（专项突破篇）第一单元·专项4 圆锥的体积-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册(北师大版)

2024-2025学年度六年级数学下册专项突破篇 专项4 圆锥的体积 一、仔细想，认真填。 1．3.5( )    3400( ) 2300( )    6.5L( ) 0.083( )    4000( )( ) 2．一个圆锥形零件的体积是48dm3，高是9dm，那么它的底面积是( )。 3．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等。已知圆柱的高是15厘米，圆锥的高是( )厘米。 4．一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积都相等，圆柱的高是9厘米，圆锥的高是( )厘米。 5．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是208立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 6．如图，将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中，水面由原来的600mL上升到800mL。放进去的圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 7．乐乐家把收获的稻谷堆成了高2.4m，底面直径为4m的圆锥形，一共收获了( )m3的稻谷。 8．把一块圆柱形木料削成一个最大的圆锥，如果圆柱的体积是15dm3，那么圆锥的体积是( )dm3；如果削去部分的体积是24dm3，那么削成圆锥的体积是( )dm3。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 9．圆柱的体积是圆锥的3倍。( ) 10．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是30立方厘米，这个圆锥的体积是15立方厘米。( ) 11．一个圆锥的体积是30立方米，高是3米，它的底面积是10平方分米。( ) 12．一个圆柱形橡皮泥的高是7厘米，把它捏成底面半径相同的圆锥，这个圆锥的高是21厘米。( ) 13．一个正方体与一个圆锥的底面积和高分别相等，这个圆锥的体积等于这个正方体体积的。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 14．下列说法正确的是（    ）。 A．用一个4倍的放大镜看一个20°的角，这个角是80°。 B．如果等底等高的圆柱和圆锥体积差为62.8立方厘米，那么这个圆锥的体积是31.4立方厘米。 C．用3厘米、3厘米和6厘米的三根小棒，可以围成一个三角形。 D．同样高的杆子离路灯越远，影子越短。 15．一个等底等高的圆柱和圆锥，如果圆锥的高增加18cm，那么圆柱和圆锥的体积相等。已知圆锥的底面半径是5cm，则原来圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．50π B．75π C．100π D．200π 16．下面能用方程“”来表示的是（    ）。 ①            ② ③            ④ A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 17．将一个底面半径是5厘米，高是6厘米的圆锥形实心铁块，锻压成一个底面半径是2厘米的圆柱形实心铁块，这个圆柱形铁块的高是（    ）厘米。 A．37.5 B．10 C．7.85 D．12.5 18．一支尖端部分是圆锥形的铅笔，圆锥部分的长度是圆柱部分的，则圆锥部分的体积是圆柱体积的（    ）。 A． B． C． D． 四、计算小能手。 19．求体积。 20．按要求算一算。 求圆锥的体积。 21．计算下面图形的体积。（单位：dm） 五、解决问题。 22．油桶的表面要刷漆，每平方米需油漆0.6千克。每个油桶的底面直径是40厘米，高是60厘米，刷100个油桶需要多少油漆？ 23．一个圆柱形容器，底面半径是2分米，高是5分米。（容器的厚度忽略不计） （1）这个圆柱形容器的容积是多少升？ （2）将这个圆柱形容器装满水后，倒入如图的圆锥形容器内，水面高度正好是圆锥形容器高度的一半，这个圆锥形容器一共能装多少升水？ 24．在一个内底面直径是20厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径2厘米的圆锥形铁块，全部浸没水中，这时水面上升0.2厘米，圆锥形的高是多少厘米？ 25．积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是4厘米，高是9厘米的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？取 26．一个圆柱形容器，里面盛有一些水，有一个底面积为157平方厘米的圆锥形铁块浸没在容器内，把铁块从容器中拿出来后，水面下降了2厘米。如果这个容器底面半径是10厘米，那么这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 27．一个圆锥形的沙堆，底面积是1884平方米，高4米，把这堆沙铺在宽10米的公路路面上，如果铺0.02米厚，能铺多长？ 参考答案 1． 350 34 2.3 6500 83 4000 4 分析：根据1＝100，1＝100，1＝1000，1L＝1000，1＝1，1＝1000，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 详解：3.5×100＝350（）；3400÷100＝34（） 2300÷1000＝2.3（）；6.5×1000＝6500（） 0.083×1000＝83（）；4000÷1000＝4（） 3.5350；340034 23002.3；6.5L6500 0.08383；400040004 2．16dm2/16平方分米 分析：根据圆锥底面积＝体积×3÷高，列式计算即可。 详解：48×3÷9＝16（dm2） 它的底面积是16dm2。 3．45 分析：根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高。一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，则圆锥的高是圆柱的3倍。据此解答。 详解：根据分析可得： 15×3＝45（厘米） 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等。已知圆柱的高是15厘米，圆锥的高是45厘米。 4．27 分析：根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V，当圆柱和圆锥的体积、底面积分别相等时，圆柱的高是圆锥的高的，即圆锥的高是圆柱的3倍，由此求出圆锥的高即可。 详解：根据分析可知，圆锥的高是圆柱高的3倍，所以圆锥的高是：（厘米）。 点睛：本题考查圆柱、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥的体积计算公式。 5． 156 52 分析：根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，可以把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，一共是（1＋3）份；用等底等高的圆柱和圆锥的体积之和除以总份数，求出一份数，即是圆锥的体积；再用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积。 详解：圆锥的体积： 208÷（1＋3） ＝208÷4 ＝52（立方厘米） 圆柱的体积： 52×3＝156（立方厘米） 圆柱的体积是156立方厘米，圆锥的体积是52立方厘米。 6． 150 50 分析：800mL＝800 cm3，600mL＝600 cm3。由题意可知：等底等高的圆柱和圆锥的体积和是800－600＝200 cm3，而等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。根据和倍公式和÷（倍＋1）求出圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积；据此解答。 详解：800mL＝800cm3，600mL＝600cm3 800－600＝200（cm3） 200÷（3＋1） ＝200÷4 ＝50（cm3） 50×3＝150（cm3） 放进去的圆柱的体积是150cm3，圆锥的体积是50cm3。 7．10.048 分析：已知收获的稻谷堆成一个圆锥形，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出一共收获稻谷的体积。 详解：×3.14×（4÷2）2×2.4 ＝×3.14×22×2.4 ＝×3.14×4×2.4 ＝10.048（m3） 一共收获了10.048m3的稻谷。 8． 5 12 分析：根据题意，把一块圆柱形木料削成一个最大的圆锥，那么圆柱和圆锥等底等高； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，削去部分的体积是圆锥体积的2倍；据此解答。 详解：15÷3＝5（dm3） 24÷2＝12（dm3） 圆锥的体积是5dm3，削成圆锥的体积是12dm3。 9．× 分析：根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以在没有确定圆柱与圆锥是否等底等高的前提条件下，无法确定圆柱与圆锥体积的大小，据此判断。 详解：在没有确定圆柱与圆锥是否等底等高的前提条件下，无法确定圆柱与圆锥体积的关系。因此原题说法错误。 故答案为：× 点睛：此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 10．√ 分析：因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差相当于圆锥体积的（3－1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，然后与15立方厘米进行比较即可。 详解：30÷（3－1） ＝30÷2 ＝15（立方厘米） 所以这个圆锥的体积是15立方厘米。 故答案为：√ 点睛：此题考查目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 11．× 分析：根据圆锥的体积公式：底面积×高÷3，当体积是30立方米，高是3米的时候，把数代入求出它的底面积，再进行判断。 详解：30×3÷3 ＝90÷3 ＝30（平方米） 30平方米＝3000平方分米 所以它的底面积是3000平方分米，原题说法错误。 故答案为：× 点睛：本题主要考查圆锥的体积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。 12．√ 分析：根据圆柱体积公式：V＝Sh，圆锥体积公式：V＝Sh，若把圆锥体积看作单位“1”，则同底等高的圆柱体积是该圆锥体积的3倍，所以当圆柱和圆锥的体积相等、底面积也相等时，圆锥的高就是圆柱高的3倍，据此解答即可。 详解：由分析可得： 同底等高时，圆柱高是7厘米， 则圆锥高为：7×3＝21（厘米） 综上所述：一个圆柱形橡皮泥的高是7厘米，把它捏成底面半径相同的圆锥，这个圆锥的高是21厘米。 故答案为：√ 点睛：本题考查了同底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，熟记圆柱和圆锥的体积公式是解题的关键。 13．√ 分析：根据正方体体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，设正方体的底面积为s，高为h，则圆锥的底面积是s，高是h；带入正方体体积公式和圆锥体积公式，分别求出正方体体积公式和圆锥的体积公式，再用圆锥的体积÷正方体的体积，即可解答。 详解：设正方体的底面积为s，高为h，则圆锥的底面积是s，高是h。 正方体体积：sh 圆锥的体积：sh× sh×÷sh＝ 一个正方体与一个圆锥的底面积和高分别相等，这个圆锥的体积等于这个正方体体积的。 原题干说法正确。 故答案为：√ 点睛：利用正方体体积公式和圆锥的体积公式进行解答，关键是熟记公式。 14．B 分析：利用放大镜并不会改变角的度数；等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍；三角形的三边关系为：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；离光源越远，物体的影子越长。据此可判断得出答案。 详解：A．用一个4倍的放大镜看一个20°的角，这个角是20°，选项表述错误； B．如果等底等高的圆柱和圆锥体积差为62.8立方厘米，这个圆锥体积为：62.8÷2＝31.4（立方厘米）。选项表述正确。 C．用3厘米、3厘米和6厘米的三根小棒，3＋3＝6，不能围成一个三角形。选项表述错误。 D．同样高的杆子离路灯越远，影子越长。选项表述错误。 故答案为：B 15．B 分析：等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的高增加18厘米后，圆锥与圆柱的体积相等，说明圆锥体积增加了2倍，即高增加了2倍，先算出圆锥原来的高，再根据公式：圆锥的体积＝×底面积×高，算出原来圆锥的体积，据此解答。 详解：18÷2＝9（厘米） ×π×52×9 ＝×π×25×9 ＝75π（立方厘米） 即原来圆锥的体积是75π立方厘米。 故答案为：B 16．A 分析： ①，根据题意可知，线段总长是80，平均分成4份，其中三份是x，则一份是x，一份＋三份＝80，列方程：x＋x＝80；所以可知用x＋x＝80来表示； ②；由图可知，大三角形和小三角形是等高的三角形，小三角形的底是5，大三角形的底是15，5是15的，所以小三角形的面积是大三角形的面积的，即小三角形的面积是x（cm2），大三角形的面积＋小三角形的面积＝60，所以列式是x＋x＝80，所以可以用x＋x＝80表示； ③，等底等高的圆锥的体积是圆柱的，圆柱的体积是xcm3，则圆锥的体积是xcm3，圆锥的体积＋圆柱的体积＝80cm3，列方程：x＋x＝80，所以可以用x＋x＝80表示； ④，下面线段长时x，上面线段是下图线段的，上图线段长是x，上图线段的长＋下图线段的长＝80，列方程：x＋x＝80；所以可以用x＋x＝80表示。据此解答。 详解：根据分析可知，①②③④都可以用方程“x＋x＝80”来表示。 故答案为：A 17．D 分析：我们需要利用圆锥和圆柱的体积公式来解决问题。 圆锥的体积公式为V＝πr2h，其中r是圆锥底面半径，h是圆锥的高。 圆柱的体积公式为V＝πR2H，其中R是圆柱底面半径，是H圆柱的高。 因为圆锥形实心铁块被锻压成圆柱形实心铁块，所以它们的体积是相等的。首先来看圆锥，已知其底面半径是2厘米，高是6厘米。根据圆锥体积公式，我们可以计算出圆锥的体积。再看圆柱，已知其底面半径是厘2米。由于圆锥和圆柱体积相等，我们可以通过这个等量关系，将圆锥的体积表达式代入到圆柱体积公式中，从而求出圆柱的高H。 详解：×3.14×52×6 ＝×π×25×6 ＝50π 50π＝π×22×H 50π＝4πH H＝50÷4 H＝12.5（厘米） 这个圆柱形铁块的高是12.5厘米。 故答案为：D 18．C 分析：根据题意，这支铅笔的圆柱部分和圆锥部分的底面积相等，可以设它们的底面积都是S； 由圆锥部分的长度是圆柱部分的，可以设圆柱的长度是h，则圆锥的长度是h； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱部分和圆锥部分的体积，再用圆锥部分的体积除以圆柱部分的体积，即可求出圆锥部分的体积是圆柱体积的几分之几。 详解：设圆锥和圆柱的底面积都是S，圆柱的长度是h，则圆锥的长度是h。 圆柱的体积：Sh； 圆锥的体积：×S×h＝Sh Sh÷Sh＝ 圆锥部分的体积是圆柱体积的。 故答案为：C 19．188.4cm3 分析：组合体体积＝底面直径是6cm，高是4cm的圆柱的体积＋底面直径是6cm，高是（12－4）cm的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据，即可解答。 详解：3.14×（6÷2）2×4＋3.14×（6÷2）2×（12－4）× ＝3.14×32×4＋3.14×32×8× ＝3.14×9×4＋3.14×9×8× ＝28.26×4＋28.26×8× ＝113.04＋226.08× ＝113.04＋75.36 ＝188.4（cm3） 组合体的体积是188.4cm3。 20．2512立方分米 分析：利用圆锥的体积公式：计算即可。 详解： ＝314×8 （立方分米） 21．11.14dm3 分析：看图可知，圆锥的底面直径＝正方体棱长，组合图形的体积＝正方体体积＋圆锥体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 详解：2×2×2＋3.14×（2÷2）2×3÷3 ＝8＋3.14×12×3÷3 ＝8＋3.14×1×3÷3 ＝8＋3.14 ＝11.14（dm3） 这个组合体的体积是11.14dm3。 22．60.288千克 分析：根据题意，给圆柱形油桶的表面刷漆，那么刷漆的面积就是圆柱的表面积；根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算，求出一个油桶需刷漆的面积，再根据进率“1平方米＝10000平方厘米”换算成以“平方米”为单位的数； 然后用每平方米需油漆的质量乘一个油桶需刷漆的面积，求出一个油桶需油漆的质量，最后乘100，即是100个油桶需油漆的总质量。 详解：3.14×40×60＋3.14×（40÷2）2×2 ＝125.6×60＋3.14×202×2 ＝7536＋3.14×400×2 ＝7536＋2512 ＝10048（平方厘米） 10048平方厘米＝1.0048平方米 0.6×1.0048×100＝60.288（千克） 答：刷100个油桶需要60.288千克油漆。 23．（1）62.8升 （2）502.4升 分析：（1）根据圆柱的体积计算公式“”即可求出这个圆柱形容器的容积是多少立方分米，再根据“立方分米与升是等量关系二者互化数值不变”转化成升。 （2）如果把这个圆锥沿高剖开，整个圆锥的剖面是一个大三角形，有水部分是一个小三角形，大三角形的高是小三角形高的2倍，则大三角形的底是小三角形底的2倍，即大圆锥的底面半径是小圆锥底面半径的2倍，则大圆锥体积是小圆锥体积的倍，即8倍，即水的体积是整个圆锥容积的。把圆锥的容积看作单位“1”，根据分数除法的意义即可解答。 详解：（1） （立方分米） 62.8立方分米升 答：这个圆柱形容器的容积是62.8升。 （2）由题意可知，在圆锥底面半径是小圆锥底面半径的2倍，设小圆锥的底面半径为，则大圆锥的底面半径为 水的体积是： 圆锥的容积是： 62.8÷ ＝62.8×8 ＝502.4（升） 答：这个圆锥形容器一共能装502.4升水。 点睛：（1）根据公式计算即可，不难；（2）关键是求出水的体积占整个圆锥容器的几分之几，这也是解答本题的难点。 24．15厘米 分析：根据题意可知，把圆锥形铁块放入容器中，上升部分水的体积就等于铁块的体积，根据圆柱的体积公式：，得出上升0.2厘米圆柱的体积，也就是圆锥的体积。再根据圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 详解： （厘米） 答：圆锥形铁块的高是15厘米。 25．301.44立方厘米 分析：把这个圆柱削成一个等底等高的圆锥形，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削求部分的体积相当于圆柱体积的。根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 详解： （立方厘米） 答：加工制作过程中削去木料的体积是301.44立方厘米。 26．12厘米 分析：圆锥体铁块浸没在容器中，从容器中拿出来后，水面下降了2厘米，则圆锥的体积即下降的水的体积，根据圆柱的体积公式：，求出上升水的体积，再根据圆锥的体积公式：，变式求高：，代入数值计算即可。 详解：下降的水的体积为： （立方厘米） 圆锥铁块的高为： ＝12（厘米） 答：这个圆锥体的高是12厘米。 27．12560米 分析：已知圆锥形沙堆的底面积是1884平方米，高4米，根据圆锥的体积公式VSh，求出沙堆的体积； 再把这堆沙铺在宽10米、厚0.02米的公路路面上，根据长方体的体积公式V＝abh，可知长方体的长a＝V÷b÷h，据此求出能铺的长度。 详解：1884×4 ＝628×4 ＝2512（立方米） 2512÷10÷0.02 ＝251.2÷0.02 ＝12560（米） 答：能铺12560米。 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