第05讲 分式方程与无理方程（2个知识清单+6类热点题型讲练+分层练习） 2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第05讲 分式方程与无理方程 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01解分式方程........................................................................................................................................................................2 题型02分式方程无解问题............................................................................................................................................................4 题型03分式方程的实际应用........................................................................................................................................................7 题型04分式方程的定义................................................................................................................................................................8 题型05根据分式方程解的情况求值...........................................................................................................................................11 题型06无理方程............................................................................................................................................................................13 分层练习.........................................................................................................................................................................................15 夯实基础.........................................................................................................................................................................................15 能力提升.........................................................................................................................................................................................29 知识点1．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点2．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 题型01解分式方程 1．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程、配方法的应用、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了解分式方程，偶次幂和算术平方根的非负性，根据偶次幂和算术平方根的非负性以及解分式方程的方法和步骤逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意； B、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意； C、， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，故该方程有实数根，符合题意； D、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意； 故选：C． 2．（21-22八年级下·上海·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查换元法解分式方程，设，则：，将方程转化为：，再去分母转化为整式方程即可． 【详解】解：设，则：， ∴原方程化为：， 去分母，得：， 整理，得：； 故答案为：． 3．（21-22八年级下·上海·阶段练习）解方程 【答案】，过程见详解 【知识点】解分式方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查分式方程，用换元法降幂是接题关键，要注意检验． 设 ，原方程可化为，解该分式方程，再还原成关于的方程继续求解，注意验证． 【详解】解：设 ， 即， 解的， 经检验 是方程 的解， 或， 解 得： ， 中的 ， 方程无实根， 经检验 是原方程的解． 原方程的解为： ． 题型02分式方程无解问题 4．若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】先化分式方程为整式方程，分系数中含m和不含m两种情况求解，含m用一元一次方程的无解知识求解；不含m时，用分式方程的增根求解． 【详解】将方程去分母得到： ， 即， ∵分式无解， ∴ 将代入中， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的意义得到整式方程的解是解题的关键． 5．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】分式方程无解问题、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】解：将分式方程转化为整式方程为：， 整理得：， ∵分式方程无实数根， ①整式方程无实数根，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：， ∴， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上：m取值范围是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算． 6．（八年级下·上海·期末）若关于x的方程无解，求实数的值． 【答案】或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，根据分式方程无解可得或或的表达式中分母为0，再代入的表达式中即可求出的值． 【详解】解：方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 当时，此方程无解，原分式方程也无解，解得：， 当时， 原分式方程无解， ， 或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的特点，并能分情况进行讨论是解题的关键． 题型03分式方程的实际应用 7．（八年级下·全国·课后作业）某煤厂原计划天生产100吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产2吨，因此提前3天完成任务，列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题解析：实际每天的产值为原来每天的产值为 列方程为： 故选D. 8．为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是 . 【答案】120 【知识点】分式方程的实际应用 【详解】【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树2x棵，根据题意列出分式方程，解之即可. 【详解】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树2x棵， 依题可得：， 解得：x=120， 经检验x=120是原分式方程的根， 故答案为120. 【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，弄清题意，找出等量关系是解题的关键. 9．（21-22八年级下·上海普陀·期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？ 【答案】甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队完成此项工程需（x−5）天，由甲、乙两队合作，6天可以完成，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队完成此项工程需（x−5）天， 根据题意得：， 解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝15， 经检验：x＝15是原方程的解，且符合题意， 则x−5＝10， 答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 题型04分式方程的定义 10．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）下列关于x的方程中，其中说法正确的是（     ） A．方程是一元三次方程 B．方程是一元三次方程 C．方程是一元二次方程 D．方程是分式方程 【答案】B 【知识点】分式方程的定义、一元二次方程的定义、一元一次方程的定义 【分析】该题主要考查了一元二次方程、分式方程、一元一次方程、一元三次方程的概念，解题的关键是熟悉各个方程的概念． 根据方程的概念对选项一一判断即可． 【详解】A．方程是一元二次方程，原选项错误，该选项不符合题意； B．方程是一元三次方程，原选项正确，该选项符合题意； C．方程是一元一次方程，原选项错误，该选项不符合题意； D．方程是一元一次方程，原选项错误，该选项不符合题意； 故选：B． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【答案】⑤ 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，是解此题的关键． 【详解】解：方程①、②、③、④的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 12．（2021八年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【知识点】分式方程的定义 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程． 【详解】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程， （2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程， （3）是分式，不是分式方程， （4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 题型05根据分式方程解的情况求值 13．（上海浦东新·阶段练习）关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【详解】方程两边都乘(x﹣2)，得2x+m﹣3=3x﹣6，∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2=0，解得x=2，当x=2时，4+m﹣3=0．解得m=﹣1．故选B． 14．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）按照解分式方程的一般步骤解关于的分式方程，出现增根，那么的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程 【分析】本题考查了分式方程的增根、解分式方程，先将分式方程去分母，化为整式方程，再将增根代入计算即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 将增根代入得：， 解得：， 故答案为：． 15．（八年级下·上海静安·课后作业）若分式与的和为，则x的值为多少？ 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】根据题意得到，，若设y=，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，结果需检验； 【详解】解：由题可得，， 设y=，则原方程可化为：， 整理得，， 解得：， 当时， 则， 解得； 经检验得，都是方程的解； 当时，， ∴， 经检验得，都是方程的解； 【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程是解题的关键. 题型06无理方程 16．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列方程为无理方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理方程 【分析】本题考查了无理方程的定义，能熟记无理方程的定义是解此题的关键，注意：根号内含有未知数的方程叫无理方程． 根据无理方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； B．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意； C．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； D．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 17．（22-23八年级下·上海青浦·期中）请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外的方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特的方法，解决下列问题： 已知，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】无理方程 【分析】本题考查无理方程的解法，利用题干中的方法求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 将得，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 18．（2024八年级下·上海·专题练习）解方程： 【答案】， 【知识点】无理方程 【分析】本题考查的是换元法解无理方程，可采用换元法使方程简便，注意无理方程需验根．应先把根式内进行整理，然后用换元法求解． 【详解】解：可化为：， 设，则：， 解得：，， 即：或， 解得：，． 经检验的原方程的解为：，． 夯实基础 一、单选题 1．下列方程中，不是无理方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用无理方程的定义求解即可 【详解】根号下没有未知数的方程不是无理方程，即.不是无理方程． 故答案为 【点睛】本题考查了无理方程的定义，方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． 2．若关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．－1 【答案】B 【详解】有增根是化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是1，然后代入化成整式方程的方程中，求得m的值． 解：方程两边都乘（x﹣1），得 m﹣1﹣x=0， ∵方程有增根， ∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1， 把x=1代入整式方程，得m=2．故选B． 3．关于的分式方程，下列说法正确的是（ ） A．方程的解是 B．时，方程的解是正数 C．时，方程的解为负数 D．无法确定 【答案】C 【详解】方程两边都乘以-5，去分母得： =-5， 解得：= +5， ∴当-5≠0，把= +5代入得： +5-5≠0，即≠0，方程有解，故选项A错误； 当＞0且≠5，即 +5＞0，解得：＞-5，则当＞-5且≠0时，方程的解为正数，故选项B错误； 当＜0，即 +5＜0，解得：＜-5，则＜-5时，方程的解为负数，故选项C正确； 显然选项D错误． 故选C． 4．方程的解为增根，则增根可能是（　　） A．x=2 B．x=0 C．x=﹣1 D．x=0或x=﹣1 【答案】C 【详解】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x（x+1）=0，得到x=0或﹣1即可，然后化为整式方程再进行判断． 解：化为整式方程为：2x+2=xm， 整理得：（m﹣2）x=2， 则可得x≠0， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x（x+1）=0， 解得x=0或﹣1． ∵x≠0， ∴增根可能是﹣1． 故选C． 5．关于x的方程 有增根，那么a的值为(     ) A．2 B．-2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x=2，将x=2代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】解：， 去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入，得： ，即a=1． 故选：C 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 二、填空题 6．方程的解是 【答案】 【详解】解： 或， 解得：或， 故答案为： 【点睛】此题考查解无理方程，注意被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件． 7．关于的方程是无理方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据无理方程的概念可得结果. 【详解】解：由题意可得： ∵无理方程的根号下含有未知数， ∴m≠0. 故答案为：m≠0. 【点睛】本题考查了无理方程，掌握无理方程的概念是解题的关键. 8．方程的根是 【答案】5 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同乘以x（x-2），约去分母得：3x=5（x-2）， 化简得：2x=10， 得：x=5， 检验：把x=5代入x（x-2），得x（x-2）≠0， 所以x=5是分式方程的解． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，解分式方程实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母． 9．若关于的方程无解，则的取值是 ． 【答案】或 【分析】利用解分式方程的一般步骤及分式方程无解的条件即可求得答案． 【详解】去分母得：， 化简得：， 原方程无解， 当时，整式方程无解，分式方程也无解， ； 当时，时，分式方程无解， ， 为或． 【点睛】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 10．用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】把用y代入后，整理即可得整式方程． 【详解】原方程可化为：， 方程两边乘2y，并整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的特殊解法：换元法，根据题目特点合理引入新的未知数是换元法的特点，从而把复杂的算式或方程转化为简单的算式或方程，利用问题的解决． 11．如果，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握换元法解方程，解分式方程检验，是解决问题的关键． 设，原方程化为，用求根公式解得，换回，检验，即得． 【详解】解：∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， 经检验适合原方程， ∴，， 故答案为：或． 12．关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】3 【详解】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 解：方程两边都乘x﹣3， 得x=2（x﹣3）+m， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3=0， 解得x=3， 当x=3时，3=2×（3﹣3）+m， m=3． 故答案为3． 13．方程的解的是 ． 【答案】 【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求出x的值，然后进行检验. 【详解】两边平方得：x+1=9， 解得：x=8． 检验：x=8是方程的解． 故答案为x=8． 【点睛】本题考查的知识点是平方根的定义，解题的关键是熟练的掌握平方根. 14．已知点关于原点的对称点在第一象限内，且为整数，则关于的分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知点关于原点的对称点为，由此列出不等式组，求出a的取值范围，并根据已知条件确定a的值，将a的值代入分式方程即可求解． 【详解】∵点关于原点的对称点在第一象限内，点关于原点的对称点为， ∴，解得， ∵为整数， ∴，把代入分式方程中，得， 整理得，解得 经检验，x=3是分式方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系、解分式方程，还涉及到一元一次不等式组，理解题意确定参数a的值是解题关键． 15．已知关于的方程的两根为，那么关于的方程的根为 【答案】x1=m，x2=. 【分析】先把方程两边同时减去1可化为，这个方程的结构形式与一样，然后仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可． 【详解】, 解：方程两边同时减去1可化为 ∵关于x的方程的两根为x1=m， ∴关于x的方程的解为x-1=m-1，x-1=， ∴x1=m，x2=， 故答案为x1=m，x2= 【点睛】此题考查了根据特殊形式的分式方程的已知解来解类似形式的分式方程，读懂特殊形式的结构然后把待解方程化为同一种形式结构是是解本题的关键．这类题要仔细观察思考，找到规律，不能以常规方法去解题. 三、解答题 16． 【答案】原方程无解 【分析】根据解分式方程的一般步骤即可得出答案． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得 经检验，是原方程的增根 原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键． 17．解方程：． 【答案】 ， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得： ， 解得： ，， 经检验 ，是分式方程的解． ∴原分式方程的解为 ，． 【点睛】本题考查了解分式方程以及解一元二次方程，熟练掌握步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是不是分式方程的解． 18．关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】a＜2且a≠﹣2 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围 【详解】解：去分母，得x+a＝2﹣x， 解得：x＝1﹣， ∵x＞0， ∴1﹣＞0， ∴a＜2，且x≠2， ∴a≠﹣2， ∴a＜2且a≠﹣2． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键在于熟练掌握分式方程的解题步骤；注意解答本题时，易漏掉a≠﹣2，这是因为忽略了x﹣2≠0这个隐含的条件而造成的． 19．解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）无解 【分析】（1）去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根即可； （2）先因式分解，再去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根即可． 【详解】解：（1） 去分母得：， 去括号得： 移项合并得：， 解得：， 检验当时，并且使方程两边值相等， ∴该方程的根； （2） 因式分解得 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 检验当时 ∴是该方程的增根，即该方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程．解分式方程的思想就是去分母化分式方程为整式方程求解，一定要记得验根哦． 20．解下列方程： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可. 【详解】（1）原方程就是  ． 方程两边都乘以，得  ． 解这个方程，得 ． 检验：把代入，这时这个整式的值不为0，所以是原方程的根． 所以原方程的根是． （2）原方程就是． 方程两边都乘以，得  ． 解这个方程，得 ． 检验：把代入，这时这个整式的值为0，所以是原方程的增根，应舍去． 因此，原方程无解． 【点睛】考查解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 21．已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 22．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格． 【答案】4.77元/升 【分析】求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系，等量关系为：原来150元能添的数量-现在150元能添的数量=18.75． 【详解】设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为元/升．根据题意，得: ， 整理，得18.75x=90， 解这个方程，得x4.77 经检验，x=4.77为原方程的根． 答：今年5月份的汽油价格为4.77元/升． 【点睛】考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 能力提升 一、单选题 23．分式方程的解是（    ） A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．无解 【答案】D 【详解】 去分母得，(x+1)-2(x-1)=4 去括号得，x+1-2x+2=4 移项合并同类项得，-x=1 系数化为1得，x=-1. 经检验，x=-1不是原分式方程的解. 故选D. 24．一项工程，甲、乙二人合做2天完成，已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程需多用3天，那么甲单独完成此项工程需（     ） A．2天 B．3天 C．4天 D．5天 【答案】B 【分析】根据题意可设甲单独完成此项工程需用x天, 乙单独完成此项工程需用(x+3)天，结合“甲、乙二人合做2天完成”列方程求解即可. 【详解】设甲单独完成此项工程需用x天, 乙单独完成此项工程需用(x+3)天，根据题意得， 解得，， ， 经检验，， 是原方程的根，但不符合题意，舍去. ∴x=3, 故甲单独完成此项工程需用3天. 故选B. 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 二、填空题 25．若关于x的方程无解，则m的值为 ． 【答案】-1或- 【分析】直接解分式方程，再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案． 【详解】解：， 去分母得：（x+4）+m(x-4)=4， 可得：（m+1）x=4m， 当m+1=0时，分式方程无解， 此时m=-1， 当m+1≠0时，则x==±4， 当=4时，此时方程无解； 当=-4时，解得：m=-， 经检验，m=-是方程=-4的解， 综上所述：m=-1或-． 故答案为：-1或-． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键． 26．分式方程有增根，则增根为 ，a为 . 【答案】 2 1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，令最简公分母为0求出增根为x=2，将x=2代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】解：方程两边同乘以x-2得， a=x-1-3（x-2） ∵分式方程有增根， ∴x-2=0，即x=2， ∴分式方程的增根为2； 把x=2代入a=x-1-3（x-2）可得， a=1. 故答案为2；1. 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 三、解答题 27．解方程：． 【答案】 【分析】由去分母、去括号、移项合并，求出分式方程的解，然后进行检验，即可得到答案． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项合并，得：， 整理得：， 解得：，； 检验：当时，，则是增根；当时，； ∴原分式方程的解为． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，正确地进行解题，注意解分式方程需要检验． 28．若数使关于的不等式组至少有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数的值的和． 【答案】11 【详解】解：不等式组的解集为， 关于的不等式组至少有三个整数解，即取0，1，2， ，． 分式方程的解为， 关于的分式方程有可能产生增根2， ，． 关于的分式方程有整数解， 为整数，且，， 或7． 所有满足条件的整数的值的和为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 分式方程与无理方程 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01解分式方程........................................................................................................................................................................2 题型02分式方程无解问题............................................................................................................................................................4 题型03分式方程的实际应用........................................................................................................................................................7 题型04分式方程的定义................................................................................................................................................................8 题型05根据分式方程解的情况求值...........................................................................................................................................11 题型06无理方程............................................................................................................................................................................13 分层练习.........................................................................................................................................................................................15 夯实基础.........................................................................................................................................................................................15 能力提升.........................................................................................................................................................................................29 知识点1．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点2．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 题型01解分式方程 1．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·上海·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 3．（21-22八年级下·上海·阶段练习）解方程 题型02分式方程无解问题 4．若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 6．（八年级下·上海·期末）若关于x的方程无解，求实数的值． 题型03分式方程的实际应用 7．（八年级下·全国·课后作业）某煤厂原计划天生产100吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产2吨，因此提前3天完成任务，列出方程为（    ） A． B． C． D． 8．为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是 . 9．（21-22八年级下·上海普陀·期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？ 题型04分式方程的定义 10．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）下列关于x的方程中，其中说法正确的是（     ） A．方程是一元三次方程 B．方程是一元三次方程 C．方程是一元二次方程 D．方程是分式方程 11．（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 12．（2021八年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 题型05根据分式方程解的情况求值 13．（上海浦东新·阶段练习）关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．0 D．1 14．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）按照解分式方程的一般步骤解关于的分式方程，出现增根，那么的值为 ． 15．（八年级下·上海静安·课后作业）若分式与的和为，则x的值为多少？ 题型06无理方程 16．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列方程为无理方程的是（   ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级下·上海青浦·期中）请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外的方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特的方法，解决下列问题： 已知，则a的值为 ． 18．（2024八年级下·上海·专题练习）解方程： 夯实基础 一、单选题 1．下列方程中，不是无理方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．－1 3．关于的分式方程，下列说法正确的是（ ） A．方程的解是 B．时，方程的解是正数 C．时，方程的解为负数 D．无法确定 4．方程的解为增根，则增根可能是（　　） A．x=2 B．x=0 C．x=﹣1 D．x=0或x=﹣1 5．关于x的方程 有增根，那么a的值为(     ) A．2 B．-2 C．1 D．0 二、填空题 6．方程的解是 7．关于的方程是无理方程，则的取值范围是 ． 8．方程的根是 9．若关于的方程无解，则的取值是 ． 10．用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为 ． 11．如果，则的值是 ． 12．关于x的方程有增根，则m的值为 ． 13．方程的解的是 ． 14．已知点关于原点的对称点在第一象限内，且为整数，则关于的分式方程的解是 ． 15．已知关于的方程的两根为，那么关于的方程的根为 三、解答题 16． 17．解方程：． 18．关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 19．解方程： （1） （2） 20．解下列方程： （1）；（2）． 21．已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 22．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格． 能力提升 一、单选题 23．分式方程的解是（    ） A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．无解 24．一项工程，甲、乙二人合做2天完成，已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程需多用3天，那么甲单独完成此项工程需（     ） A．2天 B．3天 C．4天 D．5天 二、填空题 25．若关于x的方程无解，则m的值为 ． 26．分式方程有增根，则增根为 ，a为 . 三、解答题 27．解方程：． 28．若数使关于的不等式组至少有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数的值的和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$