10.3 三角形的角平分线、中线和高线-【初中学霸创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(冀教版2024)

10.3 三角形的角平分线、中线和高线 课题 三角形的角平分线、中线和高线 课型 新授课 教学内容 教材第136-138页的内容 教学目标 1.理解三角形的角平分线、中线、高线的概念，会画出已知三角形的角平分线、中线和高。 2.了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点。 3.掌握“三线”的性质，并能应用进行计算。 教学重难点 教学重点：理解三角形的角平分线、中线、高的概念，会画出已知三角形的角平分线、中线和高。 教学难点：灵活应用“三线”的性质进行运算。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？ 【师生活动】学生分组交流讨论，可以画图，尝试解决办法。教师可以让同学回答想到的解决办法，有的学生可能会无从下手，有的可能会做角平分线，分成面积不相等的两份。教师点评，并给出解决办法。为什么这么做就可以平分蛋糕呢？从而引出今天的课题 2.归纳探究，学习新知 1.【问题1】如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？OC是一条 （填直线、射线或线段）。 【师生活动】学生回答。 【追问】在一张白纸上任意画出一个△ABC，你能通过折纸的方法找到△ABC中∠A的平分线吗？ 【师生活动】让学生拿纸折一下，并说明∠A的平分线。老师指出：使得角的两边重合的折痕就是角平分线。 【追问】那么你能找到一个三角形的一个内角的平分线吗？ 观察这个内角的平分线是 （填直线、射线或线段）。 【师生活动】学生交流讨论，可能会用量角器或用折纸的办法找三角形的内角的平分线，可能会认为三角形的角平分线是射线。教师点评，并纠正，给出定义。 【定义】三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线。 注意：角平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段。 【追问】每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.一个三角形有几条角平分线？用折纸的办法可以得到吗？三条角平分线有怎样的位置关系？ 【师生活动】学生动手操作，然后观察得出答案，教师让学生发言表述自己的结论，并点评总结。 【总结】三角形有三条角平分线，三条角平分线在三角形内部交于一点。 2.【问题2】如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ 【师生活动】学生回忆线段中点的性质，得出结论。 【追问】如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD称为△ABC的什么呢？类比一下. 【师生活动】学生思考，经过类比，可能得出三角形的中线，教师总结三角形的中线的定义。 【定义】连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. 【追问】如图，在硬纸板上分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 【师生活动】教师可以先指导学生怎么画三角形的中线，避免有的学生不会画。学生根据指导画出三角形的中线，观察，发现规律。 【总结】三角形的三条中线在三角形的内部交于一点。 【追问】将上面其中一个三角形剪下来，在中线的交点位置钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，三角形硬纸板处于什么状态？这种现象说明了什么？ 【师生活动】学生实际操作，发现规律，教师总结。 【总结】三角形的三条中线在三角形内部交于一点，这个交点叫作这个三角形的重心. 3.教师直接给出三角形的高的定义。 定义：从三角形的一个顶点到它对边所在的直线的垂线段叫作三角形的高线，简称三角形的高． 【问题3】 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？ 【师生活动】学生实际操作，有的学生可能画直角三角形不标准，作出来的高交点位置不对，教师要及时纠正。学生分组交流讨论、观察不同的三角形的高的交点情况，总结规律。 教师让学生类比前面角平分线和中线的交点规律总结。学生发言表述规律，教师点评、总结 【总结】 ①锐角三角形的三条高在三角形的内部交于一点. ②直角三角形的三条高交于直角顶点. ③钝角三角形的三条高在三角形的外部交于一点. 3.学以致用，应用新知 考点1 三角形的角平分线 【例1】如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数. 答案:40° 考点2 三角形的高 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 答案：4.8 【方法总结】 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 考点3 三角形的中线 【例3】如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值. 答案：2 【方法总结】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比． 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列说法正确的是 （　　B） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 （2）如图所示,过△ABC 的顶点 A,作 BC 边上的高,以下作法正确的是 ( A ） （3）在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　D ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ （4）如图所示，在△ABC 中，D,E 分别为 BC，AD 的中点，且△ABC 的面积为 4，则图形中阴影部分的面积是 （ B ） A.2 B.1 C.0.5 D. 0.25 (5)如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35 cm，BC=11 cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3 cm，求AB与AC的长. 答案：AB=13.5 cm,AC=10.5 cm. （6）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小. 答案：9° 5.课堂小结，自我完善 这节课你有什么收获？还存在什么疑惑？ 6.布置作业 课本P138习题A、B组。 引出学生的认知冲突，学生可能会给出不正确的答案，教师点评，给出正确答案，正确答案的原因正好引入今天的课题。 让学生回忆角平分线的性质，有利于下一步，让学生做出一个角平分线。 增加学生的实操能力，提高数学素养。 教师强调三角形的角平分线与角的平分线的区别。 通过实际画图，发现三角形中线交于一点，让学生能够从动手操作中发现知识。 从实验中发现知识，加深对三角形重心的理解。 通过例1的讲解，对三角形的角平分线应用有一定的了解，加深对三角形的角平分线的性质的理解。 通过例3的讲解，学生了解三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两部分，为以后的应用作铺垫。 板书设计 10.3 三角形的角平分线、中线和高 1.三角形的角平分线 2.三角形的中线 3.三角形的高线 4.例题 教后反思 这节课着重讲了三角形的角平分线、中线和高，在理解上述定义时，必须注意到两点：一是三条都是线段；二是钝角三角形与直角三角形的高的画法。 但是它们的文字语言、图形语言、符号语言的相互转化讲解较少，可能会导致学生用在几何中应用时不熟练，应加强三种语言的相互转化的对应练习。 学科网（北京）股份有限公司 $$