内容正文:
丰城九中2024-2025年高四日新班上学期期末考试数学试卷
考试时间:120分钟 试卷总分:150分
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合、,利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为,
,因此,.
故选:D.
2. 已知命题,有实数解,则命题的否定是( )
A. ,有实数解
B. ,无实数解
C. ,有实数解
D. ,无实数解
【答案】B
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得.
【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得命题的否定是,无实数解.
故选:B.
3. 在下列区间中,函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数在上单调递增,由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数在上连续单调递增,
且,
所以函数的零点在区间内,故选C.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用,属于简单题.应用零点存在定理解题时,要注意两点:(1)函数是否为单调函数;(2)函数是否连续.
4. 一组数据的分位数是( )
A. 10 B. 12 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】应用百分位数定义求分位数.
【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为,共10个数,
所以,则这组数据的分位数为4.
故选:C
5. 若函数 与函数 图象关于直线 对称,则 的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先得,根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解.
【详解】由题意函数 与函数 互为反函数,
所以,解得,它在定义域内单调递增,且过定点,
对比选项可知A符合题意.
故选:A.
6. 若函数在区间上为减函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数函数知道底数,故内层函数为减函数,由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式,求得的取值范围.
【详解】∵对数函数中,
∴中,即函数在区间上为减函数,,
令,则在区间上为增函数,即,
解得.
故选:C.
7. 已知函数定义域为,且,若对任意的,都有成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件可得在上单调递增,再分类讨论即可求解.
【详解】函数的定义域为R,
当时,,
令函数,依题意,对任意的,恒成立,
因此函数在上单调递增,
当时,则,解得,因此;
当时,函数在单调递增,因此;
当时,则恒成立,因此,
实数a取值范围是.
故选:B
8. 已知不等式对任意恒成立,则的最小值为( )
A. B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意,由不等式恒成立可得,且是方程的一个正根,从而可得的关系,再由基本不等式代入计算,即可得到结果.
【详解】令,其对称轴为,
当时,,
若,当时,要使不等式对任意恒成立,
则对任意恒成立,
当时,不满足题意,所以,
且是方程的一个正根,
将代入可得,即,
则,
当且仅当时,即时,等号成立,
所以的最小值为.
故选:A
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件
B. 是的必要不充分条件
C. 函数的单调递减区间为
D. 函数且的图象恒过定点
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A:利用对立事件的概念求解即可,选项B利用必要充分条件的内涵求解即可,选项C结合复合函数的单调性求解单调递减区间即可,选项D:利用指数函数过定点求解即可.
【详解】选项A:根据对立事件的定义可知,事件“至少一名男生”和事件“全是女生”不可能同时发生,同时两个事件构成了整个样本空间,所以选项A正确,
选项B:得不到,但可以得到,故是的必要不充分条件,故选项B正确.
选项C:函数的定义域为:与选项C中的区间不符合,故选项C错误,
选项D:对于函数且,令则 则函数图象恒过定点故选项D正确.
故选:ABD.
10. 某班有男生人,女生人.在某次考试中,男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为、;方差分别为、,该班成绩的均分和方差为、,则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式可得结果.
【详解】由平均数公式可得,则A正确,B错误;
由方差公式可得,
当且仅当时,等号成立,
但因,则等号不成立,故,则C错误D正确.
故选:AD.
11. 已知,若有四个实数解a,b,c,d,且满足,则下列说法不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】转化成分段函数图象与图象有四个交点的问题,根据对数函数图象性质判断AD两个选项,根据二次函数函数性质判断BC两个选项.
【详解】画出函数的图象如图所示.
由图可得,
,
,即,D正确,A错误;
由图可得、关于对称,所以,且,
,故B正确,C错误.
故选:AC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知函数的定义域是,则的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由抽象函数的定义域的求法求出的定义域,然后求解即可.
【详解】函数的定义域是,
所以,于是,
所以的定义域为,
由,解得,
故的定义域为,
故答案为:
13. 对实数和,定义运算“”:,设函数.若函数的图象与轴恰有2个公共点,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数解析式,画出函数图象,将函数的图象与轴恰有2个公共点转化为函数与的图象有两个交点,可求得结果.
【详解】解不等式,可得;
所以可得,
画出函数的图象如下图所示:
若函数的图象与轴恰有2个公共点,即函数与的图象有两个交点,
结合图象可知,当或或时,满足题意;
所以实数的取值范围是.
故答案为:
【点睛】关键点点睛:本题关键在于根据分段函数性质画出函数图象,再由函数与方程思想求得参数取值范围.
14. 已知函数,若,则m取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】令,即可判断的奇偶性与单调性,从而将问题转化为,根据单调性转化为自变量的不等式,解得即可.
【详解】令,则的定义域为,
且,
所以为奇函数,
又,,均在上单调递减,所以在上单调递减,
则在上单调递减,又为连续函数,所以在上单调递减,
又,
所以不等式,即,
即,即,
所以,即,解得,
所以的取值范围为.
故答案为:
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集是实数集,集合且
(1)当时,求和;
(2)若(,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【解析】
【分析】(1)化简集合,根据集合的交集和并集运算得解;
(2)由题意,,分和讨论求解.
【小问1详解】
由解得,即,
由解得,解得,即,
故.
【小问2详解】
由或,
因为,所以
①若,因为,当时,,则解为,所以;
②若,则,
由,所以,即,
又,所以,
因此,即,
综上所述,实数的取值范围为.
16. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周,本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”,为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(单位:分,得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计,将成绩进行整理后,分为五组,其中第二组的频数是第一组频数的2倍,请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
(1)求的值,并估计这次竞赛成绩的中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数:,已知这10个分数的平均数,标准差,若剔除其中的75和85两个分数,求剩余8个分数的平均数与方差.
