7.2 相交线-【初中学霸创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(冀教版2024)

7.2 相交线 第1课时 对顶角和三线八角 课题 对顶角和垂线 课型 新授课 教学内容 教材第38-42页的内容 教学目标 1.知道同一平面内两条直线的位置关系． 2．知道对顶角的特点，理解“对顶角相等”． 3.了解垂直概念掌握垂线的性质。 4.能利用垂直的概念和性质进行简单的推理和计算。 5.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 教学重难点 教学重点：1.对顶角的性质； 2.两条直线互相垂直的概念、性质和画法 教学难点：两条直线互相垂直的性质和画法 教 学 过 程 备 注 1. 创设情境，引入课题 教师展示两幅图片： 让学生观察回答，在图片中观察到的相交和不相交的直线。 【师生活动】学生回答，老师点评引入新课。 2.观察探究，学习新知 [过渡语］ 在同一个平面内,两条直线的位置关系只有相交或不相交。在本节中，我们将研究两条直线相交构成的角及与其相关的一些问题。 1.【师生活动】教师：请同学们用两支铅笔做实验，看一看同一平面上的两条直线有几种位置关系．请把不同的位置关系画在练习本上． 学生活动：学生画图，并思考，并让部分同学展示画的图。 教师：老师点评，并画出两种不同的图，进行总结。 【总结】在同一平面内的两条直线，有两种位置关系： （1）两条直线有一个公共点——相交； （2）两条直线没有公共点——平行． 2.[过渡语］现在我们学习相交线。 【师生活动】教师：教师展示图片，并提出问题。 图1 （1）两条直线相交形成了几个角？ 学生回答，老师追问。 （2）∠1和∠2有什么关系？ 学生活动：学生回答，教师点评、总结。 学生可能仅是从补角的角度回答，老师可以给出提示：从位置关系考虑，如：顶点、边。学生再观察回答。 【总结】∠1和∠2：具有公共顶点，一边互为反向延长线，另一边重合，我们把具有这种特殊位置关系的两个角叫作邻补角。 （3）∠1和∠3有什么位置特征？类比邻补角的位置关系回答。 学生活动：学生观察后回答，教师点评、总结。 【总结】∠1和∠3具有公共顶点，并且两边互为反向延长线，我们把具有这种特殊位置关系的两个角叫作对顶角。 （4）图1还有别的对顶角吗？ 学生活动：学生回答，教师点评。 3.【师生活动】教师：请你比较图1中∠1和∠3的大小．你发现什么结论？能利用测量或拼叠的方法验证结论吗？ 学生活动：学生通过以下方法验证①用量角器测量；②把∠1 与∠3 剪下来,看看能不能完全重合；③把∠1 与∠3 对折在一起,看看两个角能不能完全重合。最后给出结论。 教师点评，并追问。 【追问】上节课已经学过说理了，那你能从“同角的补角相等”这一事实出发，用说理的方法来验证你的结论吗？ 学生活动：学生交流、讨论，并再练习本上解答，并有同学上台展示成果。 学生成果：如图所示,已知∠1 与∠3 是对顶角，那么∠1=∠3。 理由：因为∠1 与∠2 互补,∠2 与∠3 互补， 所以∠1=∠3(同角的补角相等）. 教师：老师点评，并总结。 【总结】 定理:对顶角相等。 4.【师生活动】教师：教师在课件上演示两木条旋转过程（两木条在点O处固定）。将木条AB固定，木条CD绕点O按逆时针方向转动。 观察木棒的运动过程中，∠BOD是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,AB、CD所成的四个角有什么特殊关系? 学生活动：学生相互交流、讨论，并回答。 学生成果：当CD的位置变化时,∠BOD从锐角变为钝角,其中∠BOD是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠BOD是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即AB、CD所成的四个角都是直角,都相等. 【追问】 这时木条 AB与 CD有何位置关系呢? 学生活动 ：学生根据小学已学的知识可以知道，此时木条 AB与 CD 互相垂直。 教师：教师点评、总结，给出相关定义。 【总结】垂直的相关定义： 当∠BOD=90°时,称直线 AB 和 CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”。AB 是CD 的垂线,CD 也是 AB 的垂线.它们的交点 O 叫做垂足。 垂直的几何语言表达： 如上图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O. 符号语言： ①判定：因为∠AOD=90°（已知）， 所以AB⊥CD（垂直的定义）。 ②性质：因为 AB⊥CD （已知） ， 所以 ∠AOD=90° （垂直的定义）。 (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) 5.【师生活动】教师：让学生在练习本上画①直线 AB 及 AB 上一点 C；②过直线 AB 及AB外一点 D。利用三角尺完成以下作图： （1）画出经过点 C的直线 AB 的垂线； （2）画经过点 D 的直线 AB 的垂线。 学生活动：学生根据老师的描述画出直线和点，并作垂线。 【追问】经过直线上或直线外的一点画该直线的垂线，可以画几条？ 学生活动：学生根据画图回答。 教师：教师点评、总结。 【总结】基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 6.【师生活动】教师：一起来阅读课本40页“一起探究”题目及问题，大家思考、交流、讨论，并回答。 学生活动：学生思考、交流、讨论，并回答。 学生成果：（1）线段 CD 最短.（2）线段 CE1,CD，CF1 相等. 教师：教师点评，让学生以说理的形式验证“CE1,CD，CF1 相等”，并给出步骤，最后总结CE、CF都比CD大，给出垂线段的性质和点到直线的距离。 【总结】 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。 我们把垂线段 CD 的长度称为点 C 到直线 AB 的距离。 3.学以致用，应用新知 考点1 对顶角 【例1】下列说法正确的有(    ) ①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等． A．1个    B．2个   C．3个  D．4个 答案：B 考点2 垂直 【例1】 (1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则 ； (2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD =______； (3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____,∠BOC的补角为 . 答案：（1）m⊥n （2）90°（3）72°，162° 【例2】 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数． 解：因为∠BOE＝∠NOE， 所以∠BON＝2∠EON＝40°， 所以∠NOC＝180°－∠BON ＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. 因为AO⊥BC， 所以∠AOC＝90°， 所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°， 所以∠NOC＝140°，∠AOM＝50°. 考点3 垂线段最短 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. 4.随堂训练，巩固新知 1.课本P40页 “练习 1-3”。 2.（1）如图所示，AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是______，∠1的对顶角___． 答案：∠2和∠4，∠3 （2）如图，两直线相交于点O，∠1=2∠2,求∠2、∠3、∠4． 解：依题意知， ∠1=∠4（对顶角相等） ， ∠2=∠3， 所以 ∠1+∠3=∠2+∠4=180°. 因为 ∠1=2∠2， 所以 2∠2+∠2=180°，∠2=60° 所以 ∠3=60°, ∠4=120°. 3.（1）两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能 判定两条直线垂直的是( ) A. 有两个角相等 B.有两对角相等 C. 有三个角相等 D.有四对邻补角 答案：C （2）过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ） 答案：C （3） 下列说法正确的是（ ） A.线段AB叫做点B到直线AC的距离 B.线段AB的长度叫作点A到直线AC的距离 C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离 D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离 答案：D 5.课堂小结，自我完善 （1）有公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的角，互为对顶角。 （2）对顶角相等. （3）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. （4）垂线的画法 （5）垂线的性质：①经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。（也可以是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直） ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.简单说成：垂线段最短。 （6）点到直线的距离 6.布置作业 课本P41-42习题A组B组。 通过图片上实物的位置关系感知两条直线的位置关系． 总结出两条直线的位置关系． 给出邻补角的定义，并为学习对顶角做铺垫。 对比邻补角，感知对顶角． 加深对对顶角的认识。 通过对图形中角的位置关系的探究,经历从图形到文字到符号的转化过程,使学生加深对相交概念的理解.积累一些对图形的研究经验和方法. 通过对概念的归纳， 培养学生的总结概括能力，加深学生对概念的理解和掌握.在探究发现的基础上，用科学的方法验证或说明自己的发现,这有利于培养学生的科学思维习惯。 通过模型的展示让学生认识到垂直是相交的一种特殊情形,使学生对垂直首先有一个感性的认识，进而引入相关的概念.同时通过教师对图形的描述，使学生逐步学习用几何语言描述图形. 分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。 给出垂直在应用中的几何语言，规范学生在解答时的步骤。 学生根据小学的知识，可以画出垂线。教师应巡视指导，对画图有困难的学生，及时指导。 在画图中直观感受垂直的性质。 通过观察帮助学生发现图中的线段长短不一，在此基础上根据测量和生活常识,帮助学生认识“垂线段最短”这个基本事实 板书设计 7.2相交线 第1课时 对顶角和垂线 1.同一平面上两条直线的位置关系 ：相交、平行。 2.对顶角：（1）概念 （2）性质 3.垂直：（1）相关定义 （2） 几何语言表达 4.基本事实 5.垂线段最短、点到直线的距离 教后反思 在教学中教师能够结合图形让学生通过观察、猜测、等方法找到两条直线相交所形成的对顶角和特殊位置的垂直关系，很好地掌握了对顶角及其特征,以及垂直相关的内容。但是，要关注同学们在解题过程方面的问题，不要把解题过程写的太乱、繁。更要关注对于说理过程没有头绪的困难学生，帮助他们解决问题。 7.2 相交线 第2课时 垂线及其性质 课题 同位角、内错角、同旁内角 课型 新授课 教学内容 教材第42-45页的内容 教学目标 知道同位角、内错角、同旁内角的特点,并能识别这三类角． 教学重难点 教学重点：识别同位角、内错角、同旁内角． 教学难点：同位角、内错角、同旁内角的位置特征． 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 大家回想一下我们上节课学习的内容，并回答下面的问题： （1）什么叫邻补角？邻补角的性质是什么？ （2）什么叫对顶角？对顶角的性质是什么？ 学生思考，作答，老师点评，并引入课题。 2.观察归纳，学习新知 1.【师生活动】教师展示图片，并提出问题。 图2 如图所示，一条直线c分别与两条直线 a,b 相交（也说直线 a，b 被直线 c 所截),构成八个角. （1）观察∠1 和∠5 的位置关系有什么特点?还有哪对角和它们的关系类似? （2)观察∠3 和∠6 的位置关系有什么特点?还有哪对角和它们的关系类似？ (3)观察∠3 和∠5 的位置关系有什么特点?还有哪对角和它们的关系类似？ 教师给出问题后，可以给出引导性的提示，如可以通过说明在截线和被截线的什么方向来思考。 学生活动：学生通过观察、思考、交流，给出回答。 学生成果：(1)分别在截线的同侧,在被截直线的同一方向. ∠2 和∠6，∠3 和∠7，∠4 和∠8. （2)分别在截线的内部,在被截直线的两侧.∠4 和∠5. （3）分别在截线的同旁,在被截直线的内部 .∠4 和∠6。 教师：老师点评、总结。 【总结】(1)我们把具有∠1 和∠5 这样位置关系的一对角叫做同位角。∠2 和∠6，∠3和∠7,∠4 和∠8 都是同位角. (2) 把具有∠3 和∠6 这样位置关系的一对角叫做内错角. ∠4 和∠5 也是内错角. （3）把具有∠3 和∠5 这样位置关系的一对角叫做同旁内角.∠4 和∠6 也是同旁内角。 3.学以致用，应用新知 考点 三线八角 【例】如图, ∠1和∠2是 角, ∠3和 是内错角, ∠4和∠5是 角． 答案：邻补，∠4，同旁内 4. 随堂训练，巩固新知 1.课本P43练习1、2。 2.如图，判断错误的是（ ） A.∠3和∠6是同旁内角 B.∠2和∠4是同位角 C.∠1和∠6是对顶角 D.∠5和∠3是内错角 答案：A 5.课堂小结，自我完善 同位角、内错角、同旁内角的识别. 6.布置作业 课本P44习题A组1、2，P45习题B组、C组。 回忆旧知识，更好地切入新知。 【强调】 引导学生观察三条线形成的八个角中，不共顶点的两个角之间分别具有某种特定的位置关系时,才定义为同位角、内错角、同旁内角。 【特点】 同位角类似于字母“F”；内错角类似于字母“Z”；同旁内角类似于字母“U”。 通过例题，加深对对顶角以及三线八角的认识，能够识别它们。 板书设计 7.2相交线 第2课时 同位角、内错角、同旁内角 三线八角：同位角、内错角、同旁内角。 教后反思 从观察图形入手，逐步引导学生掌握同位角、内错角、同旁内角的定义和位置特征，在注重引导学生进行探索发现的同时，注重引导学生学会用说理的方式表达自己的观点，为学习证明问题准备一个良好的开端. 在学生探索发现的过程中,对学生的语言表述要求较高,需要从“会意”的角度对学生的见解给予充分的肯定. 学科网（北京）股份有限公司 $$