8.5 乘法公式-【初中学霸创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(冀教版2024)

8.5 乘法公式 第1课时 平方差公式 课题 平方差公式 课型 新授课 教学内容 教材第93-96页的内容 教学目标 1．会推导平方差公式，理解平方差公式的几何意义． 2．掌握平方差公式，能用平方差公式进行相关运算． 3．经历探究平方差公式的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法辩证思想． 4．掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的思想方法 教学重难点 教学重点：平方差公式的结构特征，熟练平方差公式进行简单计算． 教学难点：平方差公式的运用， 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【问题1】多项式与多项式是如何相乘的？ 【问题2】沿着边长为a的正方形下边裁去宽为5米的长方形，将剩下的长方形的宽增加5米，面积变了吗？ 【师生活动】学生复习回顾，讨论交流、总结发言，教师补充，提出问题，引出新课． 2.归纳探究，学习新知 【问题3】 计算: (1)(x＋1)(x－1)= . (2) (a＋2)(a－2)= . (3) (2x＋1)(2x－1)= . (4) (a＋b)(a－b)= . 【师生活动】学生在练习册上解答，教师请同学口述答案。 【追问】①上面四个式子中，两个乘式之间有什么特点？ ②乘积合并同类项后是几项式？这个多项式有什么特点？ 【师生活动】学生：分组交流讨论，然后组内得出结论． 教师：请小组代表发言，并点评，最后总结. 学生成果：每个算式都是两个数的和与这两个数的差相乘，运算结果是二项式，是这两个数的平方的差. 【总结】平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 符号表示：（a+b）（a-b）=a2-b2． 【问题4】如图，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分剪拼成一个长方形. (1)两个图形(着色部分)的面积之间有什么关系？ (2)请你结合图形对平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2进行解释. 【师生活动】学生分组交流讨论，教师巡视观察，及时帮助有困难的学生，引导学生对公式进行如何解释。 学生成果：（1）相等 . （2）图1：面积：a2－b2， 图2：长:(a＋b)，宽:(a－b) ，面积：(a＋b)(a－b)， 所以a2－b2=(a＋b)(a－b). 【问题5】大家现在完成课本P94“做一做” 【师生活动】学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，有问题及时纠正． 【追问】判断式子(5a﹣7b)(﹣5a﹣7b)能否用平方差公式进行计算？如果能，请计算出结果. 【师生活动】先让学生自主思考，观察学生完成情况，然后进行适当地引导，如以（a+b）（a-b）为例（如下），说明特点，然后再让学生完成题目。 【追问】我们应如何判断两个多项式相乘能否用平方差公式进行计算？尝试总结一下。 【师生活动】学生分组交流讨论，组内总结。教师让组内代表发言，并点评，最后总结。 【总结】 判断两个多项式相乘能否用平方差公式进行计算的方法： （1）判断时要把两个多项式中每项前的符号都看成性质符号，如果两个多项式中既有相同的项，又有互为相反的项，则一定能用平方差公式进行计算.这时要把相同的项写在每个多项式的第一项，互为相反的项写在第二项，这样就写成了(a＋b)(a－b)的形式. （2）利用平方差公式计算时，每个多项式中两项之间的符号看成运算符号，首项前如果有符号则看成性质符号 【练习】 练一练：判断下列各题哪些能用平方差公式进行计算？ (1) (3x－2y)(3y＋2x)， (2)(3a＋4b)(4b－3a)， (3) (－a2 － b2)(－a2 ＋b2)， (4) (2m－3n)(－2m－3n)， (5) (a－b)( －b－a)， (6) (x＋2y)(－2y＋x)， (7) (－3a3＋4b2)(－4b2－3a3)， (8) (a－2b)(2b－a). 【师生活动】学生思考、判断并发言，教师及时纠正． 3.学以致用，应用新知 考点1 平方差公式 【例1】课本P94页例1 计算： (1)(2x＋y)(2x－y)；(2)(x＋5y)(x－5y)； (3)(－5a＋3b)(－5a－3b). 【师生活动】前两题教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．第三题计算时把-5a看成一个数，把3b看成另一个数，直接写出(-5a)2-（3b）2后得出结果. 【总结】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 考点2 平方差公式的应用 【例2】计算与化简。 （1）51×49；（2）（a+b+c）(a+b-c）. 答案： (1) 原式=（50＋1）(50－1)= 502-12=2499； （2）（a+b+c）(a+b-c）=（a+b）²-c²=a²+2ab+b²-c². 【例3】对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 解：原式＝9n²－1－(9－n²)＝10n²－10. ∵(10n²－10)÷10=n²-1.n为正整数，∴n²-1为整数 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数． 【方法总结】对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 4.随堂训练，巩固新知 1.课本P95练习 2.备用练习 （1）计算(2x＋3)(2x－3)的值是( A ) A.4x2－9 B.4x2－3 C.2x2－9 D.2x2－3 （2）已知a=7202，b=719×721，则( B ) A.a=b B.a＞b C.a＜b D.a≤b (3)已知(－3a＋m)(4b＋n)=16b2－9a2，则m，n的值分别为( C ) A.m=－4b，n=3a B.m=4b，n=－3a C.m=4b，n=3a D.m=3a，n=4b (4)化简(2+1）(22+1)（2 4+1)(28+1)的结果是2 16-1. (5)运用平方差公式计算： ①(m＋1)(m－1)(m2＋1)； ②503×497; ③ (x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4). 答案：①m4－1②249991③x8－y8 6.某公园原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少 2 m，将宽增加2 m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积. 解：设改造后正方形绿地的边长为x m， 则改造前的长是(x＋2) m,宽是(x－2) m. 根据题意，有2(x＋2)(x－2)=x2， 即2(x2－4)=x2, 可得x2=8. 答：改造后正方形绿地的面积为8 m2. 5.课堂小结，自我完善 （1）什么是平方差公式？ （2）平方差公式如何运用？ 6.布置作业 课本P95-96习题A组、B组。 问题1从复习多项式与多项式的乘法，为学习新知识做准备；问题2考虑几何图形的拼接前后的面积，引出本节课将要学习的内容，直观形象，激发学生学习兴趣． 通过计算，观察，概括，归纳总结知识要点，让学生体会从一般到特殊的数学思想. 图形验证平方差公式，观察图形的剪拼过程，然后再对公式进行解释，加深对公式的理解，使学生感悟到数形结合的思想方法. 填写表格，使学生加深对公式的理解。 体会平方差公式中a，b的含义，准确地找出因式中哪个式子是a，哪个式子是b. 巩固平方差公式中a,b的含义． 通过例题，巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 通过随堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的理解. 通过小结，使学生梳理本节所学内容，充分发挥学生的主体意识，培养学生的语言概括能力，发散思维能力． 板书设计 8.5 乘法公式 第1课时 平方差公式 1.平方差公式 2.平方差公式的几何意义 3.判断能否用平方差公式计算的方法 4.例题 教后反思 本节课从多项式相乘入手，首先通过直观观察总结出平方差公式，随后通过特殊几何图形的面积，帮助学生深化对平方差公式的理解. 在教学设计时提供充分探索与交流的空间,使学生进一步经历观察、猜测、推理、交流、反思等活动，让学生学会一些探究的基本方法与思路,在探究中经历知识产生发展的过程，体会“做数学”的乐趣。 但是学生知识掌握存在差异，应该及时帮助有困难的学生，让他们能够解答问题，而不是一直没有思路，导致学习兴趣不高。 第2课时 完全平方公式 课题 完全平方公式 课型 新授课 教学内容 教材第96-99页的内容 教学目标 1．熟记完全平方公式，并能说出它的几何背景. 2．会运用公式进行简单的乘法运算. 3．经历对完全平方公式的探索和推导，进一步发展符号（字母）的识别运用能力和推理能力. 教学重难点 教学重点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算. 教学难点：掌握完全平方公式的结构特征，理解字母表示的广泛含义． 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入课题 我们前面学习了乘方和多项式与多项式相乘的法则，能不能将(a+b）²转化为我们学过的知识去解决呢？ 【师生活动】学生相互交流讨论，然后在练习册上作答，教师巡视指导，及时帮助学生。 2.类比探究，学习新知 【问题1】计算下列各多项式的积，试着发现它们的运算规律. (1)(p＋1)2=(p＋1)(p＋1)= (2) (p－1)2=(p－1)(p－1)= . (3)(m＋2)2=(m＋2)(m＋2)= . (4) (m－2)2=(m－2)(m－2)= . 【师生活动】学生先在练习册上自主完成4个小题，然后分组讨论，探究规律．教师引导学生发现（1）结果中的 2p=2·p·1，(1)与(2)比较只有一次项有符号之差。教师还要引导学生从式子的结构特点去思考规律。学生根据提示逐步思考，相互交流，最后展示部分学生成果. 学生成果：结构特征:①左边是两个相同二项式相乘,即一个二项式的平方---两个数和（或差)的平方；②右边是一个三项式,其中两项是左边的二项式的项的平方和，第三项是左边两项的积的 2 倍. 教师根据学生的回答，进行点评，总结. 【总结】完全平方公式：两数和（或差)的平方等于这两数的平方和再加(或减）它们的积的 2 倍。 符号表示：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2；(a－b)2=a2－2ab＋b2. 公式特征：①积为二次三项式； ②积中两项为两数的平方和； ③另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同； ④公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 【问题2】你能根据图1、2中图形的面积不同的表示方法说明完全平方公式吗？（可以类比平方差公式的几何意义） 图1 图2 【师生活动】学生分组交流讨论，并尝试证明。教师可以引导学生对公式进行解释，并展示： 图1中，大正方形面积可以表示为(a＋b)2 ，也可以表示为 2ab＋a2＋b2，所以(a＋b)2 =2ab＋a2＋b2. 图2中，中等的正方形面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为a2－2b(a－b)－b2=a2－2ab＋b2，所以(a－b)2=a2－2ab＋b2. 【问题3】大家现在完成课本P97“做一做” 【师生活动】学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，有问题及时纠正． 【方法归纳】完全平方公式计算口诀： 首尾先平方，两倍乘积放中央。 3.学以致用，应用新知 考点1 完全平方公式 【例1】课本P97页例2 计算： (1)(x＋3y)2； (2) ； (3)(－4a－3b)2. 考点2 完全平方公式的应用 【例2】运用完全平方公式计算： (1) 102²；(2) 99². 答案：（1）10404；（2）9801 【方法总结】运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 【例3】已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x²＋y²的值； (2)(x+y)²的值. 答案：（1）20；（2）4 【方法总结】本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x²＋y²＝(x－y)²＋2xy＝(x+y)²－2xy, (x－y)²＝(x+y)²－4xy. 4.随堂训练，巩固新知 1.课本P98页练习 2.备用练习 （1）计算(2x－1)(1－2x)结果正确的是( C ) A.4x2－1 B.1－4x2 C.－4x2＋4x－1 D.4x2－4x＋1 （2）若(y＋a)2=y2－6y＋b，则a,b的值分别为( D ) A.a=3,b=9 B.a=－3,b=－9 C.a=3,b=－9 D.a=－3,b=9 （3）将 x ²+6x+3 配方成(x+m）²+n 的形式,则 m= 3 . （4）计算： ①(3a＋b－2)(3a－b＋2)； ②(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)． 答案：①9a²－b²＋4b－4； ②x²－2xy＋y²－m²＋2mn－n². （5）若a+b=5,ab=-6, 求a²+b²,a²-ab+b². 答案：37,43 （6）已知x+y=8,x-y=4,求xy. 答案：12 5.课堂小结，自我完善 你这节课学到了什么？有什么收获？ 6.布置作业 课本P98-99习题A组、B组、C组。 复习旧知，为新知识的学习做准备。 4 道小题是对前边进行的运算的讨论,目的是让学生通过观察、归纳,鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征,便于进一步应用公式计算,同时让学生体会从一般到特殊的数学思想. . 用图形验证完全平方公式，观察图形的剪拼过程，然后再对公式进行解释，加深对公式的理解，使学生感悟到数形结合的思想方法. 体会公式中a，b的含义，对公式中a,b的意义进一步理解，体现从一般到特殊的思想. 通过例题，巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 通过随堂练习，巩固所学知识，并且能够让学生对完全平方式的灵活运用有一定的理解。 板书设计 8.5 乘法公式 第2课时 完全平方公式 1.完全平方公式 2.完全平方公式的几何意义 3.例题 教后反思 在教学过程中,教师以学生自主探索为主,通过复习提问导入新课,让学生通过观察、类 比总结出完全平方公式,并且通过图形面积的关系推导出两数的完全平方公式。整个过程， 关注学生对公式的理解，关注学生运算的合理性，关注学生对符合完全平方式计算的多项式乘法观察的敏锐性，熟练运用完全平方公式进行简单的计算。通过对例题的教学,提高学 生对公式的理解。但是对公式中乘积项以及如何选择完全平方公式强调不够，容易造成学生在练习中不会运用完全平方公式或者用错。 学科网（北京）股份有限公司 $$