精品解析：四川省内江市第六中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试题

内江六中2024—2025学年（下）高27届入学考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷选择题（满分58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】由可得或， 所以， 故选：B 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论. 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 3. 命题“对任意一个幂函数，它的图象经过点”的否定是（ ） A. 对任意一个幂函数，它的图象不经过点 B. 存在很多个幂函数，它们的图象都经过点 C. 存在一个幂函数，它的图象经过点 D. 存在一个幂函数，它的图象不经过点 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结果. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以题目对任意一个幂函数，它的图象经过点的否定应该是：存在一个幂函数，它的图象不经过.D选项正确 故选：D 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. （1，2） C. （0，1） D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，则，求出函数定义域，分别求出两个函数的单调区间，根据复合函数的单调性符合“同增异减”的原则，即可得出答案. 【详解】解：令，则， ，则，所以函数定义域为， 而，以为对称轴， 所以函数在单调递增，在单调递减， 而函数为增函数， 根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是， 故选：C. 5. 已知点在角终边上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再由定义计算可得. 【详解】因为点在角终边上，且， 即，解得， 所以. 故选：A 6. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论． 【详解】由已知，，所以，即，∴， 故选：D． 7. 已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图象与性质结合整体代换思想计算即可. 【详解】由题意可知时，， 根据正弦函数的图象与性质知. 故选：D 【点睛】难点点睛：注意整体的思想得出，利用三角函数的图象与性质计算即可. 8. 已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故选：D． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分. 9. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数式和对数式的运算规则，化简各算式验证选项. 【详解】，A选项正确； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项正确. 故选：ABD 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦函数周期公式直接计算可得A正确，利用整体代换可求出单调区间为，可得B错误，根据零点定义计算可得C正确，结合余弦函数图象性质计算出对应值域可得D正确. 【详解】对于A，由周期公式可得，可得A正确； 对于B，令，解得， 即函数的单调递增区间为，可知B错误； 对于C，当时，可得； 只有当时，即为函数在区间上的唯一一个零点，即C正确； 对于D，由可得， 易知函数在上先减后增，其最小值为，最大值为； 因此函数在区间的值域为，可得D正确. 故选：ACD 11. 已知函数和（且为常数），以下结论正确的是（ ） A. 当时，存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根 B. 存在，使得关于的方程有三个不同的实数根 C. 当时，若函数恰有3个不同的零点，则 D. 当时，关于的方程有四个不同的实数根，且，若在上的最大值为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件举例画出函数图象，数形结合判断A；作出函数的图象，利用数形结合判断B；，根据有三个不同的零点，判断的取值，然后根据对数性质进行求解判断C；当时，作出函数的图象，确定，，，，根据二次函数对称性及对数运算性质得，再根据诱导公式求值判断D. 【详解】对A，当的对称轴小于0即，且最大值大于4时，如图①： 可知与函数有四个不同的交点，正确； 对B，若，则函数的对称轴，此时当时，函数为增函数，且，如图② 由图可知，不可能有三个实数根，错误； 对C，当时，令，如图③ 已知函数恰有3个不同的零点，，， 则有两个不等的实数根，其中， 当时对应的根，当时，对应的根为，， 当时，有，即满足，则，故正确； 对D，当时函数图像如图， 由C选项对数函数性质可知，则， 即在上的最大值为，则，， 由对称性可知， 则，故错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数与方程的应用，二次函数的对称性及对数函数运算性质，结合不同条件先作出函数的图象，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点问题是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大. 第II卷非选择题（满分92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由扇形的面积公式求解即可. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， ，. 所以扇形的面积为. 故答案为：. 13. 当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】先将乘以（因为）进行构造，然后展开式子，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】已知，因为，所以.展开可得： .  因为，所以，，则，. 根据基本不等式，. 当且仅当时等号成立 由，可得. 则实数的最小值为16.  故答案为：16. 14. 已知函数，则的大小关系是______.（注意：请用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】先根据偶函数定义得是偶函数，再根据余弦函数和指数函数的单调性得：函数在上单调递减，然后利用对数函数的单调性及中间值法求得，最后利用的单调性即可求解. 【详解】显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 且，所以是偶函数， 所以， 因为函数在上单调递减（根据余弦函数和指数函数的单调性）， 所以函数在上单调递减， 又，（） 所以，即. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知f(α)＝ (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角,且cos(α－)＝，求f(α)； (3)若α＝－1860°，求f(α)． 【答案】（1）－cosα（2）（3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果；（2）由α是第二象限角及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，所求式子利用诱导公式化简后，代入计算即可；（3）将α的度数代入f（α）中利用诱导公式计算即可． 