【答案】(1),,
(2)80;37.5
【解析】
【分析】(1)由题意结合各组频率之和为1,即可求得的值,利用中位数的计算方法即可求得中位数;
(2)利用平均值以及方差公式,即可求得答案.
【小问1详解】
由第二组的频数是第一组频数的2倍,可知第二组的频率是第一组频率的2倍,
即,则;
又,解得;
由于成绩在内的频率为,在内的频率为,
故中位数位于,设为m,则,解得;
【小问2详解】
由,可得,
则剔除其中的75和85两个分数,剩余8个数平均数为;
又标准差,
故,
则,
则剩余的8个数的方差为.
17. 已知幂函数在上单调递增,二次函数.
(1)求实数的值.
(2)当时,的图象恒在图象的下方,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由幂函数的定义与单调性,分别建立方程与不等式,可得答案;
(2)由题意等价转化为不等式恒成立问题,分一次函数与二次函数两种情况,分别求得不等式所构造的函数的最值,可得答案.
【小问1详解】
由幂函数在上单调递增,
则且,整理可得且,
解得.
【小问2详解】
由(1)可知,由,则,
由题意可得在上恒成立,即,
当时,不等式为在上显然成立,符合题意;
当时,令,
当且时,可得,解得,所以;
当时,二次函数的对称轴为直线,则,
可得,解得,此时.
综上可得.
18. 已知为实数,函数,其中.
(1)若函数是偶函数,求实数的值;
(2)设,当时,函数的值域为,若的最小值为,求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由是偶函数,得到对任意恒成立列出方程,即可求解;
(2)根据题意,得到在上单调递减,在单调递增,时,函数的值域为,令,求得或,进而得出的最小值为,列出方程,即可求解.
【小问1详解】
由函数,
因为是偶函数,可得对任意恒成立,
即对任意恒成立,
所以,可得.
【小问2详解】
因为且,可得函数,
由复合函数的单调性可得函数在上单调递减,在单调递增,
因为当时,函数的值域为,且,
所以(其中,等号不能同时取得),
令,可得,解得或,
又因为,所以,
所以的最小值为,解得.
19. 已知函数
(1)判断的单调性,并用单调性的定义证明;
(2)若,都有成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在正实数,使得在上的取值范围是?若存在,求的取值范围;
【答案】(1)在R上单调递增,证明见解析
(2)
(3)存在,且
【解析】
【分析】(1)判断函数单调性,继而可利用函数单调性定义证明;
(2)将问题转化为对都成立,继而化为,分离参数,结合函数的单调性即可求解;
(3)假设存在满足题意的t,则结合函数单调性将问题转化为为关于x的方程的两个不等实数根,继而换元,利用一元二次方程有两正根,即可求解.
【小问1详解】
在R上单调递增,证明如下:
的定义域为R,任取,
则
,
因为,故,
则,即,
故在R上单调递增;
【小问2详解】
由题意知,即,
则,
即对都成立,
由于R上单调递增,故时,,
故即,
即对都成立,
令, ,则,,
令,,则在上单调递增,
故的最小值为,则的最小值为,
故;
【小问3详解】
假设存在正实数,使得在上的取值范围是,
由题意可知得在上单调递增,
故,
故为关于x的方程的两个不等实数根,
令,则关于u的方程有两个不等正根,设为,
则,解得且,
故存在正实数t满足题意,t的取值范围是且
【点睛】难点点睛:解答本题的难点在于第三问,解答时要注意将问题转化为为关于x的方程的两个不等实数根,继而换元,转化为关于u的方程有两个不等正根问题,即可求解.
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丰城九中2024-2025年高四日新班上学期期末考试数学试卷
考试时间:120分钟 试卷总分:150分
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 设集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 已知命题,有实数解,则命题的否定是( )
A ,有实数解
B. ,无实数解
C. ,有实数解
D. ,无实数解
3. 在下列区间中,函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
4. 一组数据的分位数是( )
A. 10 B. 12 C. 4 D. 3
5. 若函数 与函数 图象关于直线 对称,则 的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6. 若函数在区间上为减函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知函数定义域为,且,若对任意的,都有成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知不等式对任意恒成立,则的最小值为( )
A. B. 4 C. D.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件
B. 是的必要不充分条件
C. 函数的单调递减区间为
D. 函数且的图象恒过定点
10. 某班有男生人,女生人.在某次考试中,男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为、;方差分别为、,该班成绩的均分和方差为、,则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 已知,若有四个实数解a,b,c,d,且满足,则下列说法不正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知函数的定义域是,则的定义域是__________.
13. 对实数和,定义运算“”:,设函数.若函数的图象与轴恰有2个公共点,则实数的取值范围是__________.
14. 已知函数,若,则m的取值范围__________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集是实数集,集合且
(1)当时,求和;
(2)若(,求实数的取值范围.
16. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周,本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”,为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(单位:分,得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计,将成绩进行整理后,分为五组,其中第二组的频数是第一组频数的2倍,请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
(1)求的值,并估计这次竞赛成绩的中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数:,已知这10个分数的平均数,标准差,若剔除其中的75和85两个分数,求剩余8个分数的平均数与方差.
17. 已知幂函数在上单调递增,二次函数.
(1)求实数值.
(2)当时,的图象恒在图象的下方,求的取值范围.
18. 已知为实数,函数,其中.
(1)若函数是偶函数,求实数的值;
(2)设,当时,函数的值域为,若的最小值为,求实数的值.
19 已知函数
(1)判断单调性,并用单调性的定义证明;
(2)若,都有成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在正实数,使得在上的取值范围是?若存在,求的取值范围;
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