精品解析：江苏省南京市秦淮区2024—2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024－2025学年度第一学期第二阶段学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，两根之和是6的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆弧的半径为12，所对的圆心角为，则该圆弧的长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 气象部门统计了某市2014年到2023年每年12月的最低气温如下（单位：）： 12月的最低气温 次数 1 3 2 1 1 1 1 在这十年中，12月最低气温的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 对一个二次函数有如下描述：①当自变量时，函数有最大值；②函数图象与轴一个交点的横坐标为；③函数图象与轴另一个交点的横坐标为9；④函数图象与轴的交点坐标为．从中选取3个，还无法求出该二次函数表达式的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的解是______． 8. 一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1~6的点数，抛掷这枚骰子向上一面点数是2的倍数的可能性________向上一面点数是3的倍数的可能性（填“＞”、“＜”或“＝”） 9. 若是关于的一元二次方程，则的取值范围是______． 10. 学校开展了纪念“一二•九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容，精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了90分、90分和88分，则该班的综合成绩是____分． 11. 一个圆锥的侧面积是，其侧面展开图的扇形的圆心角是，则这个圆锥底面圆的半径是______． 12. 如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °． 13. 如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点，则关于的不等式的解集是______． 14. 若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 15. 如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是______． 16. 如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 解方程：． 19. 如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 20. 在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？ 21. 周末假期中，圆圆和甜甜分别从玄武湖公园，老门东和明城墙遗址公园3个景点中任意选择1个游玩． （1）圆圆选择明城墙遗址公园的概率是______； （2）求两人选择的游玩地点相同的概率． 22. 周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： （1）这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． （2）哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． （3）你建议周老师应如何选择上班路线？ 23. 已知二次函数． （1）当这个函数的二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该函数图像一定与轴有两个公共点； （2）若这个函数图像与轴有两个公共点，那么该函数二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 24. 如图，是上一点，在直径上取点，使，延长交于点，分别作，垂直于，垂足分别为，．已知的半径是2． （1）求证：是的平分线； （2）若，则的长是______． 25. 已知二次函数． （1）该函数图像的对称轴是______； （2）无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，直接写出这两个定点的坐标； （3）若点，在该函数图像上，比较，的大小并说明理由． 26. 用直尺和圆规完成下列作图（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）如图（），过内一点作直线交于点，，使； （2）如图（），过外一点作直线交于点，，使． 27. 某设备制造厂共有70名工人，生产A，，三种设备．生产部门提供的日生产能力如下： 设备型号 每名工人日生产数量 4台 2台 1台 每名工人每日只能生产A，，三种设备中的一种，并且C设备每日至少生产10台，设备和设备每日生产数量相等． 销售部门提供的预估利润如下： 设备型号 利润 60元/台 96元/台 日生产数量为10台时，每台获利200元；在此基础上，日生产数量每多1台，每台获利减少4元． 设生产A设备的工人有名，该设备制造厂每日的预估总利润为元． （1）生产设备的工人人数是______名；（用含的代数式表示） （2）求销售设备的预估利润（元）与之间的函数表达式； （3）尝试制定使最大的生产方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期第二阶段学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列一元二次方程中，两根之和是6的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．本题考查一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，两根之积等于，解题的关键是理解熟记以上知识点． 【详解】解：由题意可知： A. ，两根之和为；故不符合题意； B. ，两根之和为；故符合题意； C. ，两根之和为；故不符合题意； D. ，两根之和为；故不符合题意． 故选：B 3. 已知圆弧的半径为12，所对的圆心角为，则该圆弧的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长公式是解题的关键． 直接运用弧长公式求解即可． 【详解】解：由弧长公式可知： ． 故选：A． 4. 如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键． 先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可． 【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为， ∴阴影区域的面积为， ∵整个正方形的面积为， ∴飞镖击中阴影区域的概率是． 故选C． 5. 气象部门统计了某市2014年到2023年每年12月的最低气温如下（单位：）： 12月的最低气温 次数 1 3 2 1 1 1 1 在这十年中，12月最低气温的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数的定义等知识点，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数． 根据众数、中位数的定义求解即可． 【详解】解：这十年中，12月最低气温的出现次数最多，故众数为； 将数据从大往小排列，处于第五、六的数据为：、，则中位数为：． 故选C． 6. 对一个二次函数有如下描述：①当自变量时，函数有最大值；②函数图象与轴一个交点的横坐标为；③函数图象与轴另一个交点的横坐标为9；④函数图象与轴的交点坐标为．从中选取3个，还无法求出该二次函数表达式的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式．若选取①②③，设交点式，由于只已知顶点的横坐标，所以无法求出a，从个人可对A选项进行判断；若选取①②④，先由①抛物线的对称轴为直线，则利用对称性得到函数图象与x轴另一个交点的横坐标为，则可设交点式，然后把代入可求出a，从而得到抛物线解析式，于是可对B选项解析判断；若选取①③④，利用对称性得到函数图象与x轴另一个交点的横坐标为，则可设交点式，然后把代入可求出a，从而得到抛物线解析式，于是可对C选项解析判断；若选取②③④，设交点式，把代入求出a，从而得到抛物线解析式，从而可对D选项解析判断． 