精品解析：河南省驻马店市部分学校2025届高三下学期2月质量检测数学试题

绝密★启用前 2025届高三第二学期2月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数为纯虚数，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数，再根据纯虚数概念求解. 【详解】由， 又由z为纯虚数，有，可得． 故选：C． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】运用不等式性质，结合举反例，根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当时，，则，则成立，可知充分性成立； 当时，成立，但不成立，可知必要性不成立． 可得“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 已知数列中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的概念判断数列为等差数列，求通项公式，再求. 【详解】由，得，又. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 所以. 故选：D 4. 根据某小区居民的月均用电量数据（单位：度），得到如图所示的频率分布直方图，则月均用电量数据的75%分位数为（ ） A. 53度 B. 54度 C. 55度 D. 56度 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求百分位数的方法计算可得结果. 【详解】易知， 而，可得75%分位数位于区间内； 因此月均用电量数据的75%分位数为． 故选：C． 5. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解. 【详解】实数x，y满足即， 表示圆心为半径为1的圆，设，整理为， 由直线与圆有公共点，得，即，解得， 可得的最小值为． 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用辅助角公式，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由， 故选：B． 7. 已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，侧面积为，体积为，则圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台侧面积、体积公式列式求出圆台的底面圆半径及高，再结合球的截面圆性质列式求出球半径即可. 【详解】设圆台的上底面的半径为r，母线长为l，则圆台的高为， 由圆台的侧面积为，体积为，得， 解得，圆台的高，设圆台的外接球的半径为R， 球心到圆台两底面圆的距离分别为，因此，解得， 或，无解，所以圆台的外接球的表面积为． 故选：D 8. 已知是定义在上的函数，对任意的两个不相等的正数都有，记，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由其单调性结合对数的运算即可判断； 【详解】由，有， 可得函数单调递增． 又由， 有， 又由， 而， 有，可得． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，D是边上的一点，（其中），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量共线定理可得，再由基本不等式对选项ABC逐一判断可得结果，再由基本不等式中“1”的应用计算可得D错误. 【详解】设，有，即， 又由，可得． 对于A选项，，可得， 当且仅当时取等号，故A选项错误； 对于B选项，由，当且仅当时取等号，故B选项正确； 对于C选项，由，当且仅当时取等号，故C选项正确； 对于D选项，由， 当且仅当时取等号，故D选项错误． 故选：BC． 10. 已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为两点，直线与椭圆相交于两点，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 为定值 C. 当以四个点为顶点的四边形为平行四边形时，四边形的面积为 D. 直线和的斜率的乘积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定的椭圆基本量求出短轴长度判断A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断B，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断C，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解D即可. 【详解】对于A，由，得到， 可得椭圆C的短轴长为，故A正确； 对于B，如图，设椭圆C的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于C，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故C错误； 对于D，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导根据可判断A正确，由中心对称图形定义可判断B正确，利用极值点定义与导函数零点之间的关系即可判断C错误，将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数可判断D错误. 【详解】由， 对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 又由， 可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确； 对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点； 当时，令，可得或， 若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误； 对于D选项，设切点为（其中）， 由切线过原点，有，整理为， 令，有， 可得函数减区间为，增区间为， 又由时，；时，；及， 可知当时，关于m的方程有且仅有3个根， 可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误， 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：在求解D选项切线条数时，关键是将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数即可得出结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 则，可得． 故答案为：1. 13. 如图是函数（其中）的部分图象，点为函数图象与x轴的一个交点，点C为函数图象与y轴的交点，点B为函数图象的一个最低点，且，则函数在区间上的值域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据函数的性质，以及五点法求函数的解析式，再利用代入法求函数的值域. 【详解】由图可知，，有，有，可得， 又由五点作图法可知，可得，可得， 又由，有，可得，有． 当时，有，有，可得函数在上的值域为． 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与双曲线C的左支相交于P，Q两点，，且，则双曲线C的离心率为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由双曲线定义依次求出、和，接着中，由余弦定理求得，再在中由余弦定理即可求解. 【详解】 设，则有， 又由，有， 在中，由余弦定理有，可得， 在中，由余弦定理有，可得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足． （1）求； （2）若，，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理求出的值，求出的面积，即可求出边上的高． 【小问1详解】 由正弦定理，有，有， 通分后，有，有， 因为，则， 又由，有，可得， 又由，可得. 【小问2详解】 设边上的高为， 由及余弦定理，有， 的面积为， 则. 16. 据不完全统计，我国小学生的近视率已经达到惊人的45.7%，也就是说有将近一半的小学生已经早早的开始与眼镜为伴了．给孩子选一台合格的护眼仪是很有必要的．护眼仪的功能就是对眼部周围的穴位进行按摩以达到刺激穴位的目的，缓解学生们眼睛的疲劳，减轻用眼时间过长造成的眼睛干涩、充血等症状，可以用来预防近视，而绝对不可能治疗近视．某医学机构为了研究某护眼仪预防近视的效果，随机调查了200名小学生，数据如下： 眼睛没有近视 眼睛近视 合计 配有某护眼仪 60 40 100 没配有某护眼仪 50 50 100 合计 110 90 200 （1）依据小概率值的独立性，分析预防眼睛近视是否与配有某护眼仪有关？ （2）在样本中，按分层抽样（按是否配有某护眼仪分层）的方法从眼睛近视的小学生中抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中没配有某护眼仪的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）提出零假设并计算，查表比较即可得出结论； （2）求出X的所有取值并求得对应概率，即可得出分布列，继而求出期望值. 【小问1详解】 零假设为：分类变量X与Y相互独立，即认为预防眼睛近视与是否配有某护眼仪无关， 由列联表中数据得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 即认为预防眼睛近视与是否配有某护眼仪无关； 【小问2详解】 由数据表中可得，这9人中，配有某护眼仪的有4人，没配有某护眼仪的有5人， X的取值分别为0，1，2，3， 可得，， ，， X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的数学期望为． 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）证明：； （2）已知点P为空间内一点，且满足，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证平面，进而可得，，结合线面垂直分析证明； （2）建系标点，利用垂直关系可得，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 连接， 因，则， 又因为平面平面，平面平面，平面 所以平面， 且平面，可得， 由题意可知：， 则，可得， 且平面，，可得平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 因为，平面， 以D为坐标原点，向量分别为x，y轴，过点D且与向量同向的向量为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又因为， 则， 可得， 则，，， 又因为，可设， 则， 且，有， 解得，即，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面一个法向量为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）若函数单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数有两个零点． ①求实数a的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后分析导函数恒成立，构造函数，借助导数研究单调性，求最值即可. （2）（i）由，研究单调性，得到，根据函数有两个零点，可得,利用不等式放缩，得到实数a的取值范围； （ii）设换元，转化，要证，只需证，只需证，构造函数，研究单调性最值即可. 【小问1详解】 由，有， 若函数单调递增，必有恒成立，不等式可化为, 令，有，可得函数的减区间为，增区间为， 可得，有，可得， 故实数a的取值范围为； 【小问2详解】 （i）由令，可得，可得函数的减区间为， 增区间为，可得， 若函数有两个零点，必有，可得， 又由， （利用不等式（当且仅当时取等号））， 又由，故若函数有两个零点，则实数a的取值范围为； （ii）设，由函数有两个零点，有， 有，两式相除，有，有， 有，有，有，可得， 又由，可得,有， 又由，要证，只需证， 只需证， 令（其中），有， 可得函数单调递增，可得， 故有成立． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题常用两种方法，一是构造对称函数，运用函数单调性证明，二是利用“对数平均不等式”证明. 19. 已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求在点的坐标，得到数列的递推关系式，即可证明等比数列； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用错位相减法求和； （3）根据（2）的结果求点，的坐标，再求直线的直线方程，即可判断定点. 【小问1详解】 抛物线C方程可化为，求导可得， 将点的坐标代入抛物线C的方程，有， 过点的切线的方程为，代入，有， 整理为，令，可得，有， 故数列是公比为的等比数列， 同理，数列也是公比为的等比数列； 【小问2详解】 由焦点，设直线的方程为， 联立方程消去y后整理为，有， 由数列是公比为的等比数列，有， 有， 有， 两边乘以，有， 两式作差，有， 有，可得； 【小问3详解】 由（2）知，点的坐标为，点的坐标为， 直线的斜率为， 直线的方程为， 令，有， 故当时，直线过定点． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据导数的几何意义判断数列的递推关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025届高三第二学期2月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数为纯虚数，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知数列中，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 根据某小区居民的月均用电量数据（单位：度），得到如图所示的频率分布直方图，则月均用电量数据的75%分位数为（ ） A. 53度 B. 54度 C. 55度 D. 56度 5. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，侧面积为，体积为，则圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数，对任意的两个不相等的正数都有，记，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，D是边上的一点，（其中），则（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为两点，直线与椭圆相交于两点，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 为定值 C. 当以四个点为顶点四边形为平行四边形时，四边形的面积为 D. 直线和的斜率的乘积为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的减区间为 B. 当时，函数图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则____________． 13. 如图是函数（其中）的部分图象，点为函数图象与x轴的一个交点，点C为函数图象与y轴的交点，点B为函数图象的一个最低点，且，则函数在区间上的值域为____________． 14. 已知双曲线左、右焦点分别为，过左焦点的直线与双曲线C的左支相交于P，Q两点，，且，则双曲线C的离心率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足． （1）求； （2）若，，求边上的高． 16. 据不完全统计，我国小学生的近视率已经达到惊人的45.7%，也就是说有将近一半的小学生已经早早的开始与眼镜为伴了．给孩子选一台合格的护眼仪是很有必要的．护眼仪的功能就是对眼部周围的穴位进行按摩以达到刺激穴位的目的，缓解学生们眼睛的疲劳，减轻用眼时间过长造成的眼睛干涩、充血等症状，可以用来预防近视，而绝对不可能治疗近视．某医学机构为了研究某护眼仪预防近视的效果，随机调查了200名小学生，数据如下： 眼睛没有近视 眼睛近视 合计 配有某护眼仪 60 40 100 没配有某护眼仪 50 50 100 合计 110 90 200 （1）依据小概率值独立性，分析预防眼睛近视是否与配有某护眼仪有关？ （2）在样本中，按分层抽样（按是否配有某护眼仪分层）的方法从眼睛近视的小学生中抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中没配有某护眼仪的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）证明：； （2）已知点P为空间内一点，且满足，求直线与平面所成的角的正弦值． 18. 已知函数． （1）若函数单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数有两个零点． ①求实数a的取值范围； ②证明：． 19. 已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $