专题09 特殊平行四边形重难点模型（六大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题09 特殊平行四边形重难点模型（六大题型） 重难点题型归纳 【模型一：三角形中位线模型】 【模型二：梯子模型】 【模型三：对角互补模型】 【模型四：正方形的十字架模型】 【模型五：正方形的半角模型】 【模型六：正方形的外角平分线模型】 【模型一：三角形中位线模型】1. 1.（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得是的中位线，是的中位线，得到，，即得，进而得到，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2.（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点．连接、，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点、分别是边、的中点，可得，再结合，可得，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，三角形内角和定理，熟悉以上性质是解题的关键． 3.（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、中位线的性质及勾股定理，检验学生对矩形性质和中位线性质的理解及对勾股定理的掌握情况．根据矩形的性质，利用勾股定理即可求出得长度，在根据三角形中位线的性质即可求得答案． 【详解】如图，连接， 四边形是矩形，，， ，． R是的中点， ， ， 、分别是、的中点， 为的中位线， ， 故答案为：． 4.（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质．利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴菱形的周长为． 故选：B． 5.（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，在中，根据点为中点可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，在中，点为的中点， ∴， 同理，在中，， 在中，， 在中，， ∵四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：B ． 6.（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E． (1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______． (2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的含义，全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． （1）证明为的中位线，利用三角形的中位线的性质可得答案； （2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于，证明，可得，证明三点共线，再利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵，的中点为D、E． ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴； （2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点H、F分别是和的中点，， ∴，， ∴三点共线， ∵点H、E分别是和的中点，， ∴， ∴． 【模型二：梯子模型】 1.如图，已知，长方形的顶点，在两边上运动，若，，则线段的最大值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】取AB中点E，连接OE，DE，根据直角三角形的性质和勾股定理求出OE和DE，再根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大，据此求解． 【详解】解：如图，取AB中点E，连接OE，DE，OD， ∵∠MON=90°，A、B分别在射线OM和ON上， ∴∠AOB=90°， ∵AB=4，AE=BE， ∴OE=AB=2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∵AE=AB=2，BC=AD=2， ∴DE=， ∴OE+DE≥OD， ∴当且仅当O、E、D三点共线时， OE+DE=OD，此时OD取最大值，最大值为， ∴点D到点O的最大距离为， 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键． 2.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含30°角的放在第一象限，其中30°角的对边长为1，斜边的端点，分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】取AB的中点F，连接CF、OF．首先求出OF=FC=1，根据三角形的三边关系可知：OC≤OF+OC，推出当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2． 【详解】解：取AB的中点F，连接CF、OF． 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1， ∴AB=2BC=2， ∵∠AOB=90°，AF=FB， ∴OF=FC=AB=1， ∵OC≤OF+CF， ∴当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线定理、坐标与图形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题． 【模型三：对角互补模型】 1.问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)3 (3)16 【分析】（1）根据角平分线的性质及垂直的定义可得，，进而得四边形是正方形，再根据角的等量代换得，利用可证得，进而可求解． （2）过点P作于M，于N，根据角平分线的性质可得，利用证得，进而可得，再利用证得，进而可得，设，则，，在中，利用直角三角形的特征即可求解． （3）延长到，使，连接，根据正方形的性质可得，，利用得，进而可得，．设，利用勾股定理求得，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，，且平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点P作于M，于N，如图：    平分， ． ， ． ． 在四边形中，， 且，， ． ， ． 又 ． ． ，，设，则，． ， 解得，． ． 在中，，， ． （3）如图，延长到，使，连接．如图：    在四边形中，，且． 四边形是正方形， ，． ． 又， ． ． ，． ， ． 是等腰直角三角形． 由勾股定理，． 在中，，设，由勾股定理，， ． ． ． ． ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理、直角三角形的特征，熟练掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 2.四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______； (2)如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______； (3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明： ①AC平分∠BCD； ②CA=CB+CD； (4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析；②证明见解析 (4) 【分析】（1）根据对角互补四边形的定义和四边形内角和定理可知对角互补四边形两组对角都互补，再根据比例关系，依次即可求得∠B，∠C的度数，由此可求∠A的度数； （2）先根据对角互补四边形的定义证明，从而利用边角边可证明，可得AC=AM，再根据角的数量关系求得，从而可得△ACM是等腰直角三角形，继而可证得平分，根据等腰直角三角形的性质和线段的数量关系可得CB、CD、CA三者关系； （3）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，求出，即可证明；②由①中全等三角形对应边相等，再根据线段的数量关系直接可证明； （4）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解． 【详解】（1）四边形为对角互补四边形， ， ， ， ∴ ， 故答案为：； （2）∵， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴（SAS） ， ， ∴， ∴△ACM是等腰直角三角形，∠ACM=90°， ∴∠ACB=90°-∠ACM=45°，即平分， ， ， ， 故答案为：； （3）①延长至，使，连接， 四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分； ②，， ， ； （4）延长至，使，连接， 四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作交于点， 为的中点， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，正确构造辅助线作出全等三角形是解题的关键． 3.（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）在正方形中，，与相交于点O．如图，作射线与边相交于点E，将射线绕点O顺时针旋转，得到射线，射线与边相交于点F，连接交于点G． (1)直接写出四边形的面积是 ； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)16 (2)见解析 (3)5 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． （1）由“”可证可得，然后求出正方形面积的四分之一即可； （2）根据旋转的定义可知，再由（1）可得可得即可证明结论； （3）由面积关系可求，然后代入相关数据即可求的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵射线绕点O顺时针旋转，得到射线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为16． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形． （3）解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出 （1）如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边BC，CD交于点E，F（点E与点B，C不重合），则四边形的面积为__________． 问题解决 （2）如图2，有一个菱形菜园，AC，BD为人行步道，且交于点O．现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在BC上，点F在CD上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？ 【答案】（1）；（2）需要篱笆 【分析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． （1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）找的中点，连接，证明，可得储藏间的面积为菱形面积的，即可求得菱形菜园的面积，即可解答． 【详解】解：（1）四边形是正方形，边长为4， ，，，，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：4； （2）解：如图，找的中点，连接， 四边形是菱形，， ，， ， ，， ， ， ， 储藏间的面积等于三角形的面积， 菱形的面积， 设为，则， ， 可得方程， 可得（负值舍去）， 菱形菜园围一圈篱笆需要． 【模型四：正方形的十字架模型】 1.（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【分析】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【模型五：正方形的半角模型】 1.（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系．    【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 【答案】（1）小明：，见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点共线，再根据证明，得，可得结论； （2）如图2，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）如图3，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，从而得结论． 【详解】解：（1）小明：，理由如下：连接，如图（2）      由旋转得：，，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 另一个思路： 小红：，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2），理由如下： 把绕点逆时针旋转至，使与重合，    由旋转得：，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）把绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，， 由旋转得：，，， ，，   ， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 即， ， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， 设， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得：，（舍）， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 2.（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）（1）如图①，在正方形中，是上一点，连接，过点作交的延长线于点．求证：； （2）如图②，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图③，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形的面积为27 【分析】本题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据正方形的性质得出，，证明即可得证； （2）过点作交的延长线于点，由全等三角形的性质可得，，，再证明得出，即可得证； （3）过点作于点，交延长线于，证明四边形是正方形，设正方形的边长为，根据勾股定理计算得出，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：如解图①，过点作交的延长线于点， 由（1）可知： ∴，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如解图②，过点作于点，交延长线于， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 由（2）可得：， 设正方形的边长为， ， ，，， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ， 四边形的面积为． 3.（24-25八年级上·山西大同·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明， ，得；再由条件可得，证明， 进而可得线段，，之间的数量关系是 ．（直接写出结论） （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 学以致用： 如图3，四边形是边长为1的正方形，，直接写出△的周长． 【答案】（1），（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】（1）延长到点，使，连结，可证，可得，，再证，可得，即可解题； （2）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长到，使，连接，由（2）方法可得，可得，即可求解． 【详解】解：（1）延长到点，使，连结， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的线段，，之间的数量关系还成立；理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ，， ， 同（1）理：， ，， ， ， ，又， ， ， ， ； （3）如图3，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， △的周长． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． 【模型六：正方形的外角平分线模型】 1.（23-24八年级下·河南濮阳·期末）王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册． 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） （1）取的中点G，连接，证明如下： 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点 ∴ ∴ ∵是正方形外角的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴（ ）（填写全等的理由） ∴ 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 （2）如图（1），四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 （3）如图（2），四边形是正方形，点E是直线上一点，，EF交正方形外角的平分线于点F．若，，直接写出的长． 【答案】（1）135，；（2），见解析；（3）5或 【分析】（1）取的中点G，连接，求出，根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上取一点，使，连接，同（2）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得． （3）分两种情况：当点在边上时，当点是线段上的一点时，根据（）问的结论，当是边延长线上的任意一点，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，证明，得即可．利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）取的中点G，连接， 证明如下： 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点 ∴ ∴， ∵是正方形外角的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：成立． 证明：如图，在上截取，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴． ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：分两种情况：当点在边上时，如图1，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 由（2）知，； 当点是直线上的一点时，如图4，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，如图，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 综上，的长为5或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 特殊平行四边形重难点模型（六大题型） 重难点题型归纳 【模型一：三角形中位线模型】 【模型二：梯子模型】 【模型三：对角互补模型】 【模型四：正方形的十字架模型】 【模型五：正方形的半角模型】 【模型六：正方形的外角平分线模型】 【模型一：三角形中位线模型】1. 1.（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点．连接、，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3.（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是 ． 4.（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 5.（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 6.（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E． (1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______． (2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长 【模型二：梯子模型】 1.如图，已知，长方形的顶点，在两边上运动，若，，则线段的最大值为（ ） A． B． C．4 D． 2.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含30°角的放在第一象限，其中30°角的对边长为1，斜边的端点，分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【模型三：对角互补模型】 1.问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 2.四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______； (2)如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______； (3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明： ①AC平分∠BCD； ②CA=CB+CD； (4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______． 3.（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）在正方形中，，与相交于点O．如图，作射线与边相交于点E，将射线绕点O顺时针旋转，得到射线，射线与边相交于点F，连接交于点G． (1)直接写出四边形的面积是 ； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)若，求的长． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出 （1）如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边BC，CD交于点E，F（点E与点B，C不重合），则四边形的面积为__________． 问题解决 （2）如图2，有一个菱形菜园，AC，BD为人行步道，且交于点O．现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在BC上，点F在CD上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？ 【模型四：正方形的十字架模型】 1.（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【模型五：正方形的半角模型】 1.（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系．    【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 2.（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）（1）如图①，在正方形中，是上一点，连接，过点作交的延长线于点．求证：； （2）如图②，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图③，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 3.（24-25八年级上·山西大同·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明， ，得；再由条件可得，证明， 进而可得线段，，之间的数量关系是 ．（直接写出结论） （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 学以致用： 如图3，四边形是边长为1的正方形，，直接写出△的周长． 【模型六：正方形的外角平分线模型】 1.（23-24八年级下·河南濮阳·期末）王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册． 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） （1）取的中点G，连接，证明如下： 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点 ∴ ∴ ∵是正方形外角的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴（ ）（填写全等的理由） ∴ 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 （2）如图（1），四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 （3）如图（2），四边形是正方形，点E是直线上一点，，EF交正方形外角的平分线于点F．若，，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$