【详解】解：若选取①②③， 设抛物线解析式为， 只已知顶点的横坐标，无法求出a，就无法确定最值，所以A选项符合题意； 若选取①②④， ∵当自变量时，函数有最大值， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵函数图象与x轴一个交点的坐标为， ∴函数图象与x轴另一个交点的横坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把）代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，所以B选项符合题意； 若选取①③④， ∵当自变量时，函数有最大值， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵函数图象与x轴一个交点的坐标为， ∴函数图象与x轴另一个交点的横坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把）代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，，所以C选项符合题意； 若选取②③④， 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9）， 把）代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，所以D选项符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握常见的解一元二次方程的方法是解题的关键． 直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解∶ ， ， ， 所以该方程组的解为：，． 故答案为：，． 8. 一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1~6的点数，抛掷这枚骰子向上一面点数是2的倍数的可能性________向上一面点数是3的倍数的可能性（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是2的倍数有2、4、6，点数是3的倍数有3、6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是2的倍数和3的倍数的概率．比较即可． 【详解】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是2的倍数的有2、4、6，点数是3的倍数有3、6， 故骰子向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是， 骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是， 所以抛掷这枚骰子向上一面点数是2的倍数的可能性大于向上一面点数是3的倍数的可能性． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=． 9. 若是关于的一元二次方程，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，，求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得， 故答案为：． 10. 学校开展了纪念“一二•九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容，精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了90分、90分和88分，则该班的综合成绩是____分． 【答案】89 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数．根据加权平均数的计算公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：该班的综合成绩是分， 故答案为：． 11. 一个圆锥的侧面积是，其侧面展开图的扇形的圆心角是，则这个圆锥底面圆的半径是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识．设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R． 由题意，， 解得：或（舍弃）， ∵扇形的弧长=圆锥底面圆的周长， ∴， ∴， 故答案为：1． 12. 如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °． 【答案】115 【解析】 【分析】本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形对角互补，圆周角定理等知识点．作出弧所对的圆周角，根据内接四边形对角互补求出即可． 【详解】解：作出弧所对的圆周角， ∵，, ∴， ∵沿着弦折叠， ∴， 故答案为：115． 13. 如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：不等式的解集是：， 故答案为：． 14. 若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 15. 如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，分别连接、，从而若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4，进而可得轴，又上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线，从而，可得四边形为平行四边形，结合平移的性质，从而阴影部分的面积为平行四边形的面积，进而得解． 【详解】解：如图，分别连接、． ∵若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4， ∴轴． 又∵上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又由平移可得， ∴阴影部分的面积为平行四边形的面积． 故答案为：24． 16. 如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键．连接，，过点O作，证明为等边三角形，根据勾股定理得出，根据垂线段最短，正方形的边长不能超过为，从而得出的取值范围是． 【详解】解：连接，，过点O作，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴正方形对角线不能超过， ∴正方形的边长不能超过， ∴的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据配方法求解即可． 【详解】解：， ∴， ， ， ，． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先移项，再由因式分解法求解． 【详解】解：， 或 解得或 ∴原方程的根为，． 19. 如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】 证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 【解析】 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】略 20. 在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？ 【答案】新方阵增加了2列 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设新方阵增加了列．根据新方阵增加的行数和增加的列数相同，再建立方程求解即可． 【详解】解：设新方阵增加了列． 根据题意，得． 整理，得． 解这个方程，得（不合题意，舍去），． 答：新方阵增加了2列． 21. 