黄金卷03（山西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

命学科网 Www,ZX×k,c0m 让敦与学更高效 【赢在中考黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷03 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选 择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上) 3 6 9 10 C D B A B C B 0 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分） 11.3√2 12.(305-30 13.3.6 14.4+45 15.2或2√7 三、解答题：（本大题共8题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.10分)【详解1D2-m60叫-()+4 =2-5-9+2 2分 =2-5-7 4分 =-V5-5: 5分 21 2x+1-4r>6 4446分 2x-4x>6-1 7分 -2x>5 8分 .9分 在数轴上表示： -4-35-2-101234→ 410分 2 17.(7分)【详解】(1)解：知图，射线BE即为所求： 1/9 命学科网 www,ZX×k,cDm 让敦与学更高效 E一D 3分 B (2)证明：连接EF,如图所示： E∠D 四边形ABCD是平行四边形， AE∥BF, 4分 由作图可知AE=AB, BF AB, .AE =BF. .四边形ABFE是平行四边形， 446分 又，”AE=AB, .四边形ABFE为菱形. 7分 18.(8分)【详解】(1)解：根据题意，园艺基地的单价为a元，市场的单价为(a+14)元， 480360 依题意得： a+10a 小2分 解得：a=30, 经检验，a=30是原方程的解， a+10=30+10=40(元)， 答：枣树苗基地A种树苗的价格是30元/棵，则市场上A种树苗的价格是40元/棵： 4分 (2)解：设购买A种枣树苗m棵，则购买B种枣树苗200-m棵， 由题意得m≤200-m, 解得m≤100， 5044044445分 设本次购买花费w元， ∴.w=30×0.9m1+50×0.9(200-m=-18m+9000, 4…6分 :-18<0, ∴w随m的增大而减小， 2/9 命学科网 www,Z××k,C0m 让敦与学更高效 :当m=100时，w取得最小值，最小值为-18×100+9000=7200， 7分 答：本次购买最少花费7200元 98分 19.(9分)【详解】(1)解：由题意可得，平台从甲商家抽取了12*40%=30个评价分值， =360°× 10 =120°， 30 放答案为：120°，： 3分 (2)解：从乙商家抽取了3+15%=20个评价分值， 甲商家4分的评价分值个数为30-2-1-12-5=10个， 乙商家4分的评价分值个数为20-1-3-3-4=9个， 甲商家共有30个数据。 ,数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数， 0=344=3.5, 4分 2 乙商家4分的个数是9个，最多， ∴.众数b=4, 4444444444445分 乙商家平均数下=-1x1+2×3+3×3+4x9+5×4 =3.6, 20 46分 故答案为：3.5,4,3.6： (3)解：小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的， 方差较接近， .小亮应该选择乙商家。 449分 20,(8分)【详解】(1)解：描出表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线画出函数图象如下： ◆mL 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 102030405060708090100min 则剩余药液量y(单位：mL)与输液所用时闻t(单位：min)的函数关系可能是一次函数关系， 故答案为：一次： .2分 3/9 命学科网 Www,Z××k,C0m 让敦与学更高效 (2)设y关于1的函数表达式为y=k1+b,过点(0,100)，(10,85， b=100 10k+b=85' k=-1.5 解得： b=100' ∴，y关于t的函数表达式为y=-1.51+100: 5分 (3)在y=-1.51+100中， 令y=0,得：0=-1.51+100， 解得：1=200 3 200 ,输完100mL的药液所需的时间为 -min 3 8分 21.(8分)【详解】(1)解：根据解题过程中，渗透了转化思想和数形结合思想 故答案为：转化思想和数形结合， 2分 (2)由图象可知：当0<x<5时函数图象位于x轴及其下方，此时y<0,即x2-5x<0, .一元二次不等式x2-5x<0的解集为：0<x<5. 故答案为：0<x<5. 445分 (3)解：-x2-3x+4>0, 设y=-x2-3x+4=-(x2+3x-4=-(x+4)(x-1, 解得：x=-4,62=1, ∴.抛物线y=-x2-3x-4与x轴的交点坐标为-4,0)和1,0， 如图：画出二次函数y=-x2-3x-4的图象， 2 3-20十234 -2 4/9 命学科网 Www,Z××k,C0m 让敦与学更高效 由图象可知：当-4<x<1时，函数图象位于x轴上方，此时y>0,即-x2-3x+4>0, 一元二次不等式-2-3x+4>0的解集为：-4<x<，m8分 22.(12分)【详解】(1)解：解法一： 平面直角坐标系如图所示， P 0 F T B 图2 设抛物线的解析式为y=ar2+br+c(a≠0)， 由题意知，A0,6),B(6,0),对称轴为直线x=2, 即-6=2，b=-40, 2a c=6 c=6 1 则{36a+6b+c=0,解得{a= 2 b=-4a b=2 ·抛物线的解析式为y= 2+2x+6: 4小43分 解法二： 平面直角坐标系如图所示， 由题意知，A(0,6),B(6,0),对称轴为直线x=2, 设抛物线的解析式为y=a(x-2)+k(a≠0)， 4a+k=6 则 16a+k=0'解得 s、1 2. k=8 物线的解折式为)=-一-2+8=+246 443分 (2)解：：CD,EF之间的距离等于2m, 设C的横坐标为m,E的横坐标为m+2, 5/9 命学科网 Www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 Cm,-,m2+2m+6立 2-w) 设直线AB解析式为y=+b,代入得： b=6 k=-1 6k+b=0'1 解得： b=6 .直线AB解析式为y=-x+6, 4分 .Dm,-m+6,F(m+2,-m+4, :CD EF .CD+EF=-m2+4m+4, .6分 “-m2+4m+4=7,解得m=1或m=3. ”CD在PT的左侧， :OA与CD之间的距离为1： 7分 (3)解：如图，设G的横坐标为n,则H的横坐标为4-n: y↑G H OK B衣 图3 。)+2n+6,H4-m-号m2+2n+6 :Gn,- ,G水=2+2n+6 …9分 :矩形的周长=2GH+2GK=-m2+20 1分 ·当GH=4-2nn=0时，矩形的周长取最大值20m.12分 23.(13分)【详解】解：[操作发现] ,四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， .AG=AE,AD=AB,∠GAE=∠DAB=90°， ∴·LGAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE, 6/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 .∠GAD=LEAB, .△GAD≌EAB SAS), 2分 .DG=BE,LADG=∠ABE, 如图，延长BE交GD于点M,交AD于点N, D M E A B :∠DNM=∠ANB,∠ABN+∠ANB=90°， .∠DNM+ADG=90°， .∠DMN=90°， ∴.直线DG与BE的夹角度数为90°， 故答案为：DG=BE,90°； 4分 [深入探究] ,四边形ABCD和四边形AEFG是菱形 .AG=AE,AD=AB,∠GAE=∠DAB=60°， ..ZGAE-ZDAE ZDAB-ZDAE. ∴.∠GAD=∠EAB, .△GAD≌△EAB(SAS, 6分 .DG=BE,∠ADG=∠ABE, 如图，延长BE交DG的延长线于点H,交AD于点T, G H B ∠DTH=∠ATB,∠H+∠DTH+∠ADG=I80°，∠DAB+∠ATB+∠ABT=I80°， .∠H=∠DAB=60°， 7/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 ∴，直线DG与BE的夹角度数为60°： 8分 [迁移探究] ①如图，当F在AD上时，连接BD,交AC于点O, ,∠BAE=30°，∠DAB=∠GAE=60°，四边形AEFG为菱形， .∠DAE=30°，∠AEF=120°，AE=EF, G 0 E B 四边形ABCD为菱形， .AC⊥BD,AB=AD,OA=0C, .∠A0B=∠A0D=90°， ∠DAB=60°， ∴.△ABD是等边三角形， ∴，∠AB0=60°， ,点A、E、O三点共线， :.OB=14B=5. 2 9分 由勾股定理得：04=VAB2-0B=25-(5=5, .OE=OA-AE=5-√5， ∴CE=0C+0E=5+5-5=25-5: 410分 ②如图，当F在AB上时，延长BD,交CB延长线于点， D B 8/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 四边形ABCD为菱形， :∠4CB=∠BCD=∠DAB=30,AB=AD,0A=0C, 2 2 由(1)可得A、G、0三点共线，0A=15, .∠CA0=60°，AC=2V15, .∠Q=90°， 80号4B=5, ∴.CQ=BC+BQ=3V5, 由勾股定理得：40=B-80=25-(5=5, 12分 .E0=5-5, 由勾股定理得：CE=VC0+E0=V35+5-5=V65-10万=25-5， 综上可知：线段CE的长2√5-√5， 13分 9/9 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项中，计算结果最小的是（　　） A． B． C． D． 2．科技飞速发展的时代，新能源汽车宛如一颗璀璨的新星，划破传统燃油车的“苍穹”，引领着出行方式迈向全新纪元．下图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．  如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面内上的点射出，是反射光线．已知，，若要使反射光线，则应调节为（   ） A． B． C． D． 5．如图，甲、乙、丙、丁四个长方体的底面积与高的情况可分别用点，，，表示，其中点，恰好在同一个反比例函数的图象上；则这四个长方体中体积最大的是(   ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（    ） A． B． C． D． 8．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径x（m） … … 树高y（m） … 20 22 24 26 28 … 已知树高y是其胸径x的一次函数．如表几对数值中不能满足y与x的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 10．综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11．计算： ． 12．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点是线段上靠近点的一个黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 13．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 14．如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接，若，则的面积为 ．    15．如图，为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时， ． 三、本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）（1）计算： （2）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 17．（7分）如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)点F是上一点，连接．已知，求证：四边形为菱形． 18．（8分）某中学为了响应新课标要求，计划组织学生去某教育基地体验枣树种植劳动，为了方便开展活动，需要采购一批枣树苗，现有两个采购地可供选择，具体信息如下： 信息一 单价（单位：元/棵） 采购地 A B 某市场 55 枣树苗基地 50 信息二 用480元在市场上购买种树苗的棵数恰好与用360元在枣树苗基地购买种树苗的棵数相同． (1)请分别求出枣树苗基地、市场上每棵种枣树苗的价格． (2)学校决定在枣树苗基地购买，两种枣树苗共200棵，且种枣树苗的棵数不超过种枣树苗的棵数，枣树苗基地为了支持该学校的活动，对，两种枣树苗均提供九折优惠，求本次购买最少花费多少钱？ 19．（9分）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 3 3．5 1．05 乙商家 4 1．24 (1)甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数为_________， (2)表格中__________，__________，__________； (3)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 20．（8分）输液管上有一个调节滴速的开关，通过调整这个开关控制药液输入人体的时间．对于不同的药物，不同体质的人输液速度不相同．下表记录了某人内个时间点的剩余药液量，其中表示输液所用时间，表示剩余药液量． 输液所用时间 剩余药液量 (1)在平面直角坐标系中，描出上表中数据对应的点，并将描出的点依次连接．若剩余药液量（单位：）与输液所用时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数表达式； (3)在这种输液速度下，求输完的药液所需的时间． 21．（8分）阅读理解： 自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得，， 则抛物线与 x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象(如图所示)，由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透的数学思想有 __________； (2)借助阅读材料直接写出一元二次不等式 的解集为 ____________ ； (3)用类似的方法解一元二次不等式：． 22．（12分）综合与实践 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且． 榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 方案实施：学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求7m篱笆材料恰好用完时与之间的距离； (3)种植区域分隔完成后，榕榕又想用灯带对该金银花种植区域进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．为此，她尝试设计了如图3所示的矩形灯带，其中两个顶点G，H在抛物线上（可与A，B重合），另外两个顶点K，J在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 23．（13分）综合与探究 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的长． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列选项中，计算结果最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，分别计算出各选项的值，再比较大小即可． 【详解】解：A、原式， B、原式， C、原式， D、原式， ∵ ∴计算结果最小的是． 故选：D． 2．科技飞速发展的时代，新能源汽车宛如一颗璀璨的新星，划破传统燃油车的“苍穹”，引领着出行方式迈向全新纪元．下图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，故C符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法，积的乘方等运算性质，对各个选项逐一计算，即可得到答案． 【详解】A．，错误； B．，错误； C．，错误； D．，正确． 故选：D． 4．  如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面内上的点射出，是反射光线．已知，，若要使反射光线，则应调节为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行线的性质及等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的性质可得，则，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，则， 在中，， ∴， 故选：B ． 5．如图，甲、乙、丙、丁四个长方体的底面积与高的情况可分别用点，，，表示，其中点，恰好在同一个反比例函数的图象上；则这四个长方体中体积最大的是(   ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．根据题意可知的值即为长方体的体积，设点所在的反比例函数的关系式为，再根据图象，点在反比例函数图象上面，即点的值最大，即可确定长方体丙的体积最大，即可选出． 【详解】解：∵其中点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数 ∴的长方体的体积相同， ∵点在反比例函数图象上面，点在反比例函数图象下面， ∴的长方体的体积最大，即点的值最大，的长方体的体积最小，即点的值最小， ∴丙的长方体的体积最大． 故选：C． 6．如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7．如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用树状图求概率，首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果， 然后求得李师傅恰好从E出口驶出的情况数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 由树状图可知所有可能的结果有6种，李师傅恰好从E出口驶出的结果有2种， 则李师傅恰好从E出口驶出的概率为， 故选：B． 8．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径x（m） … … 树高y（m） … 20 22 24 26 28 … 已知树高y是其胸径x的一次函数．如表几对数值中不能满足y与x的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 设，将，代入解方程组，得到，把代入，得． 【详解】解：设， 将，代入， 得， 解得， ∴； 当时， ． ∴不能满足y与x的函数关系式的是． 故选：C 9．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 10．综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理．根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点在以N为圆心，为半径的圆上，故①正确；连接，根据勾股定理得到，根据三角形的三边关系得到，，结合点M在上，判断②③正确；根据勾股定理即可判断④正确． 【详解】解：如图1，连接， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵点N为的中点，， ． ∴当点M在边上运动时，点在以N为圆心的圆弧上运动， 故①正确； 在中，， ∵， ∴， ∴的最小值为16， 故③正确； ∵，且M在上， ∴， ∴的最大值为24， 故②正确； 如图2， 当共线时，的值最小，最小为； ∴， 设，则，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即， 故④正确， 综上，结论中正确的个数4个， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，合并同类二次根式．先用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 故答案是：． 12．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点是线段上靠近点的一个黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的计算，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为： ． 13．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 14．如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】连接、，作于点H．由垂直平分可得，结合平分可知四边形是菱形，则，．由菱形的性质及可得，则，则，进而可求面积． 【详解】解∶ 如图，连接、，作于点H．   垂直平分， ， ， 平分， ， ， ， 同理可证明， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ， ， ． ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的性质和判定，30度角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 15．如图，为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时， ． 【答案】2或 【分析】本题考查勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质；先证明为等边三角形，得到，，再根据在左边或右边分情况讨论，分别画出图形，结合图形利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∵将绕点D顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 当在左边时，如图，连接，，与交于点， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，如图，连接，与交于点， ∵， ∴， 中，， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）（1）计算： （2）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），（2），数轴见详解 【分析】（1）先根据负整数指数幂，三角函数值，二次根式的性质进行运算，再计算加减法； （2）先解不等式的解集，再将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【详解】（1） ； （2） ， 在数轴上表示： 【点睛】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集等知识，熟练掌握实数运算的法则以及解一元一次不等式是解答本题的关键． 17．（7分）如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)点F是上一点，连接．已知，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作图，菱形的判定，熟练掌握角平分线的作图方法与菱形的判定方法是解题的关键， （1）运用尺规作图作角平分线的方法作图即可； （2）根据已知条件结合作图可得，，由菱形的判定即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）证明：连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， 由作图可知， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 18．（8分）某中学为了响应新课标要求，计划组织学生去某教育基地体验枣树种植劳动，为了方便开展活动，需要采购一批枣树苗，现有两个采购地可供选择，具体信息如下： 信息一 单价（单位：元/棵） 采购地 A B 某市场 55 枣树苗基地 50 信息二 用480元在市场上购买种树苗的棵数恰好与用360元在枣树苗基地购买种树苗的棵数相同． (1)请分别求出枣树苗基地、市场上每棵种枣树苗的价格． (2)学校决定在枣树苗基地购买，两种枣树苗共200棵，且种枣树苗的棵数不超过种枣树苗的棵数，枣树苗基地为了支持该学校的活动，对，两种枣树苗均提供九折优惠，求本次购买最少花费多少钱？ 【答案】(1)枣树苗基地种树苗的价格是30元/棵，市场上种树苗的价格是40元/棵 (2)本次购买最少花费7200元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． （1）根据题意，枣树苗基地的单价为a元，市场的单价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购买种枣树苗棵，则购买种枣树苗棵，总花费为w元，先建立不等式，求得的范围，再根据题意，得，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，园艺基地的单价为a元，市场的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， （元）， 答：枣树苗基地种树苗的价格是30元/棵，则市场上种树苗的价格是40元/棵； （2）解：设购买种枣树苗棵，则购买种枣树苗棵， 由题意得， 解得 ， 设本次购买花费元， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为 ， 答：本次购买最少花费7200元． 19．（9分）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 3 3．5 1．05 乙商家 4 1．24 (1)甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数为_________， (2)表格中__________，__________，__________； (3)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 【答案】(1)； (2)，，； (3)小亮应该选择乙商家，理由见解析． 【分析】（）用甲商家分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲商家抽取的评价分值个数，进而用乘以甲商家分的占比即可求解； （）用乙商家分的评价分值个数除以其百分比即可求出从乙商家抽取的评价分值个数，求出甲、乙商家分的评价分值个数，再根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解； （）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值， ， 故答案为：，； （2）解：从乙商家抽取了个评价分值， 甲商家分的评价分值个数为个， 乙商家分的评价分值个数为个， ∵甲商家共有个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数， ∴， 乙商家分的个数是9个，最多， ∴众数， 乙商家平均数， 故答案为：，，； （3）解：小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ∴小亮应该选择乙商家． 20．（8分）输液管上有一个调节滴速的开关，通过调整这个开关控制药液输入人体的时间．对于不同的药物，不同体质的人输液速度不相同．下表记录了某人内个时间点的剩余药液量，其中表示输液所用时间，表示剩余药液量． 输液所用时间 剩余药液量 (1)在平面直角坐标系中，描出上表中数据对应的点，并将描出的点依次连接．若剩余药液量（单位：）与输液所用时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数表达式； (3)在这种输液速度下，求输完的药液所需的时间． 【答案】(1)作图见解析，一次 (2) (3)输完的药液所需的时间为 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）描出表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线画出函数图象，即可作出判断； （2）设，再把，代入得到关于、的方程组，求解即可； （3）结合（2），令，解得的值即可； 解题的关键是读懂题意，能求出函数关系式． 【详解】（1）解：描出表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线画出函数图象如下： 则剩余药液量（单位：）与输液所用时间（单位：）的函数关系可能是一次函数关系， 故答案为：一次； （2）设关于的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴关于的函数表达式为； （3）在中， 令，得：， 解得：， ∴输完的药液所需的时间为． 21．（8分）阅读理解： 自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得，， 则抛物线与 x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象(如图所示)，由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透的数学思想有 __________； (2)借助阅读材料直接写出一元二次不等式 的解集为 ____________ ； (3)用类似的方法解一元二次不等式：． 【答案】(1)转化思想和数形结合 (2) (3) 【分析】（1）根据题意容易得出结论； （2）观察图象即可写出一元二次不等式的解集； （3）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据确定一元二次不等式的解集即可． 【详解】（1）解：根据解题过程中，渗透了转化思想和数形结合思想． 故答案为：转化思想和数形结合． （2）由图象可知：当时函数图象位于x轴及其下方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：． 故答案为：． （3）解：， 设， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， 如图：画出二次函数的图象， 由图象可知：当时，函数图象位于x轴上方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识点，理解二次函数图象的性质是解题的关键． 22．（12分）综合与实践 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且． 榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 方案实施：学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求7m篱笆材料恰好用完时与之间的距离； (3)种植区域分隔完成后，榕榕又想用灯带对该金银花种植区域进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．为此，她尝试设计了如图3所示的矩形灯带，其中两个顶点G，H在抛物线上（可与A，B重合），另外两个顶点K，J在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)1 (3)当时，矩形的周长取最大值 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，然后设C的横坐标为m，E的横坐标为，表示出，，然后解方程即可； （3）设G的横坐标为n，则H的横坐标为；表示矩形的面积，然后利用顶点式求出最值即可． 【详解】（1）解：解法一： 平面直角坐标系如图所示， 设抛物线的解析式为， 由题意知，，，对称轴为直线， 即，， 则，解得， 抛物线的解析式为； 解法二： 平面直角坐标系如图所示， 由题意知，，，对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， 则，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：，之间的距离等于， 设C的横坐标为m，E的横坐标为， ，， 设直线解析式为，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ，， ，， ， ，解得或． 在的左侧， 与之间的距离为1； （3）解：如图，设G的横坐标为n，则H的横坐标为； ， ， 矩形的周长 当时，矩形的周长取最大值． 23．（13分）综合与探究 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的长． 【答案】[操作发现]，；[深入探究] ；；[迁移探究]线段的长． 【分析】[操作发现]由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； [深入探究]由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； [迁移探究]分当在上时和当在上时两种情况分析即可求解． 【详解】解：[操作发现] ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴直线与的夹角度数为， 故答案为：，； [深入探究] ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； [迁移探究] 如图，当在上时，连接，交于点， ∵，，四边形为菱形， ∴，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点三点共线， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当在上时，延长，交延长线于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， 由（）可得三点共线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得：， 综上可知：线段的长． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$