第9章中心对称图形——平行四边形（求最值问题） （专项练习） 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 第9章中心对称图形——平行四边形 （求最值问题） （综合练习） 【典型例题】 【例1】如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是的中点，N是的中点，连接，若，，则线段的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 5 D. 4 【例2】在边长为的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（ ） A. B. C. D. 【例3】如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________． 【例4】如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为________ 【例5】如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为________． 【举一反三】 【变式1】如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【变式2】如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD对角线的交点O旋转，正方形OEFG与边AB，BC分别交于点M，N（不与端点重合），设两个正方形重叠部分的面积为m，ΔBMN的周长为n，则下列说法正确的是（ ） A. m发生变化，n存在最大值 B. m发生变化，n存在最小值 C. m不发生变化，n存在最大值 D. m不发生变化，n存在最小值 【变式3】如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______． 【变式4】如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是　　． 【变式5】 如图，已知正方形的边长为4，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论： ①；②四边形的周长为8； ③；④；⑤的最小值为． 其中正确结论的序号为　　． 【巩固练习】 1.如图，在中，，，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 2.如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（　　） A. 3 B. C. D. 4 3. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 4. 如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位．连接，记点的运动时间为秒，的面积为．如图2是关于的函数图像，则下列说法中错误的是（ ） A. 线段的长为3 B. 的周长为16 C. 线段最小值为2.3 D. 的面积为12 5.已知四个点、、、D能组成平行四边形，则的最小值为_____． 6.如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为　　． 7.矩形纸片中，，，P为上一动点，将沿折叠后得到，连接，则的最小值为___________． 8.如图，正方形的边长为5，E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形．连，，当的值最小时，正方形的边长为_____． 9.如图，在中，，，，P是斜边BC上一动点，于E，于F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值是__________． 10.动态几何问题是由点动、线动、形动而构成的，需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形．有时借助特殊的四边形常常能帮助我们化“动”为“静”． （1）如图1，点P为矩形对角线上一动点，过点P作，分别交于点E、F．若的面积为，的面积为，则与的数量关系是______（填“>”、“<”或“=”）； （2）如图2，在正方形中，E为边上一动点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值为______． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是的中点，N是的中点，连接，若，，则线段的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【例2】在边长为的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【例3】如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【例4】如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为________ 【答案】 【例5】如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为________． 【答案】6 【举一反三】 【变式1】如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【变式2】如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD对角线的交点O旋转，正方形OEFG与边AB，BC分别交于点M，N（不与端点重合），设两个正方形重叠部分的面积为m，ΔBMN的周长为n，则下列说法正确的是（ ） A. m发生变化，n存在最大值 B. m发生变化，n存在最小值 C. m不发生变化，n存在最大值 D. m不发生变化，n存在最小值 【答案】D 【变式3】如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______． 【答案】24 【变式4】如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是　　． 【答案】2+2 【变式5】 如图，已知正方形的边长为4，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论： ①；②四边形的周长为8； ③；④；⑤的最小值为． 其中正确结论的序号为　　． 【答案】②③④⑤ 【巩固练习】 1.如图，在中，，，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 2.如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（　　） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 3. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 4. 如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位．连接，记点的运动时间为秒，的面积为．如图2是关于的函数图像，则下列说法中错误的是（ ） A. 线段的长为3 B. 的周长为16 C. 线段最小值为2.3 D. 的面积为12 【答案】C 5.已知四个点、、、D能组成平行四边形，则的最小值为_____． 【答案】3.2 6.如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为　　． 【答案】﹣1 7.矩形纸片中，，，P为上一动点，将沿折叠后得到，连接，则的最小值为___________． 【答案】8 8.如图，正方形的边长为5，E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形．连，，当的值最小时，正方形的边长为_____． 【答案】 9.如图，在中，，，，P是斜边BC上一动点，于E，于F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值是__________． 【答案】 10.动态几何问题是由点动、线动、形动而构成的，需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形．有时借助特殊的四边形常常能帮助我们化“动”为“静”． （1）如图1，点P为矩形对角线上一动点，过点P作，分别交于点E、F．若的面积为，的面积为，则与的数量关系是______（填“>”、“<”或“=”）； （2）如图2，在正方形中，E为边上一动点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值为______． 【答案】（1）＝ （2），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，． 过点B作分别交于点G，F． ∴四边形为平行四边形． ∴．所以，， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）将点B绕点E顺时针旋转得H，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， 随着F在上运动，G的运动路径始终与定直线垂直， ∴当时，取得最小值， 此时，作于I，则四边形是矩形， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$