周末假期中，圆圆和甜甜分别从玄武湖公园，老门东和明城墙遗址公园3个景点中任意选择1个游玩． （1）圆圆选择明城墙遗址公园的概率是______； （2）求两人选择的游玩地点相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中圆圆选择明城墙遗址公园的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人选择的游玩地点相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中圆圆选择明城墙遗址公园的结果有1种， ∴圆圆选择明城墙遗址公园的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：将玄武湖公园、老门东和明城墙遗址公园3个景点分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中两人选择的游玩地点相同的结果有3种， ∴两人选择的游玩地点相同的概率为． 22. 周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： （1）这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． （2）哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． （3）你建议周老师应如何选择上班路线？ 【答案】（1）22 （2） 解：路线所用的时间更稳定，理由如下： 记第一周上班选择路线A用时的平均数，方差分别为，，第二周上班选择路线用时的平均数，方差分别为，． ，． ， ． 因为，即， 所以路线所用的时间更稳定． （3）周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线 【解析】 【分析】本题主要考查了极差、方差的意义、折线统计图等知识点，掌握方差和折线统计图的意义成为解题的关键． （1）先确定这两周用时最多和最少时间，然后作差即可解答； （2）先根据方差公式求出方差，再根据方差的意义分析即可解答； （3）直接分析折线统计图即可解答． 【小问1详解】 解：这十天中周老师上班路上所用时间最多的为40分钟，最少为18分钟，则这十天中周老师上班路上所用时间最多相差分钟． 故答案为：22． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：对比这两周的折线统计图：可建议周老师周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线A． 23. 已知二次函数． （1）当这个函数的二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该函数图像一定与轴有两个公共点； （2）若这个函数图像与轴有两个公共点，那么该函数二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 【答案】（1） 证明：根据题意，得， ， ， 方程始终有两个不相等的实数根. 该函数的图像一定与轴有两个公共点； （2）不是，如 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象与x轴的交点与根的判别式之间的关系是解题的关键． （1）先确定，而，根据不等式的性质即可证明； （2）函数图像与轴有两个公共点，则根的判别式，举出一个反例即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：不是， 反例不唯一，如． 理由如下：若这个函数图像与轴有两个公共点， ，满足即可． 24. 如图，是上一点，在直径上取点，使，延长交于点，分别作，垂直于，垂足分别为，．已知的半径是2． （1）求证：是的平分线； （2）若，则的长是______． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定和性质． （1）连接，推出，由余角的性质推出，由圆周角定理推出，因此，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质推出，得到，即可证明结论； （2）由圆心角、弧、弦的关系定理推出，得到，由圆周角定理推出，判定，推出，得到E与O重合，因此，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵是圆的直径， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E与O重合， ∴， ∴． 故答案为：2． 25. 已知二次函数． （1）该函数图像的对称轴是______； （2）无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，直接写出这两个定点的坐标； （3）若点，在该函数图像上，比较，的大小并说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用二次函数的对称轴直线代入数值化简，即可作答． （2）先把把代入，得，则二次函数经过点，结合对称性得出点关于直线对称的点为，即可作答． （3）先得出，要进行分类讨论，即可作答． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵二次函数， ∴把代入，得， 即二次函数经过点， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为， 则无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，且这两个定点的坐标分别为和； 【小问3详解】 解：当时，；当时，．理由如下： ∵点，在该函数图像上， ∴， 则， 当时，则，即； 当时，则，即． 综上：当时，；当时，． 26. 用直尺和圆规完成下列作图（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）如图（），过内一点作直线交于点，，使； （2）如图（），过外一点作直线交于点，，使． 【答案】（1） 如图所示，直线即为所求； （2） 如图所示，直线即为所求． 【解析】 【分析】（）连接，过点作的垂线，交于点，由垂径定理可得，故直线即为所求； （）以点为圆心，的直径为半径画圆，交于点，连接交于点，连接交于点，连接，由得，由得，即得，即可得，由平行线分线段成比例得，即得，故直线即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的判定，平行线等分线段定理，掌握以上知识点是解题的关键． 27. 某设备制造厂共有70名工人，生产A，，三种设备．生产部门提供的日生产能力如下： 设备型号 每名工人日生产数量 4台 2台 1台 每名工人每日只能生产A，，三种设备中的一种，并且C设备每日至少生产10台，设备和设备每日生产数量相等． 销售部门提供的预估利润如下： 设备型号 利润 60元/台 96元/台 日生产数量为10台时，每台获利200元；在此基础上，日生产数量每多1台，每台获利减少4元． 设生产A设备的工人有名，该设备制造厂每日的预估总利润为元． （1）生产设备的工人人数是______名；（用含的代数式表示） （2）求销售设备的预估利润（元）与之间的函数表达式； （3）尝试制定使最大的生产方案． 【答案】（1） （2） （3）生产方案为：生产A设备的工人20名，生产设备80台；生产设备的工人40名，生产设备80台；生产设备的工人10名，生产设备10台 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式、不等式的应用、二次函数的应用等知识点，掌握二次函数的增减性是解题的关键． （1）根据“A设备和B设备每日生产数量相等”用含x的代数式将生产B设备的工人人数表示出来，再根据工人总人数求出生产C设备的工人人数即可； （2）根据“销售C设备的预估利润=每日生产C设备的数量×[200-4×日生产超过10台的数量]”写出y与x之间的函数表达式即可； （3）根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集；根据“每日的预估总利润=每日生产A设备的利润+每日生产B设备的利润+每日生产C设备的利润”写出w关于x的函数关系式，根据二次函数的增减性和x的取值范围确定x为何值时w最大，从而分别求出此时生产B、C设备的工人人数即可． 【小问1详解】 解：根据题意，生产B设备的工人人数是（名）， ∴生产C设备的工人人数是（名）． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，， ∴y与x之间的函数表达式为． 【小问3详解】 解：，解得：．， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w值最大，（名），（名）． ∴生产方案为：生产A设备的工人20名，生产设备80台；生产设备的工人40名，生产设备80台；生产设备的工人10名，生产设备10台．可使w最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $