专题13 二次函数的图象与性质 【九大题型】 2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题13 二次函数的图象与性质 1 二次函数的概念 一般地，自变量和因变量之间满足 为常数)，则称为的二次函数. 2 二次函数的解析式 （1）一般式：； （2）顶点式：，其中顶点为; （3）交点式：，其中，为抛物线与轴交点的横坐标. 3 二次函数的图像和性质 （1）二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 系数，，的作用 （1）：决定抛物线的开口方向与大小； 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，越大，抛物线的开口越小. （2），同时决定抛物线的对称轴位置； （3）决定抛物线与轴的交点位置. 因为对于二次函数，当时，故抛物线必过轴上的点. （2）二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 4 二次函数的平移 平移口诀：左加右减、上加下减. 5 二次函数与一元二次方程 二次函数的图像与轴交点的横坐标是与一元二次方程根. 二次函数的图像与轴交点的个数情况如下， 当时，抛物线与轴有个交点； 当时，抛物线与轴有个交点； 当时，抛物线与轴没有交点. 【题型1】 根据二次函数的顶点式判断其性质 【典题1】 下列关于抛物线的判断中，错误的是（　　） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【巩固练习】 1.对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 2.（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是． 正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2】 根据二次函数的一般式判断其性质 【典题1】 （2024·陕西西安·模拟预测）关于二次函数，下列各选项中，说法错误的是（    ） A．这个函数图象的对称轴是 B．方程只有一个解 C．当时，y的值随x值的增大而减少 D．这个函数的最小值是 【巩固练习】 1.（2024·上海·模拟预测）新定义：与被称为“同族二次函数”，若和是同族二次函数，则二次函数的开口方向和最值为（    ） A．开口向上，最小值为2018 B．开口向下，最大值为2018 C．开口向上，最小值为2019 D．开口向下，最大值为2019 2.关于二次函数，有下列说法： ①它的图象与轴有两个公共点； ②如果当时，y随x的增大而减小，则； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则； ④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为． 其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（2024·福建龙岩·模拟预测）二次函数的图象上有两点和，已知，，．且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3】 二次函数的平移问题 【典题1】（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·西藏·中考真题）将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（    ） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【题型4】 二次函数的对称性 【典题1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（   ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 【巩固练习】 1.（2023·海南海口·模拟预测）若点、都在拋物线上，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2.（2024·贵州黔东南·二模）已知二次函数（为常数）的图象经过点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的值有关 3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）若点，均在二次函数的图象上（点A在点B的左侧），且当时，，则b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4.（2023·河北张家口·模拟预测）已知抛物线l是二次函数的图象，且与轴相交于两点，其中，若将抛物线向上平移，平移后与轴交于，其中，则下列叙述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5.（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数，点 均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ． 【题型5】 二次函数图像与式子符号、数值的判定 【典题1】 （2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习】 1.（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 2.（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6】 二次函数的最值问题 【典题1】（2024·贵州贵阳·一模）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【巩固练习】 1.（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 2.（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（    ） A．－6 B．4 C．或0 D．0或 【题型7】 二次函数与将军饮马模型 【典题1】如图，已知二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是 ． 2.如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标． 【题型8】 求二次函数解析式 【典题1】（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且． (1)求二次函数的解析式． (2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为 ，若当时函数的最大值为7，求的值． 【巩固练习】 1.（2024·辽宁·模拟预测）如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2.（2024·广东·模拟预测）如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（   ）    A． B． C． D． 3.（2024·河北唐山·二模）如图，二次函数的顶点坐标为，还过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知为一直角三角形纸片，，，，直角边落在轴上，将纸片沿轴平移，当点落在抛物线上时，求点的坐标． 【题型9】 二次函数图象与性质的综合运用 【典题1】（2024·辽宁·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交点分别为点，点，与y轴交于点C，连接，连接，二次函数的对称轴为直线，直线交线段于点E，交x轴于点D．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2023·江苏南通·中考真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·湖北十堰·中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2023·山东烟台·一模）如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以下结论： ①无论取何值，恒小于； ②可由向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； 四边形的面积为． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4.（2024·云南德宏·一模）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，直线交轴于点，直线交轴于点，求的值． 5.（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式及对称轴． (2)如图1， ①若，则P点坐标为 ； ②若，则P点坐标为 ． (3)如图2，连接、，与交于点D，若，求点P坐标． (4)如图3，M、N是抛物线对称轴上两个动点，点M在点N上方，且，请直接写出的最小值 ．并写出此时M点的坐标 ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 二次函数的图象与性质 1 二次函数的概念 一般地，自变量和因变量之间满足 为常数)，则称为的二次函数. 2 二次函数的解析式 （1）一般式：； （2）顶点式：，其中顶点为; （3）交点式：，其中，为抛物线与轴交点的横坐标. 3 二次函数的图像和性质 （1）二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 系数，，的作用 （1）：决定抛物线的开口方向与大小； 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，越大，抛物线的开口越小. （2），同时决定抛物线的对称轴位置； （3）决定抛物线与轴的交点位置. 因为对于二次函数，当时，故抛物线必过轴上的点. （2）二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 4 二次函数的平移 平移口诀：左加右减、上加下减. 5 二次函数与一元二次方程 二次函数的图像与轴交点的横坐标是与一元二次方程根. 二次函数的图像与轴交点的个数情况如下， 当时，抛物线与轴有个交点； 当时，抛物线与轴有个交点； 当时，抛物线与轴没有交点. 【题型1】 根据二次函数的顶点式判断其性质 【典题1】 下列关于抛物线的判断中，错误的是（　　） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线形状与相同，此选项不符合题意； B、抛物线对称轴，此选项不符合题意． C、对于抛物线，由于，当时，函数值y随x值的增大而减小，此选项错误，符合题意； D、抛物线，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为，所以当时，，此选项不符合题意． 故选：C． 【巩固练习】 1.对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，则在对称轴右侧，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故①正确，②③错误， ∴当时，随的增大而减小，故④正确， ∴正确的有2个， 故选：B． 2.（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是． 正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的图像和性质，利用数形结合的思想求解即可． 【详解】把代入，解得：，故①正确； ∵得对称轴为直线 而抛物线与x轴的一个交点坐标为 ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ∴关于的方程的解是，故②正确； ∵ ∴ 当时，，故③正确； 当时，，故④正确； 作原点关于直线的对称点D， 则 连接交直线于P点， ∵ ∴ 此时的值最小， ∴周长有最小值 ∵ ∴周长最小值为，故⑤正确； 故选：D． 【题型2】 根据二次函数的一般式判断其性质 【典题1】 （2024·陕西西安·模拟预测）关于二次函数，下列各选项中，说法错误的是（    ） A．这个函数图象的对称轴是 B．方程只有一个解 C．当时，y的值随x值的增大而减少 D．这个函数的最小值是 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质以及二次函数的最值．将已知函数解析式转化为顶点式，然后结合二次函数的性质作答． 【详解】解：． A、根据知，这个函数图象的对称轴是直线，原说法正确，不符合题意； B、由知：方程有两个解，原说法不正确，符合题意； C、根据知，当时，的值随值的增大而减少，原说法正确，不符合题意； D、根据知，这个函数的最小值是，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 【巩固练习】 1.（2024·上海·模拟预测）新定义：与被称为“同族二次函数”，若和是同族二次函数，则二次函数的开口方向和最值为（    ） A．开口向上，最小值为2018 B．开口向下，最大值为2018 C．开口向上，最小值为2019 D．开口向下，最大值为2019 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据“同族二次函数”的定义可求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是同族二次函数， ∴， 解得：， ∴二次函数， ∴二次函数的开口方向向上，有最小值2019． 故选：C 2.关于二次函数，有下列说法： ①它的图象与轴有两个公共点； ②如果当时，y随x的增大而减小，则； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则； ④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为． 其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质综合，涉及抛物线与轴的交点，平移，增减性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用二次函数的性质逐一分析即可：①利用根的判别式判断即可；②利用增减性判断即可；③利用平移得出点在二次函数的图象上，代入即可；④根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：①∵， ∴二次函数的图象与轴有两个公共点， 故①正确； ②对于二次函数，对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故②错误； ③∵二次函数的图象向左平移3个单位后过原点， ∴点在二次函数的图象上， ∴， ∴， 故③错误； ④∵当时的函数值与时的函数值相等， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， ∴当时，的函数值为， 故说法④正确． 综上所述，正确的说法有①④． 故选：B． 3.（2024·福建龙岩·模拟预测）二次函数的图象上有两点和，已知，，．且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的系数符号特征及其性质进行判断求解．先求得对称轴为直线，再判断开口向下，得到，由于顶点位置不确定，点C在y轴位置也不确定，只能判断①⑤正确． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， ∵， ∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴，即，①正确； ∵顶点位置不确定，点C在y轴位置也不确定， ∴②③④都不正确； ∵，且图象开口向下，对称轴为直线， ∴点和点到对称轴的距离都大于1， ∴点和点的距离都大于2，即正确，故⑤正确． 故选：B． 【题型3】 二次函数的平移问题 【典题1】（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 【巩固练习】 1.（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 2.（2023·西藏·中考真题）将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（    ） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】D 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到， 所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式；二是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式． 【题型4】 二次函数的对称性 【典题1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（   ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，根据对称轴和抛物线与x轴交点的坐标位置，结合图象向上平移的特点，分和讨论即可． 【详解】解：当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ，且； 当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ，且． 故选：． 【巩固练习】 1.（2023·海南海口·模拟预测）若点、都在拋物线上，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性． 先求出二次函数的对称轴，再根据函数的开口方向和增减性，即可得出结论． 【详解】解：该抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点A离对称轴更远， ∴， 故选：A． 2.（2024·贵州黔东南·二模）已知二次函数（为常数）的图象经过点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的值有关 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，再根据两点与对称轴的关系即可解决问题． 【详解】解：二次函数（为常数）的对称轴为直线． ， 两点关于二次函数的对称轴对称， ， 故选：C． 3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）若点，均在二次函数的图象上（点A在点B的左侧），且当时，，则b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据，得出二次函数的图象开口向上．根据，得出，从而得出线段的中点的横坐标大于1，根据，得出点A到对称轴的距离较近，对称轴在直线的左侧，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：对于二次函数， ， 该二次函数的图象开口向上． 又∵点，均在该二次函数的图象上，且， ，即线段的中点的横坐标大于1， 又∵， 点A到对称轴的距离较近， 对称轴在直线的左侧， ， ． 故选：D． 4.（2023·河北张家口·模拟预测）已知抛物线l是二次函数的图象，且与轴相交于两点，其中，若将抛物线向上平移，平移后与轴交于，其中，则下列叙述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，图形平移的性质，根据二次函数解析式可得顶点坐标为，对称轴为，可判定，根据两点之间的距离的计算方法可判定，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质，图形平移的性质，图形结合分析是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作二次函数的图形及二次函数图象向上平移的图形如下， ∴二次函数图象的顶点坐标为，即对称轴为， ∴， ∴， ∵与是二次函数图象与轴交点之间的距离， ∴， 故选：A ． 5.（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数，点 均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 当时，， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵， 当点在对称轴的左侧时，； 当点在对称轴的右侧时，，且， 解得：； 综上所述，k的取值范围为或． 故答案为：或． 【题型5】 二次函数图像与式子符号、数值的判定 【典题1】 （2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 【巩固练习】 1.（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 2.（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 【题型6】 二次函数的最值问题 【典题1】（2024·贵州贵阳·一模）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．根据二次函数的解析式求出顶点坐标，再根据二次函数的性质求出的值即可． 【详解】解：， 二次函数的顶点坐标为，且二次函数的图象开口向下， 当时，， ， 当时，， 解得或（舍去）， 故选：A． 【巩固练习】 1.（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：a的值为4或， 故选：B． 2.（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（    ） A．－6 B．4 C．或0 D．0或 【答案】D 【分析】根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线 函数的最大值为2，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可． 本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键． 【详解】解：二次函数 ∴该函数的对称轴为直线， 函数的最大值为2， 当时， 时， 函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去)， 当 时， 时，函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去) ， 当时，时，函数有最小值，函数有最大值， ， 解得：或(舍去)， 当时，时，函数有最小值，函数有最大值， ， 解得或4(舍去)， 或， 故选：D． 【题型7】 二次函数与将军饮马模型 【典题1】如图，已知二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，以及对称的性质，首先求得A、B以及C的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得的解析式，与二次函数的对称轴的交点就是P，确定P的位置是本题的关键． 【详解】 解：如图，连接． 在中，令，则， 解得：或． 则的坐标是，的坐标是， 则对称轴是直线． 令，则， 则的坐标是． 设经过A和的直线的解析式是． 根据题意得：， 解得：， 则的解析式是， 令，则． 则的坐标是 ． 故选：． 【巩固练习】 1.如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，解得或，即；当时，，即， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 周长的最小值就是的最小值， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， ， 周长的最小值为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 2.如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标． 【答案】当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为． 【分析】作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．求出直线的解析为，进一步可得出结论． 【详解】如图，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．由对称知，， 此时四边形的周长为． 此时四边形的周长最小，最小值为． ，， 抛物线对称轴为直线． ． 为的中点，． ． 设直线的解析式为． 将点、的坐标代入可得解得 直线的解析为． 令，则，点的坐标为． 令，则，点的坐标为． 当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二次函数的结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键． 【题型8】 求二次函数解析式 【典题1】（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且． (1)求二次函数的解析式． (2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为 ，若当时函数的最大值为7，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解∶当时， 即，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 当时，． ∵， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为． （2）由题意可知， ， ∵将函数图象平移后，顶点坐标为， ∴平移后的函数解析式为， ∴平移后的函数的对称轴为直线． 当，时函数取得最大值， 即，解得或，均不符合题意，舍去； 当，时函数取得最大值， 即，解得，符合题意． 综上所述，的值为． 【巩固练习】 1.（2024·辽宁·模拟预测）如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，交点式：是常数，，解题的关键是数形结合． 求出，设其解析式为交点式得到，代入求解即可判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上，且与轴的交点为， 根据图象夹角为， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴设抛物线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故选：C． 2.（2024·广东·模拟预测）如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式．利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵将放大为原来的2倍，得到，点， ∴点，即点， ∵点是抛物线的顶点， ∴， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式是， 故选：C． 3.（2024·河北唐山·二模）如图，二次函数的顶点坐标为，还过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知为一直角三角形纸片，，，，直角边落在轴上，将纸片沿轴平移，当点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．坐标与图形等知识． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）由已知条件可得出点的纵坐标为2，然后代入二次函数解析式求出对应的x的值，即可得出点C的横坐标， 再根据，即可得出点B的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为， 设， 将代入得， 函数的解析式为，即； （2），，直角边在轴上， 点的纵坐标为2， 当时，， 解得：， 或． ∵， ∴或． 【题型9】 二次函数图象与性质的综合运用 【典题1】（2024·辽宁·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交点分别为点，点，与y轴交于点C，连接，连接，二次函数的对称轴为直线，直线交线段于点E，交x轴于点D．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查是二次函数综合题，利用待定系数法代入两点即可得到二次函数解析式以及对称轴，分别求出点坐标，求出直线的解析式，利用勾股定理结合方程结合，逐一分析，即可选出答案． 【详解】解：把点，点代入，得，解得， ∴二次函数的解析式为：， ∴对称轴为直线，故A正确； 令，则， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∴，设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为，当时，， ∴， ∴点， ∴，故B正确； ∵， ∴故C正确； ∵， ∴， ∴，故D结论错误． 故选：D． 【巩固练习】 1.（2023·江苏南通·中考真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 设 ∴ ∵ ∴有最大值，最大值为 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2.（2023·湖北十堰·中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为 联立 解得：或 ∴， 由，则，对称轴为直线， 设，则点在上， ∵且， ∴点在点的左侧，即，， 当时， 对于，当，，此时， ∴， ∴ ∵对称轴为直线，则， ∴的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键． 3.（2023·山东烟台·一模）如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以下结论： ①无论取何值，恒小于； ②可由向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； 四边形的面积为． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①将化成顶点式，再判断即可； ②将、的解析式都转化成顶点式，由顶点坐标即可判断、的平移关系； ③将的表达式求出来，根据一次函数的增减性判断的增减性； ④先求出、、、四点的坐标，再由计算即可． 【详解】解：① ， ， 无论取何值时，恒小于0，故①正确； ②把代入中， 得， 解得：， 抛物线的表达式为： ， 抛物线顶点为， 的顶点为， 可由向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到．故②错误； ③ ， 时，的值随值的增大而减小，故③错误； ④如图， 令，即， 解得：， ， 由 可知对称轴为直线， 当时，， ， ，即， 解得：， ， 由 ，可得对称轴为直线， 当时，， ， ，即 解得：， ， ，， 轴，轴轴， 轴，即， ，故④正确； 综上，正确的有①④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，二次函数的对称性，以及二次函数中求四边形面积．综合性较强，属于压轴题．熟练掌握二次函数的一般式与顶点式的转换，求二次函数的对称轴，求二次函数的顶点坐标是解题的关键． 4.（2024·云南德宏·一模）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，直线交轴于点，直线交轴于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设点的坐标为，分别求出直线，的解析式，再求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和， ， 解得：， 抛物线的解析式为 （2）解：根据题意，设点的坐标为， 设直线的解析式为：， ， ，    解得， 即直线的解析式为：， 令，，               ，         同理可求出直线的解析式为：， 令，，      根据题意可知：若，则、、、四点重合，不符合题意，故 ． 5.（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式及对称轴． (2)如图1， ①若，则P点坐标为 ； ②若，则P点坐标为 ． (3)如图2，连接、，与交于点D，若，求点P坐标． (4)如图3，M、N是抛物线对称轴上两个动点，点M在点N上方，且，请直接写出的最小值 ．并写出此时M点的坐标 ． 【答案】(1)；对称轴为 (2)①，② (3)或 (4)， 【分析】（1）把 、代入得利用待定系数法求解即可，把一般式化成顶点式即可得抛物线的对称轴． （2）①先求出A、B、C的坐标，则可知、、的长．易证，则可得，又由，可得，则可得，由此可得P点 于C点的纵坐标相同，由即可求得P点的坐标． ②作C点关于x轴的对称点，则可得，过C点作，交抛物线于P点 ，则可得．求出直线的表达式，由可知直线与直线的斜率相同，则可得直线的表达式．联立抛物线与直线的表达式，即可求出点P的坐标． （3）先求出直线的表达式为．过D点作轴于E点，过P点作轴于F点，则可得，进而可得．设，，则，，代入比例式中即可求出n的值，进而可得P点的坐标． （4）将向上平移2个单位得，则可得平行四边形，由此得，作点关于对称轴的对称点，则，进而可得．当E、M、G三点共线时，的值最小，即的长．根据勾股定理即可求出的长．求出直线的表达式，与对称轴的交点即为M点，求出M点的坐标即可． 【详解】（1）把 、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为：， ， ∴对称轴为：． （2） ① 由得， ，， ，， ，，， ， 又， ， ， 又， ， ， ∴P点与C点纵坐标相同， 由得， ，， ，， ． ② 如图，作点关于x轴的对称点，连接，则， ， 又， ， 过C点作，交抛物线于P点， 则， 设的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． ， ∴直线与直线斜率相同， ∴直线的表达式为． 联立， 得，， ． （3） 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 过D点作轴于E点，过P点作轴于F点， 则， 又， ， ， ， ， ， 设，， 则，， ， 解得，， 时，， 时，， ，， ∴P点的坐标为：或． （4） 的最小值为，此时M点的坐标为， 将向上平移2个单位得， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， 作点关于对称轴的对称点， 则， ， 当E、M、G三点共线时，的值最小， 即的最小值为的长， ，， ， 的最小值为， 连接，与对称轴的交点即为M点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 当时，， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马求最小值问题．综合性强，难度较大．正确的做出辅助线，熟练掌握数形结合法是解题的关键． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$