【详解】解：(1)f(α)＝＝－cosα （2）由cos(α－)＝得cos(α＋)＝，∴sinα＝－. 又∵α是第三象限角，∴cosα＝－.∴f(α)＝－cosα＝ (3)当α＝－1860°时，f(α)＝－cosα＝－cos(－1860°)＝－cos1860°＝－cos(5×360°＋60°)＝－cos60°＝－. 【点睛】此题考查了诱导公式的应用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题. 16. 已知函数（其中常数） （1）求的单调递减区间； （2）若时，的最大值为4，求的值； （3）在（2）的条件下方程在上有两个不相等的实数解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的单调性计算求解； （2）根据正弦函数值域计算求参； （3）根据正弦函数值域及2个交点计算求参. 【小问1详解】 由， 解得. 函数的单调减区间为. 【小问2详解】 . 的最大值为 【小问3详解】 由（2）得： . 又 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1； （2）在R上单调递减，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由求解的值，再检验即可； （2）根据单调性的定义判断和证明即可； （3）将问题转化为，利用换元法及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由函数为奇函数，其定义域为， 所以， 即，解得，此时， 满足， 即为奇函数， 故的值为. 【小问2详解】 解：在R上单调递减，证明如下： 由（1）知， ，且， 则， 因为，所以，，， 所以，， 即函数在上单调递减； 【小问3详解】 由题知：当恒成立； 则； 令， 所以； 又，当且仅当时等号成立， 而，所以，则. 所以实数的取值范围为 18. 某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． （1）求θ关于x的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 【答案】（1） （2），当时，y取得最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）通过表示出扇环形花坛的周长即可得出θ关于x的函数关系式； （2）列出y关于x的函数关系式，利用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 由题意得，故． 【小问2详解】 花坛的面积为． 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用的比为． 令，则，则， 当且仅当，即时， y取得最大值，最大值为，此时，． 故当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 19. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若函数最小值为，求实数的值； （3）若关于的方程有两根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，从而求得的值. （2）利用换元法化简的解析式，根据最小值列不等式来求得的值. （3）先判断的单调性，结合奇偶性、换元法以及判别式进行分类讨论，由此求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意知的定义域为R， ， 整理得， 而 ， ∴； 【小问2详解】 ， ∴， 依题意，函数的最小值为， 令，，当且仅当时等号成立.， 故的最小值为﹣3， 则，或，解得； 【小问3详解】 由， 函数在区间上单调递增， 当时，，所以在上单调递增， 故当时，函数单调递增， 由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为， 令，有， 方程①， 可化为， 整理为②， ， （ⅰ）当时，或， 时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为； 时，方程②的解为，可得方程①有两个解； （ⅱ）当时，可得或， 令， 则有一正一负两根，, 或. 综上所述或或. 【点睛】易错点睛：奇偶性判断的准确性：在判断函数的奇偶性时，需要明确函数形式在和的相等关系. 若判断不准确，后续的推导过程会出现偏差. 最小值条件的应用：在应用最小值条件求解参数时，需要注意不等式的建立和换元过程，容易因为漏掉某些条件而导致错误. 分类讨论的完整性：对于方程根的讨论，确保分类情况的完整性是关键，否则会遗漏部分解，导致最终结果不正确. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2024—2025学年（下）高27届入学考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷选择题（满分58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 3. 命题“对任意一个幂函数，它的图象经过点”的否定是（ ） A. 对任意一个幂函数，它的图象不经过点 B. 存在很多个幂函数，它们的图象都经过点 C. 存在一个幂函数，它的图象经过点 D. 存在一个幂函数，它的图象不经过点 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. （1，2） C. （0，1） D. 5. 已知点在角终边上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分. 9. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间的值域为 11. 已知函数和（且为常数），以下结论正确的是（ ） A. 当时，存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根 B. 存在，使得关于的方程有三个不同的实数根 C. 当时，若函数恰有3个不同的零点，则 D. 当时，关于的方程有四个不同的实数根，且，若在上的最大值为，则 第II卷非选择题（满分92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知扇形半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为__________． 13. 当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为__________. 14. 已知函数，则的大小关系是______.（注意：请用“”符号连接） 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知f(α)＝ (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角,且cos(α－)＝，求f(α)； (3)若α＝－1860°，求f(α)． 16. 已知函数（其中为常数） （1）求的单调递减区间； （2）若时，的最大值为4，求的值； （3）在（2）条件下方程在上有两个不相等的实数解，求的取值范围. 17. 已知函数为奇函数. （1）求值； （2）判断并证明的单调性； （3）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 18. 某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． （1）求θ关于x的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 19. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若函数最小值为，求实数的值； （3）若关于的方程有两根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $