精品解析：河南省南阳市唐河县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋期期终阶段性文化素质监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 小明的作业本上有以下四题（其中）： ①； ②； ③ ； ④； 做错的题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 明天是晴天 B. 一个三角形三个内角和小于 C. 两个正数的和为正数 D. 任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 5. 如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象经过，，，，且与轴没有交点，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD的度数是(　　) A. 25° B. 60° C. 65° D. 75° 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 关于的一元二次方程的两根，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图像如下图，下列5个结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（侮小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为___________． 13. 如图，⊙O是边长为的等边的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为________． 14. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是________s． 15. 将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则________． 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 如图，在中，，恰好是的角平分线. （1）求证：△APC∽△DPB； （2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长. 18. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度； （2）补全调查结果条形统计图； （3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 19. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求D到的距离． （2）求古塔的高度（结果保留根）． 20. 近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 21. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ （3）此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 22. 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2 如图，在中，分别是边的中点，相交于点，求证：， 证明：连结． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线交于点，为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为正方形，且，则的长为　 　． （2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为　 　． 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图1，连结，求的面积的最大值； （3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期终阶段性文化素质监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式是，并据此对各选项进行判断． 根据一元二次方程的定义，对每个选项逐一分析，判断其是否符合一元二次方程的形式． 【详解】A、对进行化简，即，进一步整理得，符合一元二次方程的定义； B、，方程中含有和，属于分式方程，不是整式方程，故不是一元二次方程； C、，当时，方程就变为，不是一元二次方程，只有当时才是一元二次方程； D、，方程中含有，是分式方程，不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 2. 下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，根据相似多边形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 3. 小明的作业本上有以下四题（其中）： ①； ②； ③ ； ④； 做错的题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质及其简单的计算，注意二次根式的性质：．分别利用二次根式的性质及其运算法则计算即可判定． 【详解】解：①，正确； ②由式子可判断， ∴，正确； 在③中，与不是同类二次根式，不能合并，错误； ④由式子可判断， ∴，正确； 综上分析可知，做错的题是③． 故选：C． 4. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 明天是晴天 B. 一个三角形三个内角和小于 C. 两个正数的和为正数 D. 任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念，解题的关键是理解必然事件是在一定条件下必然会发生的事件． 依次分析每个选项，判断其是否符合必然事件的定义． 【详解】A、明天的天气是不确定的，明天可能是晴天，也可能是其他天气，故“明天是晴天”是随机事件； B、根据三角形内角和定理，三角形的内角和是，故“一个三角形三个内角和小于”是不可能事件； C、两个正数相加，结果一定是正数，这是必然会发生的，故“两个正数的和为正数”是必然事件； D、任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是不确定的，可能是50次，也可能不是50次，故“任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次”是随机事件． 故选：C． 5. 如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确； B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确； C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确； D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误； 故选D． 【点睛】考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 6. 若二次函数的图象经过，，，，且与轴没有交点，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据函数图象经过，且与轴没有交点，得到抛物线的开口向下，进而得到抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过，且与轴没有交点， ∴抛物线的开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，，，在抛物线上，且， ∴； 故选B． 7. 如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD的度数是(　　) A. 25° B. 60° C. 65° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理的推论可得∠D=∠ABC=25°，继而求得答案． 【详解】解：∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∵∠D=∠ABC=25°， ∴∠CAD=90°﹣∠D=65°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 9. 关于的一元二次方程的两根，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数关系得到关于k的不等式，解不等式可以得到答案． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系可得，解得 由根与系数关系得： ∴-3-k<-1，解得：k>-2 综上，． 故选：C． 【点睛】本题考查一元 二次方程根与系数关系的应用，熟练应用根与系数关系是解题关键． 10. 已知二次函数的图像如下图，下列5个结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是数形结合．根据二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴的交点个数确定，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， 对称轴为：， ， 则，①正确； ， 即，②错误； 时，，对称轴为直线， 当时，， ，③错误； ， ，④正确； 抛物线与轴有两个交点， ， 即，⑤正确； 正确的结论有①④⑤， 故选：B． 二、填空题（侮小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，立方根，特殊三角函数值以及幂的运算，解题的关键是掌握相关运算法则并准确计算． 分别计算各项的值，再按照运算顺序进行计算． 【详解】 ． 故答案为：3． 12. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：把三张卡片分别记为、、， 画出树状图如下： 共有种等可能出现的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的情况有种， ∴两次抽取的卡片正面相同的概率为， 故答案为：． 13. 如图，⊙O是边长为的等边的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆的相关性质、等边三角形的性质以及扇形面积公式．求出扇形的圆心角和半径是解决本题的关键． 首先根据等边三角形的性质求出外接圆半径以及相关角度，进而确定扇形的圆心角和半径，最后利用扇形面积公式求出阴影部分面积． 【详解】连接、，过O作于点E，如图， 因为是等边三角形的外接圆， 所以． 由于是等边三角形，则， 所以． 因为，是等边三角形， 所以． 已知，则． 在中，，， 即，，解得． 因为点D是的中点， 所以． 又因为，，， 所以是等边三角形，则． 所以扇形的圆心角为，． 扇形面积公式可得：． 故答案为：． 14. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是________s． 【答案】1.6 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，令即可解得答案． 【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为， 将，代入，得 ， 解得， ， 令得， 解得或， 足球从踢出到落地所需的时间是． 故答案为：1.6． 15. 将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值的运用、零指数幂和负整数指数幂的运算以及一元二次方程的求解，解题的关键是牢记特殊三角函数值和相关运算法则，熟练运用合适的方法解方程． （1）先分别计算各项中特殊三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，再进行四则运算． （2）先对等式变形，然后利用因式分解法求解方程． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 17. 如图，在中，，恰好是的角平分线. （1）求证：△APC∽△DPB； （2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长. 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形得，由角平分线得，进而可得 ，证得，结论得证； （2）由得，构建方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练相关判定方法是解题的关键． 18. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度； （2）补全调查结果条形统计图； （3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】（1）120，99 （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题； （2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名）， 则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：， 故答案为：120，99； 【小问2详解】 解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名）， 则选修“园艺”的学生人数为：（名）， 【小问3详解】 解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、， 画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种， 小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求D到的距离． （2）求古塔的高度（结果保留根）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过点作，根据斜坡的斜面坡度，结合勾股定理求出的长即可； （2）过点作，垂足为点，易得四边形为矩形，推出，在中，求出的值，再根据可得出答案． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点， ∵斜坡的斜面坡度， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 过点作，垂足为点． 由题意得，， ∵ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴． 答：古塔的高度． 20. 近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 【答案】（1） （2）2160元 【解析】 【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答； （2）根据题意有：，解得：，将化为顶点式为：，即可知当时，函数值随着x的增大而减小，问题随之得解． 【小问1详解】 解：根据题意，得 ， 即， 又， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：根据题意有：， 解得：， ， ∵， ∴当时，W随着x的增大而减小， 又， 当时，函数值最大，最大为：． 答：此时W的最大值为2160元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是是解答本题的关键． 21. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ （3）此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】（1） （2）此球一定能投中 （3）能拦截成功 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断； （3）将代入得进而得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 【小问3详解】 能拦截成功． 理由：将代入得， ， 他能拦截成功． 【点睛】解答本题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力． 22. 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2 如图，在中，分别是边的中点，相交于点，求证：， 证明：连结． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线交于点，为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为正方形，且，则的长为　 　． （2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为　 　． 【答案】 教材呈现：证明： 如图①，连结． ∵在中，分别是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 结论应用：（1）；（2）6． 【解析】 【分析】教材呈现：如图①，连结．根据三角形中位线定理可得，，那么，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明； 结论应用：（1）如图②．先证明，得出，那么，又，可得，由正方形的性质求出，即可求出； （2）如图③，连接．由（1）易证．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出与的面积比，同理，与的面积比＝2，那么的面积的面积＝2（的面积的面积）＝，所以的面积，进而求出的面积． 【详解】教材呈现：略 结论应用： （1）解：如图②． ∵四边形为正方形，为边的中点，对角线、交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴． 故答案为； （2）解：如图③，连接． 由（1）知，， ∴． ∵与的高相同， ∴与的面积比， 同理，与的面积比＝2， ∴的面积的面积＝2（的面积的面积）， ∴的面积， ∴的面积． 故答案为6． 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.灵活运用正方形性质，相似三角形判定和性质是关键. 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图1，连结，求的面积的最大值； （3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）先求出直线的解析式为 , 设，则，用含的代数式表示的面积，进而即可求解； （3）分两种情况；②，讨论即可． 【小问1详解】 解：把、代入得 ，解得 ∴该二次函数的解析式为 ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，把 代入得 ，解得 ， ∴直线的解析式为， 过点作轴交直线于点， 设 则 ， ∴当时, 有最大值，最大值为， 【小问3详解】 当时，如图: ∴轴, ∴点的纵坐标为， ， 解得 (舍去)， ， ， 当 时, ， 过点作于, 轴， ， ， ， ， 由（2）得 ， 解得：(舍去), 综上，点的坐标为或 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $