专题 反比例函数与一次函数的综合（基础题&提升题&压轴题）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学《第17章 函数及其图象》 专题 反比例函数与一次函数的综合 （基础题&提升题&压轴题） 1、 基础题 1．（2024秋•临邑县期末）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（6，﹣1）两点，则不等式的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞6 C．x＜6 D．x＜﹣2或0＜x＜6 2．（2024秋•昭平县期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C，则点C的坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（0，1） D．（0，2） 3．（2025•安徽模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（1，3），B（c，﹣1），则k﹣a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024•长春一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点A、B两点，连接AB、OB，若△OAB的面积为3，则k的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 5．（2024秋•鄄城县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA＝OD＝DC且S△ADC＝9，求： （1）点C的坐标； （2）这个一次函数和这个反比例函数的表达式． 6．（2024秋•博兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数y2在第一象限内的图象交于点B（2，n），连接BO，且S△AOB． （1）求反比例函数y2的解析式． （2）求直线y1＝ax+b对应的函数解析式． 7．（2024秋•金寨县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝﹣2x+6的图象与反比例函数y2的图象相交于A（a，4），B（b，2）两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）观察图象，直线写出y1＞y2时x的取值范围． 8．（2024秋•桓台县期末）如图，已知反比例函数与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，直线交x轴于点M． （1）求一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出使成立的x的值． 9．（2024秋•平南县期末）如图，已知反比例函数的图象经过点A（3，4）． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且OA＝AB，求△AOB的面积． 2、 提升题 10．（2023秋•沂水县校级期末）如图，直线yx与双曲线y交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC，若∠ACB＝90°，△ABC的面积为20，则k的值是（　　） A．﹣10 B．﹣12 C．﹣15 D．﹣20 11．（2023秋•东港区校级期末）如图，将直线y＝x向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图象在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2＝（　　） A．16 B．12 C．8 D．6 12．（2024•长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（　　） A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2） 13．（2024秋•利辛县期中）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数的图象交于A（1，a），B两点．在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为（　　） A．（4，0） B．（0，4） C． D． 14．（2025•越秀区校级开学）如图，一次函数yx+1分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为反比例函数y（x＜0）图象上一动点，过点P作y轴的垂线交直线AB于点C，过点A作AD⊥x轴，与反比例函数y交于点D．若PC＝2AD，则点C的坐标为　 　． 15．（2024秋•攸县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（﹣2，8）、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，坐标原点O是线段CH的中点． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AHB的面积． 16．（2024秋•东坡区期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点C，D两点，与反比例函数y（n≠0）的图象交于，B（3，m）两点． （1）分别求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点E是线段OD上一点，若S△AEB，求点E的坐标． 17．（2024•郸城县一模）如图，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数y（a≠0，x＞0）的图象交于点A（1，m），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣2，0）． （1）求k与a的值． （2）P是x轴正半轴上一点，若BP＝BC，求△PAB的面积． 18．（2024秋•贵州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2（m≠0）在第二象限交于点A（﹣2，3），且与y轴交于点B（0，2）． （1）求一次函数的表达式； （2）请直接写出不等式y1≤y2的解集； （3）在x轴上有一动点P，且△ABP的面积为，求点P的坐标． 19．（2024秋•湖北期末）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（m，4），点B（4，1），且与x轴，y轴分别交于点M，N． （1）直接写出k1，b，k2的值； （2）结合图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围； （3）点E在线段AB上，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝1，求点F的坐标． 20．（2024秋•宁明县期末）如图，直线y1＝﹣x+4，都与双曲线交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y2和双曲线的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 3、 压轴题 21．（2023秋•霍邱县月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数（其中k1•k2≠0）的图象相交于A（﹣4，9），B（m，﹣6）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，过点P作PQ∥AB交x轴于点Q，连接AQ，求四边形ABPQ的面积． 22．（2023•西藏）如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（n，﹣1）． （1）求m，n的值和反比例函数的解析式； （2）点A关于原点O的对称点为A'，在x轴上找一点P，使PA'+PB最小，求出点P的坐标． 23．（2024秋•安远县期末）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数上，作直线AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB． （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）求△AOB的面积； （3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F，若EFAD，求出点E的坐标． 24．（2024秋•东明县期末）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，其中A（4，0），C（0，3）． （1）当反比例函数的图象和矩形OABC有交点时，k的最大值为 　　．（请直接写出结果） （2）如图，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E，连接DE． ①当k＝6时，求△ODE的面积； ②连接AC，判断DE与AC是否平行？并说明理由． 25．（2025•潍坊模拟）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象交于A（﹣3，n），B（2，﹣6）两点． （1）①求一次函数和反比例函数的表达式；②求△AOB的面积． （2）在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得△PAO为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2024秋•静安区校级期末）如图，正比例函数y＝k1x图象与反比例函数图象交于点A（4，3），直线BC∥OA，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接AC，AB． （1）求正比例函数，反比例函数解析式； （2）求△ABC的面积． （3）点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学《第17章 函数及其图象》 专题 反比例函数与一次函数的综合 （基础题&提升题&压轴题） 1、 基础题 1．（2024秋•临邑县期末）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（6，﹣1）两点，则不等式的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞6 C．x＜6 D．x＜﹣2或0＜x＜6 【分析】结合图象，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（6，﹣1）两点， ∴不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜6， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 2．（2024秋•昭平县期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C，则点C的坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（0，1） D．（0，2） 【分析】先将点B的坐标代入反比例函数关系式求出m，再求出点A的坐标，然后根据待定系数法求出直线解析式，最后令x＝0，求出答案即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象过点B（2，﹣1）， 得m＝﹣2， ∴反比例函数关系式为． ∵点A（﹣1，n）在反比例函数的图象上， ∴， ∴点A（﹣1，2）． ∵点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为y＝﹣x+1， ∴点C的坐标为（0，1）． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的关系式，熟练掌握相关知识点是关键． 3．（2025•安徽模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（1，3），B（c，﹣1），则k﹣a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，则可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，把A、B坐标代入一次函数解析式可求得a、b，进一步求得k﹣a的值． 【解答】解：∵点A（1，3）在反比例函数图象上， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数解析式为y， ∵B（c，﹣1）在反比例函数图象上， ∴c＝﹣3， ∴B（﹣3，﹣1）， ∵A、B在一次函数图象上， ∴，解得， ∴k﹣a＝3﹣1＝2． 故选：A． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得k、a的值是解题的关键． 4．（2024•长春一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点A、B两点，连接AB、OB，若△OAB的面积为3，则k的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【分析】利用两直线k值相等两直线平行得到S△AOB＝S△AOC＝3，代入数据求出点A的横坐标，继而求出A点的纵坐标，最后得到k值即可． 【解答】解：如图，连接AC， ∵直线BC的解析式为直线， ∴C（0，2）， ∵两条直线的k值相等， ∴AO∥BC， ∴S△AOB＝S△AOC＝3， ∴丨xA丨＝3， ∴xA＝﹣3， 将xA＝﹣3代入正比例函数得， y（﹣3）＝2， ∴A（﹣3，2）， ∵A（﹣3，2）在反比例函数图象上， ∴k＝﹣6． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 5．（2024秋•鄄城县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA＝OD＝DC且S△ADC＝9，求： （1）点C的坐标； （2）这个一次函数和这个反比例函数的表达式． 【分析】（1）设OA＝OD＝DC＝a，根据，求出a＝3（负值舍去），得出OA＝OD＝DC＝3，进而可得出答案； （2）根据题意得：，，求解即可得出答案． 【解答】解：（1）设OA＝OD＝DC＝a， 根据题意得出：， 解得：a＝3（负值舍去）， ∴OA＝OD＝DC＝3， ∴A（﹣3，0），C（3，3）； （2）根据题意得：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 根据题意得：， 解得：m＝9， ∴反比例函数的解析式为． 【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，根据题意得出函数解析式是解题的关键． 6．（2024秋•博兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数y2在第一象限内的图象交于点B（2，n），连接BO，且S△AOB． （1）求反比例函数y2的解析式． （2）求直线y1＝ax+b对应的函数解析式． 【分析】（1）先由A（﹣1，0），得OA＝1，点B（2，n），S△AOB，得OA•n，n＝3，则点B的坐标是（2，4），然后利用待定系数法可得反比例函数的解析式； （2）把A（﹣1，0）、B（2，3）代入直线AB的解析式为y1＝ax+b可得直线AB的解析式为y1＝x+1． 【解答】解：∵A（﹣1，0），得OA＝1， ∵点B（2，n）在第一象限内，S△AOB， ∴OA•n； ∴n＝3； ∴点B的坐标是（2，3）； ∵反比例函数y2过点B， ∴k＝2×3＝6； ∴反比例函数解析式为． （2）把点A（﹣1，0）、B（2，3）的坐标代入y1＝ax+b． 解得a＝1，b＝1， ∴直线AB对应的函数解析式为y1＝x+1． 【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得点B的坐标是解题的关键． 7．（2024秋•金寨县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝﹣2x+6的图象与反比例函数y2的图象相交于A（a，4），B（b，2）两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）观察图象，直线写出y1＞y2时x的取值范围． 【分析】（1）先根据两函数图象的交点情况确定a、b的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）直接根据函数图象即可解答． 【解答】解：（1）∵两个函数图象相交于A（a，4），B（b，2）两点． ∴4＝﹣2a+6，2＝﹣2b+6， ∴a＝1，b＝2， ∴A点坐标为（1，4）两点B点坐标为（2，2）两点． ∴k＝1×4＝4， ∴反比例函数． （2）∵一次函数y1＝﹣2x+6的图象与反比例函数的图象相交于A（1，4），B（2，2）两点． ∴当y1＞y2时x的取值范围1＜x＜2或x＜0． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、求函数解析式、运用图象求不等式的解集的等知识点，掌握两函数图象的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． 8．（2024秋•桓台县期末）如图，已知反比例函数与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，直线交x轴于点M． （1）求一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出使成立的x的值． 【分析】（1）先求出A、B坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点M的坐标，再根据S△AOB＝S△AOM+S△COM进行求解即可； （3）利用图象法求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知点A的坐标为（﹣2，4）； 当y＝﹣2，则，解得：x＝4， ∴点B的坐标为（4，﹣2）． ∵一次函数过A、B两点， ∴， 解得：， ∴y＝﹣x+2； （2）设直线AB与x轴交于M， 由条件可知； （3）观察函数图象发现： 当﹣2＜x＜0或x＞4时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴当﹣2＜x＜0或x＞4时，． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出两交点坐标是解题的关键． 9．（2024秋•平南县期末）如图，已知反比例函数的图象经过点A（3，4）． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且OA＝AB，求△AOB的面积． 【分析】（1）把点A坐标代入即可； （2）过A作AC⊥OB与C，设点A的坐标为（m，n），得到mn＝12，根据OA＝AB得到OB＝2OC，将△AOB的面积用m，n来表示即可． 【解答】解：（1）把A（3，4）代入到，得 ， 解得，k＝12； （2）如图，过A作AC⊥OB于点C，设点A的坐标为（m，n）， 设点A的坐标为（m，n）， ∴mn＝12， ∵AC⊥OB，OA＝AB， ∴OB＝2OC， ∴△AOB的面积为， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义，解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． 2、 提升题 10．（2023秋•沂水县校级期末）如图，直线yx与双曲线y交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC，若∠ACB＝90°，△ABC的面积为20，则k的值是（　　） A．﹣10 B．﹣12 C．﹣15 D．﹣20 【分析】设点A（a，a），利用S△ACB（yA+|yB|）＝20，构建方程即可解决问题． 【解答】解：设点A（a，a）， 则OAa， ∵点C在x轴上一点，∠ACB＝90°，且△ACB的面积为20， ∴OA＝OB＝OCa， ∴S△ACBOC×（yA+|yB|）（a）×（a）＝20， 解得a＝±3（舍弃3）， ∴点A为（﹣3，4）， ∴k＝﹣3×4＝﹣12， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 11．（2023秋•东港区校级期末）如图，将直线y＝x向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图象在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2＝（　　） A．16 B．12 C．8 D．6 【分析】根据平移后解析式是y＝x﹣m，代入求出x2﹣mx＝6，y＝x﹣m与x轴交点B的坐标是（m，0），设A的坐标是（x，y），求出OA2﹣OB2＝x2+（x﹣m）2﹣m2＝2（x2﹣xm），代入求出即可． 【解答】解：∵平移后解析式是y＝x﹣m， 代入得：， 即x2﹣mx＝6，y＝x﹣m与x轴交点B的坐标是（m，0）， 设A的坐标是（x，y）， ∴OA2﹣OB2＝x2+（x﹣m）2﹣m2＝2（x2﹣xm）＝2×6＝12， 故选：B． 【点评】本此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移规律，掌握y＝x﹣m与x轴交点B的坐标是（m，0）是关键． 12．（2024•长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（　　） A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2） 【分析】依据题意，由点A（4，2）在函数y上，可得k的值，从而得反比例函数的解析式，又设直线OA为y＝kx，故可得直线OA为yx，再设向上平移m个单位到直线BC，则B（0，m），直线BC为yx+m，最后设（a，）（a＞0），进而a+m，故ma，又作CH⊥y轴于H，从而CH＝a，BHma，BH2+CH2＝BC2，a2+a2＝5，求得a的值，最后可以计算得解． 【解答】解：由题意，∵点A（4，2）在函数y上， ∴k＝4×2＝8． ∴反比例函数为y． 设直线OA为y＝kx， ∴4k＝2． ∴k． ∴直线OA为yx． 又设向上平移m个单位到直线BC， ∴B（0，m），直线BC为yx+m． 再设（a，）（a＞0）， ∴a+m． ∴ma． 作CH⊥y轴于H， ∴CH＝a，BHma，BH2+CH2＝BC2． ∴a2+a2＝5． ∴a＝2． ∴4﹣m＝1． ∴m＝3． ∴B（0，3）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握反比例函数的性质是关键． 13．（2024秋•利辛县期中）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数的图象交于A（1，a），B两点．在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为（　　） A．（4，0） B．（0，4） C． D． 【分析】把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；作点B作关于y轴的对称点D，连接AD，交y轴于点P，此时PA+PB＝PA+PD＝AD的值最小，然后求出AD的解析式，即可求得． 【解答】解：把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4， 得a＝﹣1+4， 解得a＝3， ∴A（1，3）， 点A（1，3）代入反比例函数，得k＝3， ∴反比例函数的表达式， 联立， ∴x1＝1，x2＝3， ∴B（3，1）， 作点B作关于y轴的对称点D，交y轴于点C，连接AD，交y轴于点P， 此时PA+PB＝PA+PD＝AD的值最小， ∴D（﹣3，1）， ∵A（1，3）， 设直线DA的解析式为y＝kx+m， 把D（﹣3，1）和A（1，3）代入解析式y＝kx+m中得，， 解得：， ∴， 当x＝0时，， ∴PA+PB取得最小值时，． 故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值，解题的关键是正确作出辅助线． 14．（2025•越秀区校级开学）如图，一次函数yx+1分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为反比例函数y（x＜0）图象上一动点，过点P作y轴的垂线交直线AB于点C，过点A作AD⊥x轴，与反比例函数y交于点D．若PC＝2AD，则点C的坐标为　 　． 【分析】先求出点D的坐标，得AD＝3，进而得PC＝6，设，，由点P在反比例函数上，PC＝6，得关于b、m的方程组，解方程组得m的值，进而可得点C的坐标． 【解答】解：由条件可设，则A（a，0）， ∴， 解得a＝﹣2， ∴D（﹣2，3）， ∴AD＝3， ∵PC＝2AD， ∴PC＝6， ∵PC⊥y轴，点C在一次函数图象上， ∴可设，， ∵点P在反比例函数上，PC＝6， ∴， 解得：或， ∴点C的坐标为（4，3）或（0，1）． 故答案为：（4，3）或（0，1）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 15．（2024秋•攸县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（﹣2，8）、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，坐标原点O是线段CH的中点． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AHB的面积． 【分析】（1）先求出反比例函数关系式，即可得出点C的坐标，再根据待定系数法求出一次函数关系式即可； （2）先将两个函数关系式联立求出点B的坐标，再以AH为底边，以点B的横坐标减去点A的横坐标为高求出面积即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点（﹣2，8）， ∴， 解得k＝﹣16， ∴反比例函数的解析式为； ∵点H（﹣2，0），且点O是线段CH的中点， ∴点C的坐标为（2，0）， 将A，C两点的坐标代入y＝ax+b中， 得， 解得， ∴y＝﹣2x+4． （2）由， 解得或， ∴B（4，﹣4）， ∴． 【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，求几何图形的面积等，理解用坐标差表示线段长是解题的关键． 16．（2024秋•东坡区期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点C，D两点，与反比例函数y（n≠0）的图象交于，B（3，m）两点． （1）分别求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点E是线段OD上一点，若S△AEB，求点E的坐标． 【分析】（1）先将A坐标代入反比例函数解析式，求出n，再将B点坐标代入反比例函数解析式，求出m，再将A，B点坐标代入一次函数即可； （2）先求出D点坐标，设E点坐标，表示出△DBE的面积和△DAE的面积，即可表示出△AEB的面积，列方程即可求出E点坐标． 【解答】解：（1）将代入反比例函数y， 得n6， ∴反比例函数的解析式为：， 将B（3，m）代入反比例函数解析式， 得3m＝6， 解得m＝2， ∴B（3，2）， 将A，B点坐标代入一次函数y＝kx+b中， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为：． （2）当x＝0时，6， ∴D（0，6）， 设E点坐标为（0，y）， ∵，， ∴S△AEB＝S△DBE﹣S△DAE， ∴y＝1， ∴E点坐标为（0，1）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，用待定系数法求解析式以及表示△ABE的面积是解决本题的关键． 17．（2024•郸城县一模）如图，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数y（a≠0，x＞0）的图象交于点A（1，m），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣2，0）． （1）求k与a的值． （2）P是x轴正半轴上一点，若BP＝BC，求△PAB的面积． 【分析】（1）将CA（﹣2，0）代入y＝kx+1之中可得k，进而得一次函数的表达式为yx+1，再将点A（1，m）代入yx+1，得m，则点A，然后将点A的坐标代入y之中可得a的值； （2）过点A作AH⊥x轴于H，则AH，OC＝2，再由BP＝BC，BO⊥PC得OP＝OC＝2，则PC＝4，再求出点B（0，1），则OB＝1，分别求出S△PACPC•AH＝3，S△PBCPC•OB＝2，再根据S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC可得出答案． 【解答】解：（1）将CA（﹣2，0）代入y＝kx+1，得：0＝﹣2k+1， 解得：k， ∴一次函数的表达式为yx+1， 将点A（1，m）代入yx+1，得：m1+1， ∴点A， 将点A（1，3/2）代入y＝a/x，得：a＝1， 故k，a， （2）过点A作AH⊥x轴于H，如图所示： ∵点A（1，），点C（﹣2，0）， ∴AH，OC＝2， ∵BP＝BC，BO⊥PC， ∴OP＝OC＝2， ∴PC＝4， 对于yx+1，当x＝0时，y＝1， ∴一次函数yx+1与y轴交点B（0，1）， ∴OB＝1， ∵S△PACPC•AH43，S△PBCPC•OB4×1＝2， ∴S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC＝3﹣2＝1． 【点评】此题主要考查了一次函数图象与反比例函数的图象的交点，三角形的面积，理解函数图象上的满足函数的表达，熟练掌握利用面积的和差求图形的面积是解决问题的关键． 18．（2024秋•贵州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2（m≠0）在第二象限交于点A（﹣2，3），且与y轴交于点B（0，2）． （1）求一次函数的表达式； （2）请直接写出不等式y1≤y2的解集； （3）在x轴上有一动点P，且△ABP的面积为，求点P的坐标． 【分析】（1）把点A（﹣2，3），B（0，2）代入y1＝kx+b，根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）设一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2（m≠0）在第四象限交于点C．把点A（﹣2，3）代入y2（m≠0），求出m，得到反比例函数的解析式，将两个解析式联立组成方程组，求出方程组的解得到C点坐标，结合图象求出不等式y1≤y2的解集； （3）设一次函数yx+2与x轴交于点D，求出D（4，0）．根据S△ABP＝S△ADP﹣S△DBP，列出方程PD×3PD×2，求出PD，进而得到点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣2，3），B（0，2）代入y1＝kx+b， 得，解得， ∴一次函数的解析式为yx+2； （2）如图，设一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2（m≠0）在第四象限交于点C． ∵反比例函数y2（m≠0）过点A（﹣2，3）， ∴m＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为y． 解方程组，得，或， ∴C（6，﹣1）， ∴不等式y1≤y2的解集为﹣2≤x＜0或x≥6； （3）如图，设一次函数yx+2与x轴交于点D， ∴当y＝0时，x+2＝0，解得x＝4， ∴D（4，0）． ∵S△ABP＝S△ADP﹣S△DBP， ∴PD×3PD×2， ∴PD， ∴点P的坐标为（，0）或（，0）． 【点评】本题是一次函数和反比例函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用数形结合是解题的关键． 19．（2024秋•湖北期末）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（m，4），点B（4，1），且与x轴，y轴分别交于点M，N． （1）直接写出k1，b，k2的值； （2）结合图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围； （3）点E在线段AB上，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝1，求点F的坐标． 【分析】（1）根据点B（4，1），先确定反比例函数解析式，再根据反比例函数解析式确定点A（m，4），最后代入y1＝k1x+b确定一次函数的解析式计算即可； （2）根据图象交点坐标为A（m，4），点B（4，1），结合y1＜y2，利用交点的横坐标，直接写出解集即可； （3）根据题意，设E（n，﹣n+5），则，故，解答即可． 【解答】解：（1）由条件可得k2＝1×4＝4， ∴， ∵A（m，4）在反比例函数的图象上， ∴m＝1， ∴A（1，4）， ∵直线AB的函数解析式为y1＝k1x+b， 根据题意，可得， 解得， ∴直线解析式为y1＝﹣x+5； （2）根据（1）得图象交点坐标为A（1，4），B（4，1）； ∵y1＜y2； ∴x＞4或0＜x＜1； （3）根据题意，设E（n，﹣n+5），则， 故， 整理，得n2﹣4n+4＝0， 解得n1＝n2＝2， 故点F的坐标为F（2，2）． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式、图象交点的意义、根据图象求不等式的解集、解一元二次方程、一次函数以及反比例函数的解析式，求出函数解析式是解题的关键． 20．（2024秋•宁明县期末）如图，直线y1＝﹣x+4，都与双曲线交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y2和双曲线的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 【分析】（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线，可得y与x之间的函数关系式； （2）求得直线y1＝﹣x+4与双曲线的交点，可得当x＞0时，不等式的解集为1＜x＜3； （3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CPBC，或BPBC，即可得到OP＝3，或OP＝4，进而得出点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，可得m＝﹣1+4＝3， ∴A（1，3）， 把A（1，3）代入，可得3b， 解得b， ∴y2的函数关系式为：y2x； 把A（1，3）代入双曲线，可得， ∴k＝1×3＝3， ∴y与x之间的函数关系式为：y； （2）解得或， ∴直线y1＝﹣x+4与双曲线交于点A（1，3）和（3，1）， 由图象可知，当x＞0时，不等式的解集为：1＜x＜3； （3）y1＝﹣x+4，令y＝0，则x＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 把A（1，3）代入y2x+b，可得3b， ∴b， ∴y2x， 令y＝0，则x＝﹣3，即C（﹣3，0）， ∴BC＝7， ∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分， ∴CPBC，或BPBC， ∴OP＝3，或OP＝4， ∴P（，0）或（，0）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 3、 压轴题 21．（2023秋•霍邱县月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数（其中k1•k2≠0）的图象相交于A（﹣4，9），B（m，﹣6）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，过点P作PQ∥AB交x轴于点Q，连接AQ，求四边形ABPQ的面积． 【分析】（1）将点A（﹣4，9）代入反比例函数y2之中求出k的值可得反比例函数表达式；再将点B（m，﹣6）代入所求反比例函数的表达式求出m的值得点的坐标，将点A，B坐标代入一次函数y1＝k1x+b之中求出k1和b的值可得一次函数表达式； （2）设一次函数与x轴交于点M，先证四边形MBPQ为平行四边形得MQ＝BP＝6，进而可求出S □MBPQ＝36，再求出点M的坐标为（2，0），进而可得点Q（﹣4，0），然后根据点A的坐标可得AQ⊥x轴，AQ＝9，据此可求出S△AMQ＝27，最后根据S四边形ABPQ＝S □MBPQ+S△AMQ可得出答案． 【解答】解：（1）将点A（﹣4，9）代入反比例函数y2，得k2＝﹣4×9＝﹣36， ∴反比例函数的表达式为：y， 将点B（m，﹣6）代入y，得m＝6， ∴点的坐标为（6，﹣6）， 将点A（﹣4，9），B（6，﹣6）代入一次函数y1＝k1x+b， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）设一次函数与x轴交于点M，如图： ∵点A（﹣4，9），B（6，﹣6），BP∥x轴， ∴BP＝6，OP＝6，点P的坐标为（0，﹣6）， ∵BP∥x轴，PQ∥AB ∴四边形MBPQ为平行四边形， ∴MQ＝BP＝6， ∴S □MBPQ＝MP•OP＝6×6＝36； 对于，当y＝0时，x＝2， ∴点M的坐标为（2，0）， ∴OM＝2， ∴OQ＝MQ﹣OM＝6﹣2＝4， ∴点Q的坐标为（﹣4，0）， 又∵点A（﹣4，9）， ∴AQ⊥x轴， ∴AQ＝9， ∴S△AMQMQ•AQ9×6＝27， ∴S四边形ABPQ＝S □MBPQ+S△AMQ＝36+27＝63． 【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法求函数的表达式是解答此题的关键． 22．（2023•西藏）如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（n，﹣1）． （1）求m，n的值和反比例函数的解析式； （2）点A关于原点O的对称点为A'，在x轴上找一点P，使PA'+PB最小，求出点P的坐标． 【分析】（1）将点A（1，m），点B（n，﹣1）分别代入y＝x+2之中，即可求出m，n的值；然后再将点（1，3）代入y之中求出a＝3即可得到反比例函数的解析； （2）作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交x轴于点P，连接PB，则PA'+PB为最小，故得点P为所求作的点，根据对称性先求出点A'（﹣1，﹣3），点B'（﹣3，1），再利用待定系数法求出直线A'B'的解析式为y＝﹣2x﹣5，由此可求出点P的坐标． 【解答】解：（1）将点A（1，m），点B（n，﹣1）分别代入y＝x+2之中， 得：m＝1+2，﹣1＝n+2， 解得：m＝3，n＝﹣3， ∴点A（1，3），点B（﹣3，﹣1）， 将点（1，3）代入y之中，得：a＝1×3＝3， ∴反比例函数的解析式为：y， 故得m＝3，n＝﹣3，反比例函数的解析式为：y． （2）作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交x轴于点P，连接PB，如图： 则PA'+PB为最小， 故得点P为所求作的点．理由如下： 在x轴上任取一点M，连接MB，MB'，MA'， ∵点B关于x轴的对称点B'， ∴x轴为线段BB'的垂直平分线， ∴PB＝PB'，MB＝MB'， ∴MA'+MB＝MA'+MB'，PA'+PB＝PA'+PB'＝A'B'， 根据“两点之间线段最短”得：A'B'≤MA'+MB'， 即：PA'+PB≤MA'+MB， ∴PA'+PB为最小． ∵点A（1，3），点A与点A'关于原点O对称， ∴点A'的坐标为（﹣1，﹣3）， 又∵点B（﹣3，﹣1），点B和点B'关于x轴对称， ∴点B'点的坐标为（﹣3，1）， 设直线A'B'的解析式为：y＝kx+b， 将点A'（﹣1，﹣3），B'（﹣3，1）代入y＝kx+b， 得：，解得：， ∴直线A'B'的解析式为：y＝﹣2x﹣5， 对于y＝﹣2x﹣5，当y＝0时，x＝﹣2.5， ∴点P的坐标为（﹣2.5，0）． 【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，利用轴对称求最短路线，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解利用轴对称求最短路线的思路和方法是解答此题的关键． 23．（2024秋•安远县期末）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数上，作直线AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB． （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）求△AOB的面积； （3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F，若EFAD，求出点E的坐标． 【分析】（1）设反比例函数的解析式为y，根据题意B点坐标得出k的值以及m的值； （2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，求出直线AB的解析式，再利用S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON，求出答案即可； （3）设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，），求出EF＝﹣m+7，得出关于m的方程，求出m即可． 【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y， 将B（6，1）的坐标代入y，得k＝6． ∴反比例函数的解析式为y． 将A（m，6）的坐标代入y，得m＝1． （2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax+b， 把A（1，6）和B（6，1）代入上式，得： ， 解得：， 故直线AB的解析式为：y＝﹣x+7， ∴M（0，7），N（7，0）， ∴S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BONOM×ONOM×|xA|ON×|yB| 7×77×17×1 ． （3）设E点的坐标为（m，﹣m+7），则F（m，）， ∴EF＝﹣m+7． ∵EFAD， ∴﹣m+76． 解得m1＝2，m2＝3， 经检验，m1＝2，m2＝3是分式方程的根， ∴E的坐标为（2，5）或（3，4）． 【点评】本题考查了用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，正确得出直线AB的解析式是解题关键． 24．（2024秋•东明县期末）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，其中A（4，0），C（0，3）． （1）当反比例函数的图象和矩形OABC有交点时，k的最大值为 　　．（请直接写出结果） （2）如图，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E，连接DE． ①当k＝6时，求△ODE的面积； ②连接AC，判断DE与AC是否平行？并说明理由． 【分析】（1）由反比例函数的性质可得k＝xy，再根据反比例函数图矩形有交点，即0≤x≤4，0≤y≤3，进而得到x＝4，y＝3时，求出k有最大值即可； （2）①根据题意可得、；①如图：连接OD，OE．根据k＝6可得、E（2，3），即、CE＝2、，然后运用割补法即可解答；②先分别求出直线AC、DE解析式，然后根据一次项系数即可判定． 【解答】解：（1）k的最大值为12；理由如下： 由反比例函数，得：k＝xy， 当反比例函数的图象和矩形OABC有交点时，得：0≤x≤4，0≤y≤3， ∴当x＝4，y＝3时，k有最大值3×4＝12， 故答案为：12； （2）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，其中A（4，0），C（0，3）， ∴B（4，3）， ∴AB＝OC＝3，BC＝AO＝4， ∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E， ∴，， ①如图1：连接OD，OE． ∵k＝6， ∴，E（2，3）， ∴，CE＝2，． ∴S△ODE＝S矩形OABC﹣S△OCE﹣S△ODA﹣S△BED ； ②DE与AC相互平行；理由如下： 如图2，连接AC． 设直线AC的表达式为y＝mx+n，将A（4，0），C（0，3）分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的表达式为， 设直线DE的表达式为y＝px+q，将，分别代入得： ， 解得：， ∴直线DE的表达式为， ∵， ∴直线DE可以由直线AC经过平移得到． ∴DE∥AC． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与几何的综合、矩形的性质、反比例函数的性质、一次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 25．（2025•潍坊模拟）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象交于A（﹣3，n），B（2，﹣6）两点． （1）①求一次函数和反比例函数的表达式；②求△AOB的面积． （2）在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得△PAO为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①将B（2，﹣6）代入y＝ 可求得反比例函数的表达式为：y＝ ；进一步可得A（﹣3，4）；将A（﹣3，4）、B（2，﹣6）代入y＝ax+b即可求解；②设一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于点C，可求得C（﹣1，0），根据S△AOB＝S△AOC+S△COB即可求解； （2）设点P（p，0）（p＜0），分类讨论①PA＝PO，②AP＝AO，③OP＝OA，三种情况即可求解； 【解答】解：（1）①已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象交于A（﹣3，n），B（2，﹣6）两点，将点B的坐标代入y＝ 得： ﹣6＝ ， 解得：k＝﹣12； ∴反比例函数的表达式为y＝ ； 将点A的坐标代入y＝ 得： ， ∴A（﹣3，4）； 将点A，点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x﹣2 ②设一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于点C，如图： 由0＝﹣2x﹣2得x＝﹣1； ∴C（﹣1，0）， ∴； （2）在x轴的负半轴上，存在点P，使得△PAO为等腰三角形；理由如下： 设点P（p，0）（p＜0）， ①PA＝PO，则， 解得：； ②AP＝AO，则， 解得：p＝﹣6或p＝0（不合题意，舍去）； ③OP＝OA，则， 解得：p＝﹣5； 综上所述，在x轴的负半轴上，存在点P，使得△PAO为等腰三角形；点P的坐标为或（﹣6，0）或（﹣5，0）． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 26．（2024秋•静安区校级期末）如图，正比例函数y＝k1x图象与反比例函数图象交于点A（4，3），直线BC∥OA，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接AC，AB． （1）求正比例函数，反比例函数解析式； （2）求△ABC的面积． （3）点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）连接OC，C点横坐标为8，解方程得到C（8，），设直线BC的解析式为yx+n，解方程得到直线BC的解析式为yx，求得B（0，），得到OB，根据三角形的面积公式得到结论； （3）分三种情况讨论：①当DP＝DB时，②当BP＝DB时，③当PB＝PD时，根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象过点A（4，3）， ∴4k1＝3， 解得k1， ∴正比例函数的解析式为yx， ∵反比例函数图象过点A（4，3）， ∴3， 解得：k2＝12， ∴反比例函数的解析式为y； （2）连接OC，如图， ∵C点横坐标为8， ∴当x＝8时，y， ∴C（8，）， ∵OA∥BC， ∴设直线BC的解析式为yx+n， ∴8+n， ∴n， ∴直线BC的解析式为yx， ∴B（0，）， ∴OB， ∵OA∥BC， ∴S△OAC＝S△OAB， ∴S△ABC＝S△OBCOB•xC8＝18； （3）在yx中，令y＝0，则x＝6， ∴D（6，0）， ∴BD， ①当DP＝DB时，设P（0，y）， ∵OD⊥BP， ∴OP＝OB， ∴y， ∴P（0，）； ②当BP＝DB时， ∴OP＝BP﹣OB3或OP＝BP+OB＝12， ∴P（0，﹣12）或P（0，3）； ③当PB＝PD时，则（y）2＝62+y2， 解得y， ∴P（0，）； 综上所述．满足条件的点P的坐标为（0，）或（0，﹣12）或P（0，3）或（0，）． 【点评】此题属于反比例综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质以及分类讨论思想的运用是解本题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$