11.3 解一元一次不等式-【初中学霸创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(冀教版2024)

11.3 解一元一次不等式 第1课时 解一元一次不等式 （1） 课题 解一元一次不等式 （1） 课型 新授课 教学内容 教材第152-154页的内容 教学目标 1.理解不等式的解、解集以及解不等式这些概念的含义 2.能用数轴正确表示不等式的解集. 3.掌握一元一次不等式的概念，并能利用不等式的性质解简单的一元一次不等式. 教学重难点 教学重点：不等式解及解集的含义，一元一次不等式的概念，数轴表示不等式的解集。 教学难点：利用数轴表示不等式的解集。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 天平左边质量为60(x+1)，天平右边质量为80x，你能判断哪边的质量大，并列出不等式吗？ 【师生活动】学生观察思考，并口答论。 80x>60(x+1） 2.归纳总结，学习新知 x 80x 60(x+1) x的值是否 符合80x>60(x+1) 3.5 280 270 是 4.1 328 306 是 5.4 6.8 【问题1】（1）对于给定的x值，完成下表： 对于这些符合不等式80x>60(x+1)的x的值，我们可以把它们叫作什么？你可以给出定义吗？ 【师生活动】学生计算，填写表格。教师可以提示学生类比一元一次方程的有关概念思考。学生根据提示思考问题，尝试总结定义，并发言交流。教师总结，引出定义。 【定义】对于含有未知数的不等式，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解. 【追问】（2）数4,5，5.5是不等式80x>60(x+1)的解吗？ （3）你认为不等式80x＞60(x＋1)的解有多少个？ 【师生活动】学生计算回答。 教师提问：不等式80x＞60(x＋1)的解有无数个，那我们把这无数个解叫作什么？ 学生尝试回答，教师总结。 【总结】 一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. 求不等式解集的过程叫作解不等式. 【思考】不等式的解和不等式的解集有什么区别呢？ 【师生活动】学生思考，分组交流讨论，发言作答。教师点评总结。 学生成果：①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值,而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值. ②不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解; 【总结】 【问题2】如果我们知道了一个不等式的解集，如何直观形象地表示出来，让人一目了然呢？那我们可以借助数轴来表示不等式的解集。 （1）不等式80x＞60(x＋1)的解集为x＞3,如何在数轴上表示出这个解集呢？ （2）－2x≥2的解集为x≤－1，如何在数轴上表示出这个解集呢？ 【师生活动】教师可以和学生共同完成（1），教师给出学生提示性地语言，让学生独自画出，最后教师板演。学生独立完成（2），最后板演，总结。 引导语言： （1）先在数轴上标出表示3的点，则点右边所有的点表示的数都大于3，而点左边所有的点表示的数都小于3. 把表示3 的点画成空心圆圈，表示解集不包括3. （2）解集x≤－1中包含－1，所以在数轴上将表示－1的点画成实心点. 【总结】（1）用数轴表示不等式的解集时,大于向右画,小于向左画; （2）“＞”,“＜”画空心圆圈.“≥”，“≤”画实心点。 【问题3】前面我们遇到了这些不等式： x＞3, 80x＞60(x＋1), m＋10≤ m , 2x＜x＋2， 它们的共同点是什么？ 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考，交流发言，探究共同点.教师可以让学生类比一元一次方程思考。学生发言交流，教师总结。 学生成果：这些不等式的左右两边都是整式，每个不等式都只含有一个未知数，并且未知数的次数是1. 【总结】含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的不等式叫作一元一次不等式. 【练一练】我们利用不等式的基本性质来解一元一次不等式. 解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来. 【师生活动】学生解答，教师展示给出解答示范． 解：不等式两边都减去1，得 ， 即 . 两边都乘2(或除以 )，得x＜8. 解集在数轴上表示，如图 3.学以致用，应用新知 考点1 不等式的解与解集 【例1】下列不等式中，不含有x=-1这个解的是（ A ） A. 2x+1≤-3 B. 2x-1≥-3 C. -2x+1≥3 D. -2x-1≤3 考点2 一元一次不等式的概念 【例2】已知是关于 x 的一元一次不等式， 则 a 的值是_______． 答案：1 考点3 解简单的一元一次不等式 【例3】解不等式，并把解集在数轴上表示出来. 3-x ＜ 2x+6. 答案：x＞-1， 【例4】已知关于x的不等式2x-a≥-3的解集如图所示，则a的值等于多少？ 答案：1 4.随堂训练，巩固新知 1.看图写出不等式的解集: 解：(1)x＜－４.(2)x ≥1.5. 2.不等式2x≥9有多少个负整数解？请全部写出来. 解：解不等式 2x≥9 , 得 x ≥－4.5， 其负零整数解为－4，－3，－2，－1. 3.利用数轴来表示下列不等式的解集. (1) 解：如图所示. （1） x≥ -7. 4.a≥1的最小正整数解是m,b≤8的最大正整数解是n,求关于x的不等式(m＋n)x＞18的解集． 解：∵a≥1的最小正整数解是m,∴m=1. ∵b≤8的最大正整数解是n,∴n=8. ∴m＋n=9. 把m＋n=9代入不等式(m＋n)x＞18中， 得9x＞18， 解得x＞2. 5.课堂小结，自我完善 这节课你有什么收获？还有什么疑惑？ 6.布置作业 课本P154习题A组、B组。 答案：432,384，是； 544,468，是。 通过问题1（1）的探究，引导学生类比一元一次方程，进行归纳总结，得出不等式的解的概念. 答案：（2）是； （3）无数个。 通过（2）（3）的探究，引导学生作答并思考，得出不等式的解集及解不等式的概念. 通过对比，让学生能够区分不等式的解与解集． 通过两个问题的探究，引导学生学会利用数轴表示不等式的解集. 通过问题3，让学生类比一元一次方程思考，总结一元一次不等式的特点，得出一元一次不等式的概念，提升学生的知识迁移能力和总结概括能力。 注意三个条件：未知数的个数，未知数的次数，且不等式的两边都是整式。 巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 加深对不等式解的概念的理解。 巩固一元一次不等式的概念． 熟练应用不等式的性质解简单的一元一次不等式，为后面讲解一元一次不等式的解法做铺垫。 通过随堂练习，加深学生对知识的理解，同时训练学生的计算能力，提高准确率。 板书设计 11.3 解一元一次不等式 第1课时 解一元一次不等式（1） 1.不等式的解、解集及解不等式的概念 2.用数轴表示不等式的解集 3.一元一次不等式 4.例题 教后反思 本课时让学生在具体情境中理解相关概念，通过类比一元一次方程的有关概念探索归纳出不等式的有关概念,运用不等式的基本性质帮助学生探索解一元一次不等式的基本方法.但是在例题中，对于每一步的变形说理没有找学生回答,减弱了学生的思维活动。 第2课时 解一元一次不等式（2） 课题 解一元一次不等式（2） 课型 新授课 教学内容 教材第155-157页的内容 教学目标 1.掌握一元一次不等式的解法，能熟练的解一元一次不等式； 2.经历探究一元一次不等式解法的过程，学生通过合作、类比等学习方法，加深对化归思想的体会. 教学重难点 教学重点：理解用不等式的性质解一元一次不等式的步骤. 教学难点：会熟练地解一元一次不等式. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 你还记得解一元一次方程的步骤吗？我们一起来通过解一元一次方程 回顾一下. 【师生活动】学生自主解答一元一次方程，回忆解一元一次方程的一般步骤，并发言交流，教师点评。 学生成果：去分母，得 4(x-1)-3(2x-3)=12. 去括号，得 4x-4-6x+9=12. 移项，得 4x-6x=12+4-9. 合并同类项，得 -2x=7. 系数化为1，得 x= . 解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 2.类比探究，学习新知 【问题1】我们类比解一元一次方程的一般步骤，解下列不等式，并把它们的解集表示在数轴上. （1）14＋3（x－5）<11; 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考，自主类比，尝试解不等式，教师找同学板演解题过程，同时教师巡视检查及时纠正错误. 学生成果：（数轴略） （1）去括号，得14+3x-15<11. 移项，得3x<11-14+15. 合并同类项，得3x＜12. 将未知数系数化为1，得x＜4. （2）去分母，得x+5-2≤3x+2. 移项，得x-3x≤2-5+2. 合并同类项，得-2x≤-1. 将未知数系数化为1，得x≥0.5. 【想一想】通过上面的两个题目的解答过程，尝试总结解一元一次不等式的步骤。 【师生活动】学生相互交流讨论，并发言。老师点评，总结。 【总结】解一元一次不等式的步骤： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项； (5)系数化为1. 【问题2】试一试：将的解法与问题1中的一元一次不等式的解法对比，完成下面的表格： 【师生活动】 试着让学生自主找到两者的相同点与不同点，教师引导，补充并纠正. 答案： 3.学以致用，应用新知 考点1 解一元一次不等式 【例1】 解一元一次不等式 ： 解：去分母，得 2(x -5)+1×6 ≤ 9x. 去括号，得 2x -10 + 6 ≤ 9x. 移项，得 2x - 9x ≤ 10 - 6. 合并同类项，得 -7x ≤ 4 . 将未知数的系数化为1，得 x ≥ . 【例2】课本P155例2： 当x在什么范围内取值时，代数式的值比x+1的值大？ 解：根据题意，x应满足不等式 去分母，得1+2x>3(x+1). 去括号，得1+2x>3x+3. 移项，合并同类项，得－x>2. 将未知数系数化为1，得x<－2. 即当x<－2时，代数式 的值比x+1的值大. 【师生活动】教师展示例题，学生自主思考，然后解答，教师请同学上台板演，同时巡视检查，及时纠正错误。学生完成后，教师进行点评，并让学生思考“在解答的过程中哪些地方容易出错”，然后教师根据学生的回答及时补充，总结易错点。 【易错点】（1）不等式的两边同乘(或除以)一个负数时，改变不等号的方向； （2）移项要变号； （3）去分母时不要漏乘不含分母的项； （4）不要忽视分数线的括号作用； （5）去括号时，括号前是减号的括号里各项注意要改变符号. 考点2 一元一次不等式解法的应用 【例3】课本P156例3： 求不等式的正整数解. 解：去分母，得3(x+1) ≥2(2x－1). 去括号，得3x+3≥4x－2. 移项，合并同类项，得－x≥－5. 将未知数的系数化为1，得x ≤ 5. 所以，满足这个不等式的正整数解为x=1，2，3，4，5. 【例4】已知方程ax+12=0的解是x=3，求关于x不等式 （a+2）x＞－6的解集，并在数轴上表示出来，其中正整数解有哪些？ 解：由方程的定义，把x=3代入ax+12=0中，得 a=－4. 把a=－4代入（a+2）x＞－6中，得－2x＞－6，解得x＜3. 在数轴上表示如图： 其中正整数解有1和2. 【方法总结】求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然． 4.随堂训练，巩固新知 1.课本P156练习 2.备用练习 （1）不等式 2x-1≥3x—5 的正整数解的个数为 （ D ） A.1 B.2 C.3 D.4 （2）已知关于 x 的不等式 2x+m〉-5 的解集如图所示，则 m 的值为 （ A ） A.1 B.0 C.-1 D.-2 （3）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是 x＜,则关于x的不等式(m+n)x＞n﹣m的解集是（A　　） A. x＜ B. x＞ C. x＜ D. x＞ （4）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＞﹣2，则a的取值范围是（　　D） A．a＜4 B．0＜a＜4 C．0＜a＜10 D．a＜10 （5）下面是小明同学解不等式 的过程： 去分母，得 . 移项、合并同类项，得 . 两边都除以–2，得 . 他的解法有错误吗？如果有错误，请你指出错在哪里. 解：去分母，－1没有乘2. 两边都除以－2，不等号的方向没有改变. （6）已知不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数)的解集是 x＜3，求 m. 答案：m=－1 5.课堂小结，自我完善 这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？ 6.布置作业 课本P156习题A组1（2）（4）、2，P157习题B组。 通过复习回顾，引出本节课的学习内容，直观形象，激发学生学习兴趣． 通过类比解一元一次方程的步骤，尝试解两个不等式，体会解答的过程与步骤，归纳总结解一元一次不等式的步骤，渗透类比思想的同时，提升学生归纳总结能力。 通 过想一想，让学生从具体的解答过程中概况总结，得出解一元一次不等式的一般步骤. 对比一元一次方程与一元一次不等式的解法步骤，加深对一元一次不等式解法的理解. 通过例1、例2的解答，师生共同总结解一元一次不等式中的易错点，强调解答过程中的注意事项和解题步骤的规范性，提高学生的计算能力． 通过例3、例4的讲解，让学生对一元一次不等式的解法应用有一定的了解，掌握解题技巧，为以后解答题目做铺垫。 通过课本练习，巩固解一元一次不等式的步骤，通过备用练习可以提升学生对知识的灵活运用。 通过小结，使学生梳理本节所学内容，充分发挥学生的主体意识，培养学生的语言概括能力，发散思维能力． 板书设计 第2课时 解一元一次不等式（2） 1.解一元一次不等式的一般步骤 2.解一元一次方程与解一元一次不等式的异同点 3.例题 教后反思 本课时在教学的过程中,首先类比解一元一次方程进行解一元一次不等式,在此基础上帮助学生总结解一元一次不等式的一般步骤，同时帮助学生建立知识之间的联系。通过例题，将知识灵活运用，提升学生知识的综合运用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$