精品解析：山东省德州市平原县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

平原县2024-2025学年第一学期八年级期末测试 数学试题 2025.1 一、选择题（本大题共12个小题每小题4分，共48分．在每小题给出的．四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，6 C. 7，8，9 D. 7，2，4 3. 已知△ABC的三个内角度数之比为3∶4∶5，则此三角形是（ ）三角形． A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不能确定 4. 已知，若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 4或5 5. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ） A 205 B. 250 C. 502 D. 520 9. 如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（ ） A. 点到边的距离相等 B. 平分 C. D. 点到、、三点的距离相等 10. C、D是线段的垂直平分线上的两点，平分，则下列说法不一定正确的是（ ）． A. B. C. 垂直平分 D. 11. 某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，若快递公司的快递员人数不变，公司投递快件的能力由原来每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件．设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②；③的值不变；④四边形面积随着点M、N的位置的变化而变化．其中正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分，只要求填写最后结果） 13. 三角形的内角和等于______度，边形的外角和是______度． 14 因式分解：______． 15. 关于x的方程（a为常数）无解，则____． 16. 对于实数，定义一种新运算“”为；，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是____． 17. 如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 18. 如图，，过上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，……的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为，……．观察图中的规律，求出第11个黑色梯形的面积______． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知：如图，．求证：． 22. 两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所示，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元，则续航里程a的值是多少？ 燃油车 邮箱容量：50升 油价：7.5元/升 续航里程： 新能源车 电池电量：75千瓦时 电价：05元/千瓦时 续航里程： 23. 如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； （2）当为的角平分线时，若，，求的度数． 24. 【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 25. 如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边延长线上，且． （1）如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； （2）如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你理由； （3）当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平原县2024-2025学年第一学期八年级期末测试 数学试题 2025.1 一、选择题（本大题共12个小题每小题4分，共48分．在每小题给出的．四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：在为平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此求解即可． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项错误； 、是轴对称图形，故本选项正确； 、不是轴对称图形，故本选项错误； 、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，熟悉相关性质是解题的关键． 2. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，6 C. 7，8，9 D. 7，2，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A 不符合题意； B、，不能构成三角形，故B不符合题意； C、，能构成三角形，故C符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 已知△ABC的三个内角度数之比为3∶4∶5，则此三角形是（ ）三角形． A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】设三角的度数分别为：3x°4x°5x°，根据三角形内角和定理得3x＋4x＋5x＝180，即可判断． 【详解】解：∵△ABC的三个内角度数之比为3∶4∶5， ∴设三角度数分别为：3x°4x°5x°， ∴3x＋4x＋5x＝180， 解得：x＝15， ∴三个内角的度数分别为：45°，60°，75°， ∴此三角形为锐角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及一元一次方程的应用，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 4. 已知，若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 4或5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 根据全等三角形的对应边相等即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 下列计算不正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则处理． 【详解】解：A. ；原计算错误，本选项符合题意； B. ，计算正确，本选项不合题意； C. ；计算正确，本选项不合题意； D. ；计算正确，本选项不合题意； 故选：A 【点睛】本题考查合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则处理；掌握相关运算法则是解题的关键． 6. 如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．根据题意求出，根据角平分线的定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别平分和， ， ， ． 故选C． 7. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：． 8. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ） A 205 B. 250 C. 502 D. 520 【答案】D 【解析】 【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案． 【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为 由这两个奇数得到的“幸福数”为 观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4 即 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键． 9. 如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（ ） A. 点到边的距离相等 B. 平分 C. D. 点到、、三点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，三角形的内心定义和性质，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键． 先根据作图痕迹得出是的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断A说法正确；根据到角两边距离相等的点在角平分线上，可得点在的平分线上，即可判断B说法正确；根据角平分线平分角可得，，结合三角形内角和是可求得，再结合对顶角相等即可求得，判断C说法正确；根据题意可得点是的内心，判断D说法错误；即可求解． 【详解】解：A、根据作图痕迹，可得是的角平分线， ∵点在上， ∴点到边、的距离相等；A说法正确； B、∵平分，平分， ∴点到边、、的距离相等， 即点在的平分线上， ∴平分；B说法正确； C、∵平分，平分， ∴，， 故， ∴；C说法正确； D、∵点是三个角的角平分线的交点， ∴点到边、、的距离相等，不是点到、、三点的距离相等；D说法错误． 故选：D． 10. C、D是线段的垂直平分线上的两点，平分，则下列说法不一定正确的是（ ）． A. B. C. 垂直平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：根据题意可画出下图， A、∵C、D是线段的垂直平分线上的两点，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴AD=BD，故本选项正确； B、∵C是线段的垂直平分线上的点，∴AC=BC，∴，∵AB平分，∴，∴，∴，故本选项正确； C、∵AB平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴垂直平分，故本选项正确； D、∵AB与CD互相垂直平分，∴四边形ABCD是菱形，∴AB、CD不一定相等，故本选项错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识点，综合运用以上性质定理是解答此题的关键． 11. 某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，若快递公司的快递员人数不变，公司投递快件的能力由原来每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件．设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系列出方程是解题关键．由快递员人数=总快递件数÷每人快递件数，根据更换前后人数不变列方程； 【详解】解：更换交通工具后每人每周投递， 由题意得：， 故选：B． 12. 如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②；③的值不变；④四边形面积随着点M、N的位置的变化而变化．其中正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．如图作于E，于F．只要证明，再证明，即可一一判断． 【详解】解：作于E，于F，如图所示：     ， ， ， ， ， 平分，于E，于F， ，， ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 是等边三角形，故正确； ， 定值，故错误； ，故②正确； M，N的位置变化， 的长度是变化的，故③错误； 综上所述：正确的结论是①②． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分，只要求填写最后结果） 13. 三角形的内角和等于______度，边形的外角和是______度． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形外角和定理以及三角形内角和定理． 根据三角形内角和为，任意多边形外角和等于，直接得出答案即可． 【详解】解：根据三角形内角和定理以及任意多边形外角和定理， 三角形内角和为，边形外角和等于． 故答案为：，． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 根据综合提公因式和公式法进行因式分解求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 15. 关于x的方程（a为常数）无解，则____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程去分母，可得，再根据方程无解，即可得到a的值． 【详解】解：分式方程去分母，可得， 即， ∵方程（a为常数）无解， ∴，即， ∴， 解得，， 故答案为：2． 16. 对于实数，定义一种新运算“”为；，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的新定义运算和解分式方程．根据新定义得到，解方程并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 则原分式方程的解为： 故答案为：． 17. 如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，，过上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，……的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为，……．观察图中的规律，求出第11个黑色梯形的面积______． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，分别求出，得到后一个图形比前一个图形的面积多8，进而得到，求解即可。 【详解】解：∵，过上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，……的点作的垂线与相交， ∴构成的三角形均为等腰直角三角形，阴影部分均为直角梯形， ∴， ， ， …， 第n个梯形面积为：， ∴． 答案为：84． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，积的乘方计算，同底数幂乘法计算： （1）先计算积的乘方和同底数幂乘法，再合并同类项即可得到答案； （2）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，时原式的值不存在 【解析】 【分析】分别利用提公因式法和完全平方公式对第一项的分子、分母进行因式分解并约分，同时对括号内的部分进行通分并计算加减，前后两部分分别得出结果后，再将除法转化为乘法，约分后即可化为最简形式；然后，在保证的取值使原式有意义的情况下，将的值代入化简结果，即可求出原式的值． 【详解】解： ， 当时，原式无意义，故时原式的值不存在． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，分式加减乘除混合运算，代数式求值等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．注意：的取值必须保证原式有意义． 21. 已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形的性质即得结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ ， ∴△ACB≌△ACD， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△ACD是解本题的关键． 22. 两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所示，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元，则续航里程a的值是多少？ 燃油车 邮箱容量：50升 油价：7.5元/升 续航里程： 新能源车 电池电量：75千瓦时 电价：0.5元/千瓦时 续航里程： 【答案】续航里程a的值是675 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决应用题，根据“两台续航里程相同，燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元”列出方程即可求解，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解． 【详解】解：由题意可知， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：续航里程a的值是675． 23. 如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； （2）当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理及外角性质、中线、高线和角平分线的性质，熟练掌握三角形相关性质是解答的关键． （1）先根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再利用角平分线的定义和三角形的外角性质求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵为边上的中线，的面积为30， ∴， ∵为边上的高，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，0；（2）42；（3）2，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：（1），， ，， 故答案为：3，0； （2）设：，则， ， ， ， 故答案为：42； （3）猜想，理由如下： 设：，则， ， ， ． 故答案为：2． 25. 如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； （2）如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； （3）当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）全等，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可求出，根据等边对等角可求出，根据三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边可得出，即可得出结论； （2）过D作交于F，证明是等边三角形，得出，结合可得出，根据等边对等角得出，结合，，可得出，然后根据证明即可； （3）过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接，由（1）知：，根据含角的直角三角形的性质求出，，则，故当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合，然后根据平行线间的距离求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：全等 理由：∵是等边三角形， ∴，， 过D作交于F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问3详解】 解：过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合， ∵，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形、全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $