第03讲 图形的旋转（4个知识清单+10类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第03讲 图形的旋转 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01找旋转中心、旋转角、对应点........................................................................................................................................3 题型02画旋转图形........................................................................................................................................................................4 题型03根据旋转的性质求解........................................................................................................................................................6 题型04根据旋转的性质说明线段或角相等...............................................................................................................................13 题型05求旋转对称图形的旋转角度...........................................................................................................................................16 题型06求绕原点旋转90度的点的坐标.....................................................................................................................................18 题型07.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标..................................................................................................................21 题型08求绕原点旋转一定角度的点的坐标...............................................................................................................................24 题型09坐标与旋转规律问题.......................................................................................................................................................27 题型10线段问题(旋转综合题)....................................................................................................................................................32 题型11其他问题(旋转综合题).....................................................................................................................................................36 分层练习.........................................................................................................................................................................................43 夯实基础.........................................................................................................................................................................................43 能力提升.........................................................................................................................................................................................65 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 题型01找旋转中心、旋转角、对应点 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）等边三角形绕中心旋转与自身重合，至少需要旋转（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念．确定图形绕自己的中心最少旋转多少度可与自身重合，就是观察图形，可以被从中心发出的射线平分成几部分，则旋转的最小角度即可求解． 【详解】解：等边三角形绕中心旋转与自身重合，至少需要旋转． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，将绕着点O顺时针旋转得到，若，则旋转角度是 ．    【答案】/度 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】对应线段构成的即为旋转角度． 【详解】解：由旋转角度的定义可知： 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转角度的定义．掌握相关定义是解题关键． 故选：A． 3．（八年级下·江苏南京·期中）如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心(不写作法，保留作图痕迹)； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． 【答案】（1）答案见解析；（2）如：，等． 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】（1）连接，再分别作的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （2）根据旋转的性质可知，对应角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，可得出结论． 【详解】解：（1）如下图所示，点即为所求． （2）如：，等． 【点睛】本题考查的知识点是作图中的旋转变换，掌握作旋转变换图形的一般步骤是解此题的关键． 题型02画旋转图形 4．（八年级下·江苏镇江·阶段练习）下列四个图形中，可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画旋转图形 【分析】因为45°×8=360°，整个图形应由8个基本图形组成． 【详解】解：根据旋转的性质可知，可以由一个“基本图案”连续旋转45°，即经过8次旋转得到的是B． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．    (1)平移线段得到线段，使点与点重合，画出线段． (2)以点为旋转中心，将线段绕点旋转得到线段，画出线段． (3)用无刻度的直尺画出线段的中点． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】两点间的距离、平移(作图)、画旋转图形 【分析】本题主要考查作图，平移变换，解题的关键在于理解题意画出图形即可． （1）利用平移变换的性质作出对应点即可． （2）利用中心对称变换的性质分别作出对应点即可； （3）由矩形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，由平移的性质得到线段即为所求；    （2）解：如图，由中心对称变换的性质分别作出对应点，线段即为所求；    （3）解：如图，点即为所求．    题型03根据旋转的性质求解 6．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如下图将绕点顺时针旋转，得到（点落在外），若，，则旋转角度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】此题主要考查了旋转的性质，直接利用已知得出的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．正确得出的度数是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕着点O顺时针旋转，得到， ∴最小旋转角为． 故选：C． 7．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为 °． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，掌握旋转的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理可得的度数，根据旋转的性质，可得是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 绕点旋转得到， ，， ， 在中，， 旋转角的度数为， 故答案为：． 8．（22-23·江苏苏州·期末）如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，E点旋转至点F． (1)如图1，过F点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，求证：是的2倍； (3)E是射线上一点，直线交直线于D点，若，则　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由，可得，再结合旋转的性质，通过即可证明全等； （2）过F点作交AC于H点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，设，，则，分别用含a的式子表示和，即可解题； （3）当点E在线段上时，过点F作于G点，设，，则，由（1）知，求得，，，由（2）知，求得，；当点E在线段的延长线上时，过点F作于G点，设，，则，由（1）知，，，，由（2）知，，即可． 【详解】（1）证明：证明：如图1， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ； （2）证明：过F点作交于H点，如图，    则， 由（1）知， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， 设，，则 ， ， ， 即是的2倍； （3）证明：当点E在线段上时，过点F作于G点，如图， ∵， ∴设，， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，过点F作于G点，如图4， ∵， ∴设，， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 综上，的值是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，比例线段的性质，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． 题型04根据旋转的性质说明线段或角相等 9．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三线合一、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】根据旋转的性质得出，，由等腰三角形三线合一性质得出，再求出的度数即可． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度数是． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和旋转的性质．求出是解题的关键． 10．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转85°，得到△ADE． 若点D在线段BC的延长线上，则∠PDE的度数为 ． 【答案】85° 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】根据旋转的性质可得∠B=∠ADB=∠ADE= (180°−∠BAD)= (180°−85°)=47.5°，进而可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转85°，得到△ADE， ∴AB=AD，∠BAD=85°，∠B=∠ADE， ∴∠B=∠ADB=∠ADE， ∴∠B=∠ADB=∠ADE= (180°−∠BAD)= (180°−85°)=47.5°， ∴∠PDE=180°-∠ADB-∠ADE=180°-2×47.5°=85°， 故答案为：85°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，明确旋转前后，对应边，对应角相等是解题的关键． 11．（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）已知如图，五边形中，．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查旋转作图及三角形全等的性质， （1）根据旋转后角的度数不变可先证得，从而得到，然后再证明即可得出答案． （2）由（1）得，可得，即可得出结论； 【详解】（1）证明：把旋转的度数如图 ，． 把旋转的度数后和重合，且， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， 平分． （2）由（1）得： ∴ ∴ 由（1）得： ∴ ∴ ∴ 题型05求旋转对称图形的旋转角度 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【详解】解：A、最小旋转角度； B、最小旋转角度； C、最小旋转角度； D、不是旋转对称图形； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是C． 故选：C． 13．（八年级下·江苏扬州·期末）如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转 °． 【答案】90 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案 【详解】解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得， ∴OB=OD， ∴旋转的角度是∠BOD的大小， ∵∠BOD=90°， ∴旋转的角度为90°， 故答案为： 90． 【点睛】本题考查了旋转的性质．解题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角． 题型06求绕原点旋转90度的点的坐标 14．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】作轴于Q，得到，利用P点坐标求出三角形的两条边长，将绕O点旋转后得到，Q点由y轴旋转到了x轴，根据的位置和的长度得到点坐标． 【详解】解：作轴于Q，如图， ， ，， 点绕原点O顺时针旋转得到点相当于把绕原点O顺时针旋转得到， ，，， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标系与图形旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，本题中旋转是解题的关键． 15．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）已知点，将点绕原点逆时针方向旋转得点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．作出图形，连接，过点A作轴于H，过点B作轴于，连接，然后根据点A的坐标求出，再根据旋转的性质求出，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作轴于H，过点B作轴于，连接， ∵， ， ∵将点绕原点逆时针方向旋转得点， ， ∴点． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图1，在平面直角坐标系内，三个项点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．如图2，以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，将顺时针旋转，得到，将顺时针旋转，得到． (1)在图2中画出，； (2)若点D为边的中点，直接写出旋转后对应的点、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——旋转： （1）利用网格特点和旋转的性质画出点，，然后连接各点即可得到，然后结合图形确定点的坐标； （2）写出旋转后对应的点的坐标，即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求； （2）解：根据题意得：旋转后对应的点、、的坐标分别为、、． 题型07求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 17．（2022·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】设点的坐标为，由旋转的性质可得，，列出等式，把每个选项的横坐标代入验证即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴由旋转的性质可得，， 即， 整理得， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 故只有选项A的坐标满足题意，选项B、C、D都不满足题意， 故选：A 【点睛】本题考查了旋转的性质，理解掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键． 18．（江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为 ．    【答案】（4,2） 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【详解】试题考查知识点：图形绕固定点旋转 思路分析：利用网格做直角三角形AMB，让△AMB逆时针旋转90°，也就使AB逆时针旋转了90°，由轻易得知，图中的AB′就是旋转后的位置．点B′刚好在网格格点上，坐标值也就非常明显了． 具体解答过程： 如图所示．做AM∥x轴、BM∥y轴，且AM与BM交于M点，则△AMB为直角三角形,    线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°，可以视为将△AMB逆时针方向旋转90°（）得到△ANB′后的结果． ∴,AN⊥x轴，NB′⊥y轴，点B′刚好落在网格格点处 ∵线段AB上B点坐标为（1，3） ∴点B′的横坐标值为：1+3=4；纵坐标值为：3-1=2 即点B′的坐标为（4,2） 试题点评：在图形旋转涉及到的计算中，还是离不开我们所熟悉的三角形． 19．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）．    (1)画出关于y轴对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查坐标与图形变换，掌握轴对称和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求：        （3）的面积为：． 题型08求绕原点旋转一定角度的点的坐标 20．（八年级下·江苏南通·阶段练习）已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°＜A＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对的方向沿直线行走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为(　 　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画图分析．如图，完成一次指令[2，60°]后，所在位置为P点．作PQ⊥y轴于Q点．解直角三角形OPQ求PQ、OQ的长度，根据P所在象限确定其坐标． 【详解】如图所示，点P为完成指令后位置， 作PQ⊥y轴于Q点， ∵OP=2，∠POQ=60°， ∴OQ=1，PQ=， ∴P（-，-1）． 故选D. 【点睛】应理解运动指令的含义，第三象限点的符号为（-，-），运用旋转的知识解答． 21．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化---旋转，通过平移把问题转化为学过的知识，从而解决问题，体现数学转化思想，根据题题分别过、向轴作垂线，可得，利用全等得到到轴，轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标． 【详解】解：作轴于点，轴于点，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 22．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1； (2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； (3)若点B的坐标为（3，3）；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（﹣2，0） 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标、平移(作图) 【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1； （2）根据旋转的性质即可将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2； （3）根据点B的坐标为（3，3），即可写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标． 【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）C1C2与x轴的交点即为△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心， 所以对称中心的坐标为（-2，0）． 故答案为：（-2，0）． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换、作图-平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． 题型09坐标与旋转规律问题 23．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形 的顶点A，B分别在x轴、y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时， 点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与旋转规律问题 【详解】解：如图，过点作轴于点E，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， 则第次旋转结束时，点C的坐标为； 则第次旋转结束时，点C的坐标为； 则第次旋转结束时，点C的坐标为； 则第次旋转结束时，点C的坐标为； …， 发现规律：旋转次一个循环， ∴， 则第次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B． 【分析】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第次旋转后矩形的位置是解题的关键． 24．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查旋转与坐标规律，根据旋转角度为，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点在第三象限，且，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， 第一次旋转后，在第四象限，， 第二次旋转后，在第三象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第二象限，， 第五次旋转后，在第一象限，， 第六次旋转后，在轴x正半轴，， ……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴， ∵， ∴点在x轴负半轴，且， ∴点的坐标为． 故答案为：． 25．（八年级下·江苏泰州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(﹣2，2)，B(0，5)，C(0，2)． （1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形． （2）平移△A1B1C，使点A1的对应点A2坐标为(2，0)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形． （3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）(﹣1，﹣1)． 【知识点】坐标与旋转规律问题、画旋转图形、已知图形的平移，求点的坐标、平移(作图) 【分析】（1）按照题目要求分别画出旋转后各点的对应点，连接即可得到△A1B1C； （2）将（1）中得到的图形按照题目要求分别画出平移后各点的对应点，连接即可得到△A2B2C2； （3）由（2）中得到的△A2B2C2，观察其与△ABC的位置关系，即可得到旋转中心． 【详解】（1）如图，△A1B1C即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）如图，点(﹣1，﹣1)即为所求． 【点睛】本题主要考查图形的旋转和平移，能够按照题目要求确定图形位置变化后各点对应坐标是解题关键． 题型10线段问题(旋转综合题) 26．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、线段问题(旋转综合题) 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 27．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥； (2)线段与线段的关系不发生变化．证明见解析； (3)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、线段问题(旋转综合题) 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型11其他问题(旋转综合题) 28．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题(旋转综合题) 【分析】据矩形长为宽为，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值． 【详解】解：矩形长为宽为， 矩形的对角线长为：， 矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放， 该正方形的边长不小于， ， 该正方形边长的最小正数为． 故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 29．（21-22八年级上·江苏淮安·期末）[模型建立] 如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA（无需证明），我们将这一个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： [模型运用] (1)如图1，若AD=2，BE=4，则△ABC的面积为__________； (2)如图2，在平面直角坐标系中，点C坐标为（0，－2），点A坐标为（4，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°，得线段CB，连接线段AB，则点B坐标为________； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为交x轴于点B．若将直线l绕点B顺时针旋转45°得直线l，问：直线l'是否经过点A（，1）请说明理由． [模型拓展] (4)如图4在平面直角坐标系中，已知点B（0，4），P是直线上一点，将线段BP延长至点Q，使，将线段BQ绕点B顺时针旋转45°后得BA，直接写出OA的最小值为__________．（，结果精确到0.1） 【答案】(1)10； (2)（-2，2）； (3)经过，理由详见解答部分； (4)1.9 【知识点】其他问题(旋转综合题)、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、一次函数与几何综合 【分析】（1）利用全等三角形的性质以及勾股定理解决问题即可． （2）如图2中，由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°；过点B作BE⊥y轴于E．证明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE=OC=2，CE=AO=5，可得B（-2，2）． （3）设旋转后直线l′的解析式为：y=k′（x+），在直线l′上取点E（1，k′），过点E作EG⊥BE交l于点G，过点E作x轴的垂线与x轴交于点F，过点G作x轴的平行线交EF于点H，由全等得出点G的坐标，代入直线l表达式可求出k′的值，再将点A的横坐标代入直线表达式求出y，即可判断； （4）如图4中，连接PA，设P（m，2m-5），可得A（3m-9，m-5），推出点A在直线y=x-2上运动，推出当OA⊥直线y=x-2时，OA的值最小，设直线y=-x-2交y轴于M（0，-2），交x轴于N（6，0），求出斜边MN，再利用面积法求斜边上的高即可． 【详解】（1）解：∵△BEC≌△CDA， ∴BE=CD=4，EC=AD=2，∠BCE=∠CAD， ∵∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°，即∠BCA=90°， ∴AC=BC=， ∴S△ABC=•AC•BC=10． 故答案为：10； （2）由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°； 如图1，过点B作BE⊥y轴于E． ∵点C的坐标为（0，-2），A点的坐标为（4，0）， ∴OC=2，OA=4， ∵∠BEC=∠AOC=∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACO=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACO=∠CBE， ∵CB=CA， ∴△CEB≌△AOC（AAS）， ∴BE=OC=2，CE=AO=4， ∴OE=2， ∴B（-2，2）． 故答案为：（-2，2）； （3）经过，理由如下： ∵直线y=2x+1与x轴交于点B， ∴B（-，0）， 可设旋转后直线l′的解析式为：y=k′（x+）， 如图2，在直线l′上取点E（1，k′），过点E作EG⊥BE交l于点G，过点E作x轴的垂线与x轴交于点F，过点G作x轴的平行线交EF于点H， 则△BEG是等腰直角三角形， 由上述结论可知，△BEF≌△EGH， ∴BF=EH=，EF=GH=k′， ∴G（1-k′，+k′）， ∵点G在直线y=2x+1上， ∴2（1-k′）+1=+k′，解得k′=， ∴直线l′的解析式为：y=x+， 令x=，则y=x+=1． 即点A（，1）在直线l′上． （4）如图3中，连接PA， ∵∠ABP=45°，AB=BQ=BP， ∴△ABP是等腰直角三角形， 设P（m，2m-5）， ∵B（0，4）， ∴A（3m-9，m-5）， ∴点A在直线y=x-2上运动， ∴当OA⊥直线y=x-2时，OA的值最小， ∵直线y=x-2交y轴于M（0，-2），交x轴于N（6，0）， ∴M（0，-2），N（6，0）， ∴OM=2，ON=6， ∴MN=， ∴点O到直线y=x-2的距离， 故答案为：1.9． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 夯实基础 一、单选题 1．如图，将绕点B逆时针旋转得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴点A和点D是对应点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”是解题的关键． 2．按图中第一、二两行图形的平移、轴对称及旋转等变换规律,填入第三行“?”处的图形应是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据第一、二行的规律，可知首先将第一个图轴对称得到第二个图，然后将第二个图顺时针旋转90度得到第三个图，通过观察可得B选项的图符合， 故选B. 3．在下列某品牌恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称及旋转对称的定义，结合各选项进行判断即可： 【详解】A. 运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误； B. 运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误； C. 没有运用旋转，也没有运用轴对称，故本选项正确； D. 运用了轴对称，故本选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了轴对称及旋转对称的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及旋转对称的定义． 4．如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′O B′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角的度数是（    ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得出AO=A′O，得出等边三角形AOA′，根据等边三角形的性质推出即可． 【详解】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°， ∴∠A=60°， ∵△A′OB′可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，点A′在AB上， ∴AO=A′O， ∴△AOA′是等边三角形， ∴∠AOA′=60°， 即旋转角α的度数是60°， 故选：C 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△AOA′是等边三角形，题目比较典型，难度不大． 5．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（ ）    A．第一张、第二张 B．第二张、第三张 C．第三张、第四张 D．第四张、第一张 【答案】A 【详解】试题解析：观察两个图中可以发现，所有图形都没有变化，所以旋转的扑克是成中心对称的第一张和第二张． 故选A． 考点：中心对称图形． 6．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．2 D．2 【答案】C 【分析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连结CE，DE，则△DCE为等边三角形，△ADE为直角三角形，进而求出DE的长即可． 【详解】如图所示，将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连结CE，DE， 由旋转的性质知DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝60°，BD＝AE＝6， 则△DCE为等边三角形， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝90°， ∴AD2+DE2＝AE2， ∴42+DE2＝62， ∴DE＝CD＝2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理，根据已知得出∠ADE=90°是解题关键． 7．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（    ） A．110° B．80° C．40° D．30° 【答案】B 【分析】先利用三角形内角和计算出，再利用旋转的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：，， ， 绕着点顺时针旋转后得到△， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8．如图，直线：交轴于，交轴于，轴上一点，为轴上一动点，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则当长度最小时，线段的长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】作EH⊥x轴于H，通过证明△DBO≌△BEH，可得HE=OB，从而确定点点的运动轨迹是直线，根据垂线段最短确定出点E的位置，然后根据勾股定理求解即可. 【详解】解：作EH⊥x轴于H， ∵∠DBE=90°， ∴∠DBC+∠CBE=90°. ∵∠BHE=90°， ∴∠BEH+∠CBE=90°， ∴∠DBC=∠BEH. 在△DBO和△BEH中， ∵∠DBC=∠BEH， ∠BOD=∠BHE， BD=BE， ∴△DBO≌△BEH中， ∴HE=OB， 当y=0时，， ∴x=3， ∴HE=OB=3， ∴点的运动轨迹是直线，B(3，0)， ∴当⊥m时，CE最短，此时点的坐标为(-1，3)， ∵B(-1，0)，B(3，0)， ∴BC=4， ∴BE′=， ∴BD= BE′=4， ∴OD=， ∴CD=. 故选B. 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的变化，旋转变换、全等三角形的判定与性质，垂线段最短以及勾股定理等知识，解题的关键是确定点E的位置． 二、填空题 9．旋转的三要素： 、 、 ． 【答案】 旋转中心 旋转方向 旋转角 【解析】略 10．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的 和 都保持不变． 【答案】 形状， 大小． 【详解】轴对称、平移、旋转变化都是全等变化，所以在变化的过程中，图形的形状和大小不变，只是位置在变化. 故答案为（1）形状；（2）大小. 11．如图，在平面直角坐标系中，，，线段由线段绕点A顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】过点C作轴于点D，易知，从而求得点C坐标，待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：∵，， ∴， 过点C作轴于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，将点A，点C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用全等三角形求得C的坐标是解题的关键． 12． 把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕着点顺时针旋转得到△（如图乙），此时与交于点，则线段的长度为 ． 【答案】10 【分析】先求出，由，得到，又由   ，得到，由，得到 ，在中，由勾股定理即可得到答案． 【详解】如图所示， 由题意得，，， ∴， 又∵， ∴，   ∴， ∵， ∴，   又∵， ∴，    ∵， ∴， ∵，     ∴， 在中，． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是 ． 【答案】（4，﹣1） 【详解】由图可知A点的坐标为(1,4),根据旋转中心O,旋转方向顺时针,旋转角度90°,画图可得A′的坐标是(4, －1),故答案为: (4, －1). 14．两块全等的等腰直角三角板如图放置，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，当点落在直线上时，如果，那么 ．    【答案】 【分析】当点落在直线上时，有两种情况：第一种是点落在的延长线上，第二种是点落在的延长线上，然后画出两种情况所对应的图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，当点落在直线上时，有两种情况： 第一种是点落在的延长线上，第二种是点落在的延长线上， 当点落在的延长线上时，作交于点，作交于点，连接，如图：   ，， ， ， 等腰直角三角形的顶点与等腰直角三角形的斜边的中点重合，， ，， ，四边形为矩形， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ； 当点落在的延长线上时，延长交于点，作于点，如图，   ，等腰直角三角形的顶点与等腰直角三角形的斜边的中点重合， ，， ，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ； ， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查图形的旋转，熟练掌握图形的旋转的性质、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理、一元二次方程的解法是解答此题的关键． 三、解答题 15．如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，△ACD经过旋转后到达△BCE的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)逆时针旋转了多少度？ (3)如果M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 【答案】(1)点C　(2)60°　(3)BE的中点 【分析】根据旋转的定义，明确旋转中心和旋转角度即可得到答案． 【详解】解： 根据旋转中心的定义，结合图形可知旋转中心是点C． 旋转了60°，理由：利用旋转的性质我们可以得到旋转角为 为等边三角形 于是可知图形旋转了60°． 线段BE的中点，理由：根据旋转图形的对应线段相等，可知AD=BE 点M是AD的中点 经过旋转后点M转到线段BE的中点处． 【点睛】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质——不变性质，关键在于明确旋转中心、旋转角度和旋转位置． 16．如图中，，P是内一点，将绕点A逆时针旋转一定角度后能与重合，如果，那么的面积是多少？ 【答案】4.5 【分析】根据旋转的定义及性质可得，利用全等三角形的性质，得到对应边、对应角相等，再利用等量代换，确定为等腰直角三角形，即可求出三角形面积． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：， 在中， ， ∴的面积为4.5． 【点睛】题目主要考查旋转的定义、性质，全等三角形的性质等知识点，解题的关键在于掌握旋转、全等的性质，可以熟练运用于题目当中． 17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（0，﹣1）. （1）写出A、B两点的坐标； （2）经过平移，△ABC的顶点A 移到了点，画出平移后的△A1B1C1； （3）画出△ABC绕点C旋转180°后得到的△A2B2C2． 【答案】（1）A（-1,2），  B（-3,1）；（2）画图见解析；（3）画图见解析. 【详解】解：（1）A（-1,2），  B（-3,1）； （2）如图所示： （3）如图所示： 18．如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：A、D、B、E四点共圆． 【答案】（1）10°；（2）见解析 【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠C的度数，由旋转的性质得出AC＝AD，即可得出∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度数； （2）由旋转的性质得到∠ABC＝∠AED，由四点共圆的判定得出结论． 【详解】解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°， ∴∠C＝50°， ∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠C＝50°， ∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°， ∴∠BAD＝50°－40°＝10° 证明（2）∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE， ∴∠ABC＝∠AED， ∴A、D、B、E四点共圆． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等． 19．已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF. （1）∠FDC=∠EBC，相等吗？ （2）△DCF能与△BCE重合吗？ （3）BE与DF垂直吗？ 【答案】（1）相等，（2）△DCF能与△BCE重合；（3）BE⊥DF 【分析】（1）相等，根据正方形的性质和已知条件证明△DCF≌△BCE即可； （2）能，根据（1）可得结论； （3）BE⊥DF．延长BE交DC于M，证明∠DME=90°即可． 【详解】解：（1）相等； ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠DCF=∠BCE=90°， 在△DCF和△BCE中， ， ∴△DCF≌△BCE， ∴∠FDC=∠EBC， 故答案为相等； （2）∵△DCF≌△BCE， ∴△DCF能与△BCE重合， 故答案为能； （3）垂直， 理由如下：延长BE交DC于M， ∵△DCF≌△BCE， ∴∠CDF=∠EBC， ∵∠EBC+∠BEC=90°， ∴∠CDF+∠DEM=90°， ∴∠DME=90°， ∴BE⊥DF， 故答案为垂直． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及垂直的判定，解本题的关键是△BCE≌△DCF的求证． 20．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝5，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE， (1)如图1，①点C到射线OM的距离为 　 　． ②求证：△CDE是等边三角形． (2)设OD＝t， ①如图2，当5＜t＜9时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由． ②当△BDE是直角三角形时，求t的值．（直接写出结果） 【答案】(1)①2 ；②证明见解析 (2)① 存在；2+4；②t＝1或13 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得AH＝BH＝2，∠ACH＝30°，可得AH＝，即可求解；②由旋转的性质可得∠DCE＝60°，DC＝EC，可证△CDE是等边三角形； （2）①由旋转的性质可得BE＝AD，可得C△DBE＝CD+4，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，即可求解；②分四种情况讨论，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：①解：如图1，过点C作CH⊥AB于H， ∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB， ∴AH＝BH＝2，∠ACH＝30°， ∴CH＝AH＝， ∴点C到射线OM的距离为， 故答案为：； ②证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE， ∴∠DCE＝60°，DC＝EC， ∴△CDE是等边三角形； （2）解：①存在，当5＜t＜9时， 由旋转的性质得，BE＝AD， ∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE， 由（1）知，△CDE是等边三角形， ∴DE＝CD， ∴C△DBE＝CD+4， 由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小， ∴△BDE的最小周长＝CD+4＝； ②存在， 当t＝9时，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形， ∴当点D与点B重合时，不符合题意， 当0≤t＜5时，由旋转可知， 而 ∠ABE＝60°，∠BDE＜60°， ∴∠BED＝90°， 由（1）可知，△CDE是等边三角形， ∴∠DEB＝60°， ∴∠CEB＝30°， ∵∠CEB＝∠CDA， ∴∠CDA＝30°， ∵∠CAB＝60°， ∴∠ACD＝∠ADC＝30°， ∴DA＝CA＝4， ∴OD＝OA﹣DA＝5﹣4＝1， ∴t＝1； 当5＜t＜9时，由∠DBE＝120°＞90°， ∴此时不存在； 如图，当t＞9时，由旋转的性质可知， ∠DBE＝60°， 又由（1）知∠CDE＝60°， ∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC， 而∠BDC＞0°， ∴∠BDE＞60°， ∴只能∠BDE＝90°， 从而∠BCD＝30°， ∴BD＝BC＝4， ∴OD＝13， ∴t＝13， 综上所述：当t＝1或13时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 能力提升 一、单选题 21．如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上，延长AC交DE于F，若AF＝8，则AB的长为（　　） A．4 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到AB＝BE，∠A＝∠E＝30°，设BC＝x，根据直角三角形的性质得到AB＝DE＝2x，根据勾股定理得到AC＝，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：∵把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD， ∴AB＝BE， ∴∠A＝∠E＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠EDF＝90°， 设BC＝x， ∴AB＝BE＝2x， ∴CE＝x，AC＝， ∵∠ECF＝90°，∠E＝30°， ∴CF＝EF， ∵CE＝x， ∴CF＝， ∵AF＝8， ∴， ∴x＝ ∴AB＝2x＝， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 22．如图，在中，，顶点的坐标为，是上一动点，将点绕点逆时针旋转90°，当点的对应点落在边上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于点，通过证明，即可得出的坐标． 【详解】解：过点作的垂线交于点，如下图： 由题意， 为等腰直角三角形，， 设直线的方程为， 将代入中， ， 解得：， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，一次函数，解题的关键是：添加辅助线，证明三角形全等，得到对应边相等，即可求出坐标． 二、填空题 23．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，若为边上一动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点C作CH⊥AB于H，利用勾股定理求出AB，结合直角三角形的面积即可求出CH，由旋转易得为等腰直角三角形，从而得出，求出CP的取值范围即可求出结论． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵在中， ∴AB= ∵=AC·BC=AB·CH ∴×3×4=×5CH 解得CH= 由旋转易得为等腰直角三角形， 所以， ∵在线段上移动， 故当点P与点B重合时，最大值等于等于4；当点P与点H重合时，最小值等于CH等于， ∴ 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质是解题关键． 24．如图，是等腰直角三角形，是斜边，点是内一点，，连接，将旋转到的位置，则的长为 . 【答案】 【分析】先根据旋转得出，再证的是等腰直角三角形即可求解PQ的长. 【详解】∵是旋转所得 ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形，是斜边 ∴ ∴ ∴ 故填：. 【点睛】本题主要考查图形的旋转、全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质，利用旋转得出是等腰直角三角形是关键. 三、解答题 25．已知点A的坐标为（ ，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B，求点B的坐标． 【答案】B（－1，－1）． 【分析】画出图形分析，点B位置如图所示．作轴于C点，根据得到，然后解直角三角形求OC、BC的长度，根据B点在第三象限确定其坐标． 【详解】解：点B位置如图所示． 作轴于C点． ∵A（，0）， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， ∵， ∴，． 因B在第三象限，所以B（-1，-1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，画出图形解直角三角形是解题的关键． 26．如图，点A在射线OX上，OA的长等于2cm.如果OA绕点O，按逆时针方向旋转30°到 ，那么点的位置可以用（2，30°）表示.如果将再沿逆时针方向继续旋转45°，到，那么点的位置可以用（ ， ）表示. 【答案】（2，75°） 【分析】根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，即旋转后所得图形与原图形全等，通过分析坐标的形成即可解答. 【详解】解：第一个坐标为原点到此点的距离，旋转前后线段长度不变，所以OA″=OA=2， 第二个坐标为与x轴的夹角=∠A″OA′+∠A′OA=45°+30°=75°， 那么点A”的位置可以用（ 2，75°）表示， 故答案为（2，75°）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 图形的旋转 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01找旋转中心、旋转角、对应点........................................................................................................................................3 题型02画旋转图形........................................................................................................................................................................4 题型03根据旋转的性质求解........................................................................................................................................................6 题型04根据旋转的性质说明线段或角相等...............................................................................................................................13 题型05求旋转对称图形的旋转角度...........................................................................................................................................16 题型06求绕原点旋转90度的点的坐标.....................................................................................................................................18 题型07.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标..................................................................................................................21 题型08求绕原点旋转一定角度的点的坐标...............................................................................................................................24 题型09坐标与旋转规律问题.......................................................................................................................................................27 题型10线段问题(旋转综合题)....................................................................................................................................................32 题型11其他问题(旋转综合题).....................................................................................................................................................36 分层练习.........................................................................................................................................................................................43 夯实基础.........................................................................................................................................................................................43 能力提升.........................................................................................................................................................................................65 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 题型01找旋转中心、旋转角、对应点 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）等边三角形绕中心旋转与自身重合，至少需要旋转（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，将绕着点O顺时针旋转得到，若，则旋转角度是 ．    3．（八年级下·江苏南京·期中）如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心(不写作法，保留作图痕迹)； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． 题型02画旋转图形 4．（八年级下·江苏镇江·阶段练习）下列四个图形中，可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．    (1)平移线段得到线段，使点与点重合，画出线段． (2)以点为旋转中心，将线段绕点旋转得到线段，画出线段． (3)用无刻度的直尺画出线段的中点． 题型03根据旋转的性质求解 6．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如下图将绕点顺时针旋转，得到（点落在外），若，，则旋转角度可能是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为 °． 8．（22-23·江苏苏州·期末）如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，E点旋转至点F． (1)如图1，过F点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，求证：是的2倍； (3)E是射线上一点，直线交直线于D点，若，则　　　． 题型04根据旋转的性质说明线段或角相等 9．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（　　）    A． B． C． D． 10．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转85°，得到△ADE． 若点D在线段BC的延长线上，则∠PDE的度数为 ． 11．（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）已知如图，五边形中，．求证： (1)平分； (2)． 题型05求旋转对称图形的旋转角度 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 13．（八年级下·江苏扬州·期末）如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转 °． 题型06求绕原点旋转90度的点的坐标 14．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 15．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）已知点，将点绕原点逆时针方向旋转得点，则点的坐标为 ． 16．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图1，在平面直角坐标系内，三个项点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．如图2，以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，将顺时针旋转，得到，将顺时针旋转，得到． (1)在图2中画出，； (2)若点D为边的中点，直接写出旋转后对应的点、、的坐标． 题型07求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 17．（2022·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 18．（江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为 ．    19．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）．    (1)画出关于y轴对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)的面积是__________． 