精品解析：江西省赣州市安远县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年度上学期期末训练 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项的代号填在题后的括号内） 1. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图形相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为______． 8. 已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 9. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在直线上，则旋转角的度数为______． 10. 若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 11. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______． 12. 如图，已知的半径是2，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为_____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，已知点A，B，C是上三点，且于点，若半径，，求弦长． 14. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求出实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求k的值． 15. 2023年春节档上映了3部观众较为喜爱的电影：《流浪地球2》，《满江红》，《无名》．甲、乙两人分别从中任意选择一部观看． （1）甲选择《满江红》电影是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）； （2）求甲、乙两人选择同一部电影的概率（请用画树状图或列表的方法给出分析过程）． 16. 如图，已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D． （1）请仅用无刻度的直尺在图（1）中作出∠BAC的平分线； （2）请仅用无刻度的直尺在图（2）中作出△ABC的中线AP． 17. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，． （1）求证：； （2）求的度数． 19. 于年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售．从月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． 元 件 （1）求y关于x的函数解析式； （2）若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元．则售价应定为多少元？ 20. 课本知识再现： （Ⅰ）归纳（八年级上册课本页）：点关于轴对称的点的坐标为；点关于轴对称的点的坐标为； （Ⅱ）归纳（九年级上册课本页）：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为． 小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后，从点的对称角度思考函数图像的对称，发现一次函数、二次函数图像上也可以应用点的对称特点． 根据上面知识，求与已知直线关于轴对称的直线的解析式； 解：设与直线关于轴对称的直线上任意一点， ∵点关于轴对称的点的坐标为， 又∵点必在直线上， 把点代入，得 ， ∴与已知直线关于轴对称的直线的解析式为． 理解上面的解题过程，并完成下题： （1）直接写出直线关于轴对称的直线的解析式为 　； （2）已知二次函数的图像与抛物线关于原点对称，请根据上述方法求的值； （3）判断以下每对函数的图像： ①与； ②与； ③与； ④与． 其中一定关于原点对称的是　 　（填序号）． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 22. 如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接． （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）求的面积； （3）如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 抛物线：（其中）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）①填空：当时，点A的坐标为______，点B的坐标为______；当时，点A的坐标为______，点B的坐标为______； ②随t值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； （2）若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线：，A，B的对应点分别为，，求抛物线的解析式； （3）设抛物线的顶点为P，当，为直角三角形时，求方程的根______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度上学期期末训练 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项的代号填在题后的括号内） 1. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 3. 小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案． 【详解】解：∵共射击100次，其中有85次击中靶子， ∴射中靶子的频率为， ∴小明射击一次击中靶子的概率约为， 故选C 4. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解题关键是熟记“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”．由垂径定理可得结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 故选：B 5. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 6. 坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图形相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为，求出点P的横坐标为：，点Q的横坐标为：，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为， ∵点P，Q分别为两条抛物线的顶点，A，B，C，D四点的纵坐标相同， ∴点P的横坐标为：， 点Q的横坐标为：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，求出点P、Q的横坐标． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把一元二次方程的解代入一元二次方程即可得出a的值． 【详解】解：把代入， 得： 故答案为：． 8. 已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据两点关于原点对称，横纵坐标分别互为相反数计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴a=-2，b= 3， ∴a+b=-2+3=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了坐标系中两点关于原点对称的计算，代数式的值，熟练掌握两点关于原点对称时坐标之间的关系是解题的关键． 9. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在直线上，则旋转角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和；由旋转的性质得，由等腰三角形的性质得，由三角形内角和求出，即可求解；掌握旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转得：，旋转角为， ， ， 旋转角的度数为； 故答案为：． 10. 若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分别把点坐标代入进行求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过两点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π． 故答案为6π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12. 如图，已知的半径是2，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】设，根据相切的定义由题意可得：点到轴的距离为2时相切，即，代入解析式可求点坐标． 【详解】解：设，， 与与轴相切， ， ， ①当时，， 解得：，， ②当时，，该方程无解， 点或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得出，求出的值是解决问题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，已知点A，B，C是上三点，且于点，若半径，，求弦长． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，垂径定理，勾股定理等； （1）进行因式分解为的形式可得或，即可求解； （2）连接，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解； 能根据方程的不同形式选择恰当的方法，并能熟练利用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：（1）， 或， ，； （2）连接， ，， ，， ， ， ， ． 14. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求出实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得． 【小问2详解】 解∶ ∵， ∴． 15. 2023年春节档上映了3部观众较为喜爱的电影：《流浪地球2》，《满江红》，《无名》．甲、乙两人分别从中任意选择一部观看． （1）甲选择《满江红》电影是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）； （2）求甲、乙两人选择同一部电影的概率（请用画树状图或列表的方法给出分析过程）． 【答案】（1）随机事件 （2）画图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类进行判断即可求解．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． （2）根据画树状图法求概率即可求解． 【小问1详解】 甲选择《满江红》电影是随机事件． 故答案为：随机． 【小问2详解】 《流浪地球2》，《满江红》，《无名》分别用A、B、C表示，画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中甲、乙2人选择同1部电影的情况有3种， ∴甲、乙2人选择同1部电影的概率为． 【点睛】本题考查了事件的分类，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D． （1）请仅用无刻度的直尺在图（1）中作出∠BAC的平分线； （2）请仅用无刻度的直尺在图（2）中作出△ABC的中线AP． 【答案】（1）如图1，AD为所作； （2）如图2，AP为所作． 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质得OD∥AC，然后根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠CAD； （2）连接点A和EF与OD的交点即可，根据圆周角定义得到∠AFE=90°，则OD垂直平分EF，然后根据平行线分线段成比例定理证明BP=CP． 【详解】略 【点睛】考查作图—复杂作图，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握切线的性质以及圆周角定理是解题的关键. 17. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可； （2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可． 【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x． 根据题意，得2(1＋x)2＝2.88， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%. (2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4， 所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由旋转的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质可得出； （2）求出，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质求出，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：， ， 矩形绕点旋转， ， ， ∴ ≌， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴ ， ∴， ∵ 矩形绕点旋转， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 19. 于年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售．从月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． 元 件 （1）求y关于x的函数解析式； （2）若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元．则售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元，则售价应定为50元 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求得一次函数的解析式； （2）根据单件的利润乘以销售量等于，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为，把，；，代入可得， 解得， 即y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去） 答：商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是元，则售价应定为元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 20. 课本知识再现： （Ⅰ）归纳（八年级上册课本页）：点关于轴对称的点的坐标为；点关于轴对称的点的坐标为； （Ⅱ）归纳（九年级上册课本页）：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为． 小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后，从点的对称角度思考函数图像的对称，发现一次函数、二次函数图像上也可以应用点的对称特点． 根据上面知识，求与已知直线关于轴对称的直线的解析式； 解：设与直线关于轴对称的直线上任意一点， ∵点关于轴对称的点的坐标为， 又∵点必在直线上， 把点代入，得 ， ∴与已知直线关于轴对称的直线的解析式为． 理解上面的解题过程，并完成下题： （1）直接写出直线关于轴对称的直线的解析式为 　； （2）已知二次函数的图像与抛物线关于原点对称，请根据上述方法求的值； （3）判断以下每对函数的图像： ①与； ②与； ③与； ④与． 其中一定关于原点对称的是　 　（填序号）． 【答案】（1）； （2），，； （3）． 【解析】 【分析】（）根据关于轴对称的坐标特点求解即可； （）根据关于原点对称的坐标特点求解即可； （）根据关于原点对称的坐标特点求解即可判断； 本题考查了利用点关于坐标轴、原点对称的特点求一次函数、二次函数关于坐标轴、原点对称的图象，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设与直线关于轴对称的直线上任意一点， ∵点关于轴对称的点的坐标为， 又∵点 必在直线上， 把点代入，得 ， 即， ∴与已知直线关于轴对称的直线的解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设点在抛物线的图象上 ， ∵点关于原点对称的点的坐标为， 又∵点必在抛物线的图象， 把点代入，得 ， 即， ∴，，； 【小问3详解】 解：把代入得，， 即， ∴与不是关于原点对称； 把代入得，， 即， ∴与是关于原点对称； 把代入得，， 即， ∴与不是关于原点对称； 把代入得，， 即， ∴与是关于原点对称； 综上，关于原点对称的是， 故答案为：． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与相切于点A，可得出，由角平分线线的性质定理即可得出，即可得出是的切线． （2）利用勾股定理得出，线段的和差得出，设，则，利用勾股定理解，即可求出x． （3）根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为2， ∴， ∵，， ∴，， ∵，都是的切线， ∴设，则， ∴在中 ，即， 解得， ∴． 【小问3详解】 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ，， ∴ 【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，角平分线的性质定理，勾股定理以及求不规则图形的面积等知识． 22. 如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接． （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）求的面积； （3）如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点E的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把点B的坐标代入函数解析式即可求出k，再把点A的坐标代入函数解析式即可求出m； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式，进而可得点M的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； （3）设点E的坐标为，用含m的式子表示出，然后利用建立关于m的方程，解方程即可求出答案． 【小问1详解】 ∵B在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 把A代入，得； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与y轴的交点M的坐标为， ∴的面积; 【小问3详解】 设点E的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，则当时， ∴， 解这个方程，得：， ∴点E的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 抛物线：（其中）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）①填空：当时，点A的坐标为______，点B的坐标为______；当时，点A的坐标为______，点B的坐标为______； ②随t值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； （2）若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线：，A，B的对应点分别为，，求抛物线的解析式； （3）设抛物线的顶点为P，当，为直角三角形时，求方程的根______． 【答案】（1）①， ；，；②会经过定点 （2）或 （3）， 【解析】 【分析】（1）①分别把，代入函数解析式，再令，再建立方程求解即可；②把函数化为，从而可得答案； （2）根据平移的性质可得，再求解即可得到答案； （3）求解顶点P的坐标，如图，当为直角三角形时，结合抛物线的性质可得：为等腰直角三角形，可得，，，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，函数为， 当时，， 解得：，， ∴， 当时，函数为， 当时，， 解得：，， ∴，， ② 当时，， ∴抛物线会经过定点； 【小问2详解】 ，解得， ∴ ∵A，B的对应点分别为， ∴ ∴ ∴， ∴抛物线的解析式为：或 【小问3详解】 方程的根， ∵ ∴顶点P的坐标，如图， 当为直角三角形时，结合抛物线的性质可得：为等腰直角三角形， ，，， ∴， 解得，，， ∵且， ∴， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，二次函数的平移，等腰直角三角形的性质，二次函数的对称性，平移的性质，掌握二次函数的性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $