第04讲 相交线（4大知识点+6大题型+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第04讲 相交线 目录 题型归纳 题型01 对顶角与邻补角的定义 2 题型02 垂线的定义的理解、对顶角相等 3 题型03 角平分线的有关计算 6 题型04画垂线 8 题型05 垂线段最短 9 题型06 点到直线的距离 10 分层练习 夯实基础 13 能力提升 18 知识点1.邻补角及其性质（重点） 1.定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。 2.邻补角的性质:邻补角互补,即互为邻补角的两个角之和为180° 知识点2.对顶角及其性质（重点） 1.定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。 2.对顶角性质:对顶角相等。 知识点3.垂线（重点） 1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线， 2.垂线的性质： 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)。 知识点4.垂线段及点到直线的距离（重点） 1.垂线段定义：以已知直线的垂线上的一点（不是垂足，点在直线外）与垂足为端点的线段，叫点到直线的垂线段； 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 3.点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度 4.垂线的画法：借助三角尺或量角器来画垂线。 题型01 对顶角与邻补角的定义 1．（21-22七年级下·上海·期末）下列所示的四个图形中，和是对顶角的图形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.下列图形中，与是邻补角的是（    ） A．    B．   C．   D．   3．（2024七年级下·上海·专题练习）下面四个图形中，与是对顶角的图形的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.如图，点O在直线上，．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 5.如图，两直线相交于一点，若，则∠3的度数为 . 题型02 垂线的定义的理解、对顶角相等 1．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，于点，，则与的关系是 ．    2．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，直线与直线相交于点，，，那么的度数是 度． 3．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，直线、相交于点，于，，＝ °．    4．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，若，，垂足为，则 度． 5．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线，相交于点，，垂足为，与的关系是 ；图中互余的角共有 对，互补的角共有 对．    6．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么 ． 7．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时， ． 8．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知直线、交于点，，，则 ． 9．（23-24七年级下·上海闵行·期中）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中和的两个角的顶点重合在一起，若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时， 度． 题型03 角平分线的有关计算 1．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，直线相交于点，如果平分，那么度度数为 ．    3．（22-23七年级下·上海闵行·期中）如图，，直线平分，则 ． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线与交于点平分，那么 °    5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，直线相交于点，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 6．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 7．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） 　平角的定义　 （已知） 　          　 　          　 是的角平分线（已知） 　          　 　　                  题型04画垂线 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图． ①过点画的垂线． ②过点分别画、的垂线． ③过点画的垂线． 2．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）作图：（使用铅笔作图，保留作图痕迹） 如图，外有一点，画出点到三角形三边的垂线分别交于点、、．    题型05 垂线段最短 1．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连接，使，在线段上连接．若，则线段的长不可能是（    ） A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5 2．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理． 题型06 点到直线的距离 1．（21-22七年级下·上海松江·期中）如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 2．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 3．（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 4．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，已知于，于，，，，，．则： （1）点A到直线的距离为 ； （2）点A到直线的距离为 ； （3）点到直线的距离为 ； （4）点到直线的距离为 ； （5）点到直线的距离为 ． 5．（23-24七年级下·上海·期中）如图，，，点B到边的距离是线段 的长． 6．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，垂足为点E，D为的中点，则点A到直线的距离是线段 的长度．    7．（22-23七年级下·上海静安·期中）如图，点A到直线的距离是线段 的长度，直线到直线的距离是线段 的长度．    8．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如下图，直角三角形中，，于点D，图中线段 的长度表示点A到直线的距离． 9．（23-24七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 【夯实基础】 一、单选题 1．（2023七年级下·上海·专题练习）下列图形中，线段的长表示点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（  ） A．过线段外一点不一定能作出它的垂线 B．过直线外一点和直线上一点可画一条直线与垂直 C．只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直 D．过任意一点均可作一条直线的垂线 3．（20-21七年级下·上海静安·期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是（　　） A．线段CB的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AB的长度 二、填空题 4．（2024七年级下·上海·专题练习）在同一平面内，两条直线有 种位置关系，它们是 ． 5．（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图：直线相交于点O，且，直线与直线夹角的大小为 ． 6．（21-22七年级下·上海闵行·期中）若与是对顶角，与互余，且，那么 ． 7．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，点B到直线AC的距离是线段 的长度． 8．（21-22七年级下·上海·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝150°，则∠BOC＝ 度． 9．（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC，AD⊥BC，垂足为点D，那么点B到直线AD的距离是线段 的长度． 10．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）如果直线与直线交于点，且，，这两条直线的夹角是 度． 11．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，AB、CD交于点O，若，射线OE平分∠AOC，那么∠EOD= 度． 12．（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，直线于点O，为过点O的直线，，则的度数为 ．    三、解答题 13．（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，∠EOF=90°，∠AOC=36°，求∠BOF的度数 14．（21-22七年级下·上海·阶段练习）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O，若∠AOC＝60°，求∠BOF的度数． 解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（　　） ∴∠　　＝　　° ∵OE平分∠BOD（  已知  ） ∴∠BOE＝∠　　＝　　°（　 　） ∵OF⊥OE（ 已知 ） ∴∠EOF＝　　°（　 　 ） ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF ∴∠BOF＝　 　°． 15．（21-22七年级下·上海宝山·阶段练习）按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点． (1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E； (2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F； (3)点O到直线PE的距离是线段　　的长； (4)点P到直线CD的距离为　　． 16．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，已知于，于． (1)点到直线的距离是线段_______的长； (2)点到直线的距离是线段_______的长； (3)线段的长表示点到直线_______距离； (4)线段的长表示点到直线_______距离； (5)线段的长表示点_______到直线______距离； (6)线段的长表示点_______到直线______距离； 17．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．    【能力提升】 一、填空题 1．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线交于O，且，，则 ．    2．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝ °． 3．（2022七年级下·上海·专题练习）如图直线AB，CD相交于O，直线FE⊥AB于O，∠BOD＝75°，则∠COF的度数为 度． 4．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，过点O作EO⊥AB，则∠DOE的度数为 ． 5．（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图，直线、相交于点O．已知，把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，当时，则α的度数是 °． 二、解答题 6．（24-25七年级上·上海·假期作业）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 7．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，EH⊥HG，FD过点H，∠EHD＝5∠FHG，求∠EHF． 解：因为EH⊥HG（已知）， 所以∠EHG＝90°（垂直的意义）， 设∠FHG＝x，则． （请完成后面求解过程） 8．（21-22七年级下·上海·期末）已知：如图，直线AB与直线DE相交于点C，CF⊥DE，∠ACD＝25°，求∠BCE和∠BCF的度数． 9．（21-22七年级下·上海闵行·期中）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整： 题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解： ∵，（已知） ∴________（等式性质） ∵（                 ） ∴__________________（等量代换） ∵平分（已知） ∴____________（角平分线的意义） ∴（                  ） 10．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） （______） （已知） （______） （______） 是的角平分线（已知） （______） （______） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 相交线 目录 题型归纳 题型01 对顶角与邻补角的定义 2 题型02 垂线的定义的理解、对顶角相等 5 题型03 角平分线的有关计算 13 题型04画垂线 21 题型05 垂线段最短 22 题型06 点到直线的距离 23 分层练习 夯实基础 32 能力提升 45 知识点1.邻补角及其性质（重点） 1.定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。 2.邻补角的性质:邻补角互补,即互为邻补角的两个角之和为180° 知识点2.对顶角及其性质（重点） 1.定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。 2.对顶角性质:对顶角相等。 知识点3.垂线（重点） 1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线， 2.垂线的性质： 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)。 知识点4.垂线段及点到直线的距离（重点） 1.垂线段定义：以已知直线的垂线上的一点（不是垂足，点在直线外）与垂足为端点的线段，叫点到直线的垂线段； 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 3.点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度 4.垂线的画法：借助三角尺或量角器来画垂线。 题型01 对顶角与邻补角的定义 1．（21-22七年级下·上海·期末）下列所示的四个图形中，和是对顶角的图形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】根据对顶角的定义，即可判断出结果． 【详解】解：对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角．满足条件的只有第三个图形． 故选：B 【点睛】本题考查了对顶角的定义，解本题的关键在是否能熟练识别对顶角．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角． 2.下列图形中，与是邻补角的是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】C 【分析】邻补角是指两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，且两个角的和为，由此即可求解． 【详解】解：、不是邻补角，原选项不符合题意； 、是对顶角，原选项不符合题意； 、是邻补角，原选项符合题意； 、不是邻补角，原选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查邻补角的概念及识别，理解并掌握其概念，图形结合分析是解题的关键． 3．（2024七年级下·上海·专题练习）下面四个图形中，与是对顶角的图形的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 根据对顶角的定义判定即可． 【详解】解：甲图中与的两边不是互为反向延长线，与不是对顶角； 乙图中与不共顶点，与不是对顶角； 丙图中与满足对顶角的条件，与是对顶角； 丁图中与的两边不是互为反向延长线，与不是对顶角； 故选：B． 4.如图，点O在直线上，．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了几何图形中角度的计算，首先根据邻补角的性质求出，然后利用角的和差求解即可．正确掌握图形找中各角度的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5.如图，两直线相交于一点，若，则∠3的度数为 . 【答案】/40度 【分析】本题考查了对顶角的知识，根据，互为对顶角，且，可求得，的度数． 【详解】解：，互为对顶角，， ． 故答案为：． 题型02 垂线的定义的理解、对顶角相等 1．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，于点，，则与的关系是 ．    【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂线的定义及余角．根据，可得，即可得出，由，等量代换即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ，     ． 故答案为：． 2．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，直线与直线相交于点，，，那么的度数是 度． 【答案】65 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】根据对顶角相等可得，然后根据，可得，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：65． 【点睛】本题主要考查了对顶角相等，垂线的定义，熟练掌握对顶角相等，垂线的定义，是解题的关键． 3．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，直线、相交于点，于，，＝ °．    【答案】60 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，数形结合是解答本题的关键．由垂直的定义得，再根据求出，然后由对顶角相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：60． 4．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，若，，垂足为，则 度． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，由垂直可得，进而得到，再根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线，相交于点，，垂足为，与的关系是 ；图中互余的角共有 对，互补的角共有 对．    【答案】 互余 2 5 【知识点】对顶角相等、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了对顶角，余角和补角，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据互余的角和互补的角的定义，对顶角的性质即可判断． 【详解】解：， ， ， ， ， 与互余， 图中互余的角有和，和，共2对， 图中互补的角有和，和，和，和，和，共5对， 故答案为：互余，2，5． 6．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么 ． 【答案】 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂直的定义和对顶角的性质，解题的关键是由，得，因为，所以，根据对顶角相等得． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时， ． 【答案】/57度 【知识点】求一个角的余角、对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】根据垂直的定义求出，可得的度数，再根据对顶角相等即可得出答案． 本题考查了垂线，对顶角，熟练掌握垂直的定义，对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知直线、交于点，，，则 ． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】根据对顶角相等求出，根据垂直定义求出，代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直定义、对顶角相等、角的有关计算等知识点，能求出和的度数是解此题的关键． 9．（23-24七年级下·上海闵行·期中）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中和的两个角的顶点重合在一起，若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时， 度． 【答案】75或105/105或75 【知识点】三角板中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平面内角的运算等知识，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．根据题意作出图形，分两种情况讨论并求解即可． 【详解】解：根据题意，可知，，， 分两种情况讨论： ①如下图，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∴； ②如下图，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：75或105． 题型03 角平分线的有关计算 1．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】此题考查了角的和差，对顶角相等，首先设，，然后表示出和，再根据平角定义列出方程，解方程求出，进而可求出，解题的关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，直线相交于点，如果平分，那么度度数为 ．    【答案】/60度 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等． 先根据角平分线的定义，得出，再根据对顶角相等，即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·上海闵行·期中）如图，，直线平分，则 ． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】根据垂直，角的平分线的定义，对顶角即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵直线平分， ∴，且， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角的和、差、倍、分，理解直线之间的关系，垂直的性质，角平分线的定义，对顶角是解题的关键． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线与交于点平分，那么 °    【答案】/108度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了几何图形中的角的运算，先由对顶角相等得出，因为平分 ，得出，结合，即可列式计算作答． 【详解】解：依题意，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，直线相交于点，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，对顶角相等，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等和垂线定义得出，，然后求出结果； （2）设，则，得出，根据角平分线的定义得出，，列出方程，求出x的值，然后再求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴ ． 6．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，对顶角相等，角平分线的定义，采用数形结合的思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，，即可得到答案； （2）由平角定义得到，由对顶角的性质得到，由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ， ． 7．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） 　平角的定义　 （已知） 　          　 　          　 是的角平分线（已知） 　          　 　　                  【答案】见解析 【知识点】垂线的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂线，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键．根据垂线，角平分线的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：直线、相交于点，（已知） ，（平角的定义） ，（已知） ，（垂线的性质） ，（等量代换） 是的角平分线，（已知） ，（角平分线的定义） ． （等量代换） 故答案为：平角的定义，垂线的性质，等量代换，角平分线的定义，等量代换． 题型04画垂线 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图． ①过点画的垂线． ②过点分别画、的垂线． ③过点画的垂线． 【答案】见解析 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了画垂线，根据垂线的定义，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 2．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）作图：（使用铅笔作图，保留作图痕迹） 如图，外有一点，画出点到三角形三边的垂线分别交于点、、．    【答案】见解析 【知识点】画垂线 【分析】根据题意，过点分别作的垂线，垂足分别为， 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则即为所求        【点睛】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 题型05 垂线段最短 1．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连接，使，在线段上连接．若，则线段的长不可能是（    ） A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】此题主要考查了垂线段最短，直接利用垂线段最短以及结合已知得出的取值范围进而得出答案． 【详解】解：过点作于点，，在线段上连接，， ， ， 故不可能是6.5， 故选：D． 2．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理． 【答案】图见解析，垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：过点A作CD的垂线段AB，则AB的长度最短，依据为：垂线段最短， ． 【点睛】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线中，垂线段最短． 题型06 点到直线的距离 1．（21-22七年级下·上海松江·期中）如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 【答案】A 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查的是点到直线的距离．利用点到直线的距离定义判断即可． 【详解】解：A、点B到的距离是线段的长，本选项错误，符合题意； B、点B到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； C、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； D、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意， 故选：A． 2．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 【答案】D 【知识点】点到直线的距离 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】A、， 直线与直线的夹角是60度，正确，故本选项不符合题意 B、 直线与直线的夹角是90度，正确，故本选项不符合题意 C、 线段的长是点D到直线的距离，正确，故本选项不符合题意 D、不相互垂直， 线段的长不是点B到直线的距离，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离和两直线的夹角，熟练掌握点到直线的距离与两直线的夹角的定义是解题的关键． 3．（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 【答案】D 【知识点】点到直线的距离、相交线 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】解：A、∵∠CDA＝60， ∴直线AD与直线BC的夹角是60，正确，故不符合题意； B、∵∠ACD＝90， ∴直线AC与直线BC的夹角是90，正确，故不符合题意； C、∵∠ACD＝90， ∴DC⊥AC， ∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故不符合题意； D、∵BD和AD不垂直， ∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长． 4．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，已知于，于，，，，，．则： （1）点A到直线的距离为 ； （2）点A到直线的距离为 ； （3）点到直线的距离为 ； （4）点到直线的距离为 ； （5）点到直线的距离为 ． 【答案】 3.6 6 6.4 8 4.8 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，正确理解点到直线的距离的定义是解答本题的关键． （1）根据点到直线的距离，可得点A到直线的距离为线段的长； （2）根据点到直线的距离，可得点A到直线的距离为线段的长； （3）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长； （4）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长； （5）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长． 【详解】（1）解：， 点A到直线的距离为线段的长，； 故答案为：． （2）解：， 点A到直线的距离为线段的长，； 故答案为：． （3）解：， 点到直线的距离为线段的长，； 故答案为：． （4）解：， 点到直线的距离为线段的长，； 故答案为：． （5）解：， 点到直线的距离为线段的长，． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·上海·期中）如图，，，点B到边的距离是线段 的长． 【答案】/ 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离概念即可求出答案，熟练掌握点到直线的距离概念是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴点B到边的距离为线段， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，垂足为点E，D为的中点，则点A到直线的距离是线段 的长度．    【答案】/ 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离：自直线外一点作直线的垂线段，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离，即可解答．解决本题的关键是熟记点到直线的距离概念． 【详解】解：∵，垂足为点E， ∴点A到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 7．（22-23七年级下·上海静安·期中）如图，点A到直线的距离是线段 的长度，直线到直线的距离是线段 的长度．    【答案】 / / 【知识点】点到直线的距离 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据定义作出判断即可． 【详解】解：点A到直线的距离是线段的长度， 直线到直线的距离是线段的长度． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的距离的概念，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 8．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如下图，直角三角形中，，于点D，图中线段 的长度表示点A到直线的距离． 【答案】/ 【知识点】点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离的定义得出即可．本题考查了点到直线的距离的定义（垂线段的长度），能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键． 【详解】解：结合图形，∵ ∴点A到的距离是线段的长度， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】画垂线、点到直线的距离 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到点的距离的定义，判断即可． （4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求：    （2）解：如上图所示，直线即为所求： （3）解：点M到点N之间的距离是线段的长 故答案为：， （4）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为： 【夯实基础】 一、单选题 1．（2023七年级下·上海·专题练习）下列图形中，线段的长表示点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断． 【详解】解：因为A选项中垂直于，所以线段的长表示点P到直线的距离． 故选：A． 【点睛】本题考查了点到到直线的距离的定义，解题关键在于熟练掌握点到直线距离定义． 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（  ） A．过线段外一点不一定能作出它的垂线 B．过直线外一点和直线上一点可画一条直线与垂直 C．只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直 D．过任意一点均可作一条直线的垂线 【答案】D 【分析】根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、过线段外一点一定能作出它的垂线，原说法错误，不符合题意； B、过直线外一点和直线上一点不一定能画一条直线与垂直，原说法错误，不符合题意； C、过任意一点都可以画一条直线和已知直线垂直，原说法错误，不符合题意； D、过任意一点均可作一条直线的垂线，原说法正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，熟知过任意一点均可作一条直线的垂线是解题的关键． 3．（20-21七年级下·上海静安·期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是（　　） A．线段CB的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AB的长度 【答案】C 【分析】点到直线的距离、直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【详解】解、A、CB的长度是点B到AC的距离，故不合题意． B、AC的长度是点A到BC的距离，故不合题意． C、CD的长度是点C到AB的距离，故符合题意． D、AB是点A到点B的距离，故不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，理解点到直线距离的定义是解答本题的关键. 二、填空题 4．（2024七年级下·上海·专题练习）在同一平面内，两条直线有 种位置关系，它们是 ． 【答案】 两 相交和平行 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了在同一平面内两条直线之间的位置关系，较简单，要注意垂直只是属于相交的一种特殊情况．在同一平面内，两条直线有两种位置关系，它们是相交和平行，其中垂直是相交的一种特殊情况． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合直线有两种位置关系，它们是相交和平行， 故答案为：两，相交和平行． 5．（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图：直线相交于点O，且，直线与直线夹角的大小为 ． 【答案】71° 【分析】先求出，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：， ， ，180°－109°=71°， ∴直线与直线夹角为或71°， 故答案为：71°． 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，角度的加减运算，互补关系，注意两直线的夹角可以是钝角也可以是锐角． 6．（21-22七年级下·上海闵行·期中）若与是对顶角，与互余，且，那么 ． 【答案】/53度 【分析】由互余的定义得到，由与是对顶角得到答案． 【详解】解：∵与互余，且， ∴， ∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了互余的定义和对顶角的性质，熟练掌握角之间的关系是解题的关键． 7．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，点B到直线AC的距离是线段 的长度． 【答案】AB/BA 【分析】根据点到直线的距离定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到直线AC的距离是线段AB的长度． 故答案为：AB． 【点睛】本题考查了点到直线的距离．解题的关键在于掌握点到直线的距离是垂线段的长度． 8．（21-22七年级下·上海·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝150°，则∠BOC＝ 度． 【答案】150 【分析】根据对顶角相等可得答案． 【详解】解：因为直线AB与CD相交于点O， 所以∠AOD与∠BOC是对顶角， 所以∠AOD＝∠BOC， 因为∠AOD＝150， 所以∠BOC＝150， 故答案为：150． 【点睛】本题考查了对顶角．解题的关键是掌握对顶角的定义，对顶角的性质． 9．（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC，AD⊥BC，垂足为点D，那么点B到直线AD的距离是线段 的长度． 【答案】BD/DB 【分析】根据点到直线的距离的概念进行判断，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【详解】解：∵AD⊥BD于D， ∴点B到直线AD的距离是线段BD的长， 故答案为：BD． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题时注意：点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段． 10．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）如果直线与直线交于点，且，，这两条直线的夹角是 度． 【答案】 【分析】利用对顶角的性质求得． 【详解】解：和是一对对顶角， ， ， ， ， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对顶角的性质：对顶角相等，比较简单，属于基础题目．掌握对顶角的性质是解题的关键． 11．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，AB、CD交于点O，若，射线OE平分∠AOC，那么∠EOD= 度． 【答案】125 【分析】先根据对顶角和平角的定义求出∠AOD和∠AOC的度数，再由角平分线的定义求出∠AOE的度数即可求出∠EOD的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵OE平分∠AOC， ∴， ∴， 故答案为：125． 【点睛】本题主要考查了对顶角相等，角平分线的定义，平角的定义，正确求出∠AOD和∠AOE的度数是解题的关键． 12．（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，直线于点O，为过点O的直线，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据垂直定义可得，从而求出，然后再根据对顶角相等，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线，对顶角的性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 三、解答题 13．（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，∠EOF=90°，∠AOC=36°，求∠BOF的度数 【答案】72° 【分析】根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠DOE，然后根据∠BOF＝∠EOF－∠BOE代入数据计算即可得解． 【详解】解：因为∠AOC=36°（已知） 所以∠BOD=∠AOC=36°（对顶角相等） 因为OE平分∠BOD（已知） 所以∠BOE=∠BOD=（角平分线定义） 因为∠EOF=90°（已知） 所以∠BOF=∠EOF==72°（余角性质） 【点睛】本题考查了对顶角、余角、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握这些定义． 14．（21-22七年级下·上海·阶段练习）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O，若∠AOC＝60°，求∠BOF的度数． 解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（　　） ∴∠　　＝　　° ∵OE平分∠BOD（  已知  ） ∴∠BOE＝∠　　＝　　°（　 　） ∵OF⊥OE（ 已知 ） ∴∠EOF＝　　°（　 　 ） ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF ∴∠BOF＝　 　°． 【答案】已知；BOD；60；BOD；30；角平分线的定义；90；垂直定义；60 【分析】利用对顶角的性质以及角平分线的定义得出∠BOE的度数，再利用垂直定义得出∠BOF的度数． 【详解】解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（已知）， ∴∠BOD＝60°， ∵OE平分∠BOD（已知）， ∴∠BOE＝∠BOD＝30°（角平分线的定义）， ∵OF⊥OE（已知）， ∴∠EOF＝90°（垂直定义）， ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF， ∴∠BOF＝60°． 故答案为：已知；BOD；60；BOD；30；角平分线的定义；90；垂直定义；60． 【点睛】此题主要考查了对顶角的性质，垂直定义以及角平分线的定义，得出∠BOE的度数是解题关键． 15．（21-22七年级下·上海宝山·阶段练习）按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点． (1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E； (2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F； (3)点O到直线PE的距离是线段　　的长； (4)点P到直线CD的距离为　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)OP (4)0 【分析】（1）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可； （2）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可； （3）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离解答即可； （3）根据直线上的点到这条直线的距离等于0解答即可． 【详解】（1）解：如图，直线PE即为所求； （2）解：如图，直线PF即为所求； （3）解：点O到直线PE的距离是线段OP的长． 故答案为：OP； （4）解：由图可知，点P到直线CD的距离为0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了垂线的作法，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，已知于，于． (1)点到直线的距离是线段_______的长； (2)点到直线的距离是线段_______的长； (3)线段的长表示点到直线_______距离； (4)线段的长表示点到直线_______距离； (5)线段的长表示点_______到直线______距离； (6)线段的长表示点_______到直线______距离； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， (6)， 【分析】（1）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离是线段的长； （2）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离是线段的长； （3）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离； （4）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离； （5）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离； （6）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离． 【详解】（1）∵， ∴点到直线的距离是线段的长； 故答案为：． （2）∵， ∴点到直线的距离是线段的长； 故答案为：． （3）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为： ． （4）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为：． （5）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为：，． （6）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为：，． 【点睛】此题考查点到直线的距离的定义，解题关键在于掌握其定义． 17．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．    【答案】 【分析】先利用对顶角的性质得到，再根据角平分线定义得到，接着利用垂直定义得到，则利用互余得到即可求解． 【详解】解：直线与相交于一点， ， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 【能力提升】 一、填空题 1．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线交于O，且，，则 ．    【答案】 【分析】根据，得，再根据，得，再根据对顶角相等得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线和对顶角的性质，解题的关键是熟练的从图中找到这些角的位置关系． 2．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝ °． 【答案】54 【分析】根据∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，可求出∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，再根据OD⊥OC，得出∠COD＝90°，最后根据互余求出答案． 【详解】解：∵∠AOB＝72°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°， 又∵OD⊥OC， ∴∠COD＝90°， ∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣36°＝54°， 故答案为：54． 【点睛】本题考查角平分线，垂直，理解角平分线和垂直的意义是正确计算的前提． 3．（2022七年级下·上海·专题练习）如图直线AB，CD相交于O，直线FE⊥AB于O，∠BOD＝75°，则∠COF的度数为 度． 【答案】15 【分析】利用图中角与角的关系即可求得，即∠COF＝∠DOE＝90°﹣∠BOD． 【详解】解：∵直线FE⊥AB于O， ∴∠BOE＝90°， ∵∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD，∠BOD＝75°， ∴∠DOE＝15°， ∴∠COF＝∠DOE＝15°． 故答案为：15． 【点睛】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线、垂线定义得出所求角与已知角的关系转化求解． 4．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，过点O作EO⊥AB，则∠DOE的度数为 ． 【答案】50°/50度 【分析】根据对顶角相等求∠BOD，由垂直的性质求∠BOE，根据∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求解． 【详解】解：∵直线AB与直线CD相交，∠AOC＝40°， ∴∠BOD＝∠AOC＝40°． ∵EO⊥AB， ∴∠BOE＝90°， ∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了对顶角，垂直的定义．解题的关键是采用形数结合的方法得到∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD． 5．（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图，直线、相交于点O．已知，把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，当时，则α的度数是 °． 【答案】/度 【分析】先利用对顶角相等得到，再计算出，然后根据和，得到和都在的同侧，最后计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 即射线绕点O逆时针旋转到， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，对顶角相等，解题关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 二、解答题 6．（24-25七年级上·上海·假期作业）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 【答案】 90 互相垂直 垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （2）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （3）根据点到直线的距离定义解决问题； （4）根据垂线段最短即可解决问题； 本题考查了垂线的定义和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵， ∴， ∴直线与的位置关系是互相垂直． 故答案为：互相垂直． （3）解：∵， ∴线段的长是点B到直线的距离的线段； 同理，点D到直线的距离是线段的长度； 故答案为：，． （4）在线段，，中，最短的线段是；在线段，，中，最短的是线段．理由是垂线段最短． 故答案为：，，垂线段最短． 7．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，EH⊥HG，FD过点H，∠EHD＝5∠FHG，求∠EHF． 解：因为EH⊥HG（已知）， 所以∠EHG＝90°（垂直的意义）， 设∠FHG＝x，则． （请完成后面求解过程） 【答案】见解析 【分析】根据平角定义和垂直的意义列出方程，求出x的值，进而可得结果． 【详解】解：因为EH⊥HG（已知）， 所以∠EHG＝90°（垂直的意义）， 设∠FHG＝x，则， ∴，， ∴， 解得x＝22.5°， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了垂线，角的计算，解题的关键在于掌握垂线的定义，找出角度的数量关系． 8．（21-22七年级下·上海·期末）已知：如图，直线AB与直线DE相交于点C，CF⊥DE，∠ACD＝25°，求∠BCE和∠BCF的度数． 【答案】∠BCE＝25°；∠BCF＝65° 【分析】根据对顶角相等可直接求出∠BCE＝25°，根据CF⊥DE即可求出∠BCF的度数． 【详解】解：∵∠BCE＝∠ACD（对顶角相等），∠ACD＝25°（已知）， ∴∠BCE＝25°（等量代换）． ∵CF⊥DE（已知）， ∴∠ECF＝90°（垂直的意义）， 即∠BCF+∠BCE＝90°， ∴∠BCF＝65°． 【点睛】本题考查了垂线、对顶角等知识点，解决本题的关键是理解垂线的性质、对顶角相等． 9．（21-22七年级下·上海闵行·期中）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整： 题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解： ∵，（已知） ∴________（等式性质） ∵（                 ） ∴__________________（等量代换） ∵平分（已知） ∴____________（角平分线的意义） ∴（                  ） 【答案】∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换． 【分析】利用已知条件，进行推理即可． 【详解】解：∵∠COB＝90°，∠COF＝58°（已知）， ∴∠BOF＝∠COB−∠COF＝32°（等式性质）， ∵∠AOE＝∠FOB（对顶角相等）， ∴∠AOE＝32°（等量代换）， ∵OA平分∠DOE（已知） ∴∠AOE＝∠AOD（角平分线的意义）， ∴∠DOE＝64°（等量代换）． 故答案为：∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换． 【点睛】本题考查的是证明的步骤和格式，解题的关键是熟练掌握对顶角相等、等量代换、角平分线的意义． 10．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） （______） （已知） （______） （______） 是的角平分线（已知） （______） （______） 【答案】平角的定义；垂线的性质；等量代换；角平分线的定义；等量代换 【分析】根据垂线，角平分线的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：直线、相交于点，（已知） ，（平角的定义） ，（已知） ，（垂线的性质） ，（等量代换） 是的角平分线，（已知） ，（角平分线的定义） ，（等量代换） 故答案为：平角的定义，垂线的性质，等量代换，角平分线的定义，等量代换． 【点睛】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂线，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$