10.2 三角形的内角和外角-【初中学霸创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(冀教版2024)

10. 2 三角形的内角和外角 第1课时 三角形的内角和 课题 三角形的内角和 课型 新授课 教学内容 教材129-131页的内容 教学目标 1.掌握三角形内角和定理的证明并灵活应用。 2.体会多角度求证的思路，体验辅助线在证明中的作用。 教学重难点 教学重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180°. 教学难点：会运用三角形内角和定理进行计算. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°. 小学时，我们是通过度量和剪拼的方法证明这个结论的，在学习了平行线之后，还有其他的证明办法吗？ 2.推理探究，学习新知 【问题1】如图所示，在小学,我们通过剪拼发现了三角形的三个内角和等于 180°.从这种剪拼过程中,你能得到什么启示?其中哪两条直线是平行的? 【追问】 你能用哪些方法说明图中的相关两条直线是平行的？ 【师生活动】学生回忆平行线的相关知识，分组交流讨论，得出结论。 【追问】如图所示,已知△ABC。延长 BC 到点 D,过点 C 作直线 CE∥AB,得到∠4 和∠5。∠4 和∠5 与三角形的内角有什么关系? 【师生活动】教师引导学生思考∠4 与∠1，∠5与∠2的关系，∠3、∠4和∠5与三角形内角和的关系。学生根据提示思考，得出结论。 【追问】根据上面的图形及辅助线，完成∠A+∠B+ ∠ACB=180°的说理过程。 【师生活动】学生自主完成说理过程，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。可以让同学上台展示说理过程，最后老师给出总结。 【总结】三角形内角和定理：三角形的内角和等于 180°。 【追问】你还可以怎么做辅助线证明三角形的内角和定理。 【师生活动】学生相互交流讨论，做辅助线的方法，教师可以让同学回答几种做辅助线的方法，最后让学生独立完成。教师巡视，帮助有困难的同学。最后总结， 【总结】几种做辅助线的方法； 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是作平行线，借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 3.学以致用，应用新知 考点 三角形的内角和定理 【例1】 如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数． 答案：∠EDF＝50°，∠DBC＝100°. 【例2】在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 答案： ∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°. 【方法总结】几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想. 4.随堂训练，巩固新知 1.课本P130练习 2.备用练习 （1）求出下列各图中的x值． 答案：30,50 （2）如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . （3）如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 答案：42° （4）如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 答案：40° 5.课堂小结，自我完善 这节课你有什么收获？还有存在什么疑问？ 6.布置作业 课本P131习题A组、习题B组。 通过旧知引出课题。 展示说理过程，既通过说理证明了三角形的内角和定理，又为下面学生自己作辅助线完成证明过程做了铺垫。 ： 通过课堂练习，加深学生对三角形内角和定理的应用。 板书设计 10.2 三角形的内角和外角 第1课时 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理 2，三角形的内角和定理的证明 3.例题 教后反思 以往学生接触的三角形内角和知识是建立在直接观察基础上的,本课时是通过说理方式得到的，而且鼓励学生通过多种方式探索出三角形内角和定理。但是例题的难度较小，应该增加例题，多展示学生可能用到的说明方法。 第2课时 三角形的外角 课题 三角形的外角 课型 新授课 教学内容 教材第132-135页的内容 教学目标 1.了解三角形外角的概念，能在图形中找出外角。 2.掌握三角形外角与内角的关系。 3.能按角对三角形分类，渗透分类思想。 4.会利用三角形的外角性质解决问题. 教学重难点 教学重点：掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 教学难点：能够在能够复杂图形中找出外角，且会利用三角形的外角性质解决问题. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 下面图形中，哪些角是三角形的内角？哪些不是？这些角是如何组成的呢？ 图1 图2 【师生活动】学生观察、思考，分组交流讨论。教师组织学生积极发言，班内相互交流讨论结果。 学生成果：△ABC内的角是三角形的内角，如∠A、∠B、 ∠ACB这几个角是内角。 ∠ACD、∠BCD不是三角形的内角，这些角的顶点是三角形的顶点，一条边是三角形的边，另一条边是三角形边的反向延长线。 2.推理探究，学习新知 【问题1】像上图中的∠ACD、∠BCD，是三角形的外角。你能根据它们的组成，描述一下外角的定义吗？ 【师生活动】学生分组交流讨论，组内尝试概括三角形外角的定义。教师点名请几名同学回答，并点评，最后给出定义。 【定义】三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 【练习】画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 答案：共有6个。 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 【问题 2】观察上图1，∠ACD与∠ACB有什么关系？ 【师生活动】学生独立思考，并发言。 学生成果：互补，∠ACD+∠ACB=180°. 【追问】结合上述问题答案，及三角形的内角和定理，你能发现∠ACD与∠A+∠B有什么关系吗？尝试给出说理过程。 【师生活动】学生分组交流讨论，在练习册上完成说理过程。教师请同学上台展示，并点评、追问。 学生成果： 证明：∵∠ACD+∠ACB = 180°，(补角的定义） 又∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，(三角形的内角和定理） ∴∠ACD =∠A +∠B. 【追问】那通过上述说理过程，你能说出∠ACD与∠A（或 ∠B）的大小关系吗？ 【师生活动】学生分组交流讨论，教师请同学回答，最后总结三角形外角的性质。 【总结】根据问题2中的相关探讨，我们会发现： 三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 【问题3】一个三角形最多有几个直角？几个钝角？能不能三个角全部是锐角呢？ 【师生活动】教师指导学生利用假设法进行验证，如果一个三角形含有2个直角，或者含有2个钝角，会出现什么情况？让学生思考得到结论。 学生成果：一个三角形最多只能有一个直角，最多只能有一个钝角，因为如果含有的直角或者钝角的数量等于2或3时，内角和大于180°，与定理矛盾。 一个三角形最多可以有3个锐角。 【追问】当一个角含有一个直角、钝角时，你能画出来吗？如果三个角全部是锐角时，又是怎样的三角形呢？ 【师生活动】让学生尝试画一画，就能分辨出三类三角形在形状上的不同之处。 【追问】从内角的标准上来分类，三角形能分成哪几类呢？ 【师生活动】学生思考，交流回答。教师给出相关定义。 学生成果：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 【总结】三个内角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。 有一个内角是直角的三角形叫作直角三角形。 有一个内角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 【总结】三角形的分类： ①按内角大小分，三角形可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ②按是否有边相等分，三角形可分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形包括等边三角形和底和腰不相等的等腰三角形。 3.学以致用，应用新知 考点 三角形外角性质的应用 【例1】课本P106页例2 如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°，求： (1) ∠B的度数；(2) ∠BFD的度数； 答案：（1）65°（2）109° 【例2】如图，P为△ABC内一点， ∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 【分析】延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． 答案：100° 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. 【分析】添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. ①连接AD并延长于点E.②延长BD交AC于点E. ③连接延长CD交AB于点F. 答案：101° 【总结】解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 4.随堂训练，巩固新知 1.课本P133-134页练习 2.备用练习 （1）如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（　B　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 （2）已知，如图，△ABC中，∠B=∠DAC， 则∠BAC和∠ADC的关系是（　B　） A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC=∠ADC C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定 （3）如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ A ） A.26° B.63° C.37° D.60° （4）如图所示,已知 AB∥DE， ∠ABC=70°,∠CDE=140°，则∠BCD 的度数为 30° . （5）我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示,∠A=28°,∠ABC=64°,∠BCD=46°,∠D=12°,试求椅面 AE 和椅背 DE 的夹角∠AED 的度数。 答案：110° 5.课堂小结，自我完善 这节课你有什么收获？还有什么疑惑？ 6.布置作业 课本P134-135习题A、B、C组。 通过观察图形，分析角的各部位的特点，很容易让学生感受到外角的特征 让学生自己总结定义，锻炼学生的总结概括能力。 通过小练习加深对三角形外角的认识。 通过推理探究，让学生用证明的方法去说明,培养学生的推理论证能力，更严谨地说明三角形外角的性质，使学生对三角形外角的认识更深刻。 利用反证法的思想来得到正确结论，培养学生的观察能力和推理能力。 培养学生的动手能力，同时增强学生的操作技能，让学生参与到知识的生成过程中，提高学生的核心素养。 通过例题讲解与练习，让学生对三角形外角的应用有一定的认识，加深对外角性质的理解。 板书设计 10.2三角形的内角和外角 第2课时 三角形的外角 1.三角形外角的定义 2.三角形外角的性质 3.三角形的分类 教后反思 在三角形内角和的基础上探索三角形外角的性质关系，知识难度较小，采取了学生自主完成、教师总结的策略.通过例题讲解,重点培养了学生说理的严密性和科学性。但是在教学中没有关注基础知识薄弱的学生，可能会在自主探究的过程中跟不上节奏。 学科网（北京）股份有限公司 $$