期中易错题压轴题专项复习（考试范围：第16～18章）【21大题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

期中易错题压轴题专项复习【21大题型】 （考试范围：第16~18章） 【华东师大版】 【易错篇】 1 【考点1 分式及其基本性质】 1 【考点2 分式的运算】 2 【考点3 分式方程及其解法】 3 【考点4 变量与函数】 3 【考点5 函数的图象】 4 【考点6 一次函数】 6 【考点7 反比例函数】 7 【考点8 与平行四边形有关的证明与计算】 8 【压轴篇】 9 【考点9 分式值为整数问题】 9 【考点10 利用分式性质求值】 9 【考点11 分式方程的解】 10 【考点12 分式方程的应用】 10 【考点13 根据情景确定函数图象】 12 【考点14 一次函数与动点最值问题】 13 【考点15 一次函数的应用】 15 【考点16 反比例函数k的几何意义】 16 【考点17 反比例函数与定值、最值问题】 18 【考点18 反比例函数的应用】 19 【考点19 平行四边形中边的关系运用】 21 【考点20 平行四边形中的面积转换】 22 【考点21 平行四边形中的角度转换】 23 【易错篇】 【考点1 分式及其基本性质】 【例1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·云南昆明·期末）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【变式1-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【变式1-3】（21-22八年级上·重庆·期末）已知，则的值为 ． 【考点2 分式的运算】 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如果，那么式子与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-1】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 …………第五步 任务一： 填空： 以上化简步骤中，第一步是依据______（填运算律）进行变形的； 第三步是进行分式的约分，约分的依据是 ； 第______步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 请直接写出该分式化简后的正确结果 ． 任务二：请写出分式化简的注意事项（至少写一条）． 【变式2-3】（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．(结果化为最简形式) 【考点3 分式方程及其解法】 【例3】（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式3-1】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）已知关于x的分式方程的解是，则k的值为 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·河北保定·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．我们有如下两个约定： （）方程的整数解称之为“暖根”； （）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”． 已知一元一次方程①与分式方程②： (1)方程①有“暖根”吗？ (2)方程②有“暖根”吗？ (3)它们是“同源方程”吗？_______填（是或不是） 【变式3-3】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 【考点4 变量与函数】 【例4】（24-25九年级上·江苏南通·期中）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】嘉琪的爸爸到单位附近的加油站加油，如图是他所用加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【变式4-3】一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 支撑物的高度 60 70 80 90 100 小车下滑的时间 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35 下列说法正确的是（   ） A．当时， B．h每增加，减小 C．随着h逐渐升高，t也逐渐变大 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【考点5 函数的图象】 【例5】（24-25九年级下·河南信阳·期末）如图，正方形的边长为4，从顶点出发沿正方形的边运动，路线是，设点经过的路程为，的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿相同路线匀速驶向乙地．已知甲、乙两地相距，如图，，分别表示货车、轿车离甲地的距离s与货车出发时间t之间的对应关系．根据图象信息，下列说法不正确的是（   ） A．轿车的速度为 B．轿车出发后，两车相距 C．轿车比货车早到乙地 D．轿车出发后追上货车 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【考点6 一次函数】 【例6】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）将直线平移得到直线，则移动方法为（   ） A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位 【变式6-2】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知一次函数． (1)若函数值随的增大而增大，求的取值范围； (2)若一次函数的图象经过点，求的值． 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【考点7 反比例函数】 【例7】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求的面积． 【变式7-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（   ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【变式7-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知平行四边形的顶点B、C、D分别在y轴和x轴上，点A在反比例函数的图象上，若，则k的值为 ． 【变式7-3】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，曲线是顶点为B，且与y轴交于点A的抛物线的一部分，曲线是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线，点与均在该波浪线上，则 ． 【考点8 与平行四边形有关的证明与计算】 【例8】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形的对角线和相交于点O，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】（24-25八年级·河南商丘·期中）如图1，，P为的中点，点E为射线上的任意一点（不与点A重合），连接，并使的延长线交射线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接、，是否有，如不是，请说明理由，如果是，请证明． 【变式8-2】（24-25八年级·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形中，，过点D作的垂线，交于点E，交的延长线于点F，则的度数为 ． 【变式8-3】（24-25八年级·河南漯河·期中）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【压轴篇】 【考点9 分式值为整数问题】 【例9】（24-25八年级上·山东烟台·期末）若为整数，则使的值为整数的有 个． 【变式9-1】（24-25八年级·北京石景山·期末）当分式的值为正整数时，整数x的取值可能有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式9-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-3】（24-25八年级上·重庆丰都·期末）若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“两同和七数”．已知为一个“两同和七数”，且可以被9整除．则满足条件的最大值是 ．将的各个数位数字之和记为，的个位数字与千位数字的差记为，并令，当是整数时，则满足条件的最小值是 ． 【考点10 利用分式性质求值】 【例10】（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）已知，，则的值为 ． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【变式10-2】（20-21七年级下·浙江金华·期末）任意两个和不为零的数a、b、c满足，求的值 ． 【变式10-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【考点11 分式方程的解】 【例11】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式11-3】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．13 B．15 C．18 D．20 【考点12 分式方程的应用】 【例12】（24-25八年级上·山东泰安·期末）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． (1)求两种图书的单价分别为多少元？ (2)为筹备数学节活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用为多少元？ 【变式12-1】（24-25八年级上·广西玉林·期末）某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用900元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多5捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于2140元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？ 【变式12-2】某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 【变式12-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【考点13 根据情景确定函数图象】 【例13】（24-25八年级上·山东济南·期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式13-1】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A．B． C．D． 【变式13-3】（24-25八年级下·广东东莞·期末）某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【考点14 一次函数与动点最值问题】 【例14】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，则长的最小值为 ． 【变式14-2】如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，点P的坐标为 ，此时的最小值为 ． 【考点15 一次函数的应用】 【例15】（24-25八年级上·河北保定·期末）一条公路旁分别分依次有，，三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村，到达目的地村停止运动，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示． (1)，两村相距________； (2)求甲、乙两人骑自行车的速度； (3)求相遇后，乙又骑行多长时间，两人恰好相距？ 【变式15-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线 和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 【变式15-2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【变式15-3】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【考点16 反比例函数k的几何意义】 【例16】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在反比例函数的图象上任取一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，是轴负半轴上一点，连接，，则的面积为（   ） A．8 B．10 C．14 D．16 【变式16-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为 ． 【变式16-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 ． 【变式16-3】（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点A，的横坐标分别为1，，与的面积之和为，则的值为 ． 【考点17 反比例函数与定值、最值问题】 【例17】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点都在双曲线上，P，Q分别是x轴，y轴上的动点，当四边形的周长取最小值时，所在直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． (1)求证：平分； (2)对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值. 【变式17-2】（22-23九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，已知位于第一象限，点A，B，C的坐标分别为，，．若双曲线与有交点，则k的最大值是（    ） A．1 B．2 C．5 D． 【变式17-3】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【考点18 反比例函数的应用】 【例18】（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【变式18-1】学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例，当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．水温从加热到时，需要 B．水温不低于的时间为 C．水温从降至，所需时间为 D．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 【变式18-2】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 【变式18-3】（22-23九年级上·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【考点19 平行四边形中边的关系运用】 【例19】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式19-1】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）小宇利用尺规在内作出点，又在边上作出点，作图痕迹如图所示，若，则，之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式19-2】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ． 【变式19-3】如图，在中，E、F分别是上的点，G、H分别是的三等分点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【考点20 平行四边形中的面积转换】 【例20】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，将三角形沿直线向左平移后，到达三角形的位置，若三角形的面积为10，则四边形的面积 ． 【变式20-1】（2025·广东清远·一模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 【变式20-2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知：如图，在中，，分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，，，求四边形的面积． 【变式20-3】（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【考点21 平行四边形中的角度转换】 【例21】（21-22九年级上·浙江台州·期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，∠D=100°，AC 为对角线，将△ACD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度后得到△AEF，使点 D 的对应点 E 落在边 AB 上，若点 C 的对应点 F 落在边CB 的延长线上，则∠EFB 的度数为 ． 【变式21-1】（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）如图，在中，交对角线于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式21-2】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则 °． 【变式21-3】如图，以的边分别为边作等边三角形和等边三角形，连接． (1)证明； (2)求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中易错题压轴题专项复习【21大题型】 （考试范围：第16~18章） 【华东师大版】 【易错篇】 1 【考点1 分式及其基本性质】 1 【考点2 分式的运算】 3 【考点3 分式方程及其解法】 6 【考点4 变量与函数】 9 【考点5 函数的图象】 11 【考点6 一次函数】 14 【考点7 反比例函数】 17 【考点8 与平行四边形有关的证明与计算】 21 【压轴篇】 24 【考点9 分式值为整数问题】 24 【考点10 利用分式性质求值】 27 【考点11 分式方程的解】 30 【考点12 分式方程的应用】 32 【考点13 根据情景确定函数图象】 37 【考点14 一次函数与动点最值问题】 40 【考点15 一次函数的应用】 46 【考点16 反比例函数k的几何意义】 53 【考点17 反比例函数与定值、最值问题】 56 【考点18 反比例函数的应用】 62 【考点19 平行四边形中边的关系运用】 69 【考点20 平行四边形中的面积转换】 74 【考点21 平行四边形中的角度转换】 78 【易错篇】 【考点1 分式及其基本性质】 【例1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分数的定义进行判定即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； 是最简分式，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选C． 【变式1-1】（24-25八年级上·云南昆明·期末）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质计算即可． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式有意义和分式的值为零的条件是解题的关键，根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得从而得到的值，代入即可得到答案． 【详解】解：时，分式没有意义， 时，分式的值为零， ． 【变式1-3】（21-22八年级上·重庆·期末）已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】由可得，再将整体代入化简即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握整体代入方法． 【考点2 分式的运算】 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如果，那么式子与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法，把与相减，然后根据运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-1】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行分式的除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 …………第五步 任务一： 填空： 以上化简步骤中，第一步是依据______（填运算律）进行变形的； 第三步是进行分式的约分，约分的依据是 ； 第______步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 请直接写出该分式化简后的正确结果 ． 任务二：请写出分式化简的注意事项（至少写一条）． 【答案】任务一：乘法分配律；分式的基本性质；四，括号前面是“”，去掉括号时，没有给变号； ；任务二：结果要化成最简分式；注意去括号时括号前面是“”时，去括号，里面的每一项都要变号（答案不唯一）． 【分析】任务一：根据乘法分配律即可求解； 根据分式的基本性质即可求解； 根据去括号法则即可求解； 根据去括号、平方差公式化解、分式分子分母同乘除不为零的数分式不变等知识点运算即可； 任务二：写出合理注意事项即可； 本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质． 【详解】解：任务一：以上化简步骤中，第一步是依据乘法分配律进行变形的， 故答案为：乘法分配律； 第三步是进行分式的约分，约分的依据是分式的基本性质， 故答案为：分式的基本性质； 第四步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“”，去掉括号时，没有给变号， 故答案为：四，括号前面是“”，去掉括号时，没有给变号； …………第三步 故答案为：； 任务二：分式化简的注意事项：结果要化成最简分式；注意去括号时括号前面是“”时，去括号，里面的每一项都要变号（答案不唯一）． 【变式2-3】（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．(结果化为最简形式) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用、列代数式等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意表示出提速前后火车的速度，然后作差并运算即可解答． 【详解】解：由题意可得： 提速前火车速度为：，提速前火车速度为：， 提速后火车比原来速度快了． 故答案为：． 【考点3 分式方程及其解法】 【例3】（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【详解】∵ 解得： 经检验，是分式方程的解， 故选：C． 【变式3-1】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）已知关于x的分式方程的解是，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式方程求解，解决本题的灌浆是将x的值代入方程，列出关于k的方程． 根据题意，将代入分式方程，关于k的方程，求出即可. 【详解】解：将代入分式方程可得： ， ∴， 解得 故答案为：2 【变式3-2】（24-25八年级上·河北保定·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．我们有如下两个约定： （）方程的整数解称之为“暖根”； （）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”． 已知一元一次方程①与分式方程②： (1)方程①有“暖根”吗？ (2)方程②有“暖根”吗？ (3)它们是“同源方程”吗？_______填（是或不是） 【答案】(1)有 (2)没有 (3)不是 【分析】（）求出方程①的解，再根据“暖根”的定义即可判断； （）求出方程②的解，再根据“暖根”的定义即可判断； （）由（）、（）的结果及“同源方程”的定义即可判断； 本题考查了方程的解，解一元一次方程，解分式方程，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴方程方程①有“暖根”； （2）解：， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解， ∴方程②没有“暖根”； （3）解：由（）、（）可知，方程①②不是“同源方程”， 故答案为：不是． 【变式3-3】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义、解分式方程，分两种情况：当时，当时，分别列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上所述，方程的解为或， 故选：C． 【考点4 变量与函数】 【例4】（24-25九年级上·江苏南通·期中）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了自变量和函数值：求自变量的取值范围以及分式有意义，根据得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-1】长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的解析式，理解题意，正确列出函数关系式是解题的关键．由长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米，可得另一边长为厘米，再利用长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米， 长方形的另一边长为厘米， 长方形的面积， y与x的关系式为． 故选：C． 【变式4-2】嘉琪的爸爸到单位附近的加油站加油，如图是他所用加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价7.38是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴变量是：金额与数量． 故选：D． 【变式4-3】一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 支撑物的高度 60 70 80 90 100 小车下滑的时间 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35 下列说法正确的是（   ） A．当时， B．h每增加，减小 C．随着h逐渐升高，t也逐渐变大 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】D 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格获得有效信息是解题的关键． 通过分析表格数据，理解变量之间的关系以及随着自变量的变化因变量的变化趋势，即可得出答案． 【详解】解：A．当时，，故选项错误； B．h每增加，减小的值不一定，故选项错误； C．随着h逐渐升高，t逐渐变小，故选项错误； D. 随着h逐渐升高，小车下滑的时间逐渐变小，小车下滑的平均速度逐渐加快，故选项正确； 故选：． 【考点5 函数的图象】 【例5】（24-25九年级下·河南信阳·期末）如图，正方形的边长为4，从顶点出发沿正方形的边运动，路线是，设点经过的路程为，的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点的函数图象问题，一次函数的应用，数形结合并分析起始阶段，中间某个特殊阶段的变化趋势是解题的关键； 分三种情况，分别求出函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：当点在时，则：时， ， 图象为过原点，方向向上的一条直线的一部分， 当点在上时，则：， ， 图象为平行于轴的一条直线的一部分， 当点在上时，则：， ， 图象为方向向下的一条直线的一部分， 综上，满足题意的只有选项A的图象； 故选A． 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿相同路线匀速驶向乙地．已知甲、乙两地相距，如图，，分别表示货车、轿车离甲地的距离s与货车出发时间t之间的对应关系．根据图象信息，下列说法不正确的是（   ） A．轿车的速度为 B．轿车出发后，两车相距 C．轿车比货车早到乙地 D．轿车出发后追上货车 【答案】D 【分析】本题考查从函数图象上获取信息，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．根据图象可知轿车比货车早到乙地，结合图象可分别求出轿车和货车的速度，再逐一判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，轿车的速度为：，故选项Ａ说法正确，不符合题意； 货车的速度为： 轿车出发后，两车相距 ， 故选项Ｃ说法正确，不符合题意； 设轿车出发小时后追上货车，根据题意得： 解得：， 即轿车出发后后追上货车， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是 ． 【答案】甲 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息以及密度等于质量除以体积，据此逐个计算，即可作答． 【详解】解：由图象得， ∵， ∴四种物质中密度最大的是甲， 故答案为：甲． 【变式5-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所走的路程随时间t的增加而变化情况可得答案． 本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 【详解】解：开始出发时，他所行走的路程从800米开始减少，故选项A、C、D不合题意； 步行到达图书馆的过程中，他所行走的路程不变， 在从图书馆回家过程中，路程随时间的增加而减少． 故选：B． 【考点6 一次函数】 【例6】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ． 故选C． 【变式6-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）将直线平移得到直线，则移动方法为（   ） A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，关键在于规律“左加右减，上加下减”的认识．根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：将直线平移得到直线，则移动方法为向下平移4个单位 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知一次函数． (1)若函数值随的增大而增大，求的取值范围； (2)若一次函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而增大，求解即可； （2）依据题意，函数图象经过点，从而，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，函数值随的增大而增大， ， 解得：． （2）解：由题意，函数图象经过点， ． ． 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 【考点7 反比例函数】 【例7】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数关系式为，一次函数关系式为 (2)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理及三角形的面积，用待定系数法求函数关系式是解本题的关键． （1）过点A作轴，根据勾股定理求出，得，将点坐标代入得到反比例函数关系式，再由待定系数法求得一次函数关系式； （2）由题意得点A与 C关于原点对称，可得，再得，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴， ， ， 中，， ， 将代入反比例函数，得，解得：， 反比例函数关系式为， 将，代入一次函数，得 ，解得：， 一次函数关系式为； （2）解：由题意得点A与 C关于原点对称，， ， ． 【变式7-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（   ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，设点，代入双曲线得，根据三角形面积公式求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知平行四边形的顶点B、C、D分别在y轴和x轴上，点A在反比例函数的图象上，若，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，两直线平行同旁内角互补，求反比例函数解析式，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而可得，将其代入即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平行四边形的顶点、、分别在轴和轴上， ∴，， ∴， 把代入，得： ， 解得：， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，曲线是顶点为B，且与y轴交于点A的抛物线的一部分，曲线是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线，点与均在该波浪线上，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质．依据题意可得，A，C之间的水平距离为6，点Q与点P的水平距离为1，A，B之间的水平距离为2，双曲线解析式为，依据点、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标，点离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标，即可得到的值． 【详解】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6， ， 由抛物线可得，顶点，即A，B之间的水平距离为2， ∴点、点B离轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标， 由抛物线解析式可得，即点C的纵坐标为2， ∴， ∴， ∴双曲线解析式为， ，故点Q与点P的水平距离为1， ∵点、之间的水平距离为1， ∴点的横坐标， ∴在中，令，则， ∴点与点Q的纵坐标， ∴， 故答案为：24． 【考点8 与平行四边形有关的证明与计算】 【例8】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形的对角线和相交于点O，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据所给条件逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A．根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故A不符合题意； B．， ，， ， ， 可根据两组对角分别相等的四边形为平行四边形，判定四边形为平行四边形， 故B不符合题意； C．一组对边相等，另一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形，故C符合题意； D．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故D不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】（24-25八年级·河南商丘·期中）如图1，，P为的中点，点E为射线上的任意一点（不与点A重合），连接，并使的延长线交射线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接、，是否有，如不是，请说明理由，如果是，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等等知识，熟练掌握相关判定与性质为解题关键． （1）根据两直线平行内错角相等，对顶角相等，利用即可证明； （2）利用全等三角形性质可以证明四边形为平行四边形，从而可以证明． 【详解】（1）证明：， ， P为的中点， ， 又， ； （2）解：有； 证明如下： ， ， 四边形为平行四边形， ． 【变式8-2】（24-25八年级·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形中，，过点D作的垂线，交于点E，交的延长线于点F，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，由三角形内角和定理可得，由平行四边形的性质可得，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25八年级·河南漯河·期中）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据勾股定理得到，由得到．在中，利用勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【压轴篇】 【考点9 分式值为整数问题】 【例9】（24-25八年级上·山东烟台·期末）若为整数，则使的值为整数的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先化简分式，然后利用整数的整除性求出的值即可求解． 【详解】解： 要使分式的值为整数，且为整数， ∴，， 又∵， ∴，， ∴符合题意的整数的值共有个． 故答案为：． 【变式9-1】（24-25八年级·北京石景山·期末）当分式的值为正整数时，整数x的取值可能有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据题意可知2x-3必是6的因数，从而可求出答案． 【详解】由题意可知：2x−3=1或2或3或6， 所以x=2或或3或， 由于x是整数， ∴x=2或3 所以x的值有两个. 故答案选：C. 【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是根据分式的值为正整数得分母为分子的因数. 【变式9-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 【变式9-3】（24-25八年级上·重庆丰都·期末）若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“两同和七数”．已知为一个“两同和七数”，且可以被9整除．则满足条件的最大值是 ．将的各个数位数字之和记为，的个位数字与千位数字的差记为，并令，当是整数时，则满足条件的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，整式的加减，分式的值等知识，灵活运用不等式的性质推导是解题的关键．设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，， ，．根据M可以被9整除和a的取值范围可知，从而可得的最大值，求解，又求出，再根据 是整数求出a的值，从而得出复合条件的M的值，继而求出满足条件 M 的最小值． 【详解】解：设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，， ∴，． ∵M可以被9整除，， ∴是9的倍数， 又∵，且b为自然数， ∴，且是奇数， ∴，即． 解得：， ∵为一个“两同和七数”， ∴当时，则， ∴的最大值为； 又∵M的个位数字与千位数字的差记为，即． ∴， 又∵，且a为正整数， ∴，且是奇数， 又∵是整数， ∴或或1或3， 解得：或4或3或2， ∴或4113或3114或2115． ∴满足条件 M 的最小值是：． 故答案为：；． 【考点10 利用分式性质求值】 【例10】（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用是解本题的关键．设，，．可得，，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：设，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：1． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答； 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， ，， ①+②+③，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度． 【变式10-2】（20-21七年级下·浙江金华·期末）任意两个和不为零的数a、b、c满足，求的值 ． 【答案】或 【分析】根据，可以得到它们的比值或者a、b、c的关系式，进而解答． 【详解】解：设， 则，，， ∴， ∴， 当时，， ， 当时， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式的混合运算，利用等式的性质进行变形是解题关键． 【变式10-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算，由已知条件得出，，，，联立，得，代入整理之后对算式进行通分即可． 【详解】解：， ，，，， 联立， 得， ∴原式 ． 故选A． 【考点11 分式方程的解】 【例11】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况． 先根据不等式组有解，得m的取值，利用分式方程有非负整数解，找出符合条件的m值，并相加得出结果． 【详解】解：由，解得：， ， 不等式组有解， ， ， ， 解得：， 关于的分式方程有非负整数解， 且， 且， 且， 所有的值为，的和为， 故选：D． 【变式11-1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程．首先解分式方程求出方程的根为，因为分式方程有增根，所以方程的根为，解关于的一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：． 故选：A ． 【变式11-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解问题，先根据两点关于原点对称时，两点表示的数互为相反数，列出分式方程，根据无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，得到分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：无解， 方程去分母，得：， ∵方程无解， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式11-3】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．13 B．15 C．18 D．20 【答案】A 【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解． 【详解】由分式方程的解为整数可得： 解得： 又题意得：且 ∴且， 由得： 由得： ∵解集为 ∴ 解得： 综上可知a的整数解有：3，4，6 它们的和为：13 故选：A． 【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键． 【考点12 分式方程的应用】 【例12】（24-25八年级上·山东泰安·期末）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． (1)求两种图书的单价分别为多少元？ (2)为筹备数学节活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元 (2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键． （1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本，根据题意列出一元一次不等式，求出， 然后设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），得到，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； （2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本， 依题意得，， 解得， 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元）， 依题意得，， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，有最小值，此时（元）， （本） 答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元． 【变式12-1】（24-25八年级上·广西玉林·期末）某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用900元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多5捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于2140元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？ 【答案】(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格是30元； (2)至少可购买A种菜苗25捆． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解决此题的关键是要读懂题意，找出等量关系，列出方程即可； 【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是30元； （2）解：设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗捆， 由题意得：， 解得：， ∴至少可购买A种菜苗25捆， 答：至少可购买A种菜苗25捆． 【变式12-2】某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少 【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解； （2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论． 【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米， 根据题意，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：， ， 答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米； （2）设方案一所用时间为：， 方案二所用时间为，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴方案二所用的时间少． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键． 【变式12-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 【考点13 根据情景确定函数图象】 【例13】（24-25八年级上·山东济南·期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：甲水面上升，乙水面上升，甲、乙水面一起上升，再根据甲、乙底面积的关系求出的关系即可得到结论． 【详解】解：由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段，第一阶段为甲水箱中的水面随着时间的推移逐渐上升，直至到达连通器的入口，第二阶段为甲水箱中的水面不上升，注入的水通过连通器流入乙中，使乙水箱中的水面上升，直至到达连通器的入口，第三阶段为甲、乙两个水箱中的水以相同的速度上升（上升速度比第一阶段慢）， 设单位时间内注水体积为，甲水箱的底面积为，则乙水箱的底面积为，则连通器的高度为， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 【变式13-1】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化． 【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型． 故选：C． 【变式13-2】（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点， 故选：． 【变式13-3】（24-25八年级下·广东东莞·期末）某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢． 【详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，每一段h随t的增大而增大，增大的速度是先快后慢． 故选C． 【点睛】此题考查了函数的图象，根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 【考点14 一次函数与动点最值问题】 【例14】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及最短路径问题，连接交直线于点C，此时最小，根据点A，B的坐标利用待定系数法可求出点A，B所在直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，解之即可得出当最小时，点C的坐标． 【详解】解：连接交直线于点C，此时最小，如图所示． 设点A，B所在直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴点A，B所在直线的解析式为， 联立两直线解析式成方程组，得：， 解得：， ∴当最小时，点C的坐标为． 故选：A． 【变式14-1】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，则长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，垂线段最短，勾股定理；连接，当时，最小，由勾股定理得，可得，由即可求解；能熟练利用勾股定理求解，并能由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 当时，最小， 当时，， 当时，， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 【变式14-2】如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可知，当时，线段最短，过点D作轴于点E，利用等腰三角形的三线合一可得，再然后将代入直线可得点D的纵坐标，由此即可得． 【详解】解：对于直线， 当时，，解得，即，， 当时，y＝﹣5，即，， 是等腰直角三角形， ∴， 由垂线段最短可知，如图，当时，线段最短， 则是等腰直角三角形， 过点D作轴于点E， ∴点E是的中点（等腰三角形的三线合一）， ∴点E的坐标为，即为， ∴点D的横坐标为， 将代入直线得， ， 则点D的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握待定系数法和垂线段最短是解题关键． 【变式14-3】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，点P的坐标为 ，此时的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与轴对称最短距离和问题，先根据点在直线上求出点的坐标，在根据对称性点B的对称点，求出解析式，即可求出点P及距离即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴点B关于x轴对称点的坐标为：， 连接交x轴于一点即为最小距离和点P， ， 设的解析式为：， ， 解得：， ∴， 当时， ， ∴， 此时最小，， 故答案为：，． 【考点15 一次函数的应用】 【例15】（24-25八年级上·河北保定·期末）一条公路旁分别分依次有，，三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村，到达目的地村停止运动，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示． (1)，两村相距________； (2)求甲、乙两人骑自行车的速度； (3)求相遇后，乙又骑行多长时间，两人恰好相距？ 【答案】(1) (2)甲的速度为，乙的速度为 (3)相遇后，乙又骑行了分钟或分钟时两人相距 【分析】本题考查了函数图象、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用． （1）当时，由图可知、两村的距离； （2）根据函数图象，得出当时，设甲，乙的速度分别为，，根据得出，进而根据当时，甲到达村，则根据相遇后乙的路程除以时间得出速度，即可求解； （3）由图象知，两车相遇后的图象分两段，分别求出当及时的函数解析式即可；把代入所求的两个函数解析式中，可求得对应的时间，然后都减去，即可得结果，注意最后要化为分钟． 【详解】（1）解：当时，由图可知，即、两村相距； 故答案为：． （2）解：当，甲、乙相距， 此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度， 当时，甲到达村， 设甲，乙的速度分别为，， ∴， ∴， ∵乙的速度为， ∴， 答：甲的速度为，乙的速度为； （3）解：当时，直线过及两点， 设此时的函数解析式为：其中， 把这两点的坐标分别代入中，得：， 解得：， ， 当时，设此时的函数解析式为：（其中）， 因直线过及，把这两点的坐标分别代入中，得：， 解得：， ， 当时，则， 解得：， ，； 当时，则， 解得：， ， ， 所以，相遇后，乙又骑行了分钟或分钟时两人相距． 【变式15-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线 和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 【答案】(1)小轿车的速度为：，大客车的速度为：； (2)，两车出发小时后相遇，此时两车距离甲地； (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． (1)分别根据速度路程时间计算即可； (2)根据路程速度时间分别写出线段、所在直线的函数关系式，列关于和的二元一次方程组并求解，从而得到点的坐标并写出其实际意义即可； (3)根据路程速度时间分别写出线段所在直线的函数关系式，按照的取值范围，当两车相距列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 小轿车的速度为：， 大客车的速度为：． （2）解：线段所在直线的函数关系式为， 线段所在直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 点的坐标为，其实际意义表示小轿车于出发后小时在从乙地返回甲地的途中与大客车相遇，此时两车距离甲地． （3）解：所在直线的函数关系式为， 小轿车离开甲地的路程与时间的函数关系式为 ， 当，两车相距时，得，解得； 当，两车相距时，得，解得(舍去)； 当，两车相距时，得，解得或； ∴出发后经过或或两车相距． 【变式15-2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元 (2)该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台 (3)方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台；方案二：当时，A型打印机满足的整数即可；方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数a值的增大而确定W值的增减情况，同时注意自变量的取值范围． （1）设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可列出W和a的一次函数关系，关于a的一元一次不等式，再结合一次函数的性质求解即可； （3）由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变，则可列出W、a和m的关系式为，又可知．分类讨论：①当，②当和③当，结合一次函数的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； （2）解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； （3）解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【变式15-3】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【答案】(1)9；40 (2)第20天时整个工程已完成580米 (3)完成这次任务的工期范围是27天至35天 【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答． （2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答． （3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可． 本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天） 每天挖隧道：（米）， 故答案为:9，40． （2）解：由题意，当时 ∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为 ∴（米/天），（米/天）， 又设直线的解析式为 把点B坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴第20天时整个工程已完成580米； （3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天）， ∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队， ∴， 解得， ∵， ∴， 当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得； 当时， 依题意，则， ∴（米/天），（米/天）， 设直线的解析式为 把代入得 解得， ∴直线的解析式为 ∴当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得， 即 ∴完成这次任务的工期范围是27天至35天． 【考点16 反比例函数k的几何意义】 【例16】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在反比例函数的图象上任取一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，是轴负半轴上一点，连接，，则的面积为（   ） A．8 B．10 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数，熟练利用反比例函数的解析式求点的坐标，运用三角形的面积公式是解答此题的关键． 设点的横坐标为，代入反比例函数中，可得到，由于轴，可得，从而可得的长，知道的底和高，即可得到答案． 【详解】解：设点横坐标为 ∵点在上 ∴ ∵轴 ∴ ∵在上 ∴，则 ∴． 故选：A． 【变式16-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义，设B点坐标为，则C点坐标为，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：设B点坐标为，则C点坐标为，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴解得， 故答案为：6． 【变式16-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出矩形和矩形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形的面积为：1，矩形的面积是3，则矩形的面积为：． 【详解】解：过点A作轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上， 矩形的面积为：1，矩形的面积是3， 矩形的面积为：， 故答案为：2． 【变式16-3】（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点A，的横坐标分别为1，，与的面积之和为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解决本题的关键是求出，的长． 先求出点，的坐标，再根据轴，确定点，点的坐标，求出，，最后根据，与的面积之和为，即可解答． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上，点，的横坐标分别为1，2， 点的坐标为，点的坐标为， ∵轴， 点，的横坐标分别为1，2， 点，在反比例函数的图象上， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， 与的面积之和为， ， 解得：． 故答案为：3． 【考点17 反比例函数与定值、最值问题】 【例17】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点都在双曲线上，P，Q分别是x轴，y轴上的动点，当四边形的周长取最小值时，所在直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最值问题，解题关键是利用轴对称，将几段线段长转化为一段线段的长，从而求得最短距离．先求出A、B的坐标，如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，连接与x轴、y轴的交点即为点P、Q，此时，四边形的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，从而求出所在直线解析式． 【详解】解：∵点，都在双曲线上， ∴，， ∴，， 如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，则点，，，， 连接与x轴、y轴的交点即为点P、Q，此时，四边形的周长最小， 设直线的解析式为， 把，，分别代入得， 解得， 所以直线的解析式为，． 即所在直线解析式为： 故选：C． 【变式17-1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． (1)求证：平分； (2)对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，定值为 (3)存在直线,使得点为线段的中点，直线的解析式为 【分析】（）由一次函数解析式可得，即得，得到，进而可得，即可求证； （）设点的坐标为，可得，即得，同理可得，得到，即可求证； 【详解】（1）证明：把代入，得；把代入，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）证明：设点的坐标为， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又由（）可知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为. 【变式17-2】（22-23九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，已知位于第一象限，点A，B，C的坐标分别为，，．若双曲线与有交点，则k的最大值是（    ） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】D 【分析】求出直线解析式为：，联立可得：，利用双曲线与有交点，可得，即． 【详解】解：∵点A，B，C的坐标分别为，，． ∴设直线解析式为：， 将，代入可得：，解得：， ∴直线解析式为：，联立可得：， ∵双曲线与有交点， ∴，即， ∴k的最大值为． 故选：D 【点睛】本题考查双曲线与一次函数的综合问题，解题的关键是求出直线解析式，与联立得到． 【变式17-3】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)是定值，2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立方程组求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得，， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将A、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令得，即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 【考点18 反比例函数的应用】 【例18】（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 【变式18-1】学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例，当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．水温从加热到时，需要 B．水温不低于的时间为 C．水温从降至，所需时间为 D．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键． 该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目--浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：， 故A选项合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为y， 代入点可得， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是， 故D选项不合题意； 令时，则，则， 当时，则，则， 即水温从降至，所需时间为， 故C选项不符合题意； 水温从加热到，所需时间为：， 令，则， ∴， ∴水温不低于的时间为，故B不符合题意； 故选：A． 【变式18-2】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 【答案】(1) (2)①  ② (3)接通电源的时间可以是当天上午的，理由见解析 【分析】（1）设直线的函数关系式为，利用待定系数法解答即可． （2）①根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可； ②根据解析式为，，分别计算当时的x的值，即可得到范围． （3）根据解析式为，，当时，；当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以． （2）解：①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：； ②解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为60摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为50摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源． 【变式18-3】（22-23九年级上·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1) (2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为 (3)恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害 【分析】（1）当时，设双曲线的解析式为，把的坐标代入，得出，解出即可得出答案； （2）根据待定系数法求出线段解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，结合图象，把代入线段的解析式，得出时间，再把代入（1）中双曲线，得出时间，两时间相减，即可得出答案； （3）先求解时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案． 【详解】（1）解：当时，设双曲线的解析式为， ∵过双曲线， ∴把的坐标代入， 可得：， 解得：， ∴函数表达式为：； （2）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， 代入得， 解得：， ∴解析式为：， ∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 当时，代入， 可得：， 解得：， 当，代入， 可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∵（）， ∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为； （3）解：当时，可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴（）， ∴恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键． 【考点19 平行四边形中边的关系运用】 【例19】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】如图，设交于点，取的中点，连接，证明，推出，再证明即可． 【详解】解：如图，设交于点，取的中点，连接， ，， ，， 是的中点，是的中点， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式19-1】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）小宇利用尺规在内作出点，又在边上作出点，作图痕迹如图所示，若，则，之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．过点作于点，交的延长线于点，由作图可知，平分，平分，，由平行四边形得到，而，得到，推出，，则，即可求解． 【详解】解：过点作于点，交的延长线于点． 由作图可知，平分，平分，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ，之间的距离为． 故选：C． 【变式19-2】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理和全等三角形综合问题，取的中点，连接，证明，得到，求出，由的中点，F为的中点，得到，，证明，则，即可求出． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵， ∴ ∵的中点，F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【变式19-3】如图，在中，E、F分别是上的点，G、H分别是的三等分点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定： （1）由平行四边形对边平行结合平行线的性质与判定定理可得，，再证明，则由全等三角形的判定定理即可证明结论； （2）过点G作于M，可证明，则，据此求出的长，再求出的长，从而求出的长，再由全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵G、H分别是的三等分点， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点G作于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点20 平行四边形中的面积转换】 【例20】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，将三角形沿直线向左平移后，到达三角形的位置，若三角形的面积为10，则四边形的面积 ． 【答案】30 【分析】本题考查了平移的性质和平行四边形的判定．平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 由平移的性质判断出有两个平行四边形，再根据平行四边形被对角线分隔为两个面积相等的全等三角形即可判断出，即可得到结论． 【详解】根据平移的性质可知 ，， ∴四边形与四边形均为平行四边形， ∴对角线与各自平分其所在四边形的面积， ∴， 四边形的面积， 故答案为：30． 【变式20-1】（2025·广东清远·一模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 则图中阴影部分的面积是， 故选：B． 【变式20-2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知：如图，在中，，分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先根据勾股定理求出，再由平行四边形面积公式求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，分别是和的中点， ，， ， 又， 四边形为平行四边形； （2）解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式20-3】（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、尺规作图等知识． （1）由作图可知，，再由平行四边形的性质得，则，则，然后由等腰三角形的判定即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点；同（2）中方法证明，得，利用是直角三角形求出，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：由作图步骤可得，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，交的延长线于点，如图； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点21 平行四边形中的角度转换】 【例21】（21-22九年级上·浙江台州·期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，∠D=100°，AC 为对角线，将△ACD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度后得到△AEF，使点 D 的对应点 E 落在边 AB 上，若点 C 的对应点 F 落在边CB 的延长线上，则∠EFB 的度数为 ． 【答案】20°/20度 【分析】根据平行四边形 ABCD 性质求出∠DAB=180°-∠D=80°，根据△ACD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度后得到△AEF，得出AF=AC，∠FAE=∠CAD，∠AFE=∠ACD，利用等腰三角形性质求出∠AFC=∠ACF=，根据平行线性质∠DAC=∠ACF=50°，利用三角形内角和求出∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-100°-50°=30°即可． 【详解】解：在平行四边形 ABCD 中，∠D=100°， ∴∠DAB=180°-∠D=80°， ∵△ACD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度后得到△AEF， ∴AF=AC，∠FAE=∠CAD，∠AFE=∠ACD， ∴∠FAC=∠FAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=80° ∴∠AFC=∠ACF= ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACF=50°， ∴∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-100°-50°=30°， ∴∠AFE=∠ACD=30°， ∴∠EFB=∠AFC-∠AFE=50°-30°=20°， 故答案为20°． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，图形旋转性质，等腰三角形性质，角的和差，三角形内角和，掌握平行四边形的性质，图形旋转性质，等腰三角形性质，角的和差，三角形内角和是解题关键． 【变式21-1】（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）如图，在中，交对角线于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点．由平行四边形的性质得，再由平行线的性质得，易证，然后由三角形的外角性质即可得，由此即可求解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 【变式21-2】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则 °． 【答案】129 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据题目条件可知和均为等腰三角形，即可求出，，进而可求出，即可得出答案． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：129． 【变式21-3】如图，以的边分别为边作等边三角形和等边三角形，连接． (1)证明； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据平行四边形对角相等，对边相等得到，再由等边三角形的性质可证明，则可证明，据此可证明结论； （2）根据平行四边形对边平行和平行线的性质结论三角形内角和定理可得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由平行四边形的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$