（专项突破篇）第一单元·专项3 圆柱的体积-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册(北师大版)

2024-2025学年度六年级数学下册专项突破篇 专项3 圆柱的体积 一、仔细想，认真填。 1．一个圆柱的底面周长是25.12分米，侧面积是251.2平方分米。这个圆柱的高是( )分米，体积是( )立方分米。 2．底面直径和高都是8厘米的圆柱，体积是( )立方厘米。 3．大、小两个圆柱的底面半径的比是3∶2，高的比是2∶3，那么体积的比是( )。 4．一个正方体木块的棱长是2dm，现在把它削成一个最大的圆柱。削成的圆柱的侧面积是( )dm2，削成的圆柱的体积占原来正方体体积的( )%。（π值取3） 5．把高为8cm的圆柱按下图切开，拼成近似的长方体，表面积增加了32cm2，圆柱的体积是( )cm3。 6．《九章算术》中记载的圆柱体积计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”， 也就是底面周长的平方乘高，再除以12，这种计算方法与现在的算法是一致的，只不过取圆周率的近似值为3，笑笑量得一个圆柱形水杯的底面周长是20厘米，高是12厘米。请用这种方法算一算这个水杯最多可盛水( )毫升。（水杯的厚度忽略不计） 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 7．圆柱的半径扩大2倍，高扩大3倍，底面积就扩大2倍，体积扩大6倍。( ) 8．用一张长方形纸围成两个不同的圆柱（接头处不计），圆柱的侧面积相等，体积也相等。( ) 9．底面积和高都相等的长方体和圆柱，它们的体积也一定相等。( ) 10．圆柱的高扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的3倍。( ) 11．如果圆柱、正方体和长方体等底等高，那么圆柱的体积最大。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 12．将一盒900mL的饮料倒入3个这样的圆柱形杯子（如图）中，（    ）。 A．刚好全部倒满，且没有剩余 B．不能倒满 C．倒满后还有剩余 D．不能确定 13．把一个圆柱侧面展开后，得到一个长6.28分米，宽4分米的长方形，这个圆柱的体积可能是（    ）立方分米。 A．62.8 B．314 C．12.56 14．如果一个圆柱的底面半径缩小到原来的，高扩大到原来的2倍，那么体积（    ）。 A．缩小到原来的B．扩大到原来的2倍C．缩小到原来的 D．没有变化 15．用一个长方形硬纸板，分别以长边和短边所在的直线为轴，快速旋转一周，得到两个圆柱，则这两个圆柱（    ）。 A．表面积相同，侧面积相同，体积不同 B．表面积不同，侧面积不同，体积相同 C．表面积不同，侧面积相同，体积不同 D．表面积相同，侧面积不同，体积相同 16．一个从里面量底面半径为20厘米的圆柱形水桶里，水深为20厘米，把一段钢材浸没在水中后（水未溢出），水深是原来的，这段钢材的体积是（    ）立方分米。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56 17．把一张长方形纸以长为底面周长卷成圆柱，也可以以宽为底面周长卷成圆柱，两种方法卷成的圆柱（    ）相等。 A．底面积 B．侧面积 C．表面积 D．体积 四、计算小能手。 18．分别计算下列各图形的体积，再说说这几个图形体积计算方法之间的联系。 19．计算下面图形的表面积和体积。（单位：分米） 五、解决问题。 20．李师傅要做一个零件（如图），有一个棱长6厘米的正方体铁块，在它的两个底面之间挖一个圆柱形圆孔，圆孔的底面直径是4厘米，剩下的部分就是这个零件了，此时零件的体积是多少立方厘米？ 21．西游记中的孙悟空正直勇敢、嫉恶如仇，他有一件神奇的兵器叫如意金箍棒，可以任意缩小或放大。如果孙悟空把如意金箍棒变化成底面周长是6.28分米，长是100分米的圆柱形铁棒，那么此时，它的体积是多少立方分米？ 22．一块长12.56分米、宽10分米的长方形铁皮，以宽为高，将长方形铁皮卷成一个圆柱形水桶的侧面，再配一个底面，制成一个水桶，这个水桶的客积是多少升？（铁皮厚度、按口处均忽略不计） 23．一个装满稻谷的圆柱形粮囤，底面半径是2米，高是0.8米。每立方米稻谷的质量约为700千克，这个粮囤存放的稻谷的质量约为多少千克？（π取3.14） 列式为： 24．下面三个长方形的面积相等，用这三个长方形的长做底面周长，围成三个不同的圆柱。 （计算时π取3.14，单位：厘米。） （1）哪个圆柱的体积最大？哪个圆柱的体积最小？ （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是多少，画出示意图，标出数据，并计算围出的圆柱的体积。 （3）你有什么发现？ 参考答案 1． 10 502.4 分析：根据圆柱的高＝侧面积÷底面周长，底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆柱的体积＝底面积×高，列式计算即可。 详解：251.2÷25.12＝10（分米） 3.14×（25.12÷3.14÷2）2×10 ＝3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（立方分米） 这个圆柱的高是10分米，体积是502.4立方分米。 2．401.92 分析：根据圆柱的体积，将数据带入公式解答即可。其中r是半径，则半径＝直径÷2。 详解：3.14×（8÷2）2×8 ＝3.14×42×8 ＝3.14×16×8 ＝401.92（立方厘米） 则体积是401.92立方厘米。 3．3∶2 分析：根据大、小两个圆柱的底面半径的比是3∶2，可以设大圆柱的底面半径是3，小圆柱的底面半径是2；根据高的比是2∶3，可以设大圆柱的高是2，小圆柱的高是3。然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，分别求出大、小两个圆柱的体积，再根据比的意义写出大、小两个圆柱体积的比，最后化简比即可。 详解：设大圆柱的底面半径是3，小圆柱的底面半径是2；大圆柱的高是2，小圆柱的高是3。 （π×32×2）∶（π×22×3） ＝（π×9×2）∶（π×4×3） ＝18π∶12π ＝18∶12 ＝（18÷6）∶（12÷6） ＝3∶2 那么大、小两个圆柱的体积的比是3∶2。 4． 12 75 分析：削成的最大圆柱的底面直径和高都应等于正方体的棱长，从而可以依据圆柱的侧面积＝底面周长×高，求出其侧面积；分别求出圆柱和原来正方体的体积，用圆柱的体积除以正方体的体积，就是圆柱的体积占原来正方体的体积的百分之几。 详解：圆柱侧面积：3×2×2 ＝6×2 ＝12（平方分米） 圆柱体积占正方体体积的：3×（2÷2）2×2÷（2×2×2） ＝3×1×2÷8 ＝6÷8 ＝0.75 ＝75% 一个正方体木块的棱长是2dm，现在把它削成一个最大的圆柱。削成的圆柱的侧面积是12dm2，削成的圆柱的体积占原来正方体体积的75%。 点睛：本题考查圆柱的侧面积和体积、百分数、正方体的体积，解答本题的关键是掌握圆柱的侧面积和体积计算公式。 5．100.48 分析：把高为8cm的圆柱按下图切开，拼成近似的长方体。由图可知，表面积增加的部分是长为8cm，宽是圆柱底面半径的2个长方形的面积。用32除以2就得到一个长方形的面积，再用长方形的面积除以长等于宽，即圆柱底面半径。再根据圆柱体积＝，求出圆柱体积。 详解：32÷2÷8 ＝16÷8 ＝2（cm） ＝3.14×4×8 ＝12.56×8 ＝100.48（cm3） 所以，这个圆柱体积是100.48 cm3。 6．400 分析：由题意可知：圆柱的体积＝底面周长2×高÷12，据此将底面周长20厘米，高12厘米代入计算即可。 详解：202×12÷12 ＝400×12÷12 ＝4800÷12 ＝400（立方厘米） 400立方厘米＝400毫升 这个水杯最多可盛水400毫升。 7．× 分析：根据题意，可设圆柱原来的底面半径为r，高为h，那么变化以后的半径是2r，高为3h，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，求出扩大前圆柱的底面积和扩大后圆的面积，即可求出底面积扩大多少倍；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，求出扩大前圆柱的体积和扩大后圆柱的体积，即可求出体积扩大多少倍，据此解答。 详解：设圆柱原来的底面半径为r，高为h，那么变化以后的半径是2r，高为3h。 π×（2r）2÷πr2 ＝4πr2÷πr2 ＝4 （4πr2×3h）÷（πr2h） ＝（12πr2h）÷（πr2h） ＝12 圆柱的半径扩大2倍，高扩大3倍，底面积就扩大4倍，体积扩大12倍。 原题干说法错误。 故答案为：× 点睛：本题主要考查了圆柱的体积公式及圆的面积公式的灵活应用，以及体积与半径和高的变化关系。 8．× 分析：可设长方形的长为a，宽为b，分别表示出以长方形的长和宽为底面周长和高围成两个圆柱形纸筒的侧面积和体积，再比较即可。 详解：设长方形的长为a，宽为b 则以长方形的长为底面周长，宽为高的圆柱的侧面积为a×b＝ab 体积为：π（）2×b＝ 以长方形的宽为底面周长，长为高的圆柱的侧面积为b×a＝ab 体积为：π（）2×a＝ ab＝ab，所以面积相等，≠，所以体积不相等；原说法错误。 故答案为：× 点睛：本题考查圆柱的侧面积及体积公式的灵活运用。 9．√ 详解：长方体和圆柱的体积公式都为：，所以底面积和高都相等的长方体和圆柱，它们的体积也一定相等。 如：长方体和圆柱的底面积为：12cm²，高为：3cm， 长方体体积：12×3＝36（立方厘米） 圆柱体积：12×3＝36（立方厘米） 长方体和圆柱的体积相等； 所以底面积和高都相等的长方体和圆柱，它们的体积也一定相等。所以答案正确。 故答案为：√ 10．× 分析：根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；由此可知，圆柱的体积有它的底面积和高决定的，圆柱的高扩大3倍，它的底面积是否变化没有确定，所以它的体积也就无法确定，据此解答。 详解：根据分析可知，圆柱的高扩大到原来的3倍，底面积是否变化无法确定，体积也无法确定。 原题干说法错误。 故答案为：× 点睛：解答本题的关键是明确底面积是否变化。 11．× 分析：根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；正方体体积公式：棱长×棱长×棱长＝底面积×高；长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高；据此解答。 详解：因为圆柱、正方体和长方体的体积都等于底面积×高，所以等底等高的圆柱、正方体和长方体的体积一样大。 原题干说法错误。 故答案为：× 点睛：熟练掌握圆柱的体积公式、正方体体积公式和长方体体积公式以及应用。 12．C 分析：已知圆柱形杯子的底面直径和高，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出一个杯子的容积，再乘3，即是3个这样的杯子的容积，与饮料的体积相比较，得出结论。注意单位的换算：1mL＝1cm3。 详解：3.14×（6÷2）2×10×3 ＝3.14×32×10×3 ＝3.14×9×10×3 ＝847.8（cm3） 847.8cm3＝847.8mL 900＞847.8 倒满后还有剩余。 故答案为：C 13．C 分析：根据题意，把一个圆柱侧面展开是一个长方形，有两种情况： （1）圆柱的底面周长等于长方形的长，圆柱的高等于长方形的宽； （2）圆柱的底面周长等于长方形的宽，圆柱的高等于长方形的长； 先根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出这个圆柱的体积。 详解：（1）当圆柱的高为4分米时，底面周长为6.28分米； 圆柱的底面半径： 6.28÷3.14÷2＝1（分米） 圆柱的体积： 3.14×12×4 ＝3.14×1×4 ＝12.56（立方分米） （2）当圆柱的高为6.28分米时，底面周长为4分米； 圆柱的底面半径： 4÷3.14÷2≈0.6（分米） 圆柱的体积： 3.14×0.62×6.28 ＝3.14×0.36×6.28 ≈7.1（立方分米） 所以，这个圆柱的体积可能是12.56立方分米或7.1立方分米。 故答案为：C 14．C 分析：根据圆柱的体积公式V＝πr2h，以及积的变化规律可知，圆柱的底面半径缩小到原来的，则圆柱的底面积缩小到原来的（）2，那么圆柱的体积也缩小到原来的（）2； 圆柱的高扩大到原来的2倍，那么圆柱的体积也扩大到原来的2倍； 最终圆柱的体积乘（）2，再乘2，据此得出圆柱体积的变化。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 详解：（）2×2 ＝×2 ＝ 那么体积缩小到原来的。 故答案为：C 15．C 分析：观察图形可知，以长边所在的直线为轴得到的圆柱的底面半径是4厘米，高是6厘米；以宽边所在的直线为轴得到的圆柱的底面半径是6厘米，高是4厘米。圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的体积＝底面积×高，据此分别计算出两个圆柱的表面积、侧面积和体积即可解答。 详解：两个圆柱的侧面都是由同一个长方形围成，则侧面积相等； 第一个圆柱的底面积：π×42＝16π（平方厘米） 第二个圆柱的底面积：π×62＝36π（平方厘米） 两个圆柱的侧面积相等，但底面积不相等，则它们的表面积也不相等； 第一个圆柱的体积：16π×6＝96π（立方厘米） 第二个圆柱的体积：36π×4＝144π（立方厘米） 则它们的体积不相等。 综上所述，这两个圆柱表面积不同，侧面积相同，体积不同。 故答案为：C 16．B 分析：根据求一个数的几分之几是多少用乘法，求出浸没钢材后的水深，水面上升的体积就是钢材体积，圆柱形水桶底面积×水面上升的高度＝钢材的体积，据此列式计算。 详解：20×＝25（厘米） 3.14×202×（25－20） ＝3.14×400×5 ＝6280（立方厘米） ＝6.28（立方分米） 这段钢材的体积是6.28立方分米。 故答案为：B 17．B 分析：根据题意，用一张长方形纸卷成两个形状不同的圆柱，一个圆柱是把长方形的长作为圆柱的底面周长，宽作为圆柱的高；另一个圆柱是把长方形的宽作为圆柱的底面周长，长作为圆柱的高；因此两个圆柱的底面半径、高都不相等，那么它们的底面积、表面积、体积就不相等，但两个圆柱的侧面积都等于这张长方形纸的面积，所以它们的侧面积相等。 详解：A．因为卷成的是两个形状不同的圆柱，分别是以长方形的长、宽作为圆柱的底面周长，所以它们的底面周长不相等，即底面半径不相等，那么它们的底面积就不相等； B．根据圆柱侧面积公式S侧＝Ch，它们的底面周长和高的乘积一定，都等于长方形纸的面积，所以它们的侧面积相等； C．因为卷成的是两个形状不同的圆柱，则它们的底面积不相等，侧面积相等，根据圆柱表面积公式S表＝S侧＋2S底，可知它们的表面积不相等； D．因为卷成的是两个形状不同的圆柱，则它们的底面积和高都不相等，根据圆柱体积公式V柱＝Sh，可知它们的体积不相等。 故答案为：B 18．96立方厘米；216立方厘米；157立方厘米；它们的体积都可以用底面积乘高来计算 分析：“”“”“”把图中数据代入公式计算，长方体、正方体、圆柱体的体积都可以用“底面积×高”来计算，据此解答。 详解：长方体：4×3×8 ＝12×8 ＝96（立方厘米） 正方体：6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 圆柱：3.14×（5÷2）2×8 ＝3.14×2.52×8 ＝3.14×6.25×8 ＝19.625×8 ＝157（立方厘米） 所以，长方体的体积是96立方厘米，正方体的体积是216立方厘米，圆柱的体积是157立方厘米，它们的体积都可以用底面积乘高来计算。 19．表面积：662.8平方分米；体积：937.2立方分米 分析：通过观察图形可知，在这个正方体上挖掉一个圆柱，剩下图形的表面积等于正方体的表面积加上圆柱的侧面积。剩下部分的体积等于正方体的体积减去圆柱的体积，根据正方体的表面积公式：S＝6，圆柱的侧面积公式：S＝πdh，正方体的体积公式：V＝，圆柱的体积公式：V＝π，把数据代入公式解答。 详解：表面积：10×10×6＋3.14×4×5 ＝600＋62.8 ＝662.8（平方分米）   体积：10×10×10－3.14×（4÷2）2×5   ＝1000－3.14×4×5 ＝1000－62.8 ＝937.2（立方分米） 20．140.64立方厘米 分析：根据题意可知，这个最大圆柱的高等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：，圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出它们的体积差即可。 详解： ＝ ＝6×6×6－3.14×4×6 （立方厘米） 答：这个零件的体积是140.64立方厘米。 21．314立方分米 分析：用底面周长除以圆周率再除以2得出圆柱形铁棒的半径，再根据圆柱体积底面积高计算即可。 详解： （分米） ＝3.14×1×100 （立方分米） 答：它的体积是314立方分米。 22．125.6升 分析：因为用一块长12.56分米，宽10分米的长方形铁皮，以宽为高做一个圆柱形水桶侧面，所以圆柱形水桶的底面周长是12.56分米，根据 （是圆的周长，是圆的半径）求出底面半径，再根据圆的面积公式2求出桶底的底面面积；最后再根据圆柱体积（容积）公式，列式求出水桶的容积。 详解：（分米） （平方分米） （立方分米） 125.6立方分米升 答：这个水桶的客积是125.6升。 点睛：此题主要考查圆柱的底面积和体积的计算方法在实际生活中的应用。 23．3.14×22×0.8×700 分析：圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数据求出圆柱的体积，再用圆柱的体积乘700即可求出这个粮囤可存放的稻谷质量。 详解：3.14×22×0.8×700 ＝3.14×4×0.8×700 ＝12.56×0.8×700 ＝10.048×700 ＝7033.6（千克） 答：这个粮囤存放的稻谷的质量约为7033.6千克。 24．（1）①圆柱的体积最大，③圆柱的体积最小 （2）长为37.68厘米，宽为1厘米；图形见详解；113.04立方厘米 （3）见详解 分析：（1）根据圆的周长公式：C＝2πr，据此分别求出三个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此分别求出三个圆柱的体积，再进行对比即可； （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。根据圆柱的体积公式解答。 （3）长方形的面积相当于圆柱的侧面积，则圆柱的侧面积相等，底面底面半径大，体积就越大。 详解：（1） ①3.14×（18.84÷3.14÷2）2× 2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方厘米） ②3.14×（12.56÷3.14÷2）2×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方厘米） ③3.14×（6.28÷3.14÷2）2×6 ＝3.14×1×6 ＝3.14×6 ＝18.84（立方厘米） 56.52＞37.68＞18.84 答：①圆柱的体积最大，③圆柱的体积最小。 （2）37.68×1＝18.84×2＝12.56×3＝6.28×6 如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。 如图所示： 3.14×（37.68÷3.14÷2）2×1 ＝3.14×36×1 ＝113.04（立方厘米） 答：这个长方形纸的长可能是37.68，宽可能是1厘米，围出的圆柱的体积是113.04立方厘米。 （3）我发现：当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面半径越大，圆柱的体积就越大。 学科网（北京）股份有限公司 $$