2024-2025学年苏科版数学八年级下学期第9章中心对称图形——平行四边形（求面积问题）

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 第9章中心对称图形——平行四边形 （求面积问题） （综合练习） 【典型例题】 【例1】正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线相等且互相平分 【例2】如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【例3】若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 【例4】如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中，不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是菱形 【例5】如图，平行四边形中，点E、F分别在上，且，求证：． 【例6】如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，请从①；②∠CDF=∠ABE这2个条件中，选择其中1个作为条件来证明．你选择的条件是： （写序号），并写出证明过程． 【举一反三】 【变式1】菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角线互相垂直 【变式2】关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 【变式3】下列命题正确的是（ ） 矩形的对角线一定垂直 菱形的对角线相等 对角线互相平分的四边形是平行四边形 四个角都相等的四边形是正方形 【变式4】如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需要加的条件是（ ） 【变式5】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形 B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形 【变式6】求证：菱形的一条对角线平分这一组对角． 已知：如图，是菱形的一条对角线． 求证：____________________． 证明： 【巩固练习】 1.在下列性质中，矩形具有而菱形不一定有是 ( ) A. 对角线互相垂直 B. 四个角直角 C. 对角线互相平分 D. 四条边相等 2.下列说法中，正确的是（ ） A. 平行四边形是特殊的矩形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的4条边相等 3.下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 菱形的对角线互相平分 4.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分 5.如图，已知的对角线交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A. 当时，它菱形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 6.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 7.如图，在中，点、分别是、的中点，与交于点，与交于点，下列说法：①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形；③当时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形，其中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 8. 如图，在平行四边形中，E、F是对角线上两个点，．证明：． 9.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC．求证：BE＝CF. 10.如图，在正方形中，点是边上任意一点．请你仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．在边上求作一点，连接，使得，并说明理由． 11.如图，在平行四边形中，，是对角线上两个点，且 （1）求证：； （2）若，，求的度数=______ 12.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD． （1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由； （2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED面积． 答案解析 【典型例题】 【例1】正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线相等且互相平分 【答案】B 【例2】如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【例3】若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 【答案】B 【例4】如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中，不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是菱形 【答案】D 【例5】如图，平行四边形中，点E、F分别在上，且，求证：． 【答案】∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 【例6】如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，请从①；②∠CDF=∠ABE这2个条件中，选择其中1个作为条件来证明．你选择的条件是： （写序号），并写出证明过程． 【答案】选择①，证明如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， 故答案为：①． 【举一反三】 【变式1】菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【变式2】关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 【答案】C 【变式3】下列命题正确的是（ ） 矩形的对角线一定垂直 菱形的对角线相等 对角线互相平分的四边形是平行四边形 四个角都相等的四边形是正方形 【答案】C 【变式4】如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需要加的条件是（ ） 【答案】C 【变式5】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形 B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形 【答案】D 【变式6】求证：菱形的一条对角线平分这一组对角． 已知：如图，是菱形的一条对角线． 求证：____________________． 证明： 【答案】，． 证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． 即平分菱形的一组对角． 【巩固练习】 1.在下列性质中，矩形具有而菱形不一定有是 ( ) A. 对角线互相垂直 B. 四个角直角 C. 对角线互相平分 D. 四条边相等 【答案】B 2.下列说法中，正确的是（ ） A. 平行四边形是特殊的矩形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的4条边相等 【答案】D 3.下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 菱形的对角线互相平分 【答案】D 4.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分 【答案】C 5.如图，已知的对角线交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A. 当时，它菱形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 6.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 7.如图，在中，点、分别是、的中点，与交于点，与交于点，下列说法：①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形；③当时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形，其中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 8. 如图，在平行四边形中，E、F是对角线上两个点，．证明：． 【答案】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 9.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC．求证：BE＝CF. 【答案】证明∵DE∥BC，EF∥AC， ∴四边形CDEF是平行四边形， ∴DE=CF， ∵DE∥BC， ∴∠CBD=∠BDE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE=∠CBD， ∴∠BDE=∠DBE， ∴BE=DE， 故CF=BE. 10.如图，在正方形中，点是边上任意一点．请你仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．在边上求作一点，连接，使得，并说明理由． 【答案】如图，即为求作的线段， 理由：设交于点， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ． 11.如图，在平行四边形中，，是对角线上两个点，且 （1）求证：； （2）若，，求的度数=______ 【答案】（1）∵平行四边形 ∴，， ∴ 在和中 ∴ ∴． （2）解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：100°． 12.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD． （1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由； （2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED面积． 【答案】（1）四边形是菱形． ∵DEAC，CEBD， 四边形是平行四边形， 又在矩形中，， 四边形是菱形． （2）连接．由菱形得：， 又， （在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）， 又， 四边形是平行四边形； ， ． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$