精品解析：四川省泸州市合江县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

合江县2024年秋期末义务教育阶段九年级学生素质监测 数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程改写成为的形式，则 ， ， 的值分别为（ ） A. 3，，2 B. 3，， C. 3，， D. 2，，8 3. 若点与点关于原点对称，则（ ） A. 8 B. C. 9 D. 4. 将分别标有“幸”“福”“合”“江”汉字的四张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上的汉字为“合”“江”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，过反比例函数上一点 作轴于 ．若，则 的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 6. 如图， 是 内接三角形， 是中点，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中， 且 于 ，垂直平分 ，与 交于 ，与 交于 ，若，，则 的长为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图，正方形 的边长为2，分别以 、 为圆心，正方形的边长为半径画弧，在正方形 中随机抛掷一粒豆子，则豆子落在阴影区域内的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 关于 的方程无解，则 的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 不能确定 10. 等边三角形 的三边分别为 ， ， ，且满足方程，则方程的两根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 如图， 的直径， ， 在 上，且， 与 相交于点 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，且，，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，，当时， 随 的增大而减小 D. ，，当时， 随 的增大而增大 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 从，， 这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为________． 14. 如图，在 中，，点 在 上，以 为圆心， 为半径的圆与 相切于点 ，与 相交于点 ，若 是 的中点，则点 到 的距离为________． 15. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知，点 在第一象限， ，且，将绕 点逆时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋转后点 的坐标为________． 16. 点在抛物线上，且是正整数，则________． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 18. 解方程：2x2+3=7x． 19. 如图，在 中， 平分 ， ，．求证：四边形是菱形． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度， 顶点 ， ， 均在格点上． （1）若 和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标． （2）将 以 点为中心，顺时针旋转 ，请作出旋转后的图形，并求线段 在旋转过程中扫过的图形的面积． 21. “强国必须强语，强语助力强国”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为：A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）样本容量为________；“C”等所在扇形的圆心角的度数为________度； （2）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； （3）学校要从答题成绩为 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. “尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第 天且 为整数)的售价为 (元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与 的函数关系式为，已知该产品第 天的售价为 元千克，第天的售价为元千克，设第 天的销售额为 (元)． （1） ，_____； （2）写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式； （3）求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 23. 如图，已知在反比例函数的图象上，连接 ，将线段 绕 点逆时针旋转 ， 点恰好落在反比例函数的 点处． （1）反比例函数的解析式． （2）在 轴上是否存在一点 ，使得，若存在，请求出 点坐标，若不存在，请说明理由． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 在 中， ，以AB为直径作 交 于点 ，延长交 于 ，过点 的直线 与 相切． （1）求证： ； （2）若，且，求 的内接四边形的面积． 25. 如图，抛物线顶点 到 轴的距离为1．与 轴交于点 和点，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）设 是抛物线第一象限上的一个动点，过点 作轴于点 ，交直线 于点 ，当线段最长时，求点 点坐标． （3）在（2）的条件下，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江县2024年秋期末义务教育阶段九年级学生素质监测 数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别；根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义旋转 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，分别判断即可得出答案． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 将方程改写成为的形式，则 ， ， 的值分别为（ ） A. 3，，2 B. 3，， C. 3，， D. 2，，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解：将方程改写成为的形式为， 则 ， ， 的值分别为3，， 故选：C． 3. 若点与点关于原点对称，则（ ） A. 8 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质，负整数指数幂；正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出 ， 的值，进而代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴ ∴ 故选：D． 4. 将分别标有“幸”“福”“合”“江”汉字的四张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上的汉字为“合”“江”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：用分别表示：“幸”“福”“合”“江”四张卡片，由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中抽出的卡片上的汉字为“合”“江”的情况有2种， ∴； 故选B． 5. 如图，过反比例函数上一点 作轴于 ．若，则 的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，据此即可求解． 【详解】根据反比例函数k的几何意义可知，， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴ ，即． 故选：D． 6. 如图， 是 内接三角形， 是中点，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 连接，根据圆周角定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ 是中点，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 7. 如图，在 中， 且 于 ， 垂直平分 ，与 交于 ，与 交于 ，若 ，，则 的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．连接 ，根据线段垂直平分线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得，设，则，在 中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 垂直平分 ， ∴， ∵ 且 ，， ∴， ∵ ， ∴， 设，则， 在 中，， ∴， 解得：， 即． 故选：B 8. 如图，正方形的边长为2，分别以 、 为圆心，正方形的边长为半径画弧，在正方形中随机抛掷一粒豆子，则豆子落在阴影区域内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了几何概率的求法，求扇形面积，解题的关键是求得阴影部分的面积．用阴影部分的面积除以正方形的总面积即可求得概率． 【详解】解： 所以在该正方形内随意抛一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为 故选：A． 9. 关于 的方程无解，则 的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解的性质．先去分母把分式方程化为整式方程，然后分两种情况讨论，当时，当时，即可求解． 【详解】解：， 等式两边同时乘以：， ∴， ∴， 当时， 方程无解，此时 当时， ∵方程无解， ∴ 解得： ∴ 的值为： 或． 故选：A． 10. 等边三角形 的三边分别为 ， ， ，且满足方程，则方程的两根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程解，等边三角形的性质的定义，根据已知条件可知，原方程化为，解方程，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形 的三边分别为 ， ， ， ∴， ∴原方程可化为， 解得：， 故选：B． 11. 如图， 的直径， ， 在 上，且， 与 相交于点 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质．连接，证明四边形是菱形，进而得到，，再由 ，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点 ， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴是等边三角形，四边形是菱形 ∴，， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：D 12. 已知函数，且，，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，，当时， 随 的增大而减小 D. ，，当时， 随 的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得当时， ，当时，设对称轴为直线，，则在抛物线上，时，得出在对称轴右侧， 随 的增大而增大，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴在 轴的左侧，设对称轴为直线， ∵， ∴当时， ，当时， ∴关于直线对称的点为， 则在抛物线上，时， 又∵ ∴在对称轴右侧， 随 的增大而增大， ∴抛物线开口向上，，，当时， 随 的增大而增大 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 从，， 这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法图求概率，点的坐标，根据列表法求得该点刚好在坐标轴上的情况有4种，进而根据概率公式求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种， 所以该点在坐标轴上的概率 故答案为：． 14. 如图，在 中，，点 在 上，以 为圆心， 为半径的圆与 相切于点 ，与 相交于点 ，若 是 的中点，则点 到 的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理的应用，连接，过点 作于点 ，设 的半径为 ，则，进而勾股定理求得半径，证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点 作于点 ， ∵ 为半径的圆与 相切于点 ， ∴ ∵ 是 的中点， ∴ ， ∵， ∴, 设 的半径为 ，则， 在中， 即 解得：， ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴四边形是正方形， ∴ 故答案为： ． 15. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知，点 在第一象限， ，且，将绕 点逆时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋转后点 的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．画出图形，然后再运用勾股定理、直角三角形的性质确定点B的坐标，再发现旋转过程中每4个一循环，再据此规律即可解答． 【详解】解：如图 ∵， ∴， ∴， 如图：过B作， ∵， ∴， ∴． ∴， 由旋转的性质可得：，，，， ∵每次逆时针旋转， ∴、、、循环出现， ∵， ∴第2025次旋转后点 的坐标为； 故答案为：． 16. 点在抛物线上，且是正整数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数，熟练掌握是解答本题的关键．点在抛物线上所以代入可得，变形可以发现是，即可求得的值，再代入即可． 【详解】解： 点在抛物线上， ， ， 变形为：， ，， 是正整数， 即，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键． 直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解： 18. 解方程：2x2+3=7x． 【答案】x1=，x2=3． 【解析】 【分析】移项后得到2x2-7x+3=0，然后分解因式得到（2x-1）（x-3）=0，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】∵2x2+3=7x， ∴2x2﹣7x+3=0， ∴（2x﹣1）（x﹣3）=0， ∴2x﹣1=0或x﹣3=0， ∴x1=，x2=3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据因式分解法解一元二次方程. 19. 如图，在 中， 平分 ， ，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、等角对等边定理、角平分线的性质、菱形的判定，根据角平分线的性质可得，，进而可得，则可证得，可证得四边形是平行四边形，再根据等角对等边可得，进而可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：平分 ， ，． ， ， ． ， 四边形是平行四边形．． ， ， 四边形是菱形． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度， 顶点 ， ， 均在格点上． （1）若 和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标． （2）将 以 点为中心，顺时针旋转 ，请作出旋转后的图形，并求线段 在旋转过程中扫过的图形的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形与旋转图形，求扇形面积； （1）根据中心对称的性质找到的对应点，顺次连接即可，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据旋转的性质画出，根据勾股定理求得 的长，进而根据扇形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； ∵ ∴ ∴线段 在旋转过程中扫过的图形的面积为． 21. “强国必须强语，强语助力强国”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为：A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）样本容量为________；“C”等所在扇形的圆心角的度数为________度； （2）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； （3）学校要从答题成绩为 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）50， （2） 补全条形统计图，如图所示： （3） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联、树状图或列表法求概率等知识，根据题意正确计算是解题的关键． （1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可样本的容量；用成绩为C等级的人数所占百分比乘以即可求出 等级所在扇形圆心角的度数； （2）用抽取总人数乘以 等级的人数所占百分比，求出成绩为 等级的人数，进而求得 等级的人数，即可补全条形统计图； （3）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴样本容量为 “ ”等所在扇形的圆心角的度数为 故答案为：50，； 【小问2详解】 解： 等级的人数为：（人），则 等级的人数为（人） 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果数有2种， ∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率为． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. “尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第 天且 为整数)的售价为 (元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与 的函数关系式为，已知该产品第 天的售价为 元千克，第 天的售价为 元千克，设第 天的销售额为 (元)． （1） ，_____； （2）写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式； （3）求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 【答案】（1）， （2） （3）在试销售的天中，共有 天销售额超过元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解； （3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，将，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． 【小问2详解】 解：依题意， 当时， 当时， ∴ 【小问3详解】 解：依题意，当时， 当时， 解得： 为正整数， ∴第 天至第天，销售额超过元 （天） 答：在试销售的天中，共有 天销售额超过元 23. 如图，已知在反比例函数的图象上，连接 ，将线段 绕 点逆时针旋转 ， 点恰好落在反比例函数的 点处． （1）反比例函数的解析式． （2）在 轴上是否存在一点 ，使得，若存在，请求出 点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在 【解析】 【分析】（1）过 作轴于点 ，过点 作于点 ，证明得出，根据，在图象上，得出，即可求解； （2）由（1）可得，延长 交 轴于点 ，求得直线 的解析式为，得出设，进而根据建立方程，求得 的值，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过 作轴于点 ，过点 作于点 ， ∵ ∴ ∵将线段 绕 点逆时针旋转 ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵，在图象上， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∴反比例函数的解析式 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 由（1）可得 如图所示，延长 交 轴于点 ， 设直线 的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线 的解析式为， 当 时，， ∴； 设， ∴ ， ， ∵， ， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 在 中， ，以AB为直径作 交 于点 ，延长交 于 ，过点 的直线 与 相切． （1）求证： ； （2）若，且，求 的内接四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）44 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解决问题的关键． （1）如图：连接 ，根据圆的切线的性质可得 ，根据圆周角定理可得 ，再根据三角形中位线的性质可得 ，最后根据平行线的性质即可证明结论； （2）由圆周角定理可得，即；再说明可得，设，则，、，然后运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图：连接 ， ∵ 为 切线， ∴ ， ∵ 为 直径， ∴，即： ， 又∵ ， ∴ 是 的中点， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵ 为 直径， ∴，即， 由（1）有， ∴， ∴， ∴， 又∵ 是 的中点， ∴， ∴， 是 的中点， ∴，， 设，则，，， ∵， ∴，解得：，（舍）； 在中：， ∴， 在中：， 在中：， ． 25. 如图，抛物线顶点到 轴的距离为1．与 轴交于点 和点，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）设 是抛物线第一象限上的一个动点，过点 作轴于点 ，交直线 于点 ，当线段最长时，求点 点坐标． （3）在（2）的条件下，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，一次函数的平移，一次函数与二次函数综合，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． （1）由题意可得，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线经过点，可得，用待定系数法即可求解； （2）求出直线 的解析式，设点D坐标为，则点，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． （3）先求得直线的解析式，进而根据平行线的性质，得出 的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线顶点到 轴的距离为1．则对称轴是直线 ，与x轴交于点A，， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设直线 的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线 的解析式为； 设点D坐标为，则点， ∴ ∴当时，最长，此时 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，代入，得 解得： ∴直线的解析式为 如图所示，当时，， 设直线 的解析式为，代入得，， ∴ 联立 解得：或 ∴ 设关于 的对称点为， ∴，的中点在 ：上， ∴， 解得：或（舍去） ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 联立 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，抛物线上是否存在点，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $