮从甲地到丙地所用的时长为_______ ，行驶的速度为_______/ ； ③游轮从乙地出发时，两艘轮船的距离为_______． （3）当时，请直接写出游轮离甲地的距离y关于t的函数解析式． 24. 将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，， ， ，并将会绕点 顺时针旋转． （1）当旋转至如图的位置时， ，求此时点的坐标： （2）如图，连接，当旋转到 轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时， ①求证： ； ②求的长． （3）当旋转到使得 的度数最大时，求 的面积（直接写出结果即可）． 25. 已知，抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点C作直线轴，动点在直线l上． ①连接，当点P在线段上时，过点P作轴，与x轴交于点E，连接 ，把沿直线 翻折，点P的对应点为，与y轴交于点G，求 的长； ②点N在抛物线上，且在第四象限，满足．动点在x轴上，连接 ，，，当t为何值时，的值最小，并求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期九年级 数学学科 命题人：九年级数学组 考试时间：90min 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 计算的结果等于（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据减去一个数等于加上这个数相反数，可得答案． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的减法，先转化成加法，再进行加法运算． 2. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据找到在哪两个和它接近的整数之间，进而找到在哪两个整数之间． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，估算一个数的算术平方根，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间． 3. 2024年国庆小长假期间旅游创新高，达到474000000人次，同比上涨34.3%，将数据474000000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 4. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从几何体左边看到的图形即可 【详解】解：该几何体的左视图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的三视图，注意观察角度不同分别得出视图是解题关键． 5. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，可以看作是中心对称但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 的值等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．，，代入计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通分，再进行分式的加减运算． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的加减运算．掌握分式加减运算法则是解题的关键．也考查了平方差公式． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，，的值，即可解答． 【详解】解：当 时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ， 故选：C． 【点睛】本题考查了由反比例函数求自变量的值，求出，，的值是解题的关键． 9. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 10. 如图， 的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得 ，由四边形是平行四边形，可得，从而得出 ，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得 ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 11. 如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若，则旋转角的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得AC=DC，从而得到∠ADC=∠CAD，再由AF=AD，可得∠AFD=∠CAD，从而得到∠ADC=+45°，再由三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：AC=DC， ∴∠ADC=∠CAD， ∵AF=AD， ∴∠ADC=∠AFD， ∴∠AFD=∠CAD， ∵∠AFD=∠ACD+∠BAC=+45°， ∴∠ADC=+45°， ∵∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°， ∴+45°++45°+=180°， 解得：=30°． 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，图形的旋转，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，图形的旋转，三角形的内角和定理是解题的关键． 12. 二次函数（a，b，c为常数，）的图像开口向下，与x轴交于和，且．有下列结论： ①； ②； ③若方程有两个不相等的实数根，则； ④当时，若方程有四个根，则这四个根的和为-1． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到a<0，对称轴在y轴左侧，图像与x轴有两个交点，即为b<0，c>0，由此判断①正确；根据图像与x轴交点可知a+b+c= 0，-2<m<-1，且抛物线开口向下，得到当x=-2时，y=4a-2b+c<0，当x=-1时，y=a-b+c>0，联立a+ b+c= 0和y= 4a- 2b+c < 0可得2a+c < 0，故结论②正确；若a(x- m)(x- 1) - 1 = 0有两个不相等的实数根，则a(x - m)(x- 1) = 1有两个不相等的实数根，则原抛物线的顶点纵坐标大于1，即，由此判断③错误；当时，利用公式求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性得到四个根的和为，由此判断④正确． 【详解】解：∵二次函数（a，b，c为常数，）的图像开口向下，与x轴交于和，且． ∴a<0，对称轴在y轴左侧，图像与x轴有两个交点， ∴b<0，c>0， ∴，故①正确； 根据交点(1，0)，可知a+b+c= 0， 根据交点(m，0)，可知am2 + bm +c= 0， ∵-2<m<-1，且抛物线开口向下， ∴当x=-2时，y=4a-2b+c<0，当x=-1时，y=a-b+c>0， 联立a+ b+c= 0和y= 4a- 2b+c < 0可得 4a- 2(-a-c)+c< 0， 化简得 2a+c < 0，故结论②正确； 若a(x- m)(x- 1) - 1 = 0有两个不相等的实数根， ∴a(x - m)(x- 1) = 1有两个不相等的实数根， 则原抛物线的顶点纵坐标大于1，即， ∴，故③正确； 当时，抛物线的对称轴为， 若方程有四个根，则这四个根中有两个在x轴上方，且关于对称轴对称；有两个在x轴下方，且关于对称轴对称， 故四个根的和为，故④正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了抛物线的性质，利用抛物线的图像判断式子的正负，正确理解抛物线的图像得到相关信息是解题的关键． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13. 计算的结果等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据积的乘方计算，然后根据同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方、同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 14. 计算的结果等于____________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据平方差公式求解即可． 【详解】解：原式 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题关键． 15. 一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：这个图形的总面积为9，阴影部分的面积为3，因此阴影部分占整体的， 所以小球最终停留在黑砖上的概率是， 故答案为：． 16. 若m，n是方程的两个解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵m，n是方程的两个解， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连接 ， ．若，，则的面积为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等． 先证明，可得，过点E作于点H，则，，再证明，可得，根据，可得，即有，解得 ，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 过点E作于点H，则，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得 ， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，均在格点上，顶点在网格线上，． （1）线段的长等于 ； （2）是如图所示的的外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】（）利用勾股定理可得答案； ()如图，取格点，连接并延长，与的外接圆相交于点，连接；取的外接圆与网格线的交点，，连接 与相交于点 ；连接并延长，与的外接圆交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 ， 故答案为：； 【小问2详解】 取格点， 由勾股定理得：，，， ∵， ∴， ∴ ， ∴，是的直径， 由方格知,则 与 相交于点 ， ∴ 是的直径， ∴ 为圆心， ∵, ∴， ∵ ， ∴． 如图，取格点，连接 并延长，与 的外接圆相交于点，连接 ；取 的外接圆与网格线的交点，，连接 与 相交于点 ；连接并延长，与 的外接圆交于点，则点即为所求． 【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（共7小题，满分66分） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得____________； （2）解不等式②，得____________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为____________． 【答案】（1） （2） （3）画图见解析， （4） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）移项即可得到结论； （2）移项即可得到结论； （3）根据在数轴上表示不等式的解集的方法画图即可； （4）根据数轴确定两个不等式的解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：解不等式①，得 故答案为： ； 【小问2详解】 解：解不等式②，得 故答案为： ； 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为 ， 故答案为： 20. 根据某校女子排球训练队队员的年龄统计的结果，绘制出了如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）训练队的队员人数为____人，图①中m的值为_________； （2）求训练队队员年龄数据的平均数、众数和中位数． 【答案】（1）25，24；（2）平均数是15.6；众数是16；中位数是16 【解析】 【分析】（1）将训练的人数相加即可得到总人数，用100%-40%-16%-12%-8%即可求出m的值； （2）利用平均数、众数以及中位数的计算方法进行求解即可； 【详解】解：（1）2+3+4+10+6=25， 100%-40%-16%-12%-8%=24%， ∴ m=24； 故答案为：25，24； （2）观察条形统计图，∵ ∴这组数据的平均数是15.6． ∵在这组样本数据中，16出现了10次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数是16﹒ 将这组样本数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是16， ∴这组样本数据的中位数是16． 【点睛】本题考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，平均数、众数以及中位数的计算方法，正确掌握知识点是解题的关键； 21. 已知是的直径，是的弦，连接并延长交于点E，，，连接． （1）如图①，求和 的大小； （2）如图②，过点E作的切线，与的延长线相交于点G．若，求 的长． 【答案】（1） ，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）设 与交于点，根据垂径定理可得，从而得出 ，再证明 是等边三角形，得到，根据圆周角定理，得到，即可求解； （2）根据勾股定理求出，的长，再证明，即可求解． 【小问1详解】 解：设 与交于点，如图： ∵ 是的直径，， ∴， ，， ∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴，， ∵ ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∵是的切线， ∴， ∴ ， ∴，即， ∴． 22. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上） （1）求 的长（结果保留根号）； （2）山峰高度的长（结果精确到米）． （参考数据：， ） 【答案】（1）米 （2）山峰高度的长约为米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 在中，，， （米）， 在中，，， （米）， 米， 米， 的长为米； 【小问2详解】 解：设米， 在中， ， （米）， ∵米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 米， ∴山峰高度的长约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及A字模型相似三角形是解题的关键． 23. 已知甲、乙、丙三地依次在同一直线上，乙地离甲地，丙地离乙地．一艘游轮从甲地出发，途经乙地前往丙地．当游轮到达乙地时，一艘货轮沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为，离开甲地的时间记为t（单位： ），两艘轮船离甲地的距离y（单位：）关于t的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．货轮比游轮早到达丙地． 根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 游轮离开甲地的时间/h 6 13 16 22 24 游轮离甲地的距离/km 120 260 （2）填空： ①游轮在乙地停靠的时长为_______ ； ②货轮从甲地到丙地所用的时长为_______ ，行驶的速度为_______/ ； ③游轮从乙地出发时，两艘轮船的距离为_______． （3）当时，请直接写出游轮离甲地的距离y关于t的函数解析式． 【答案】（1）260，380，420 （2）①3；②；③110 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以将表格中的数据补充完整； （2）①根据题意和图象中的数据，可以计算出游轮在乙地停靠的时长；②根据题意和图象中的数据，可以计算出货轮从甲地到丙地所用的时长和行驶的速度；③根据题意和图象中的数据，可以计算出游轮从乙地出发时，两艘轮船相距的路程； （3）根据函数图象中的数据，可以写出游轮离甲地的路程y关于t的函数解析式． 【小问1详解】 解：由图象可知当游轮离开甲地13小时游轮离甲地的距离为， ∵游轮全程行驶（小时）， ∴游轮在乙地停留的时间为（小时）， ∴当游轮离开甲地22小时游轮离甲地的距离为， 由图象可知当游轮离开甲地24小时游轮离甲地的距离为， 填表如下： 游轮离开甲地的时间/h 6 13 16 22 24 游轮离甲地的距离/km 120 260 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：①游轮在乙地停靠的时长为：， 故答案为：3； ②货轮从甲地到丙地的时间为：， 货轮从甲地到丙地的速度为：， 故答案为：，； ③游轮从乙地出发时，两艘轮船相距的路程为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时,设y关于t的函数解析式为， 由题意，得：， 解得， 即当时，y关于t的函数解析式为， 由上可得，y关于t的函数解析式为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，， ， ，并将会绕点 顺时针旋转． （1）当旋转至如图的位置时， ，求此时点的坐标： （2）如图，连接，当旋转到 轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时， ①求证： ； ②求的长． （3）当旋转到使得 的度数最大时，求 的面积（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2） ①证明：如图②中，过点 作 于． ， ， ，， ； ② （3） 【解析】 【分析】（Ⅰ）如图①中，过点作 于．解直角三角形求出 ， ，可得结论． （Ⅱ）如图②中，过点 作 于．首先证明 ，推出，求出，可得结论． （Ⅲ）如图③中，当 时， 的值最大，此时 ， ．再证明，可得结论． 【小问1详解】 解：如图①中，过点作 于． 绕点 顺时针旋转， ， ，， ， ． 【小问2详解】 解：①略 ②解： ； ， 在 中，， ，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图③中，当 时， 的值最大，此时 ， ． 过点作 轴于，过点作 于． ， ， ，， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 25. 已知，抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点C作直线轴，动点在直线l上． ①连接，当点P在线段上时，过点P作轴，与x轴交于点E，连接 ，把沿直线 翻折，点P的对应点为，与y轴交于点G，求 的长； ②点N在抛物线上，且在第四象限，满足．动点在x轴上，连接 ，，，当t为何值时，的值最小，并求出的最小值． 【答案】（1）D的坐标为，；（2）① 的长为；②的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过A、B、C三点，将三点的坐标代入解析式进行求解最后化为顶点式即可； （2）①先求出直线BD的解析式，在根据P在直线BD上求出P点坐标，再根据翻折的定义用勾股定理求解即可； ②直线的解析式为，然后求出N点坐标；将顶点向下平移3个单位长度，得点，连接交x轴于点Q，连接，当，Q，N三点在一条直线上时，取得最小值，，然后求出的长度最后进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）由已知，抛物线经过点，得 ． ∴． ∵抛物线经过点， 得解得， ∴抛物线的解析式为． 配方,得． ∴抛物线顶点D的坐标为． （2）①设直线的解析式为， 由，得 解得 ∴直线的解析式为， ∵在直线上， ∴． 解得． ∴P点坐标为． ∵轴， ∴， ∵把沿直线 翻折，点P的对应点为， ∴， ∴， ∴． 设，则． 在中，有， ∴， 解得． ∴ 的长为 ②过点A作交抛物线于点N，满足， 则直线的解析式为． ∵在直线上， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 由 解得或 ∴点N的坐标为． 将顶点向下平移3个单位长度，得点，连接交x轴于点Q． 连接， 则． ∵， ∴ 轴，且． ∴，且． ∴四边形是平行四边形． ∴． 当，Q，N三点在一条直线上时，取得最小值， 此时，， 设直线的解析式为， 由， 得 解得 ∴直线的解析式为． 当 时，， ∴，即． 过点N作轴交的延长线于点H， 在中，，． ∴， ∴当时，的值最小，的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $