专题 一次函数与三角形的综合应用问题（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学《第17章 函数及其图象》 专题 一次函数与三角形的综合应用问题 题型一 一次函数与等腰三角形问题 1．如图，直线l经过点A（﹣1，﹣2）和B（0，1）． （1）求直线l的函数表达式； （2）线段AB的长为　 ； （3）在y轴上存在点C，使得以A、B、C为顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 2．（2024秋•长清区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式； （2）试判断点P（m+1，m﹣1）是否在直线AB上，并说明理由； （3）若点Q是x轴上一动点，当△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形时，请直接写出Q点坐标． 3．（2024春•红旗区校级期末）如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4）一次函数图象经过点B（﹣4，﹣2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如果在y轴上存在一点Q，使△OAQ是以OA为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 4．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC的长； （3）点P为y轴上一点．且满足△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出P点坐标． 5．（2024春•颍州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 6．（2024秋•白银区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在x轴上，BC平分∠ABO． （1）求点A、B的坐标； （2）求线段AC的长； （3）在x轴上是否存在点D，使得△ABD是等腰三角形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二 一次函数与直角三角形问题 1．（2024秋•莲湖区期末）如图，直线l：yx+m交x轴于点A，交y轴于点B（0，1），点P（n，2）在直线l上． （1）求m，n的值； （2）已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 2．（2024春•铁东区期末）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点． （1）在x轴上存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，求点D的坐标； （2）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024春•西宁期末）如图，直线 与y轴交于点A，直线l2 与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，﹣3），与直线l1交于点D（2，n）． （1）求直线l2的函数解析式； （2）求△ABD的面积； （3）在y轴上有一点P，且△ADP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 4．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0，点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°． （1）a＝　 　；b＝　　 ． （2）若点P在x轴上，请在图中画出图形（BP为虚线），并写出点P的坐标； （3）若点P不在x轴上，是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点Q（6，8），点A在线段OQ上，点B在x轴的正半轴上，且OA+OB＝10，点B关于点P（4，0）的对称点为点C，连结AB，AC，设点A的横坐标为t． （1）求k的值，并写出当0＜y＜6时x的取值范围． （2）当点A在线段OQ上运动时，设OB的长为S． ①求S关于t的函数表达式． ②当S＝5时，求PA的长． （3）当△ABC为直角三角形时，求t的值． 6．（2024秋•海曙区校级期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+b与直线AC：y＝kx+3相交于点A（m，4），与x轴交于点B（﹣4，0），直线AC与x轴交于点C． （1）填空：b＝　 　，m＝　 　 ，k＝　 　； （2）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，线段AE交x轴于点F． ①当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ②若△DEF为直角三角形，求点D的坐标． 题型三 一次函数与等腰直角三角形问题 1．已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、B（0，4），直 线经过点B，并且与直线AB垂直，点P在直线l上，且△ABP是等腰直角三角形． （1）求直线AB的解析式； （2）求点P的坐标． 2．（2024秋•金牛区校级期中）如图，直线：y＝﹣2x+b与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是（0，4）． （1）求直线l的函数表达式和点B的坐标． （2）如图，点P在第一象限，若△ABP是等腰直角三角形且∠ABP＝90°，求点P的坐标． 3．（2024秋•泗洪县期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）求出点A、点B的坐标； （2）点D是在直线AB上的动点，当时，求出点D的坐标； （3）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内线作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 4．（2024秋•禅城区月考）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB． （1）求直线AB的解析式； （2）点P为直线AB上一动点，若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标； （3）在第二象限找一点M使得△MAB为等腰直角三角形，直接写出点M所有可能的坐标． 5．（2024秋•长清区期末）（1）问题解决：①如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A、B、的坐标分别为 　 　、　 　； ②以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标； （2）综合运用：如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图象上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 6．（2024秋•郑州期中）如图①，直线y＝2x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以BC为腰的△BCQ是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 题型四 一次函数与全等三角形问题 1．（2023秋•蚌山区月考）如图，直线l1：y＝ax+b（常数a＜0，b＞0）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝cx+d（常数c＞0，d＞0）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线l1与直线l2交于点E，且△AOB≌△COD． （1）求证：AB⊥CD； （2）若a＝﹣2，b＝4，求△ADE的面积． 2．如图，平面直角坐标系xOy中，l1：y1＝﹣2x+4交x轴于A，交y轴于B．另一直线l2：y2＝kx+b交x轴于C，交y轴于D，交l1于E．已知△COD≌△BOA． （1）求l2解析式． （2）P，Q分别在线段AB和CD上运动，若P从B开始运动，速度是1单位长度每秒，Q从C开始运动，速度等于P的运动速度，设运动时间为t，则t为多少时，PQ∥x轴？ 3．如图，直线yx+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，设动点M的移动时间为t秒． （1）求A，B两点的坐标； （2）求当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标． 4．（2024秋•龙华区校级期中）如图，直线1：yx+3交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO． （1）点A坐标是 　 　，点B的坐标 　 　，BC＝　 　． （2）我们容易知道：当C点与A点关于y轴对称时，△ABO≌△CBO．那么当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由． （3）当△PQB为等腰三角形时，写出点P的坐标． 5．如图，直线：yx+b与x轴分别交于A（4，0）、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从点A以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动． （1）点B的坐标为　 　； （2）求△MNO的面积S与移动时间t之间的函数关系式； （3）当t＝　 　时，△NOM≌△AOB； （4）若M在x轴正半轴上，且△NOM≌△AOB，G是线段ON上一点，连接MG，将△MGN沿MG折叠，点N恰好落在x轴上的H处，求G点的坐标． 题型五 一次函数与三角形的综合问题 1．（2024秋•锦江区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x﹣1与直线l2：y＝﹣3x+b交于点C（2，﹣3），直线l1、l2分别与x轴交于A、B两点． （1）请直接写出b的值和A、B两点的坐标； （2）x轴上是否存在一点D，使得△ACD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不能，请说明理由； （3）点P是直线l1上一动点，过点P作x轴的垂线交l2于点Q，设点P的横坐标为n．若S△APQ＝2S△CPQ．求PQ的长． 2．（2024秋•渠县校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0）．直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E． （1）求直线AB的解析式和点D的坐标． （2）设点Q是x轴上一动点，是否存在点Q使AQ+DQ的值最小？若存在，请求出AQ+DQ的最小值； （3）如图2，点P（2，﹣4）是直线x＝2上一点，且在点D的下方． ①求△ABP的面积； ②以PB为边在第四象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标． 3．（2024秋•江阴市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）AB的长为 　 　，点D的坐标是 　 　； （2）求点C的坐标； （3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标； （4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024秋•福田区校级期中）【源于课本】 （1）将一次函数y＝﹣2x+6的图象沿着y轴向上平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：　 ． 【小组探究】 （2）我们知道，平移、轴对称、旋转是三种基本的图形运动．莲花中学初二数学小组开展“探究一次函数图象经历图形运动后的函数表达式”的活动． ①（平移探究）将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象沿着x轴向右平移2个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式． 数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A（0，6），B（3，0），将它们沿着x轴向右平移2个单位长度，得到点A′，B′，其坐标分别为A'（ 　　 ），B'（ 　 　），从而求出直线A'B'对应的函数表达式为：　 　． ②（轴对称探究）将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象关于x轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：　 ； ③（旋转探究）如图2，若一次函数y＝﹣2x+6的图象与y轴交于点A，将直线y＝﹣2x+6绕点A逆时针旋转45°，得到的直线与x轴交于点M．求旋转后的直线对应的函数表达式．（请写出解答过程） 【学以致用】 （3）如图2，在上述③的条件下，y轴上是否存在点P，使得以点A，M，P为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024春•闵行区期中）一次函数y＝kx（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点． （1）求一次函数解析式和m的值； （2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式； （3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024秋•河北区期中）如图所示，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4）． （1）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P．求证：△OAP≌△OBC． （2）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中， ①线段OM与AN有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学《第17章 函数及其图象》 专题 一次函数与三角形的综合应用问题 题型一 一次函数与等腰三角形问题 1．如图，直线l经过点A（﹣1，﹣2）和B（0，1）． （1）求直线l的函数表达式； （2）线段AB的长为　 ； （3）在y轴上存在点C，使得以A、B、C为顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 【分析】（1）设直线l的函数表达式为y＝kx+b，将A（﹣1，﹣2）和B（0，1）代入即可得直线l的函数表达式为y＝3x+1； （2）由A（﹣1，﹣2），B（0，1），可得AB； （3）设C（0，m），则AC，BC＝|m﹣1|，①若AB＝AC，即，可解得C（0，﹣5）；②若AB＝BC，得|m﹣1|，解得C（0，1）或（0，1）． 【解答】解：（1）设直线l的函数表达式为y＝kx+b， 将A（﹣1，﹣2）和B（0，1）代入得：， 解得， ∴直线l的函数表达式为y＝3x+1； （2）∵A（﹣1，﹣2），B（0，1）， ∴AB； 故答案为：． （3）设C（0，m），则AC，BC＝|m﹣1|， ①若AB＝AC，如图： ∴， 解得m＝1（与B重合，舍去）或m＝﹣5， ∴C（0，﹣5）； ②若AB＝BC，如图： ∴|m﹣1|， 解得m1或m1， ∴C（0，1）或（0，1）， 综上所述，以A、B、C为顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，则C的坐标为（0，﹣5）或（0，1）或（0，1）． 【点评】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、两点间的距离、等腰三角形等知识，解题的关键是根据题意，列出满足条件的方程． 2．（2024秋•长清区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式； （2）试判断点P（m+1，m﹣1）是否在直线AB上，并说明理由； （3）若点Q是x轴上一动点，当△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形时，请直接写出Q点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把点P（m+1，m﹣1）代入（1）中的直线进行验证即可； （3）根据条件点Q在x轴上，△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形，判断分两种情况：①以点A为顶角顶点，点Q在点A右边；②以点A为顶角顶点，点Q在点A左边，③以点B为顶角顶点，点Q在点A左边，分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 将A（2，0），B（0，﹣2）代入得， ，解得， ∴直线AB的解析式为：y＝x﹣2； （2）将x＝m+1代入y＝x﹣2得，y＝m+1﹣2＝m﹣1， ∴点P（m+1，m﹣1）在直线AB上； （3）如图，由已知得点Q在x轴上，△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形， ∵A（2，0），B（0，﹣2）， ∴AB， ①以点A为顶角顶点，点Q在点A右边，AQ＝AB， ∴OQ＝OA+AQ＝2， ∴Q（2，0）； ②以点A为顶角顶点，点Q在点A左边， 在Rt△AOB中，AB， ∴Q（2，0）； ③以点B为顶角顶点，点Q在点A左边，BQ＝AB， ∵∠BOQ＝90°，OB＝2，BQ， 由勾股定理得OQ， ∴Q（﹣2，0）， 综上，Q（2，0）、（2，0）或（﹣2，0）． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，用待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，找出符合条件的所有点Q的位置是解题的关键． 3．（2024春•红旗区校级期末）如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4）一次函数图象经过点B（﹣4，﹣2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如果在y轴上存在一点Q，使△OAQ是以OA为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由S△ODPOD×|n|2|n|＝3，即可求解； （3）由QO＝QA得：y2＝22+（y﹣4）2，即可求解． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4）， ∴可有4＝2m，解得m＝2， ∴A点的坐标（2，4）； ∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，4）和点B（﹣4，﹣2）， 则有，解得：， ∴一次函数解析式为y＝x+2； （2）存在，理由： 设点P（m，n）， 对于一次函数y＝x+2，令y＝0， 则有0＝x+2，解得x＝﹣2， ∴点D（﹣2，0），故OD＝0﹣（﹣2）＝2， 根据题意可知：S△ODPOD×|n|2|n|＝3， 解得n＝±3， 当n＝3时，m＝1， 当n＝﹣3时，m＝﹣5， ∴P点的坐标（1，3）或（﹣5，﹣3）； （3）设点Q（0，y）， 则QO＝QA， 即y2＝22+（y﹣4）2， 解得：y＝2.5， 即点Q的坐标为：（0，2.5）． 【点评】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点以及一次函数几何问题等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 4．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC的长； （3）点P为y轴上一点．且满足△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出P点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）由勾股定理可求AB＝10，由勾股定理可求OC＝3，即可求解； （3）分两种情况讨论可求解． 【解答】解：（1）由题意可得：， ∴， ∴一次函数的解析式为：yx+6； （2）∵点A的坐标为（﹣8，0），点B的坐标为（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∵∠AOB＝90°， ∴AB10， 由折叠的性质，可知：OC＝CD，OB＝BD＝6，∠CDB＝∠BOC＝90°， ∴AD＝AB﹣BD＝4，∠ADC＝90°． 设CD＝OC＝x，则AC＝8﹣x， 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2，即42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴OC＝3， ∴AC＝OA﹣OC＝8﹣3＝5； （3）设点P（0，y）， 当BA＝BP＝10时，则|y﹣6|＝10， ∴y＝16或﹣4， ∴点P（0，16）或（0，﹣4）， 当AB＝AP时， 又∵AO⊥BO， ∴BO＝OP＝6， ∴点P（0，﹣6）， 综上所述：点P（0，16）或（0，﹣4）或（0，﹣6）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 5．（2024春•颍州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，则点C（2，4），直线yx+b过点C，4b，b＝5； （2）①由题意得：PD＝t，A（﹣2，0），yx+5中，当y＝0时，x+5＝0，D（10，0），AD＝10+2＝12，•4＝10，即可求解； ②分AC＝PC、AP＝CP、AC＝AP三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4， ∴点C（2，4）， ∵直线yx+b过点C， 4b，b＝5； （2）①由题意得：PD＝t， y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0， x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， yx+5中，当y＝0时，x+5＝0， x＝10， ∴D（10，0）， ∴AD＝10+2＝12， ∵△ACP的面积为10， ∴•4＝10， t＝7， 则t的值7秒； ②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4）， 当AC＝PC时，则点C在AP的中垂线上，即2×2＝10﹣t﹣2， 解得：t＝4； 当AP＝CP时，则点P在点C的正下方，故2＝10﹣t， 解得：t＝8； 当AC＝AP时， 同理可得：t＝12﹣4或12+4（舍去） 故：当t＝4或（12﹣4）或8时，△ACP为等腰三角形． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 6．（2024秋•白银区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在x轴上，BC平分∠ABO． （1）求点A、B的坐标； （2）求线段AC的长； （3）在x轴上是否存在点D，使得△ABD是等腰三角形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用坐标轴上点的特征即可求出A，B点的坐标； （2）先构造全等三角形，再在Rt△AEC中利用勾股定理进行求解，从而得出AC的长； （3）利用等腰三角形的性质进行求解． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，x＝﹣4， ∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3）； （2）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E， 又∵CO⊥BO，BC平分∠ABO， ∴EC＝OC， 在Rt△OBC和Rt△EBC中， ∴Rt△OBC≌Rt△EBC（HL） ∴BE＝OB＝3， 设OC＝EC＝x， 则AC＝4﹣x，AE＝5﹣3＝2， 在Rt△AEC中， AE2+EC2＝AC2， 即22+x2＝（4﹣x）2，解得x， ∴AC＝4， ∴线段AC的长为； （3）存在，理由如下：当AB为底时，点D在AB的垂直平分线与x轴的交点处， 设AB的中点为F，则F点的坐标为（﹣2，）， 直线DF的解析式可设为y（x+2）， 令y＝0，x， 则点D1的坐标为（，0）， 当AB为腰时，①AB＝AD，当点D在A点右侧时，此时点D2的坐标为（1，0）， 当点D在A点左侧时，此时点D3的坐标为（﹣9，0）， ②AB＝BD，此时点D与点A关于y轴对称，则点D4的坐标为（4，0）， 综上所述点D的坐标为（，0）或（4，0）或（﹣9，0）或（1，0）． 【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用全等三角形和勾股定理以及等腰三角形的性质等知识求出线段的长度以及点的坐标是解题的关键． 题型二 一次函数与直角三角形问题 1．（2024秋•莲湖区期末）如图，直线l：yx+m交x轴于点A，交y轴于点B（0，1），点P（n，2）在直线l上． （1）求m，n的值； （2）已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线l的解析式及点A，P的坐标，分∠AMP＝90°及∠APM＝90°两种情况考虑：①当∠AMP＝90°时，PM⊥x轴，结合点P的坐标可得出点M的坐标；②当∠APM＝90°时，设点M的坐标为（a，0），利用勾股定理，可求出a的值，进而可得出点M的坐标． 【解答】解：（1）∵直线l：yx+m交y轴于点B（0，1）， ∴10+m， 解得：m＝1， ∴直线l的解析式为yx+1． 当y＝0时，x+1＝0， 解得：x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）； 当y＝2时，n+1＝2， 解得：n＝2， ∴点P的坐标为（2，2）， 即m＝1，n＝2； （2）分两种情况考虑： ①当∠AMP＝90°时，PM⊥x轴， ∴点M的坐标为（2，0）； ②当∠APM＝90°时，设点M的坐标为（a，0）， ∴AP2＝[2﹣（﹣2）]2+（2﹣0）2＝20，AM2＝[a﹣（﹣2）]2＝a2+4a+4，PM2＝（2﹣a）2+（2﹣0）2＝a2﹣4a+8， ∵AP2+PM2＝AM2， ∴20+a2﹣4a+8＝a2+4a+4， 解得：a＝3， ∴点M的坐标为（3，0）． 综上所述，点M的坐标为（2，0）或（3，0）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质以及勾股定理，分∠AMP＝90°及∠APM＝90°两种情况，求出点M的坐标是解题的关键． 2．（2024春•铁东区期末）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点． （1）在x轴上存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，求点D的坐标； （2）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据已知求得A、B坐标，由重点坐标公式求C坐标，根据三角形面积公式建立方程，求解即可； （2）设P点坐标，当△ABP是直角三角形分两种情况：∠ABP＝90°或∠APB＝90°时求解即可． 【解答】解：（1）∵y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当x＝0时，y＝2×0+4＝4，则B（0，4）， 当y＝0时，0＝2x+4，x＝﹣2，则A（﹣2，0）， ∴OA＝2，OB＝4， ∴BC＝∵点C是OB的中点， ∴C（0，2）， ∴OC＝2， ∴S△ABCCB×CO＝2 设D（m，0）， 则AD， ∴S△ACD， 当S△ACD＝S△ABC时，2， 解得：m＝﹣4或m＝0， ∴D（﹣4，0）或（0，0）； （2）设x轴存在一点P（m，0），使得△ABP是直角三角形， ∵A（﹣2，0），B（0，4），∠AOB＝90°， ∴根据勾股定理可得：AB2＝OB2+OA2， ∴AB2＝20， ∵AP2＝（m+2）2，BP2＝m2+16，（距离公式）， △ABP是直角三角形，分两种情况： ①∠APB＝90°时，P与原点重合，此时P（0，0）； ②∠ABP＝90°时，则AB2+BP2＝AP2， ∴20+m2+16＝（m+2）2， 解得：m＝8，此时P（8，0）， 综上所述：P（0，0）或（8，0）． 【点评】本题考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 3．（2024春•西宁期末）如图，直线 与y轴交于点A，直线l2 与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，﹣3），与直线l1交于点D（2，n）． （1）求直线l2的函数解析式； （2）求△ABD的面积； （3）在y轴上有一点P，且△ADP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由△ABD的面积＝S△ACD﹣S△ACBAC×（xD﹣xC），即可求解； （3）分∠PDA为直角、∠AP（P′）D为直角两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）当x＝2时，yx+2＝3，则点D（2，3）， 设直线l2的表达式为：y＝kx﹣3， 将点D的坐标代入上式得：3＝2k﹣3， 解得：k＝2， 则直线l2的函数解析式为：y＝3x﹣3； （2）令y＝3x﹣3，则x＝1，即点B（1，0）， 由直线l1的表达式知，点A（0，2）， 由点A、C的坐标得，AC＝5． 则△ABD的面积＝S△ACD﹣S△ACBAC×（xD﹣xC）5×1； （3）由题意得，∠PAD不可能为直角； 当∠PDA为直角时， 设点P（0，y）， 由PA2＝AD2+DP2， 则（y﹣2）2＝（0﹣2）2+（y﹣3）2+（0﹣2）2+（2﹣3）2， 解得：y＝7， 即点P的坐标为：（0，7）； 当∠AP（P′）D为直角时， 则点P′的纵坐标和点D额纵坐标相同，即点P′（0，3）； 综上，点P坐标为：（0，3）或（0，7）． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、直角三角形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中． 4．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0，点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°． （1）a＝　 　；b＝　　 ． （2）若点P在x轴上，请在图中画出图形（BP为虚线），并写出点P的坐标； （3）若点P不在x轴上，是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）a2+b2﹣4a﹣8b+20＝（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，即可求解； （2）点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°．则OP＝OB＝4，即可求解； （3）由（1）知 a＝﹣2，b＝4，则A（2，0），B（0，4），OA＝2，OB＝4，而△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，故只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，然后分类求解即可． 【解答】解：（1）a2+b2﹣4a﹣8b+20＝a2﹣4a+4+b2﹣8b+16＝（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣4＝0， ∴a＝2，b＝4， 故答案为：2，4； （2）如图， 由（1）知，b＝4， ∴B（0，4）． ∴OB＝4． ∵点P在直线AB的右侧，P在x轴上，∠APB＝45°， ∴OP＝OB＝4， ∴P（4，0）； （3）由（1）知 a＝﹣2，b＝4， ∴A（﹣2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， 当∠BAP＝90°时，过点P作PH⊥x轴于H， ∴∠AOB＝∠AHP＝90°， ∴∠HAP+∠BAH＝90°，∠ABO+∠BAH＝90°， ∴∠OBA＝∠HAP， 又∵∠APB＝45°， ∴AP＝AB， ∴△OBA≌△AHP（AAS）， ∴PH＝AO＝2，AH＝OB＝4，OH＝AH﹣AO＝2， 故点P的坐标为（2，﹣2）； 当∠ABP＝90°时， 同理可得：点P的坐标为（4，2）， 故点P的坐标为（2，﹣2）或（4，2）． 【点评】本题为一次函数综合题，主要考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 5．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点Q（6，8），点A在线段OQ上，点B在x轴的正半轴上，且OA+OB＝10，点B关于点P（4，0）的对称点为点C，连结AB，AC，设点A的横坐标为t． （1）求k的值，并写出当0＜y＜6时x的取值范围． （2）当点A在线段OQ上运动时，设OB的长为S． ①求S关于t的函数表达式． ②当S＝5时，求PA的长． （3）当△ABC为直角三角形时，求t的值． 【分析】（1）把Q坐标代入正比例函数解析式求出k的值，根据y的范围求出x的范围即可； （2）①把A横坐标代入正比例解析式表示出纵坐标，利用勾股定理表示出OA，根据OA+OB＝10表示出OB，即为S与t的关系式，并求出t的范围即可； ②把S＝5代入求出t的值，确定出A，B，以及P的坐标，利用两点间的距离公式求出PA的长即可； （3）当△ABC为直角三角形时，且B与C关于P点对称，即PB＝PC，可得PB＝PA，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值． 【解答】解：（1）∵y＝kx过点Q（6，8）， ∴把Q（6，8）代入正比例解析式得：8＝6k， 解得：k， 当0＜y＜6时，0x＜6， 解得：0＜x， 则k，当0＜y＜6时，0＜x； （2）①设A（t，t），且0≤t≤6， 根据勾股定理得：OAt， ∵OA+OB＝10， ∴OB＝10t， 则S＝10t且0≤t≤6； ②当S＝5时，10t＝5， 解得：t＝3， ∴A（3，4），即OA＝5， ∴OB＝5，即B（5，0）， ∵P（4，0）， ∴PA； （3）当△ABC为直角三角形，且B与C关于P点对称，即PB＝PC， ∴PB＝PA， ∵PB＝OB﹣OP＝10t﹣4＝6t，PA， ∴6t， 整理得：12t＝20， 解得：t． 【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求正比例函数解析式，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，对称的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 6．（2024秋•海曙区校级期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+b与直线AC：y＝kx+3相交于点A（m，4），与x轴交于点B（﹣4，0），直线AC与x轴交于点C． （1）填空：b＝　 　，m＝　 　 ，k＝　 　； （2）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，线段AE交x轴于点F． ①当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ②若△DEF为直角三角形，求点D的坐标． 【分析】（1）把B（﹣4，0）代入y＝2x+b，求出b＝8，得直线AB：y＝2x+8，再把A（m，4）代入y＝2x+8，求出m＝﹣2，得点A的坐标，最后把A（﹣2，4）代入y＝xk+3，求出； （2）①过点A作AH⊥y轴于点H，作AG⊥x轴于点G，求出AE2＝AC2＝（6+2）2+42＝80，再求出，可得，即可得答案； ②分两种情况讨论，当∠EDF＝90°时，求出∠ADC＝135°，得∠ADO＝45°，得DG＝AD＝4，得点D坐标；当∠DFE＝90°时，设DF＝x，则DE＝DC＝8﹣x，由勾股定理得：，求出DF，得点D坐标． 【解答】（1）解：把B（﹣4，0）代入y＝2x+b， ∵0＝2×（﹣4）+b，∴b＝8， ∴直线AB：y＝2x+8， 把A（m，4）代入y＝2x+8， ∴m＝﹣2， 把A（﹣2，4）代入y＝xk+3， ∵4＝（﹣2）k+3， ∴． 故答案为：8，﹣2，； （2）①∵直线AC：， ∴点C的坐标为（6，0）， 如下图，过点A作AH⊥y轴于点H，作AG⊥x轴于点G，则AH＝2，CG＝8， ∴AE2＝AC2＝（6+2）2+42＝80， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ②如下图， 当∠EDF＝90°时，由翻折得， ∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°， ∵AG＝4， ∴DG＝AG＝4， ∴OD＝DG﹣OG＝4﹣2＝2， ∴点D的坐标为（2，0）； 如下图， 当∠DFE＝90°时，， 设DF＝x，则DE＝DC＝8﹣x， 在Rt△DEF中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为（2，0）或． 【点评】此题考查了一次函数，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线． 题型三 一次函数与等腰直角三角形问题 1．已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、B（0，4），直 线经过点B，并且与直线AB垂直，点P在直线l上，且△ABP是等腰直角三角形． （1）求直线AB的解析式； （2）求点P的坐标． 【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b，根据待定系数法即可求得； （2）作PC⊥y轴于C，证得△ABO≌△BPC，从而得出AO＝BC＝2，BO＝PC＝4，根据图象即可求得点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b中得：， 解得：， 则直线AB解析式为y＝2x+4； （2）如图所示：作PC⊥y轴于C， ∵直线l经过点B，并且与直线AB垂直． ∴∠ABO+∠PBC＝90°， ∵∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠PBC， ∵△ABP是等腰直角三角形， ∴AB＝PB， 在△ABO和△BPC中， ， ∴△ABO≌△BPC（AAS）， ∴AO＝BC＝2，BO＝PC＝4， ∴点P的坐标（﹣4，6）或（4，2）． 【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质等． 2．（2024秋•金牛区校级期中）如图，直线：y＝﹣2x+b与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是（0，4）． （1）求直线l的函数表达式和点B的坐标． （2）如图，点P在第一象限，若△ABP是等腰直角三角形且∠ABP＝90°，求点P的坐标． 【分析】（1）将点A的坐标代入直线解析式中可求出b值，从而得出结论； （2）过点P作PC⊥x轴于C，由△ABP是等腰直角三角形且∠ABP＝90°，可得AB＝BP，由等角的余角相等∠ABO＝∠BPC，可得△ABO≌△BPC，根据全等三角形的性质即可得出PC＝BO＝2，BC＝AO＝4，即可得点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点A的坐标是（0，4）． 代入直线l：y＝﹣2x+b得b＝4， ∴直线l：y＝﹣2x+4， 令y＝0，xB＝2， 即B（2，0）； （2）如图：过点P作PC⊥x轴于C， ∴∠PCB＝90°， ∴∠CBP+∠BPC＝90°， ∵△ABP是等腰直角三角形且∠ABP＝90°， ∴AB＝BP，∠CBP+∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BPC， 在△ABO和△BPC中， ， ∴△ABO≌△BPC（AAS）， ∴PC＝BO＝2，BC＝AO＝4， ∴OC＝OB+BC＝2+4＝6， ∴点P的坐标为（6，2）． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的性质、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是利用全等三角形的判定和性质进行解答． 3．（2024秋•泗洪县期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）求出点A、点B的坐标； （2）点D是在直线AB上的动点，当时，求出点D的坐标； （3）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内线作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【分析】（1）在y＝﹣x+6中，求出当x＝0时y的值，当y＝0时x的值即可得到答案； （2）先求出OA＝OB＝6，再根据三角形面积求出|yD|＝3，据此求解即可； （3）如图所示，过点Q作QH⊥x轴于H，根据一线三垂直模型证明△BOP≌△PHQ，得到PH＝OB，OP＝QH，进而证明AH＝QH，得到△AHQ是等腰直角三角形，则∠OAK＝∠QAH＝45°，由此可证明△OAK为等腰直角三角形即可求出结论． 【解答】解：（1）在y＝﹣x+6中，当x＝0时，y＝6， 当y＝0时，x＝6， ∴A（6，0），B（0，6）； （2）∵A（6，0），B（0，6）， ∴OA＝OB＝6， ∵， ∴， ∴|yD|＝3， ∴yD＝±3， 在y＝﹣x+6中，当y＝3时，x＝3， 当y＝﹣3时，x＝9 ∴点D的坐标为（3，3）或（9，﹣3）； （3）解：点K的位置不发生变化，其坐标为（0，﹣6），理由如下： 如图所示，过点Q作QH⊥x轴于H， ∵△BPQ是等腰直角三角形， ∴∠BPQ＝90°，BP＝QP， ∴∠OPB+∠HPQ＝90°， 又∵∠OPB+∠OBP＝90°， ∴∠OBP＝∠HPQ， 又∵∠BOP＝∠PHQ＝90°， ∴△BOP≌△PHQ（AAS）， ∴PH＝OB，OP＝QH， ∴PH+PO＝BO+OP，即OA+AH＝BO+QH， 又∵OA＝OB， ∴AH＝QH， ∴△AHQ是等腰直角三角形， ∴∠QAH＝∠OAK＝45°， ∴△OAK为等腰直角三角形， ∴OK＝OA＝6， ∴K（0，﹣6）． 【点评】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（2024秋•禅城区月考）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB． （1）求直线AB的解析式； （2）点P为直线AB上一动点，若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标； （3）在第二象限找一点M使得△MAB为等腰直角三角形，直接写出点M所有可能的坐标． 【分析】（1）由待定系数法可得出答案； （2）设点，分两种情况，当点P在线段AB上时，当点P在BA的延长线上时，根据三角形面积关系可得出答案； （3）分当MA＝MB，∠AMB＝90°时，当MA＝AB，∠MAB＝90°时，当MB＝AB，∠MBA＝90°时，三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C， ∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 由题意可得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为； （2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2）， ∴OA＝OC＝4，OB＝2， ∴BC＝6， 设点， 当点P在线段AB上时， ∵S△APC＝S△AOC， ∴， ∴， 解得， ∴点； 当点P在BA的延长线上时， ∵S△APC＝S△AOC， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述：点P坐标为或； （3）∵点A（﹣4，0），点B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， 当MA＝MB，∠AMB＝90°时，△MAB为等腰直角三角形， 作MD⊥y轴于点D，ME⊥x轴于点E， ∴四边形OEMD为矩形， ∴∠EMD＝90°， ∴∠AME＝∠BMD， 在△AME与△BMD中， ， ∴△AME≌△BMD（ASA）， ∴ME＝MD，AE＝BD， ∴四边形OEMD为正方形， ∴设OE＝OD＝ME＝MD＝a， ∴4﹣a＝a﹣2， ∴a＝3， ∴点M的坐标为（﹣3，3）； 当MA＝AB，∠MAB＝90°时，△MAB为等腰直角三角形， 作MF⊥x轴于点F， 同理可证，△AMF≌△BAO， ∴MF＝AO＝4，AF＝BO＝2， ∴OF＝AO+AF＝6， ∴点M的坐标为（﹣6，4）； 当MB＝AB，∠MBA＝90°时，△MAB为等腰直角三角形， 作MF⊥y轴于点F， 同理可证，△MBG≌△BAO， ∴BG＝AO＝4，MG＝BO＝2， ∴OG＝OB+BG＝6， ∴点M的坐标为（﹣2，6）； 综上，符合条件的点M的坐标为（﹣3，3）或（﹣6，4）或（﹣2，6）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，三角形面积，坐标与图形的面积，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 5．（2024秋•长清区期末）（1）问题解决：①如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A、B、的坐标分别为 　 　、　 　； ②以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标； （2）综合运用：如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图象上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 【分析】（1）对于yx+2，当x＝0时，y＝2，令yx+2＝0，则x＝﹣4，即可求解； （2）证明△ADC≌△BOA（AAS），得到CD＝OA＝4，AD＝OB＝2，OD＝OA+AD＝5，即可求解； （3）证明△AFD≌△DGP（AAS），得到AF＝DG，DF＝PG，而DF+DG＝DF+AF＝8，则m+|2m﹣8|＝8，即可求解． 【解答】解：（1）对于yx+2，当x＝0时，y＝2， 令yx+2＝0，则x＝﹣4， 故点A（﹣4，0），B（0，2）， 故答案为：（﹣4，0），B（0，2）； （2）过点C作CD⊥x轴于D， ∴∠ADC＝∠BOA＝90°， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAD+∠BAO＝90°， ∴∠ACD＝∠BAO， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB， 在△ADC和△BOA中， ， ∴△ADC≌△BOA（AAS）， ∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝2， ∴OD＝OA+AD＝5， ∴C（﹣6，4）； （3）如图，过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G， ∵点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0）， ∴DF+DG＝OB＝8， ∵点D在直线y＝﹣2x+2上， ∴设点D（m，﹣2m+2）， ∴F（0，﹣2m+2），OF＝|2m﹣2|，AF＝|2m﹣2﹣6|＝|2m﹣8|， ∵BP⊥x轴，B（8，0）， ∴G（8，﹣2m+2）， 同（1）的方法得，△AFD≌△DGP（AAS）， ∴AF＝DG，DF＝PG， ∵DF+DG＝DF+AF＝8， ∴m+|2m﹣8|＝8， ∴m或m＝0， ∴D（0，2）或（，）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 6．（2024秋•郑州期中）如图①，直线y＝2x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以BC为腰的△BCQ是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝﹣2x可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可； （2）设点P的坐标为（0，p），根据△PBC的面积为6求解即可； （3）分三种情况：①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上， ∴﹣2a＝﹣4， 解得：a＝2， ∴C（2，﹣4）， 由点A、C的坐标得，AB的解析式为：y＝2x﹣8； （2）设点P的坐标为（0，p）， ∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8， ∴B（0，﹣8）， ∴BP＝|p+8|， ∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4）， ∴S△PBC2|p+8|＝6， ∴p＝﹣2或﹣14， ∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）； （3）存在， 以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况： ①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N， ∴∠BMC＝∠QNB＝90°， ∴∠CBM+∠BCM＝90°， ∵∠QBC＝90°， ∴∠CBM+∠QBN＝90°， ∴∠BCM＝∠QBN， ∵BC＝BQ， ∴△BCM≌△QBN（AAS）， ∴QN＝BM，BN＝CM， ∵B（0，﹣8），C（2，﹣4）， BM＝4，CM＝2， ∴QN＝BM＝4， ∴m＝4； ②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N， 同理：△BCM≌△CQN（AAS）， ∴QN＝CM＝2，BM＝CN＝4， ∴MN＝MC+CN＝6 ∴m＝6； ③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N， 同理：△QCM≌△BQN（AAS）， ∴QN＝CM，BN＝QM， 设Q（m，t）， ∵B（0，﹣8），C（2，﹣4）， ∴CM＝m﹣2，BN＝m，MN＝8﹣4＝4，QN＝t+8，QM＝﹣4﹣t， ∴，解得：， ∴m＝3， 故m的值为4或6或3． 【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键． 题型四 一次函数与全等三角形问题 1．（2023秋•蚌山区月考）如图，直线l1：y＝ax+b（常数a＜0，b＞0）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝cx+d（常数c＞0，d＞0）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线l1与直线l2交于点E，且△AOB≌△COD． （1）求证：AB⊥CD； （2）若a＝﹣2，b＝4，求△ADE的面积． 【分析】（1）利用全等三角形的性质，得到∠ABO＝∠CDO，再根据对顶角相等，得到∠DCO＝∠BCE，进而得到∠ABO+∠BCE＝90°，即可证明结论； （2）利用直线l1：y＝﹣2x+4，求出A、B两点坐标，得到OA＝2，OB＝4，再利用全等三角形的性质，得到OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，进而得到C、D 两点坐标，从而求出直线l2：，联立方程组，求出点E坐标，即可求出△ADE的面积． 【解答】（1）证明：∵△AOB≌△COD， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵∠DCO＝∠BCE， ∴∠CDO+∠DCO＝∠ABO+∠BCE＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠ABO+∠BCE）＝90°， ∴AB⊥CD； （2）解：∵a＝﹣2，b＝4， ∴直线l1：y＝﹣2x+4， 令x＝0，得y＝4；令y＝0，得﹣2x+4＝0，解得x＝2， ∴A（2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∵△AOB≌△COD， ∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4， ∴C（0，2），D（﹣4，0）， ∴，解得：， ∴直线l2：， 联立方程组， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴△ADE的面积为． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，一次函数与坐标轴交点，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点与二元一次方程组的解等知识，熟练掌握一次函数性质和全等三角形的性质是解题关键． 2．如图，平面直角坐标系xOy中，l1：y1＝﹣2x+4交x轴于A，交y轴于B．另一直线l2：y2＝kx+b交x轴于C，交y轴于D，交l1于E．已知△COD≌△BOA． （1）求l2解析式． （2）P，Q分别在线段AB和CD上运动，若P从B开始运动，速度是1单位长度每秒，Q从C开始运动，速度等于P的运动速度，设运动时间为t，则t为多少时，PQ∥x轴？ 【分析】（1）求出A，B点坐标，利用△COD≌△BOA求出C，D点坐标，利用待定系数法求解； （2）设Q点坐标，表示出P点坐标，表示出线段RO，BR，BQ的长度，证明△PCS与△QBR全等，可求解． 【解答】解：（1）直线l1：y1＝﹣2x+4，当y＝0时，x＝2，所以点A（2，0），当x＝0时，y＝4，所以B点（0，4）， ∵△COD≌△BOA， ∴CO＝OB＝4，OD＝OA＝2， ∴点C（﹣4，0），点D（0，2）， 将点C，D代入直线l2：y2＝kx+b得， ，解得， ∴直线l2：y22； （2）作QS⊥x轴于点S，如图， 设P点坐标为（m，﹣2m+4）， ∵PQ∥x轴， ∴Q点的纵坐标为﹣2m+4， Q点在直线l2：y22上，代入纵坐标得﹣2m+4＝y22， 解得：x＝﹣4m+4， ∴Q点坐标（﹣4m+4，﹣2m+4）， 设线段PQ与y轴交于点R，则R点坐标（0，﹣2m+4）， 在Rt△BQR中，BR＝OB﹣OR＝2m，RQ＝OT＝m， ∴BPm， ∵动点P，Q的速度一样， ∴CQ＝BP， 在Rt△CSQ和Rt△BRP中， ， ∴Rt△CSQ≌Rt△BRP（AAS）， ∴QS＝PR， 即﹣2m+4＝m，解得m， ∴tm． 【点评】本题是一次函数的综合题，主要考查一次函数的待定系数法和动点问题，解题关键是掌握待定系数法和利用三角形全等的判定和性质求解问题． 3．如图，直线yx+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，设动点M的移动时间为t秒． （1）求A，B两点的坐标； （2）求当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标． 【分析】（1）由直线l的函数解析式，令y＝0求A点坐标，x＝0求B点坐标； （2）若△COM≌△AOB，OM＝OB，则t时间内移动了AM，可算出t值，并得到M点坐标． 【解答】解：（1）对于直线AB：， 当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4， 则A、B两点的坐标分别为A（4，0）、B（0，2）； （2）分为两种情况：①当M在OA上时，OB＝OM＝2，△COM≌△AOB． ∴AM＝OA﹣OM＝4﹣2＝2 ∴动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； M（2，0）， ②当M在AO的延长线上时，OM＝OB＝2， 则M（﹣2，0），此时所需要的时间t＝[4﹣（﹣2）]/1＝6秒， 即M点的坐标是（2，0）或（﹣2，0）． 【点评】此题考查了根据函数图象求坐标，通过动点变化求函数关系式． 4．（2024秋•龙华区校级期中）如图，直线1：yx+3交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO． （1）点A坐标是 　 　，点B的坐标 　 　，BC＝　 　． （2）我们容易知道：当C点与A点关于y轴对称时，△ABO≌△CBO．那么当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由． （3）当△PQB为等腰三角形时，写出点P的坐标． 【分析】（1）对于直线l解析式，分别令x与y为0，求出y与x的值，确定出A与B的坐标，根据A与C关于y轴对称确定出C坐标，利用勾股定理求出BC的长即可； （2）由三角形APQ与三角形CBP全等，利用全等三角形对应边相等得到AP＝BC＝5，由AP﹣OA＝OP，求出OP的长，确定出P坐标即可； （3）分三种情况考虑：当PQ＝PB时，由（2）确定出此时P的坐标；当BQ＝BP时，利用外角性质判断不可能；当BQ＝PQ时，求出此时P的坐标即可． 【解答】解：（1）对于直线l：yx+3， 令x＝0，得到y＝3； 令y＝0，得到x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，3），即OB＝3， ∵A与C关于y轴对称， ∴C（4，0）， 即OC＝4， 则根据勾股定理得：BC5； 故答案为：（﹣4，0）；（0，3）；5； （2）∵∠PAQ＝∠BCP＝45°，∠BPQ＝∠BAO， ∴∠APQ＝∠CBP， ∵AP＝BC＝5， ∴△APQ≌△CBP（AAS）， ∴AP＝BP， ∵A（﹣4，0）， 即OA＝4， ∴OP＝5﹣4＝1， 即P（1，0）； （3）（i）当PQ＝PB时，△APQ≌△CBP， 由（2）知此时点P（1，0）； （ii）当BQ＝BP时，∠BQP＝∠BPQ， ∵∠BQP是△APQ的外角， ∴∠BQP＞∠BAP， 又∵∠BPQ＝∠BAO， ∴这种情况不可能； （iii）当BQ＝PQ时，∠QBP＝∠QPB， 又∵∠BPQ＝∠BAO， ∴∠QBP＝∠BAO， ∴AP＝4+x，BP， ∴4+x， 解得：x． 此时点P的坐标为：（，0）． 综上，P的坐标为（1，0），（，0）． 【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握性质与判定是解本题的关键． 5．如图，直线：yx+b与x轴分别交于A（4，0）、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从点A以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动． （1）点B的坐标为　 　； （2）求△MNO的面积S与移动时间t之间的函数关系式； （3）当t＝　 　时，△NOM≌△AOB； （4）若M在x轴正半轴上，且△NOM≌△AOB，G是线段ON上一点，连接MG，将△MGN沿MG折叠，点N恰好落在x轴上的H处，求G点的坐标． 【分析】（1）由点A的坐标利用待定系数法可求出b值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标； （2）由点A、H的坐标及点M移动的速度可得出ON、OM的长度，再利用三角形的面积公式即可找出△MNO的面积S与移动时间t之间的函数关系式； （3）由OA＝ON＝4、∠AOB＝∠NOM＝90°，可得出若要△NOM≌△AOB只需OM＝OB＝2，结合OM＝|4﹣t|可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）设点G的坐标为（0，y），则OG＝y，由折叠的性质可找出GH、OH的长度，在Rt△GOH中，利用勾股定理可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵直线yx+b过点A（4，0）， ∴04+b，解得：b＝2， ∴直线AB的函数关系式为yx+2． 当x＝0时，yx+2＝2， ∴点B的坐标为（0，2）． 故答案为：（0，2）． （2）∵A（4，0），N（0，4），动点M从点A以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动， ∴OA＝4，ON＝4，OM＝OA﹣AM＝|4﹣t|， ∴SOM•ON|4﹣t|×4＝|8﹣2t|． （3）∵OA＝ON＝4，∠AOB＝∠NOM＝90°， ∴若要△NOM≌△AOB，只需OM＝OB＝2． ∵OM＝|4﹣t|， ∴|4﹣t|＝2， 解得：t＝2或6． 故答案为：2或6． （4）设点G的坐标为（0，y），则OG＝y． 根据折叠的性质，可知：MH＝MN2，GH＝GN＝4﹣y， ∴OH＝22． 在Rt△GOH中，GH2＝OG2+OH2，即（4﹣y）2＝y2+（22）2， 解得：y1， ∴点G的坐标为（0，1）． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、折叠的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S关于t的函数关系式；（3）利用全等三角形的判定定理找出关于t的含绝对值符号的一元一次方程；（4）在Rt△GOH中，利用勾股定理找出关于点G的纵坐标的一元一次方程． 题型五 一次函数与三角形的综合问题 1．（2024秋•锦江区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x﹣1与直线l2：y＝﹣3x+b交于点C（2，﹣3），直线l1、l2分别与x轴交于A、B两点． （1）请直接写出b的值和A、B两点的坐标； （2）x轴上是否存在一点D，使得△ACD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不能，请说明理由； （3）点P是直线l1上一动点，过点P作x轴的垂线交l2于点Q，设点P的横坐标为n．若S△APQ＝2S△CPQ．求PQ的长． 【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解； （2）当AC＝DC时，列出等式即可求解；当AC＝AD或CD＝AD时，同理可解； （3）由面积关系，列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣3x+b过点C（2，﹣3）， ∴﹣3＝﹣3×2+b， ∴b＝3， 当y＝0时，0＝﹣x﹣1，则x＝﹣1， ∴点A（﹣1，0）， 当y＝0时，0＝﹣3x+3，则x＝1， ∴点B（1，0）； （2）存在，理由： 设点D（x，0）， 由点A、C、D的坐标得，AC2＝18，CD2＝（x﹣2）2+9，AD2＝（x+1）2， 当AC＝DC时，则18＝（x﹣2）2+9， 解得：x＝﹣1（舍去）或5， 即点D（5，0）； 当AC＝AD或CD＝AD时， 同理可得：（x﹣2）2+9＝（x+1）2或18＝（x+1）2， 解得：x＝±31或2， 即点D（±31，0）或（2，0）； 综上，D（5，0）或（31，0）或（2，0）或（﹣31，0）； （3）如图， ∵点P的横坐标为n， ∴点P（n，﹣n﹣1），点Q（n，﹣3n+3）， 当点P在点C右侧时， ∵S△APQ＝2S△CPQ， ∴PQ×（n+1）＝2PQ（n﹣2）， ∴n＝5， ∴点Q（5，﹣12），点P（5，﹣6）， ∴PQ＝6， 当点P在点C左侧时， ∵S△APQ＝2S△CPQ， ∴PQ×（n+1）＝2PQ（2﹣n）， ∴n＝1， ∴点Q（1，0），点P（1，﹣2）， ∴PQ＝2， ∴PQ的长为2或6． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 2．（2024秋•渠县校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0）．直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E． （1）求直线AB的解析式和点D的坐标． （2）设点Q是x轴上一动点，是否存在点Q使AQ+DQ的值最小？若存在，请求出AQ+DQ的最小值； （3）如图2，点P（2，﹣4）是直线x＝2上一点，且在点D的下方． ①求△ABP的面积； ②以PB为边在第四象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标． 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数的关系式，再将x＝2代入关系式，求出y，即可得出点D的坐标； （2）确定点A（0，3）关于x轴的对称点A′（0，﹣3），再根据轴对称说明AQ+DQ的值最小，然后根据勾股定理求出答案； （3）①，先求出DP，OE，BE，再根据S△ABP＝S△ADP+S△BDP得出答案．对于②，先以PB为直角边作等腰直角三角形，可得出三个符合条件的三角形，分别求出坐标即可． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，分别把（0，3），B（6，0）代入得， 解得 所以yx+3． 当x＝2时，y2+3＝2． 所以点D 的坐标为（2，2）． （2）作点A（0，3）关于x轴的对称点A′（0，﹣3）． 当点D，A′，Q三点共线，即连接DA′交x轴于点Q，此时存在点Q使AQ+DQ的值最小． AQ+DQ的值最小为DA′． （3）①根据题意可知DP＝6，OE＝2，BE＝4， S△ABP＝S△ADP+S△BDP2×64×6＝18； ②以PB为直角边作等腰直角△BPC1，△BPC2，则△BPC3为等腰直角三角形． ∵BE＝PE＝4， ∴∠EBP＝∠EPB＝45°，BP＝4， ∴BC1⊥x轴， ∴BC1＝8， 则点C1（6，﹣8），C3（6，﹣4）． ∵∠BPE＝∠BPC2＝45°， ∴PC2∥x轴，PC2＝8， 则点C2（10，﹣4）． 综上所述：C1（6，﹣8），C2（10，﹣4），C3（6，﹣4）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，掌握求函数解析式方法，求坐标点的方法是解题的关键． 3．（2024秋•江阴市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）AB的长为 　 　，点D的坐标是 　 　； （2）求点C的坐标； （3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标； （4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式和轴对称的性质求解； （2）根据勾股定理求解； （3）根据三角形的面积公式求解； （4）根据全等三角形的性质求解． 【解答】解：（1）∵点A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB5， ∵若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处， ∴AD＝AB＝5， ∴OD＝OA+AD＝8， ∴D（8，0）， 故答案为：5，（8，0）； （2）设C（0，a）（a＜0）， 由题意得：BC＝CD， ∴4﹣a， 解得：a＝﹣6， ∴C（0，﹣6）； （3）设M（0，b）， ∵S△MABS△OCD， ∴|4﹣b|×36×8， 解得：b＝28或b＝﹣20， ∴M（0，28）或M（0，﹣20）； （4）存在，（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）． 当AB＝AP，∠BAP＝90°时，过P作PF⊥x轴于F， ∵∠AOB＝∠OFP＝∠BAP＝90°， ∴∠OBA+∠OAB＝∠OAB+∠PAF＝90°， ∴∠OBA＝∠PAF， ∵AB＝AP， ∴△ABO≌△PAF， ∴PF＝OA＝3，AF＝OB＝4， ∴OF＝OA+AF＝7， ∴P（7，3）， 当AB＝AP′，∠P′BA＝90°时，过P′作P′G⊥y轴于G， 同理得：△ABO≌△BP′G， ∴P′G＝OB＝4，BG＝OA＝3， ∴OG＝OB+BG＝7， ∴P′（4，7）， 当BP″＝AP″，∠BP″A＝90°时，点P″是AP′和BP的交点， 设AP′的解析式为：y＝kx+b， 则：， 解得：， ∴AP′的解析式为：y＝7x﹣21， 设BP的解析式为：y＝ax+4， 则：7a+4＝3， 解得：a， ∴BP的解析式为：yx+4， 解方程组得：， ∴P″（3.5，3.5）， ∴点P的坐标为：（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）． 【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和全等三角形的性质是解题的关键． 4．（2024秋•福田区校级期中）【源于课本】 （1）将一次函数y＝﹣2x+6的图象沿着y轴向上平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：　 ． 【小组探究】 （2）我们知道，平移、轴对称、旋转是三种基本的图形运动．莲花中学初二数学小组开展“探究一次函数图象经历图形运动后的函数表达式”的活动． ①（平移探究）将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象沿着x轴向右平移2个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式． 数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A（0，6），B（3，0），将它们沿着x轴向右平移2个单位长度，得到点A′，B′，其坐标分别为A'（ 　　 ），B'（ 　 　），从而求出直线A'B'对应的函数表达式为：　 　． ②（轴对称探究）将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象关于x轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：　 ； ③（旋转探究）如图2，若一次函数y＝﹣2x+6的图象与y轴交于点A，将直线y＝﹣2x+6绕点A逆时针旋转45°，得到的直线与x轴交于点M．求旋转后的直线对应的函数表达式．（请写出解答过程） 【学以致用】 （3）如图2，在上述③的条件下，y轴上是否存在点P，使得以点A，M，P为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由平移的性质即可求解； （2）①点A、B的坐标分别为：（0，6）、（3，0），则将它们沿着x轴向右平移2个单位长度，得到点A′，B′，其坐标分别为A'（2，6），B'（5，0），即可求解； ②将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象关于x轴对称，则点B的对称点为：（0，﹣6），由点A的坐标和点（0，﹣6）得，此时函数的表达式为：y＝2x﹣6，即可求解； ③证明△AOB≌△BHN（AAS），得到点N（9，3），即可求解； （3）当AM＝AP时，则122+62＝（y﹣6）2，则y＝6±6，即可求解；当AM＝PM或AP＝PM时，同理可解． 【解答】解：（1）由平移的性质知，平移后的函数表达式为：y＝﹣2x+6+2＝﹣2x+8， 故答案为：y＝﹣2x+8； （2）①由直线AB的表达式知，点A、B的坐标分别为：（0，6）、（3，0）， 则将它们沿着x轴向右平移2个单位长度，得到点A′，B′，其坐标分别为A'（2，6），B'（5，0）， 由于平移的k不变，则平移后的表达式为：y＝﹣2（x﹣5）＝﹣2x+10， 故答案为：（2，6），（5，0），y＝﹣2x+10； ②将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象关于x轴对称，则点B的对称点为：（0，﹣6）， 由点A的坐标和点（0，﹣6）得，此时函数的表达式为：y＝2x﹣6， 故答案为：y＝2x﹣6； ③过点B作BN⊥AB交AM于点N，作NH⊥x轴于点H， ∵∠BAM＝45°，则△ABN为等腰直角三角形，则BA＝BN，∠ABN＝90°， ∵∠ABO+∠NBH＝90°，∠NBH+∠HBN＝90°， ∴∠ABO＝∠HBN， ∵∠AOB＝∠BHN＝90°，BA＝BN， ∴△AOB≌△BHN（AAS）， 在AO＝BN＝6，HN＝OB＝3， 则点N（9，3）， 由点A、N的坐标得，直线AM的表达式为：yx+6； （3）存在，理由： 由直线AM的表达式为：yx+6得，点M（18，0）， 设点P（0，y）， 由点A、P、M的坐标得，AM2＝122+62，PM2＝182+y2，AP2＝（y﹣6）2， 当AM＝AP时， 则122+62＝（y﹣6）2，则y＝6±6， 即点P（0，6+6）或（0，6﹣6）； 当AM＝PM或AP＝PM时， 则122+62＝182+y2或182+y2＝（y﹣6）2， 解得：y＝6（舍去）或﹣6或﹣24， 即点P（0，﹣6）或（0，﹣24）， 综上，P（0，6+6）或（0，6﹣6）或（0，﹣6）或（0，﹣24）． 【点评】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，平移、对称及旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 5．（2024春•闵行区期中）一次函数y＝kx（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点． （1）求一次函数解析式和m的值； （2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式； （3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A，点B代入一次函数解析式可得； （2）分情况讨论，△ACP的面积△ABC的面积或求解，利用底一样，面积比等于高的比求解； （3）分情况讨论D点位置，利用三角形全等求解． 【解答】解：（1）把点A（1，0），B（0，m）代入y＝kx， 得，解得，， ∴一次函数解析式为y，m的值为； （2）过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q， 由（1）得，B（0，），点A（1，0）， ∴OA＝1，OB，AB2， ∵线段A绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处， ∴AB＝AC＝2， ∴C（﹣1，0）， ∴S△ABC， 若直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分，则有以下两种情况： ①当S△BCP：S△ACP＝2：1时，S△ACPS△ABC， ∴P1Q1， ∴点P1的纵坐标为， 将其代入一次函数y得，点P1的坐标为（，）， 设直线CP1的解析式为y＝m1x+n1，将点C（﹣1，0），点P1（，）代入得， ， 解得， ∴直线CP1的解析式yx； ②当S△BCP：S△ACP＝1：2时，S△ACPS△ABC， ∴P2Q2， 将其代入一次函数y得，点P2的坐标为（，）， 设直线CP2的解析式为y＝m2x+n2，将点C（﹣1，0），点P2（，）代入得， ， 解得 ∴直线CP2的解析式yx； 综上所述：直线CP的解析式yx或yx； （3）存在， ∵△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形， ①当BC＝CD1时， ∵∠BCD1＝90°， ∴∠M1CD1+∠OCB＝∠OCB+∠OBC＝90°， ∴∠M1CD1＝∠OBC， 在Rt△M1CD1和Rt△OBC中， ， ∴Rt△M1CD1≌Rt△OBC（AAS）， ∴CM1＝OB，D1M1＝OC＝1， ∴点D1（1，1）； ②当BC＝BD2时，类比①可证Rt△BD2M2≌Rt△CBO（AAS）， ∴BM2＝OC＝1，D2M2＝OB， ∴点D2（，）； 综上所述，D点坐标（1，1）或（，）． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数待定系数法求解、函数图象上点的特点、直线的旋转和等腰直角三角形，第二问解题关键是利用底相等，面积比等于高的比求解，第三问是借助三角形全等的判定和性质进行求解． 6．（2024秋•河北区期中）如图所示，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4）． （1）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P．求证：△OAP≌△OBC． （2）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中， ①线段OM与AN有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 【分析】（1）用ASA证明△OAP≌△OBC（ASA），即可求解； （2）①证明△MOD≌△NAD（ASA），即可求解； （2）点D为AB的中点，则S△DOBS△AOB8＝4，而△MOD≌△NAD，则S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△MOD＝S△DOB＝4，即可求解． 【解答】（1）证明：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣4）， ∴OA＝OB， ∵∠AOP＝90°，∠BHP＝90°， ∴∠AOP＝∠BHP， ∵∠APO＝∠BPH， ∴∠OAP＝∠OBC， 在△OAP和△OBC中，∠OAP＝∠OBC，OA＝OB，∠AOP＝∠BOC， ∴△OAP≌△OBC（ASA）； （2）解：①线段OM＝AN， 理由如下：如图2，连接OD， ∵∠AOB＝90°，OA＝OB，点D为AB的中点， ∴OD⊥AB，OD＝OA＝OB，∠BOD＝∠AOD＝∠OAD＝45°， ∴∠MOD＝135°，∠NAD＝135°， ∴∠MOD＝∠NAD， ∵∠ODA＝∠MDN＝90°， ∴∠MDO＝∠NDA， 在△MOD和△NAD中，∠MOD＝∠NAD，OD＝AD，∠MDO＝∠NDA， ∴△MOD≌△NAD（ASA）， ∴OM＝AN； （2）式子S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变， 理由如下：S△AOB4×4＝8， ∵点D为AB的中点， ∴S△DOBS△AOB8＝4， ∵△MOD≌△NAD， ∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△MOD＝S△DOB＝4． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算等，证明三角形全等是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$