精品解析：江西省赣州市大余县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度上学期期末检测 八年级数学试题卷 说明：1．全卷满分：120分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卡上，否则不给分． 一、选择题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 石墨烯具有优异光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米 ，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C D. 4. 如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 5. 如图，等边三角形纸片边长为8，点是边的三等分点．分别过点沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 8 6. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 因式分解：__________． 8. 分式：，，的最简公分母是______． 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则________． 10. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 11. 八边形外角和的度数为__________． 12. 在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ________________． 三、解答题（本大题有5小题，每题6分，共30分） 13. 计算 （1）因式分解：； （2）计算： 14 解分式方程： 15. 化简并求值：，其中． 16. 已知：如图，点、在上，与交于点，，，． 求证：． 17. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． （1）求的度数． （2）若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，试求的长． 19. 阅读小明和小红的对话，解决下列问题． （1）这个“多加的锐角”是__________度． （2）小明求的是几边形内角和？ （3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 20. 从2013年的首次太空授课到2023年“天宫课堂”第四课开讲，精彩的课程在全国青少年心中播下了追逐航天梦想的种子，激发了他们探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中B款套装的单价比A款套装单价的2倍少30元，用600元购买A款套装的数量是用450元购买B款套装数量的2倍． （1）求A，B两款套装的单价． （2）根据学校实际情况，需一次性购买A款套装和B款套装共100个，但要求A款套装和B款套装总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个B款套装？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图所示． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）求出的面积； （3）在y轴上作出一点M，使的值最小． 22. 如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：___________； 方法2：___________； （2）从中你得到什么等式？_____________； （3）运用你发现的结论，解决下列问题：已知，，求的值； 六、解答题（本大题共12分） 23. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）如图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期末检测 八年级数学试题卷 说明：1．全卷满分：120分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卡上，否则不给分． 一、选择题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米 ，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数字“0.000000000142”用科学记数法表示为． 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，根据运算法则一一判断即可． 【详解】解：．，原选项正确，故本选项符合题意； ．，原计算错误，故本选项不符合题意； ．，原计算错误，故本选项不符合题意； ．，原计算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∵． 故选：A． 5. 如图，等边三角形纸片的边长为8，点是边的三等分点．分别过点沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ） A 3 B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形纸片的边长为8，可得，根据三等分点的定义可求的长，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵等边三角形纸片的边长为8， ∴ ∵E，F是边上的三等分点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴剪下的的周长是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，证明是等边三角形成为解答本题的关键． 6. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2 xm/min，根据时间=路程÷速度，结合乙组到达顶峰所用时间比甲组少15 min，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2m/min， 依题意得： 故选：B. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 8. 分式：，，的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：，，的最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据点坐标关于轴对称的变换规律求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点坐标关于轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）是解题关键． 10. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】x≠-2 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件求出x的取值范围即可． 【详解】解：依题意得：2+x≠0． 故答案是：x≠-2． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 11. 八边形外角和度数为__________． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题是对多边形外角和的考查．根据多边形的外角和直接回答即可． 【详解】解：多边形的外角和为， 则八边形外角和的度数为． 故答案为：． 12. 在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ________________． 【答案】20°或27.5°或35° 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可． 【详解】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论． ①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1， ∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣70°）＝55°， 又∵△ADC等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝27.5°； ②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2， ∵AD＝BD，∠B＝70°， ∴∠BAD＝∠B＝70°， ∴∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝20°； ③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3， 则∠ADB＝∠B＝70°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝35°． 故答案为：20°或27.5°或35°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理． 三、解答题（本大题有5小题，每题6分，共30分） 13. 计算 （1）因式分解：； （2）计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查提公因式与公式法分解因式，多项式除以单项式． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解即可； （2）根据多项式除以单项式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再检验即可求解． 【详解】解：方程两边乘最简公分母去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 15. 化简并求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的运算法则，进行化简，再代值计算即可．本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，正确的进行化简，是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 16. 已知：如图，点、在上，与交于点，，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，等边对等角．由得出为等腰三角形，即，再利用判定，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴为等腰三角形， ∴ ∵在和中， ∵， ， ， ∴， ∴． 17. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． （1）求的度数． （2）若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 【答案】（1），； （2）、都是“友爱三角形”，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论． 【小问1详解】 解：是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； 【小问2详解】 解：、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ，， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， ， 为“友爱三角形”． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，试求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19. 阅读小明和小红的对话，解决下列问题． （1）这个“多加的锐角”是__________度． （2）小明求的是几边形内角和？ （3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】（1） （2）小明求的是边形内角和 （3）这个正多边形的一个内角是 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握多边形的内角和，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可； （3）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ∴这个“多加的锐角”是 ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，， 解得，， ∴小明求的是边形内角和； 【小问3详解】 解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是． 20. 从2013年的首次太空授课到2023年“天宫课堂”第四课开讲，精彩的课程在全国青少年心中播下了追逐航天梦想的种子，激发了他们探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中B款套装的单价比A款套装单价的2倍少30元，用600元购买A款套装的数量是用450元购买B款套装数量的2倍． （1）求A，B两款套装的单价． （2）根据学校实际情况，需一次性购买A款套装和B款套装共100个，但要求A款套装和B款套装的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个B款套装？ 【答案】（1）A款套装的单价是60元，B款套装的单价是90元 （2）学校最多可以购买66个B款套装 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，根据用600元购买款套装的数量是用450元购买款套装数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可以购买个款套装，则购买个款套装，根据款套装和款套装的总费用不超过8000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设A款套装的单价是元，则B款套装的单价是元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：A款套装的单价是60元，B款套装的单价是90元． 【小问2详解】 解：设学校可以购买个B款套装， 根据题意，得， 解得． ∵是正整数，∴最多取66． 答：学校最多可以购买66个B款套装． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图所示． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）求出的面积； （3）在y轴上作出一点M，使的值最小． 【答案】（1）见解析， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，根据在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）根据割补法即可求得三角形的面积； （3）连接交y轴于点M，则M点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求，； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：如图，点M即为所求． ． 22. 如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：___________； 方法2：___________； （2）从中你得到什么等式？_____________； （3）运用你发现的结论，解决下列问题：已知，，求的值； 【答案】（1）； （2） （3）24 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景． （1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积； （2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论； （3）①由（2）的结论，代入计算即可． 【小问1详解】 解：方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即， 方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积， 即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：在（1）两种方法表示面积相等可得， ， 故答案：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴ ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）如图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高． （1）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此仍然可以证明，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，仍然，然后利用全等三角形的性质可以得到． 【小问1详解】 证明： 中，， ， 又直线经过点，且于，于， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 【小问2详解】 证明：中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； 【小问3详解】 如图3， 中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； 、、之间的关系为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$