精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高三（复读班）上学期期末考试数学试题（日新班）

丰城九中2024-2025年高四日新班上学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为， ，因此，. 故选：D. 2. 已知命题，有实数解，则命题的否定是（ ） A. ，有实数解 B. ，无实数解 C. ，有实数解 D. ，无实数解 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得. 【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得命题的否定是，无实数解. 故选：B. 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数在上连续单调递增， 且, 所以函数的零点在区间内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 4. 一组数据的分位数是（ ） A. 10 B. 12 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】应用百分位数定义求分位数. 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为，共10个数， 所以，则这组数据的分位数为4. 故选：C 5. 若函数 与函数 图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先得，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解. 【详解】由题意函数 与函数 互为反函数， 所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点， 对比选项可知A符合题意. 故选：A. 6. 若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数知道底数，故内层函数为减函数，由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式，求得的取值范围. 【详解】∵对数函数中， ∴中，即函数在区间上为减函数，， 令，则在区间上为增函数，即， 解得. 故选：C. 7. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a取值范围是． 故选：B 8. 已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由不等式恒成立可得，且是方程的一个正根，从而可得的关系，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】令，其对称轴为， 当时，， 若，当时，要使不等式对任意恒成立， 则对任意恒成立， 当时，不满足题意，所以， 且是方程的一个正根， 将代入可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 是的必要不充分条件 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数且的图象恒过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：利用对立事件的概念求解即可，选项B利用必要充分条件的内涵求解即可，选项C结合复合函数的单调性求解单调递减区间即可，选项D：利用指数函数过定点求解即可. 【详解】选项A：根据对立事件的定义可知，事件“至少一名男生”和事件“全是女生”不可能同时发生，同时两个事件构成了整个样本空间，所以选项A正确， 选项B：得不到，但可以得到，故是的必要不充分条件，故选项B正确. 选项C：函数的定义域为：与选项C中的区间不符合，故选项C错误， 选项D：对于函数且，令则 则函数图象恒过定点故选项D正确. 故选：ABD. 10. 某班有男生人，女生人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为、；方差分别为、，该班成绩的均分和方差为、，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式可得结果. 【详解】由平均数公式可得，则A正确，B错误； 由方差公式可得， 当且仅当时，等号成立， 但因，则等号不成立，故，则C错误D正确. 故选：AD. 11. 已知，若有四个实数解a，b，c，d，且满足，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】转化成分段函数图象与图象有四个交点的问题，根据对数函数图象性质判断AD两个选项，根据二次函数函数性质判断BC两个选项. 【详解】画出函数的图象如图所示.    由图可得， ， ，即，D正确，A错误； 由图可得、关于对称，所以，且， ，故B正确，C错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域是，则的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由抽象函数的定义域的求法求出的定义域，然后求解即可. 【详解】函数的定义域是， 所以，于是， 所以的定义域为， 由，解得， 故的定义域为， 故答案为： 13. 对实数和，定义运算“”：，设函数.若函数的图象与轴恰有2个公共点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数解析式，画出函数图象，将函数的图象与轴恰有2个公共点转化为函数与的图象有两个交点，可求得结果. 【详解】解不等式，可得； 所以可得， 画出函数的图象如下图所示： 若函数的图象与轴恰有2个公共点，即函数与的图象有两个交点， 结合图象可知，当或或时，满足题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据分段函数性质画出函数图象，再由函数与方程思想求得参数取值范围. 14. 已知函数，若，则m取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，即可判断的奇偶性与单调性，从而将问题转化为，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】令，则的定义域为， 且， 所以为奇函数， 又，，均在上单调递减，所以在上单调递减， 则在上单调递减，又为连续函数，所以在上单调递减， 又， 所以不等式，即， 即，即， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设全集是实数集，集合且 （1）当时，求和； （2）若（，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据集合的交集和并集运算得解； （2）由题意，，分和讨论求解. 【小问1详解】 由解得，即， 由解得，解得，即， 故. 【小问2详解】 由或， 因为，所以 ①若，因为，当时，，则解为，所以； ②若，则， 由，所以，即， 又，所以， 因此，即， 综上所述，实数的取值范围为. 16. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【答案】（1），， （2）80；37.5 【解析】 【分析】（1）由题意结合各组频率之和为1，即可求得的值，利用中位数的计算方法即可求得中位数； （2）利用平均值以及方差公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由第二组的频数是第一组频数的2倍，可知第二组的频率是第一组频率的2倍， 即，则； 又，解得； 由于成绩在内的频率为，在内的频率为， 故中位数位于，设为m，则，解得； 【小问2详解】 由，可得， 则剔除其中的75和85两个分数，剩余8个数平均数为； 又标准差， 故， 则， 则剩余的8个数的方差为. 17. 已知幂函数在上单调递增，二次函数. （1）求实数的值. （2）当时，的图象恒在图象的下方，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义与单调性，分别建立方程与不等式，可得答案； （2）由题意等价转化为不等式恒成立问题，分一次函数与二次函数两种情况，分别求得不等式所构造的函数的最值，可得答案. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递增， 则且，整理可得且， 解得. 【小问2详解】 由（1）可知，由，则， 由题意可得在上恒成立，即， 当时，不等式为在上显然成立，符合题意； 当时，令， 当且时，可得，解得，所以； 当时，二次函数的对称轴为直线，则， 可得，解得，此时. 综上可得. 18. 已知为实数，函数，其中. （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是偶函数，得到对任意恒成立列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到在上单调递减，在单调递增，时，函数的值域为，令，求得或，进而得出的最小值为，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由函数， 因为是偶函数，可得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 所以，可得. 【小问2详解】 因为且，可得函数， 由复合函数的单调性可得函数在上单调递减，在单调递增， 因为当时，函数的值域为，且， 所以（其中，等号不能同时取得）， 令，可得，解得或， 又因为，所以， 所以的最小值为，解得. 19. 已知函数 （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若，都有成立，求实数的取值范围； （3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围； 【答案】（1）在R上单调递增，证明见解析 （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）判断函数单调性，继而可利用函数单调性定义证明； （2）将问题转化为对都成立，继而化为，分离参数，结合函数的单调性即可求解； （3）假设存在满足题意的t，则结合函数单调性将问题转化为为关于x的方程的两个不等实数根，继而换元，利用一元二次方程有两正根，即可求解. 【小问1详解】 在R上单调递增，证明如下： 的定义域为R，任取， 则 ， 因为，故， 则，即， 故在R上单调递增； 【小问2详解】 由题意知，即， 则， 即对都成立， 由于R上单调递增，故时，， 故即， 即对都成立， 令， ，则，， 令，，则在上单调递增， 故的最小值为，则的最小值为， 故； 【小问3详解】 假设存在正实数，使得在上的取值范围是， 由题意可知得在上单调递增， 故， 故为关于x的方程的两个不等实数根， 令，则关于u的方程有两个不等正根，设为， 则，解得且， 故存在正实数t满足题意，t的取值范围是且 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问，解答时要注意将问题转化为为关于x的方程的两个不等实数根，继而换元，转化为关于u的方程有两个不等正根问题，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰城九中2024-2025年高四日新班上学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，有实数解，则命题的否定是（ ） A ，有实数解 B. ，无实数解 C. ，有实数解 D. ，无实数解 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据的分位数是（ ） A. 10 B. 12 C. 4 D. 3 5. 若函数 与函数 图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 是的必要不充分条件 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数且的图象恒过定点 10. 某班有男生人，女生人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为、；方差分别为、，该班成绩的均分和方差为、，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，若有四个实数解a，b，c，d，且满足，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域是，则的定义域是__________． 13. 对实数和，定义运算“”：，设函数.若函数的图象与轴恰有2个公共点，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数，若，则m的取值范围__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设全集是实数集，集合且 （1）当时，求和； （2）若（，求实数的取值范围. 16. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 17. 已知幂函数在上单调递增，二次函数. （1）求实数值. （2）当时，的图象恒在图象的下方，求的取值范围. 18. 已知为实数，函数，其中. （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数的值. 19 已知函数 （1）判断单调性，并用单调性的定义证明； （2）若，都有成立，求实数的取值范围； （3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$