题型08求绕原点旋转一定角度的点的坐标 20．（八年级下·江苏南通·阶段练习）已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°＜A＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对的方向沿直线行走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为(　 　) A． B． C． D． 21．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为 ． 22．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1； (2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； (3)若点B的坐标为（3，3）；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标____． 题型09坐标与旋转规律问题 23．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形 的顶点A，B分别在x轴、y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时， 点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ．    25．（八年级下·江苏泰州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(﹣2，2)，B(0，5)，C(0，2)． （1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形． （2）平移△A1B1C，使点A1的对应点A2坐标为(2，0)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形． （3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 题型10线段问题(旋转综合题) 26．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 题型11其他问题(旋转综合题) 28．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 29．（21-22八年级上·江苏淮安·期末）[模型建立] 如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA（无需证明），我们将这一个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： [模型运用] (1)如图1，若AD=2，BE=4，则△ABC的面积为__________； (2)如图2，在平面直角坐标系中，点C坐标为（0，－2），点A坐标为（4，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°，得线段CB，连接线段AB，则点B坐标为________； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为交x轴于点B．若将直线l绕点B顺时针旋转45°得直线l，问：直线l'是否经过点A（，1）请说明理由． [模型拓展] (4)如图4在平面直角坐标系中，已知点B（0，4），P是直线上一点，将线段BP延长至点Q，使，将线段BQ绕点B顺时针旋转45°后得BA，直接写出OA的最小值为__________．（，结果精确到0.1） 夯实基础 一、单选题 1．如图，将绕点B逆时针旋转得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．按图中第一、二两行图形的平移、轴对称及旋转等变换规律,填入第三行“?”处的图形应是(　　) A． B． C． D． 3．在下列某品牌恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′O B′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角的度数是（    ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 5．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（ ）    A．第一张、第二张 B．第二张、第三张 C．第三张、第四张 D．第四张、第一张 6．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．2 D．2 7．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（    ） A．110° B．80° C．40° D．30° 8．如图，直线：交轴于，交轴于，轴上一点，为轴上一动点，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则当长度最小时，线段的长为（    ） A． B． C．5 D． 二、填空题 9．旋转的三要素： 、 、 ． 10．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的 和 都保持不变． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，线段由线段绕点A顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是 ． 12． 把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕着点顺时针旋转得到△（如图乙），此时与交于点，则线段的长度为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是 ． 14．两块全等的等腰直角三角板如图放置，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，当点落在直线上时，如果，那么 ．    三、解答题 15．如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，△ACD经过旋转后到达△BCE的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)逆时针旋转了多少度？ (3)如果M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 16．如图中，，P是内一点，将绕点A逆时针旋转一定角度后能与重合，如果，那么的面积是多少？ 17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（0，﹣1）. （1）写出A、B两点的坐标； （2）经过平移，△ABC的顶点A 移到了点，画出平移后的△A1B1C1； （3）画出△ABC绕点C旋转180°后得到的△A2B2C2． 18．如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：A、D、B、E四点共圆． 19．已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF. （1）∠FDC=∠EBC，相等吗？ （2）△DCF能与△BCE重合吗？ （3）BE与DF垂直吗？ 20．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝5，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE， (1)如图1，①点C到射线OM的距离为 　 　． ②求证：△CDE是等边三角形． (2)设OD＝t， ①如图2，当5＜t＜9时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由． ②当△BDE是直角三角形时，求t的值．（直接写出结果） 能力提升 一、单选题 21．如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上，延长AC交DE于F，若AF＝8，则AB的长为（　　） A．4 B．4 C．4 D．6 22．如图，在中，，顶点的坐标为，是上一动点，将点绕点逆时针旋转90°，当点的对应点落在边上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 23．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，若为边上一动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的取值范围是 ． 24．如图，是等腰直角三角形，是斜边，点是内一点，，连接，将旋转到的位置，则的长为 . 三、解答题 25．已知点A的坐标为（ ，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B，求点B的坐标． 26．如图，点A在射线OX上，OA的长等于2cm.如果OA绕点O，按逆时针方向旋转30°到 ，那么点的位置可以用（2，30°）表示.如果将再沿逆时针方向继续旋转45°，到，那么点的位置可以用（ ， ）表示. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$