精品解析：四川省攀枝花市东区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

攀枝花市东区2024-2025学年九年级上期期末教学质量监测 数 学 注意事项： 1．答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．试卷满分150分，考试时间120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共60分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达8亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 5. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币一次，反面向上 B. 任意三条线段可以组成一个三角形 C. 一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，摸出一个白球 D. 三角形的内角和为 6. 将分别标有“惟”、“楚”、“有”、“才”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1两函数图象交于点A、B，则A、B与二次函数的顶点O组成的△OAB的面积为（　　） A. B. C. D. 1 9. 如图，的弦与直径相交，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在中，，点D是斜边的中点，点G是的重心，于点E，若，那么的长为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 11. 已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 12. 正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共20分） 13. 函数中，自变量的取值范围是______． 14. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 15. 如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C=2∠A，则BD=______． 16. 已知抛物线，当时，自变量的取值范围是或，若点在对称轴左侧的抛物线上，则的取值范围是________． 三、解答题（共70分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值 ，从-2，-1，0中选取一个你喜欢的数作为的值 19. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：（旅游管理）、（信息技术）、（酒店管理）、（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．面根号） 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有________人：扇统计图中（旅游管理）专业所对应的心角的度数为________： （2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有___人： （3）从选择（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法活画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 20. 如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B、C、E在同一水平直线上），已知AB=100m，DE=20m，求障碍物B、C两点间的距离（结果精确到0.1m）．(参考数据：≈1.414，≈1.732) 21. 已知：如图，，是的两条切线，，是切点，是直径，交于点，的半径为3，． （1）求证：； （2）求的长 22. 随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 x/元 15 20 25 30 y/袋 25 20 15 10 若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题： （1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式； （2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润销售额成本） 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于．两点，与y轴交于点，连接， （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若P点是抛物线对称轴上的一点，求周长最小时，P点的坐标； （3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 24. 如图1，在正方形中，点是边上一动点，将沿向左平移得到，且，与相交于点，连接． （1）求证：； （2）探究与的位置关系，并说明理由； （3）如图2，点是上一动点，过点作，分别与，射线交于点，连接，若，当面积取最小值时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 攀枝花市东区2024-2025学年九年级上期期末教学质量监测 数 学 注意事项： 1．答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．试卷满分150分，考试时间120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共60分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，要使分式有意义，分式的分母不能为0，即，求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题关键． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故选：D． 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达8亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 根据题意和题目中的数据，可以列出方程，即可解答． 【详解】解：由题意得． 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的根的情况求参数的取值范围．根据方程是一元二次方程，得到，根据方程有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握一元二次方程有实数根，其根的判别式，是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴． ∵方程有实数根， ∴，整理，得：， 解得：， 综上：且； 故选：C． 5. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币一次，反面向上 B. 任意三条线段可以组成一个三角形 C. 一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，摸出一个白球 D. 三角形的内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，故选项是随机事件，不符合题意； B、满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的三条线段可以组成一个三角形，故选项是随机事件，不符合题意； C、一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，不可能摸出一个白球，故选项是不可能事件，不符合题意； D、任何一个三角形的内角和都为，故选项是必然事件，符合题意； 故选：D． 6. 将分别标有“惟”、“楚”、“有”、“才”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率．根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的结果有2种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率为， 故选：A． 7. 在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数的顶点坐标，再利用点平移的坐标规律求解即可. 【详解】函数的顶点坐标为(0，1)，把点（0，1）向右平移个单位，再向下平移个单位得到的对应点为(3，0), 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握点平移的坐标规律是解答的关键. 8. 已知二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1两函数图象交于点A、B，则A、B与二次函数的顶点O组成的△OAB的面积为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】联立二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1求出点A、B的坐标，再用补差法算面积即可． 【详解】解：联立， 解得x1＝1，x2＝， ∴A、B的坐标为（，），（1，2）， ∴S△OAB＝S△OBC﹣S△ABD﹣S梯形OADC＝×1×2﹣××﹣×（+1）×＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，准确计算一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，的弦与直径相交，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，圆周角定理的应用，先证明，求解，再利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D 10. 如图所示，在中，，点D是斜边的中点，点G是的重心，于点E，若，那么的长为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半得到，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，根据重心的性质得到，根据30°所对的直角边是斜边的一半得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，点D是斜边的中点， ∴， ∵点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11. 已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可. 【详解】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图， ∵点C到直线l的距离，半径为1， ∴的最小值是， 故选：B. 【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键. 12. 正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AN的长，即可得到结论． 【详解】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2， ∵BF＝FC，BC＝AD＝2， ∴BF＝AH＝1，FC＝HD＝1， ∴AF＝＝， ∵OH∥AE， ∴， ∴OH＝AE＝， ∴OF＝FH−OH＝2−＝， ∵AE∥FO， ∴△AME∽△FMO， ∴， ∴AM＝AF＝， ∵AD∥BF， ∴△AND∽△FNB， ∴＝2， ∴AN＝2NF＝， ∴MN＝AN−AM＝−＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共20分） 13. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得； 解得， ∴函数中，自变量的取值范围是． 故答案为：． 14. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．先根据一元二次方程根的定义得到，则原式可表示为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 15. 如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C=2∠A，则BD=______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，由垂径定理可知DF=BF，∠DOF=∠BOF，再由圆内接四边形的性质求出∠A的度数，故可得出∠BOD的度数，再由锐角三角函数的定义求出BF的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F， ∵OF⊥BD， ∴DF=BF，∠DOF=∠BOF． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C=180°． ∵∠C=2∠A， ∴∠A=60°， ∴∠BOD=120°， ∴∠BOF=60°． ∵OB=4， ∴BF=OB•sin∠BOF=4×sin60°=， ∴BD=2BF=． 故答案为． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，垂径定理的应用，锐角的正弦的应用，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 16. 已知抛物线，当时，自变量的取值范围是或，若点在对称轴左侧的抛物线上，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；先得出抛物线的对称轴为直线，进而根据题意得出，分析当时的两个点的横坐标，得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合，即可求解． 【详解】解：∵当时，自变量的取值范围是或， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，即 ∴抛物线解析式为， 当时， 解得： ∵当时，自变量的取值范围是或， ∴当时， 解得： ∵点在对称轴左侧的抛物线上， ∴点在对称轴右侧的抛物线上， ∵当时，或， ∴， 即是方程的两个根， ∴， 即 ∴ ∴ 解得： 又∵ ∴， 故答案为：． 三、解答题（共70分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，分别计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，再代入特殊角的三角函数值，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值 ，从-2，-1，0中选取一个你喜欢的数作为的值 【答案】，-1 【解析】 【分析】先将括号里的分式的分母进行因式分解，再进行通分，然后进行减法运算，再根据分式除法法则进行计算即可． 【详解】解：原式= = = = =， ∵-2，-1，0中，x只能取值-1， ∴原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，涉及分式有意义的条件，异分母分式的减法，分式的除法等知识．掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 19. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：（旅游管理）、（信息技术）、（酒店管理）、（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．面根号） 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有________人：扇统计图中（旅游管理）专业所对应的心角的度数为________： （2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有___人： （3）从选择（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法活画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】（1）； （2） 补全条形统计图如图所示． （3） 【解析】 【分析】（1）由选择专业的人数除以所占百分比即可得本次被调查的学生人数；用乘以选择专业的人数所占的百分比，即可得出答案； （2）求出选择专业的人数，补全条形统计图即可；根据用样本估计总体，用乘以样本中选择的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案 【小问1详解】 解：本次被调查的学生有：（人）， 扇统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人）， （人） ∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人， 故答案为：； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种， ∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为， 答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． 20. 如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B、C、E在同一水平直线上），已知AB=100m，DE=20m，求障碍物B、C两点间的距离（结果精确到0.1m）．(参考数据：≈1.414，≈1.732) 【答案】障碍物、两点间的距离约为． 【解析】 【分析】过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，解直角三角形可得，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 在中，， ， 答：障碍物、两点间的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 21. 已知：如图，，是的两条切线，，是切点，是直径，交于点，的半径为3，． （1）求证：； （2）求的长 【答案】（1） 证明：连接，则， 根据切线长定理可得， ， 是直径， ， ， （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线长定理可得，，则，根据直径所对的圆周角相等即可证明，从而得证； （2）根据（1）的结论可得，根据同角的余角相等可得，根据切线的性质可得，勾股定理求得， 由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，直径所对的圆周角是直角，切线长定理，勾股定理，切线的性质，根据正弦求边长，掌握以上知识是解题的关键． 22. 随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 x/元 15 20 25 30 y/袋 25 20 15 10 若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题： （1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式； （2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润销售额成本） 【答案】（1）日销量y关于每袋售价x的函数关系式为 （2）每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为（）代入数据，利用待定系数法即可求解； （2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元，根据销售利润销售每袋土特产的利润每日的销售量，得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设（） 将，代入， 得 解得， ∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元， （） ， 当时，W最大，最大值为225 答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于．两点，与y轴交于点，连接， （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若P点是抛物线对称轴上的一点，求周长最小时，P点的坐标； （3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 解：存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由题得，，，设，， ①四边形是平行四边形时，， 解得：（舍去）， ； ②四边形是平行四边形时，， 解得：， ； ③四边形是平行四边形时，， ， ； 综上所述：或或． 【解析】 【分析】（1）将点，，代入中求解即可； （2）确定出当三点共线时，周长最小，求出直线方程，再联立抛物线的方程，求解即可； （3）需要分类来讨论，再设设，，利用中点坐标公式及平行四边形的性质建立等式进行求解． 【小问1详解】 解：将点，，代入，得 ． 解得，，， 故该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线， 当时，即， 解得：， 关于对称， ， 当三点共线时，周长最小， 设直线方程为， 将，代入得 ， 解得：； 联立， 解得：， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 24. 如图1，在正方形中，点是边上一动点，将沿向左平移得到，且，与相交于点，连接． （1）求证：； （2）探究与的位置关系，并说明理由； （3）如图2，点是上一动点，过点作，分别与，射线交于点，连接，若，当面积取最小值时，求的最小值． 【答案】（1） 证明：将沿向左平移得到， ， ， ， 在正方形中，，， ， 在和中， ， ． （2）， 理由如下： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵沿向左平移得到， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据(1)证明得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移性质、正方形的性质得到边及角的关系，再由全等三角形的判定与性质即可得到答案； （2）根据正方形的性质，平移的性质，证明，再利用两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似，证明，得证即可． （3）根据(2)证明得知，得到，设，得到∴，构造二次函数，确定最值，过点F作，且，连接，则四边形是平行四边形，得到，把的最小值就转化为的最小值，结合，得到当H，M，K三点共线时，取得最小值，最小值为，利用勾股定理，三角形全等等知识解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据(2)证明得知，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故当时，面积取得最小值即；且； 过点F作，且，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值就转化为的最小值， ∵， ∴当H，M，K三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点M作于点Q， 则四边形矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的最小值． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，分割法表示三角形的面积，构造二次函数求面积的最值，运用三角形不等式求线段和最小值，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，分割法表示三角形的面积，构造二次函数求面积的最值，运用三角形不等式求线段和最小值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $