精品解析：山东省临沂市莒南县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度上学期期末质量检测 八年级数学试题2025.01 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求 1. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】若分式有意义， 故选B. 【点睛】考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0. 3. 下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键． 4. 如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，，再在处立了标杆，使，，测得的长是15米，则，两点间的距离为（ ） A. 7.5米 B. 15米 C. 20米 D. 30米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用可证得，然后由全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， （米）， ，两点间的距离为米， 故选：． 5. 如图，在中，平分，于．如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．线根据角平分线的性质，得到，再利用含的直角三角形三边关系计算出，从而得到的长． 【详解】解：， 平分，， ， 在中， ， ， ． 故选:A． 6. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于x轴对称的变化规律，即关于x轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数．根据“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两点的坐标横坐标相同、纵坐标互为相反数”，即可得解． 【详解】解：点 关于 轴对称的点 的坐标为 ． 故选：B． 7. 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ① ② ③ ④ 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 8. 如果关于的分式方程有解，则的值为（ ） A B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】先去分母，然后讨论无解情况，求出即可. 【详解】去分母得： ，则， 当x=2时，为增根方程无解，则， 则且， 故选D. 【点睛】本题是对分式方程的考查，熟练掌握分式方程知识的考查是解决本题的关键. 9. 已知，则的值是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平方差公式将分解成，然后将整体代入，再化简得结果为，再利用提公因式法分解因式得结果为，然后再次将整体代入即可得解． 本题主要考查了分解因式和整体代入法求代数式的值，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 10. 题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是银题的关键． 利用全等三角形的性质得到，，，再证明得到，讨论：当点由点运动到点时，；当点由点运动到点时，，然后分别解方程即可． 【详解】解：， ，，， 和中， ， ， ， 当点由点运动到点时，， 解得； 当点由点运动到点时，， 解得； 综上所述，的值为或． ∴甲、乙答案合在一起才完整． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若能用公式法进行因式分解，则常数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式求解即可得到答案． 【详解】解：， 若能用公式法进行因式分解，则常数的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用完全平方公式进行因式分解，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 12. 若分式的值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：分式的值为， 且， 解得：， 故答案为：． 13. 计算：若x+3y﹣2＝0，则2x•8y＝___． 【答案】4 【解析】 【分析】将所求式子利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算，再将已知式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：＝==， ∵x+3y-2＝0， ∴x+3y＝2， ∴原式==4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了代数式求值，涉及了幂的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用运算法则进行变形． 14. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，求不等式的解集，理解分式方程的解为非负数，解分式方程的方法，求不等式的解集的方法是解题的关键． 先根据解分式方程的方法用含的式子表示出的值，再根据分式方程的解为非负数，分式方程有意义，求不等式的解集的计算方法即可求解． 详解】解： ∴， ∴关于的方程的解为， ∵解为非负数， ∴，即， 解得，， ∵分式方程有意义，即， ∴， 解得，， ∴则的取值范围是且， 故答案为：且 ． 15. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，李老师每小时走x千米，张老师每小时走千米，利用张老师比李老师早到半小时，再建立分式方程求解即可． 【详解】解：李老师每小时走x千米，张老师每小时走千米， 根据时间的关系可列方程为：， 故答案为：． 16. 已知:如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________(填序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】易证△ABD≌△EBC,可得可得①②正确,再根据角平分线的性质可求得，即，根据可求得④正确. 【详解】①BD为△ABC的角平分线, 在△ABD和△EBC中，， △ABD≌△EBC， ①正确； ②BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA， △ABD≌△EBC， ②正确； ③∵ ∴ 为等腰三角形， ∵△ABD≌△EBC， ∵BD为△ABC的角平分线,,而EC不垂直与BC， ③错误；④正确. 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键. 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可； （2）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，方程两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，是原分式方程的解， ； 【小问2详解】 解：， ， 去分母，方程两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，是原分式方程的增根， 故原分式方程无解． 19. 化简式子，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】化简结果： 当时，原式= 【解析】 【分析】先把分式中能分解因式的先分解因式，把除法转化为乘法，约分后代入求值即可． 【详解】解： 当时，上式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，注意代入时一定要注意使原分式有意义，掌握以上的知识是解题的关键． 20. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：， 求： （1）； （2）的值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形． （1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）计算所求式子的倒数，再将代入可得结论． 【小问1详解】 解：∵且， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴． 22. 第一届全国青少年三大球运动会于2024年11月20日至11月28日在长沙市和岳阳市举行．有来自全国25个省、自治区、直辖市的96支队伍、约1500名运动员到湖南省参赛，决赛场次总计308场．长沙市南雅中学作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事．在筹备期间，为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． （1）足球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】（1）足球的单价是80元，排球的单价是65元 （2）70个 【解析】 【分析】（1）设足球的单价是元，则排球的单价是元，根据数量总价单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设学校可以购买个足球，则可以购买个足球，利用总价单价数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设足球的单价是元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元． 【小问2详解】 解：设学校可以购买..个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以取的最大值为70． 答：学校最多可以购买70个足球． 23. 问题背景： （1）如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： （2）如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）结论仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明推出，再依次证明，，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，再依次证明，，推出，可得． 【小问1详解】 解：证明如下：在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． 【小问2详解】 解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点G使，连接，如图， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． 24. 发现与探索： （1）根据小明的解答将下列各式因式分解． 小明的解答： ①； ②． （2）根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值． 【答案】（1）① ② （2）①见解析 ②见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式分解因式，不等式性质等知识点，熟练掌握乘法公式、公式法分解因式及不等式的性质是解题的关键． （1）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可； ②将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可； （2）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可得出结论； ②利用不等式的性质即可解释代数式的最大值为8；将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可求出其最大值． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：① ， 无论取何值都大于等于0，再加上，则代数式大于等于， 则的最小值为； ②无论取何值都小于等于0，再加上8，则代数式小于或等于8， 则的最大值为8， ， 无论取何值都小于等于0，再加上28，则代数式小于等于28，则的最大值为28． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期末质量检测 八年级数学试题2025.01 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求 1. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 3. 下列运算正确是(　　) A. B. C. D. 4. 如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，，再在处立了标杆，使，，测得的长是15米，则，两点间的距离为（ ） A. 7.5米 B. 15米 C. 20米 D. 30米 5. 如图，在中，平分，于．如果，那么（ ） A. B. C. D. 6. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ① ② ③ ④ 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如果关于的分式方程有解，则的值为（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 已知，则的值是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 10. 题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若能用公式法进行因式分解，则常数的值为________． 12. 若分式的值为，则的值为______． 13. 计算：若x+3y﹣2＝0，则2x•8y＝___． 14. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______． 15. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是________． 16. 已知:如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________(填序号) 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 化简式子，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值． 20 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：， 求： （1）； （2）的值． 22. 第一届全国青少年三大球运动会于2024年11月20日至11月28日在长沙市和岳阳市举行．有来自全国25个省、自治区、直辖市的96支队伍、约1500名运动员到湖南省参赛，决赛场次总计308场．长沙市南雅中学作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事．在筹备期间，为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． （1）足球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 23. 问题背景： （1）如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： （2）如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 24. 发现与探索： （1）根据小明解答将下列各式因式分解． 小明的解答： ①； ②． （2）根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$