8.2 幂的乘方与积的乘方-【初中学霸创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(冀教版2024)

8.2 幂的乘方与积的乘方 第1课时 幂的乘方 课题 幂的乘方 课型 新授课 教学内容 教材第77-79页的内容 教学目标 1．经历幂的乘方运算性质的获得过程，在计算、归纳和概括的活动中，发展学生归纳推理的能力. 2．掌握幂的乘方的运算性质，能进行幂的乘方的有关计算，提高学生的运算能力. 3．感受数学公式的结构美、和谐美. 教学重难点 教学重点：准确掌握幂的乘方运算性质及其应用。 教学难点：会用或逆用幂的乘方的运算性质进行有关计算。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 。木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和10²倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？ 学生回答，教师点评、追问。 教师：如何计算(102)3 呢？我们这节课就来解决这个问题。 2.归纳总结，学习新知 【问题1】依据同底数幂乘法的性质，210×210×210= . 根据乘方的意义，210×210×210可以表示为 . 由此，能得到什么结论？ 学生解答题目，并发言回答。 学生成果：依据同底数幂乘法的性质，210×210×210=210+10+10=230， 根据乘方的意义，210×210×210=(210)3， 结论：230=(210)3. 【追问】根据上面的结论，完成下面的小题。 （102）3= × × =10（ ）， （a3）4= × × × =a（ ） 学生解答。 【追问】观察上面各式中幂指数之间的关系,猜想:若m，n为正整数，则（am）n= . 你能说明理由吗？ 学生分组交流讨论，然后提出猜想并到前面讲明理由，边分析边板书。 学生成果： 。 教师总结，给出幂的乘方的运算性质。 【总结】幂的乘方的性质： 字母表示：（m，n是正整数）. 文字表述：幂的乘方,底数不变，指数相乘 3.学以致用，应用新知 考点 1 幂的乘方的运算 【例1】（1）；（2）；（3） （4）-（x4）3；（5）[(x+y)2]3；（6）[(﹣x)4]3. 答案：；；；；；。 考点 2 幂的乘方的性质的逆用 【例2】已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值. (1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n． 解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27； (2)102n＝(10n)2＝22＝4； (3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108. 【例4】比较3500,4400,5300的大小. 解:3500=(35)100=243100, 4400=(44)100=256100, 5300=(53)100=125100. ∵256100>243100>125100, ∴4400>3500>5300. 考点 3 与幂的乘方有关的混合运算 【例3】(1) (x4)3·x6; (2) a2(－a)2(－a2)3＋a10. 解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18； (2) a2(－a)2(－a2)3＋a10 = -a2·a2·a6＋a10 = -a10＋a10 = 0. 4.随堂训练，巩固新知 1.课本P78练习。 2.备用练习 1. 判断下面计算是否正确？如果不对，怎样改正？ （1） (x3)3 = x6 ； （2）(104)3= 107 ； （3）a6 · a4 = a24 ； （4）(x2)3 ·(-x)2 = -x8 答案：（1）×，x9（2）×，1012 （3）×，a10 （4）×，x8 2. 填空： （1）(104)3= ；（2）(a3)3= ； （3）-(x3)6= ；（4）(x2)3 ·(-x)3= . 答案：1012；a9；x18；- x9 3.计算(－x5)4+(－x4)5的结果是( A ) A.0 B.2x20 C.－2x20 D.x40 4.若3×9m×27m=321,则m的值为( B ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.计算：[(a＋b)3]4＋[－(a＋b)2]6. 解：[(a＋b)3]4＋[－(a＋b)2]6＝(a＋b)12－(a＋b)12＝0. 6.(1)已知ax=2,ay=3，求a2x+2y的值； (2)若42a+1=64,解关于x的方程2ax+3=5. 解：(1)∵ax=2,ay=3,∴ax·ay=2×3, ∴ax+y=6,a2x+2y=62=36. (2)∵42a+1=64,∴42a+1=43,∴2a+1=3,∴a=1, ∴2ax+3=5化为2x+3=5,解得x=1. 5.课堂小结，自我完善 这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？ 6.布置作业 课本P78习题A组第1、3题，P79习题B组第4、5题。 通过创设情景，提出问题，引出新课. 让学生进一步巩固幂的意义及同底数幂的乘法法则。 让学生亲身经历新知识的形成过程，可以知其所以然，掌握牢固，同时培养了学生的观察分析、概括总结的能力。学习上也有成就感，也活跃了课堂气氛。 运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式． 此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可. 与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项． 通过课堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解. 总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解，培养学生的数学意识． 板书设计 8.2幂的乘方与积的乘方 第1课时 幂的乘方 一、幂的乘方法则 =___________（m，n都是正整数） 学生板演 字母表示：．（，都是正整数） 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 二、例题 三、练习 教后反思 学生在探索练习的指引下，自主完成有关的练习，并在练习中发现幂的乘方的法则，从猜测到探索到理解法则的实际意义,从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点，如底数、指数发生了怎样的变化,并运用自己的语言进行描 述，然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义。 对于逆用幂的乘方法则,学生的理解有一定困难,需要老师进一步指导.课时教学中只是 纯计算类习题,没有补充实际应用类的计算问题。 第2课时 积的乘方 课题 积的乘方 课型 新授课 教学内容 教材第79-81页的内容 教学目标 1．经历积的乘方运算性质的获得过程，在计算、归纳和概括的活动中，发展学生归纳推理的能力. 2．掌握积的乘方的运算性质，能进行积的乘方的有关计算，提高学生的运算能力. 教学重难点 教学重点：准确掌握积的乘方运算性质及其应用。 教学难点：会用或逆用积的乘方的运算性质进行有关计算。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 你知道地球的体积大约是多少吗？（球的体积计算公式：） 【师生活动】学生列出式子：。 教师追问。 【追问】 它是幂的乘方吗？ 有怎样的结构特征？ 这节课我们就来学习如何解决这个问题。 2.归纳总结，学习新知 【知识回顾】 1.计算: （1） 10×10²× 10³ =______ ； （2） (x5 )²=_________. 2.（1）同底数幂的乘法：am·an= ( m，n都是正整数). （2）幂的乘方：(am)n= (m,n都是正整数）. 学生回答。 【问题】观察下面的运算过程，指出每步运算的依据. (3×7)2 =(3×7)·(3×7) ( ) =(3×3)·(7×7) ( ) =32×72 ( ) 学生回答，教师追问。 答案：乘方的意义，乘法交换律和结合律，同底数幂的乘法 【追问】按照上面的方法，完成下面的小题： (ab)2;(ab)3 . 学生在练习册上解答，并发言阐述。 【追问】你有什么发现？ 学生回答，教师板书。 结论：(ab)2=a2b2，(ab)3 =a3b3. 【追问】通过这些算式，猜想：(ab)n = (n是正整数）. 【追问】你能根据幂的意义和乘法的有关运算律进行验证吗？ 学生分组交流讨论，并发言板演。 教师点评、总结。 【总结】积的乘方的性质; 字母表示：(ab)n =anbn(n是正整数). 文字叙述：积的乘方,等于各因式乘方的积。 【追问】对三个或三个以上因式积的乘方，积的乘方的性质是否也成立? 说出你的猜想，并以 (abc)n 为例来验证你的猜想。 学生分组交流讨论，并自主完成解答过程，请同学板演。 学生板演： 教师点评，总结。 【总结】 （ 是正整数） 3.学以致用，应用新知 考点1 积的乘方的性质及混合运算 【例1】计算：(1)(2a)³； (2) (-5b)³ ； (3)(xy²)² ；(4) (-2x³)4. 答案：（1）8a³；（2）-125b³；（3）x²y4；（4）16x². 【例2】计算：(1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3； (2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3. 答案：（1）32x9y6;（2）0. 考点2 积的乘方的性质的逆用 【例3】(1) 23×53； (2) 28×58； (3) (-5)16 × (-2)15；(4) 24 × 44 ×(-0.125)4. 解：(1) 23×53 = (2×5)3 = 103； (2) 28×58= (2×5)8 = 108 ； (3) (-5)16 × (-2)15= (-5)×[(-5)×(-2)]15= -5×1015 ； (4) 24 × 44 ×(-0.125)4 = [2×4×(-0.125)]4= 14= 1 . 4.随堂训练，巩固新知 1.课本P81页练习 2.（1）计算(－3x)2的结果是( C ) A.6x2 B.－6x2 C.9x2 D.－9x2 2.计算(a2b)3的结果是( A ) A.a6b3 B.a2b3 C.a5b3 D.a6b 3. 计算： (1) 82020×0.1252019= ________; (2) (0.04)2019×[(－5)2019]2=________; (3)(－2x3)3·(x2)2 (－xy)5=________; (4) (5ab2)3 =________; 答案：8；1；8x18y5；125a3b6 4.计算: (1) 12(x3)2·x3－(4x3)3＋(3x)2·x7; 解：12(x3)2·x3－(4x3)3＋(3x)2·x7 =12x6·x3－64x9＋9x2·x7 = 12x9－64x9＋9x9 =－43x9; (2)(3xy2)2＋(－4xy3) · (－xy) ; 解：(3xy2)2＋(－4xy3) · (－xy) =9x2y4 ＋4x2y4 =13x2y4; 5.如果(an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值. 解：∵(an•bm•b)3=a9b15,∴ (an)3•(bm)3•b3=a9b15, ∴ a 3n •b 3m•b3=a9b15 ,∴ a 3n •b 3m＋3=a9b15, ∴ 3n=9 ,3m＋3=15. ∴n=3,m=4. 5.课堂小结，自我完善 这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？ 6.布置作业 课本P81习题A组、 B组、C组。 通过创设情景，提出问题，引出新课. 复习回顾旧知识，为学新知识打下铺垫. 通过从特殊到一般的计算，归纳和概括，得出猜想. 类比两个积的乘方的性质，延伸拓展三个或三个以上的积的乘方性质. 运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方． 涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项． 逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算． 通过课堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解. 总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解，培养学生的数学意识． 板书设计 第2课时 积的乘方 一、积的乘方的性质 字母表示：(ab)n =anbn(n是正整数). 文字叙述：积的乘方,等于各因式乘方的积。 二、积的乘方的性质的拓展 （ 是正整数） 三、积的乘方的性质的逆用 anbn=(ab)n (n是正整数). 教后反思 课堂上注重了新旧知识的联系与类比,让学生类比“同底数幂的乘法”和“幂的乘方”的运算性质的推导方法，让学生经历“特殊——一般-—特殊”的认知规律，推出积的乘方的运算性质，再次体验数学的转化思想。但是积的乘方的性质的逆用，学生在运用中有一定困难,需要老师进一步指导.课时教学中只是纯计算类习题,没有补充实际应用类的计算问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$