第7章 一元一次不等式（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

第7章 一元一次不等式思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式(组)的整数解 【解惑】在不等式组的解集中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【融会贯通】 1．若关于x的一元一次不等式组恰好有2个整数解，且关于y的方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（  ） A． B． C． D．6 2．若是整数，且关于的方程组的解满足，则的值为 ． 3．已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ． 类型二、一元一次不等式(组)的新定义运算 【解惑】定义一种新运算：则下列说法：①若，则，；②若，则该不等式的解集为或；③代数式有最小值6．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【融会贯通】 1．定义一种运算：，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．无解 2．定义新运算：对于任意实数m、n都有，等式右边通常是加法、减法及乘法运算．例如：，那么不等式的解集为 ． 3．对于实数定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 类型三、一元一次不等式(组)与方程组的结合 【解惑】已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 3．若二元一次方程组的解为x，y，且，则的取值范围是 ． 类型四、一元一次不等式(组)的规律 【解惑】程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？” (1)请你求出上述问题的解； (2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求至少要为多少尺？ 【融会贯通】 1．被人们视为枯燥无味的数字，一旦与规律“联姻”就能获得新的生机，显示出浓厚的数趣，因此我们把遵循一定规律的数字视为“趣味数”． 阅读一：一个大于的正整数，若能满足被不大于（的整数）的每一个整数除余数均为 ，那么称这个正整数为“趣味”数（ 取最大）． 例如：（被除余）被 除余 ，被除余 ，那么为“趣四味”数． 阅读二：设不大于（的整数）的所有正整数的最小公倍数为，那么“趣味”数可以表示为（为正整数）． 例如：不大于的所有正整数 的最小公倍数是，那么“趣八味”数可以表示为（为正整数）． （1）请你判断，是“趣___味”数； （2）求出最小的三位“趣三味”数； （3）一个“趣三味”数与一个“趣四味”数的和，求出这两个数． 2．下列数值：76，73，79，80，74.9，75.1，90，哪些是不等式的解？你能找出这个不等式其他的解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？ 3．观察下列不等式：①；②；③；… 根据上述规律，解决下列问题： （1）完成第5个不等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个不等式：　 　（用含n的不等式表示） （3）利用上面的猜想，比较和的大小． 类型五、一元一次不等式(组)的绝对值 【解惑】解不等式； 【融会贯通】 1．解不等式． 2．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例 1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为的点对应的数为，所以方程的解为． 例 2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到对应的点的距离等于的点对应的数为或，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程的解为 ； （2）解不等式：； （3）解不等式：． 3．已知，为有理数，且，不为0，则定义有理数对的“求真值”为，如有理数数对的“求真值”为，有理数对的“求真值”为． （1）求有理数对的“求真值”； （2）求证：有理数对与的“求真值”相等； （3）若的“求真值”的绝对值为，若，求的值． 类型六、一元一次不等式(组)的作差法应用 【解惑】观察：，，，． (1)猜想：当时，______，______，______（“>”“＝”“<”填空） (2)探究：当时，与（其中n为正整数）的大小关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么a______b； ②如果，那么a______b； ③如果，那么a______b． (2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①比较与的大小； ②若，比较a，b的大小． 2．【阅读理解】： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】： （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案） ①__________；②当时，__________；③若，则__________； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】： （3）图1是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为；则与大小的大小关系为： ； （4）已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 3．知识阅读：我们知道，当a＞2时，代数式a－2＞0；当a＜2时，代数式a－2＜0；当a＝2时，代数式a－2＝0． (1)基本应用：当a＞2时，用“＞，＜，＝”填空：a＋5________0；(a＋7)(a－2)________0； (2)理解应用：当a＞1时，求代数式＋2a－15的值的大小； (3)灵活应用：当a＞2时，比较代数式a＋2与＋5a－19的大小关系． 类型七、延伸拓展——分式不等式 【解惑】先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【融会贯通】 1．先阅读，再解题．： 阅读材料：解分式不等式． 解：根据实数的除法法则，同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①，②． 解不等式组①，得：x＞3． 解不等式组②，得：x＜﹣2． 所以原分式不等式的解集是x＞3或x＜﹣2． 请仿照上述方法解分式不等式：＜0． 2．阅读材料：解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数， ∴原不等式可转化为：①或② 解①得：无解，解②得： ∴原不等式的解集是 请仿照上述方法解分式不等式： 3．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ②． 解①得；解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： （1）求不等式的解集． （2）求不等式的解集． 类型八、延伸拓展——二次不等式 【解惑】阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 2．阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 3．解不等式：． 解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以． 所以不等式的解集为或． 请你根据上面的解法解不等式：． 类型九、一元一次不等式(组)的新定义应用 【解惑】定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 【融会贯通】 1．【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”． 例如：不等式的解都不是不等式 的解， 则 是 的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在不等式①，②， ③这三个一元一次不等式中， 是的“相斥不等式”的有 （填序号）； (2)若关于的不等式是的“相斥不等式”，同时也是 的“相斥不等式”， 求的取值范围； (3)若是关于的不等式是非零常数）的“相斥不等式”，求的取值范围． 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是_______（填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 3．定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． ①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式； ②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式、和构成关于的不等式满足且解集为，则称，和构成“和谐不等式”． (1)判断代数式，，是否构成“和谐不等式”？请说明理由． (2)若，，构成“和谐不等式”，则______； (3)若，，构成“和谐不等式”，求关于的一元一次不等式组的解集． 类型十、阅读理解 【解惑】阅读理解题，阅读下列材料：若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如742． (1)已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”； (2)若一个“倍尾数”的各位数字之和是17，求出所有符合要求的“倍尾数”. 【融会贯通】 1．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“”可理解为： ；我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 例如： 我们将作为一个整体，整理得： 再根据绝对值的几何意义：表示数在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为 仿照上述方法，解下列绝对值不等式： ① ②． 2．阅读理解： 解不等式，在数轴上先找出的解，如图，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：； (3)对于任意数，若不等式恒成立，请直接写出的取值范围． 3．阅读理解 定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为，的解为，在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 问题解决 （1）不等式组：①，②，③中，是不等式的“子集”的是_________；（填序号） （2）若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，求k的取值范围； 问题拓展 （3）若关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，直接写出m的取值范围是___________． 【一览众山小】 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B．     C．     D．   2．若，则在下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知多项式，其中且，对多项式中任意相邻的字母间添加一个括号（不可对单个字母添加括号），并改变括号前的符号，得到一个新多项式，然后求新多项式的绝对值，称此为“双添变换操作”．例如： ，，，下列结论正确的个数是（   ） ①存在“双添变换操作”的化简结果与原多项式相同； ②至少存在一种“双添变换操作”，使其化简结果与原多项式的差为； ③所有的“双添变换操作”共有种不同的化简结果． A． B． C． D． 4．若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ． 5．来宾市某校组织开展了“民族团结”的知识竞赛，共有30道竞赛题，选对一题得5分，不选或者错选一道题扣2分，若得分不低于60分获奖，那么至少答对 道题才能获奖． 6．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表： 月用电量 电费价格／［元／ 0.48 0.52 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电_______． 7．解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1) (2) 8．解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并求出该不等式组所有整数解的和． 9．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 10．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． (4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 一元一次不等式思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式(组)的整数解 【解惑】在不等式组的解集中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解．解题的关键是正确求出不等式组的解集． 先求出不等式组的解集，然后再求出其范围内的整数解，即可． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴整数有：0、1、2，共3个． 故选：B． 【融会贯通】 1．若关于x的一元一次不等式组恰好有2个整数解，且关于y的方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（  ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】此题考查根据一元一次不等式的解集情况求参数，根据一元一次方程的解的情况求参数，分别解不等式及方程，求出k的取值范围，即可得到答案 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于x的一元一次不等式组恰好有2个整数解， ∴， ∴， 得； 解得， ∵关于y的方程的解为非正数， ∴， 得 ∴， 符合条件的所有整数k的和为 故选A 2．若是整数，且关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题综合考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意求出关于m的不等式组．把m当作已知数，解方程组求出方程组的解（x、y的值）根据已知得出不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， ，得， 解得： ， 把代入②得：， 解得：， ∵， ∴， ∴解得：， ∵m是整数， ∴，0，1，2，3． 故答案为：，0，1，2，3． 3．已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．先求出方程组和不等式的解集，再求出的范围，最后得出答案即可． 【详解】解：解方程组， ①②得，即， ， ， ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 又关于的不等式组无解， ， 解得：， 即， 所有符合条件的整数为：2、3、4， 所有符合条件的整数和为9． 故答案为：9． 类型二、一元一次不等式(组)的新定义运算 【解惑】定义一种新运算：则下列说法：①若，则，；②若，则该不等式的解集为或；③代数式有最小值6．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法，理解新定义并且利用分类讨论的思想方法是解题的关键． 根据新运算的规定，利用分类讨论的思想方法对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①当时，，则，不符合题意，舍去； 当时，，则，符合题意． 综上所述，若，则，故①错误． ②∵，且， ∴． ∴． ∴或，故②正确． ③， 又∵在数轴上代数式的意义为表示数的点到表示数3的点和表示数的点的距离之和，且的最小值为6， ∴有最小值6，故③正确． 故选：B． 【融会贯通】 1．定义一种运算：，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 新定义，根据新定义当，即时，建立不等式求解即可． 【详解】解；当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．定义新运算：对于任意实数m、n都有，等式右边通常是加法、减法及乘法运算．例如：，那么不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变． 根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可． 【详解】解：∵ ∴ 解得． 故答案为：． 3．对于实数定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题知，，解得．因为此不等式有且只有一个正整数解，，解得． 类型三、一元一次不等式(组)与方程组的结合 【解惑】已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，用含a的代数式表示出x、y，然后根据得出a的范围，再根据a的范围化简计算． 【详解】解： 得， 解得， 代入①得， 解得 ∴ 因为， 所以 解得， 所以． 故选B． 【融会贯通】 1．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了解二元一次不等式组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．首先应用加减法，求出，然后根据解一元一次不等式的方法，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，可得， 解得：， ∵， ， 解得：， 故选：A． 2．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．先用代入消元法解方程得出、，然后再列不等式求解即可． 【详解】解：， 由②得：③， 将③代入①得： ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 3．若二元一次方程组的解为x，y，且，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出的值，根据已知进行变形，即可求出答案．能根据二元一次方程组求出是解此题的关键． 【详解】解： 解得： 得：， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、一元一次不等式(组)的规律 【解惑】程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？” (1)请你求出上述问题的解； (2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求至少要为多少尺？ 【答案】(1)绳长48尺，井深11尺 (2) 【分析】（1）设绳长尺，井深尺，根据“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺”，列出方程组，求解即可； （2）根据题意可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口，把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为尺，因而离井口的距离为尺，然后列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设绳长尺，井深尺， 根据题意，得： 解得：， 答：绳长48尺，井深11尺； （2）解：因为要求的是的最小值， 所以可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口（若已爬出井口，则的值会更大）． 把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为尺，因而，离井口的距离为尺， 根据题意，得：， 解得：≥． 答：的最小值为尺． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组和不等式是解题的关键． 【融会贯通】 1．被人们视为枯燥无味的数字，一旦与规律“联姻”就能获得新的生机，显示出浓厚的数趣，因此我们把遵循一定规律的数字视为“趣味数”． 阅读一：一个大于的正整数，若能满足被不大于（的整数）的每一个整数除余数均为 ，那么称这个正整数为“趣味”数（ 取最大）． 例如：（被除余）被 除余 ，被除余 ，那么为“趣四味”数． 阅读二：设不大于（的整数）的所有正整数的最小公倍数为，那么“趣味”数可以表示为（为正整数）． 例如：不大于的所有正整数 的最小公倍数是，那么“趣八味”数可以表示为（为正整数）． （1）请你判断，是“趣___味”数； （2）求出最小的三位“趣三味”数； （3）一个“趣三味”数与一个“趣四味”数的和，求出这两个数． 【答案】（1）七；（2）104；（3）“趣三味”数为20，“趣四味”数为14；或“趣三味”数为8，“趣四味”数为26 【分析】（1）根据“趣味”数的定义即可求解； （2）根据和的最小公倍数是，可设此“趣三味”数为，其中是正整数，根据题意得，可求出 的取值范围，即可求解； （3）根据3，2，1的最小公倍数是； 4，3，2，1的最小公倍数是，可设这个“趣三味”数为，“趣四味”数为，其中为正整数，再由一个“趣三味”数与一个“趣四味”数的和，可得到方程，即可求解． 【详解】解：（1）∵422被8除余4，被7除余2，被6除余2， ∴422为“趣七味”数； （2）∵和的最小公倍数是， 故设此“趣三味”数为，其中是正整数， 当此“趣三味”数是最小的三位数时，则满足， 从而可得：， ∴满足上述条件的最小正整数是 ∴最小的三位“趣三味”数是． （3）3，2，1的最小公倍数是； 4，3，2，1的最小公倍数是， 故设这个“趣三味”数为，“趣四味”数为，其中为正整数． ∵它们的和是， ∴， ∴， 又∵和是正整数， ∴或 ∴ “趣三味”数为，“趣四味”数为；或“趣三味”数为，“趣四味”数． 【点睛】本题主要考查了数字的规律，理解新定义，列出不等式和方程，并运用类比思想解答是解题的关键． 2．下列数值：76，73，79，80，74.9，75.1，90，哪些是不等式的解？你能找出这个不等式其他的解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？ 【答案】76，79，80，75.1，90是不等式；还有其它的解；该不等式的解有无数个；所有大于75的数均是该不等式的解． 【分析】根据不等式的解的定义解答即可． 【详解】解：把76，73，79，80，74.9，75.1，90代入不等式， 使之成立的有76，79，80，75.1，90， 该不等式的解还有77，78，81，83… 该不等式的解有无数个，发现所有大于75的数均是该不等式的解． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，掌握不等式解的概念是解题根本：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，所有这些解的全体叫做不等式的解集． 3．观察下列不等式：①；②；③；… 根据上述规律，解决下列问题： （1）完成第5个不等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个不等式：　 　（用含n的不等式表示） （3）利用上面的猜想，比较和的大小． 【答案】（1）＜；（2）＜；（3）＜． 【分析】（1）根据给出的不等式找出规律进行求解即可； （2）根据题意找出规律求解即可； （3）利用找出的规律将给出的式子进行变形，然后再比较大小即可. 【详解】解：（1）①； ②； ③； … 则第5个不等式为：＜， 故答案为＜； （2）第n个不等式为：＜， 故答案为＜； （3）∵＜＝， ∴＜． 【点睛】本题主要考查的是不等式的性质，数式规律问题的有关知识，由简单计算找出规律是解答本题的关键. 类型五、一元一次不等式(组)的绝对值 【解惑】解不等式； 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式组，绝对值等知识点，分和两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】解：①当即， 解集为， ②当，即， 解集为， 综上可知，原不等式的解集为． 【融会贯通】 1．解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，绝对值等知识点，分和，两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】①当，即， 解集为； ②当，即：， 解集为； 综上可知，原不等式的解集为． 2．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例 1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为的点对应的数为，所以方程的解为． 例 2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到对应的点的距离等于的点对应的数为或，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程的解为 ； （2）解不等式：； （3）解不等式：． 【答案】（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3. 【分析】（1）利用在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8求解即可； （2）先求出的解，再求出的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集. 【详解】解：（1）∵在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8 ∴方程的解为x=2或x=-8 （2）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点的对应的数为-1或5 ∴方程的解为x=-1或x=5 ∴的解集为-1≤x≤5. （3）由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值. ∵在数轴上4和-2对应的点的距离是6 ∴满足方程的x的点在4的右边或-2的左边 若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3 ∴方程的解为x=5或x=-3 ∴的解集为x＞5或x＜-3. 故答案为（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3. 【点睛】本题考查了绝对值及不等式的知识. 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离. 3．已知，为有理数，且，不为0，则定义有理数对的“求真值”为，如有理数数对的“求真值”为，有理数对的“求真值”为． （1）求有理数对的“求真值”； （2）求证：有理数对与的“求真值”相等； （3）若的“求真值”的绝对值为，若，求的值． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）或． 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）利用已知的新定义化简，比较即可； （3）已知等式利用题中的新定义化简，求出a的值即可． 【详解】解：（1）； ； （2）设， 则，， ∴； （3）当时， 若时，则， 解得：（舍去）或； 若时，则， 解得：； 当， 若时，则， 解得：（舍去）或； 若时，则， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为：或． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及乘方的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 类型六、一元一次不等式(组)的作差法应用 【解惑】观察：，，，． (1)猜想：当时，______，______，______（“>”“＝”“<”填空） (2)探究：当时，与（其中n为正整数）的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】（1）观察已知条件中的式子规律，即可猜想得出结论； （2）根据不等式的性质，对进行变形，即可得出与（其中n为正整数）的大小关系． 【详解】（1）∵，，，， ∴猜想：当时，，，． 故答案是，，； （2），理由如下： ∵，n为正整数， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌不等式的性质，利用性质对式子进行变形是解题的关键． 【融会贯通】 1．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么a______b； ②如果，那么a______b； ③如果，那么a______b． (2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①比较与的大小； ②若，比较a，b的大小． 【答案】(1)①＜；②＝；③＞； (2)①；②． 【分析】（1）①根据不等式性质即可解答；根据等式的性质即可解答；③根据不等式性质即可解答； （2）①直接运用作差法进行比较即可；②先根据作差法列出不等式，然后根据不等式的性质确定a、b的大小即可． 【详解】（1）解：①如果，，那么； 故答案为＜； ②如果，，那么； 故答案为=； ③如果，，那么； 故答案为＞． （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】本题主要等式的性质、不等式的性质、代数式大小比较等知识点，掌握运用作差法比较大小成为解答本题的关键． 2．【阅读理解】： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】： （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案） ①__________；②当时，__________；③若，则__________； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】： （3）图1是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为；则与大小的大小关系为： ； （4）已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 【答案】（1）＞；＞；＜；（2）；（3）＜；（4），理由见解析 【分析】（1）①用减去，将所得的差再和0比较大小，即可判断；②用减去，再结合，将所得的差再和0比较大小，即可判断；③用减去，然后变形为，再结合，即可判断； （2）先求出与的差，再变形为，即可判断； （3）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （4）设，则，，用减去，再和0比较大小，即可判断． 【详解】解：（1）①∵， ∴； ②∵， 又∵， ∴， ∴； ③∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；；； （2） ， ， ， ； （3）∵新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的面积， ∵新正方形的长为， ∴新正方形的面积， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4），理由如下： 设，则，， ， ． 【点睛】本题探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“作差法”，考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，不等式的性质，长方形和正方形的面积等知识．读懂方法，利用所学知识和方法计算化简是解题的关键． 3．知识阅读：我们知道，当a＞2时，代数式a－2＞0；当a＜2时，代数式a－2＜0；当a＝2时，代数式a－2＝0． (1)基本应用：当a＞2时，用“＞，＜，＝”填空：a＋5________0；(a＋7)(a－2)________0； (2)理解应用：当a＞1时，求代数式＋2a－15的值的大小； (3)灵活应用：当a＞2时，比较代数式a＋2与＋5a－19的大小关系． 【答案】(1)＞，＞ (2)a2＋2a－15＞－12 (3)当a≥3时，a2＋5a－19≥a＋2；当2＜a＜3时，a2＋5a－19＜a＋2 【分析】（1）当a＞2时，a+5＞2+5=7＞0；a+7＞2+7=9＞0；a-2＞2-2＞0；根据同号得正判断即可． （2）运用完全平方公式，变形后，运用（1）的性质计算即可． （3）先对代数式作差后，分差值大于等于零和小于零，讨论计算即可． 【详解】（1）∵a＞2， ∴a＋5＞0； ∵a＞2， ∴a－2＞0，a＋7＞0， （a＋7）（a－2）＞0， 故答案为：＞，＞． （2）因为＋2a－15＝－16， 当a＝1时，＋2a－15＝－12， 所以当a＞1时，＋2a－15＞－12． （3）先对代数式作差，（＋5a－19）－（a＋2）＝＋4a－21＝－25， 当－25＞0时，a＜－7或a＞3． 因此，当a≥3时，＋5a－19≥a＋2； 当2＜a＜3时，＋5a－19＜a＋2． 【点睛】本题考查了不等式的性质及其应用，熟练掌握性质，灵活运用完全平方公式作差计算是解题的关键． 类型七、延伸拓展——分式不等式 【解惑】先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）仿照例题的思路，即可解答； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：①或②，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为， 由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得： ①或， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得： ①或②， 解不等式组①得无解， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键． 【融会贯通】 1．先阅读，再解题．： 阅读材料：解分式不等式． 解：根据实数的除法法则，同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①，②． 解不等式组①，得：x＞3． 解不等式组②，得：x＜﹣2． 所以原分式不等式的解集是x＞3或x＜﹣2． 请仿照上述方法解分式不等式：＜0． 【答案】-＜x＜． 【分析】根据题中给出的例子列出关于x的不等式组，再求出不等式中x的取值范围即可． 【详解】＜0 可得不等式组①，② 解不等式组①，无解． 解不等式组②，得：-＜x＜ 所以原分式不等式的解集是-＜x＜． 【点睛】本题了解一元一次不等式组，解题关键是利用了同号两数相除得正数，异号两数相除得负数列出关于x的不等式组． 2．阅读材料：解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数， ∴原不等式可转化为：①或② 解①得：无解，解②得： ∴原不等式的解集是 请仿照上述方法解分式不等式： 【答案】或 【分析】先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式． 【详解】根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ① 或② 解①得：   解②得： 所以原不等式的解集是： 或 【点睛】考查一元一次不等式组的应用，把分式方程转化为一元一次不等式组是解题的关键. 3．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ②． 解①得；解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： （1）求不等式的解集． （2）求不等式的解集． 【答案】；x≥3或x＜－2． 【详解】试题分析：根据两式的积为负数，则两数符号相反，从而得出两个不等式组，分别求出x的取值范围；根据等式的值为非负数得出分子为非负数，分母为整数或分子为非正数，分母为负数得出两个不等式组，从而求出x的取值范围． 试题解析：（1）根据“异号两数相乘,积为负”可得① 或② 解不等式组①得无解,解不等式组②得 ∴原不等式的解集为 （2）依题意可得① 或 ② 解①得x≥3,解②得x＜－2 ∴原不等式的解集为x≥3或x＜－2 考点：不等式组的应用． 类型八、延伸拓展——二次不等式 【解惑】阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 【融会贯通】 1．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可； （2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况）①，②，解出不等式组即可． 【详解】（1）当时，， 可以写成, 解得：； 当时，， 可以写成, 解得：， 综上：不等式解集：或； （2）当时，， 可以写成， 解得； 当时，， 可以写成， 解得：无解， 综上：不等式解集：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算． 2．阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 【答案】（3）①或；② 【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可； ②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：（3）①， ∴当时，解得：； 当时，解得：； ∴原不等式的解集为或； ② ∴当时，解得：； 当时，不等式组无解； ∴原不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解． 3．解不等式：． 解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以． 所以不等式的解集为或． 请你根据上面的解法解不等式：． 【答案】或 【分析】根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可； 【详解】由题意得：①或②．由①得， ∴．由②得，， ∴．所以不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，准确分析是解题的关键． 类型九、一元一次不等式(组)的新定义应用 【解惑】定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． （1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案； （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：方程①， 解得：， 方程②：， 解得：， 不等式组， 解得：， 在范围内， 方程②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：②； （2）方程， 解得：， 不等式组， 解得：， 由题意可得：， 解得：； （3）方程， 解得：， 方程， 解得：， ， 解得：， 和都在范围内， ， 解得：． 【融会贯通】 1．【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”． 例如：不等式的解都不是不等式 的解， 则 是 的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在不等式①，②， ③这三个一元一次不等式中， 是的“相斥不等式”的有 （填序号）； (2)若关于的不等式是的“相斥不等式”，同时也是 的“相斥不等式”， 求的取值范围； (3)若是关于的不等式是非零常数）的“相斥不等式”，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能和“相斥不等式”的定义是解题的关键． （1）根据“相斥不等式”的定义即可求解； （2）根据“相斥不等式”的定义可得，，解不等式组即可求解； （3）先“相斥不等式”的定义可得，然后求出不等式的解集为，然后得到，解关于k的不等式即可． 【详解】（1）解：∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； ∵的解有可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”； ∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； 故选①③； （2）解：解不等式得， 解不等式得， 解不等式得， 根据“相斥不等式”的定义得， 解得：； （3）解：∵是关于的不等式的“相斥不等式”， ∴， 解不等式得， ∴， 解得：． 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是_______（填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 【答案】(1)①② (2)m的取值范围是 (3) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据云不等式的定义即可求解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据云不等式的定义可得，解不等式即可求解； （3）分别求出两个不等式的解集，再根据“云不等式”的定义及有2个公共的整数解得，解关于不等式即可求解． 【详解】（1）解：解不等式得，解不等式得， 不等式和不等式有公共解，故①是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式有公共解，故②是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式没有公共解，故③不是不等式的“云不等式”； 故答案为：①②； （2）解：解不等式可得， 解不等式得， 关于的不等式不是的“云不等式”， ， 解得， 故的取值范围是； （3）解：解不等式可得， 解不等式得， 关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解， ， 解得， 故的取值范围是． 3．定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． ①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式； ②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式、和构成关于的不等式满足且解集为，则称，和构成“和谐不等式”． (1)判断代数式，，是否构成“和谐不等式”？请说明理由． (2)若，，构成“和谐不等式”，则______； (3)若，，构成“和谐不等式”，求关于的一元一次不等式组的解集． 【答案】(1)构成“和谐不等式”，理由见解析 (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是： （1）根据“和谐不等式”的定义判断即可； （2）分，，三种情况讨论即可； （3）分，，三种情况讨论，依据新定义求出a，b 的关系，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：构成“和谐不等式” 理由：∵的解集为， ∴代数式，，是构成“和谐不等式” （2）解：当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴不符合题意，舍去， 综上，m的值为或2； （3）解：当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴， 代入不等式组，得， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴， 代入不等式组，得， 解得， ∴不等式无解； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴（不符合题意，舍去）， 综上，. 类型十、阅读理解 【解惑】阅读理解题，阅读下列材料：若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如742． (1)已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”； (2)若一个“倍尾数”的各位数字之和是17，求出所有符合要求的“倍尾数”. 【答案】(1)763 (2)863和584 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，不等式组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键． （1）设这个“倍尾数”个位上的数字为x，则十位上的数字为，百位上的数字为，然后根据“各位数字之和是16”列出方程即可求出结论； （2）设这个“倍尾数”个位上的数字为a，则十位上的数字为，百位上的数字为，根据各个位上的数字为0（不能在最高位）至9之间的整数即可得出结论． 【详解】（1）解：设这个“倍尾数”个位上的数字为x，则十位上的数字为，百位上的数字为，由题意可得： ， 解得：， 则十位上的数字为， 百位上的数字为， ∴这个“倍尾数”为763， 答：这个“倍尾数”为763； （2）解：设这个“倍尾数”个位上的数字为a，则十位上的数字为，百位上的数字为， ∵百位上的数字为1到9之间的正整数，十位上的数字为0到9之间的正整数， ∴，， 解得：， ∴或4， 当时，这个“倍尾数”为863； 当时，这个“倍尾数”为584； 答：符合要求的“倍尾数”有863和584． 【融会贯通】 1．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“”可理解为： ；我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 例如： 我们将作为一个整体，整理得： 再根据绝对值的几何意义：表示数在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为 仿照上述方法，解下列绝对值不等式： ① ②． 【答案】（1）数在数轴上对应的点到原点的距离小于2；（2）①或；②或 【分析】本题属于阅读理解题，绝对值的几何意义的应用，不等式的解法，理解绝对值的几何意义是解本题的关键； （1）根据绝对值的几何意义可得答案； （2）①先把不等式整理为，再结合绝对值的几何意义可得答案；②先把不等式整理为，再结合绝对值的几何意义可得答案 【详解】解：（1）“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于2； （2）①∵， ∴， ∴，即， ∴或； ②∵， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 解得：或 2．阅读理解： 解不等式，在数轴上先找出的解，如图，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：； (3)对于任意数，若不等式恒成立，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值，方程及不等式的知识，是一道材料分析题，通过阅读材料，深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目． （1）先求出的解，再求的解集即可； （2）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集； （3）原问题转化为：小于的最小值，进行分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：在数轴上找出的解， 在数轴上到3对应的点的距离等于2的点对应的数为1或5， 方程的解为或， 不等式的解集为． （2）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值． 在数轴上4和对应的点的距离为6， 满足方程的对应的点在4对应的点的右边或对应的点的左边． 若对应的点在4对应的点的右边，则， 解得； 若对应的点在对应的点的左边，则， 解得， 方程的解是或， 不等式的解集为或． （3）解：原问题转化为：小于的最小值． 当对应的点在2和对应点之间时，有最小值为6， ∴． 3．阅读理解 定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为，的解为，在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 问题解决 （1）不等式组：①，②，③中，是不等式的“子集”的是_________；（填序号） （2）若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，求k的取值范围； 问题拓展 （3）若关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，直接写出m的取值范围是___________． 【答案】【小问1】③     【小问2】     【小问3】或 【分析】（1）分别求出每一个不等式组的解集，再根据新定义，逐项判断即可求解； （2）先求出不等式组和不等式的解集，再根据不等式组是关于x的不等式的“子集”，得到关于k的不等式，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：不等式的解集为， ①的解集为， ∵不在的范围内， 一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”． ②的解集为， ∵不在的范围内， ∴一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”． ③的解集为， ∵在的范围内， ∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 故答案为：③ （2）解：的解集为， 的解集为， ∵一元一次不等式组是关于x的不等式的“子集”， ∴， 解得：； （3）解：的解集为， 当，即时， 的解集为， ∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”， ∴，解得：， ∴此时； 当，即时， 的解集为， ∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”， ∴，解得：， ∴此时； 综上所述，m的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键． 【一览众山小】 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B．     C．     D．   【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、再数轴上表示解集等知识点，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 先分别求出每个不等式的解集，然后再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示如下：    故选D． 2．若，则在下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 故选：． 3．已知多项式，其中且，对多项式中任意相邻的字母间添加一个括号（不可对单个字母添加括号），并改变括号前的符号，得到一个新多项式，然后求新多项式的绝对值，称此为“双添变换操作”．例如： ，，，下列结论正确的个数是（   ） ①存在“双添变换操作”的化简结果与原多项式相同； ②至少存在一种“双添变换操作”，使其化简结果与原多项式的差为； ③所有的“双添变换操作”共有种不同的化简结果． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数式的操作，绝对值的化简，整式的加减，不等式的性质，熟练掌握利用不等式的性质化简绝对值是解题的关键．根据“双添变换操作”的定义，把所有情况列举出来，利用不等式的性质进行化简，再对选项逐一判断即可． 【详解】解：根据题意依次列举“双添变换操作”， 当相邻两个添加括号时， 情况：； 情况：， ∵， ∴，， ∴， ∴； 情况：， ∵， ∴，， ∴， ∴； 情况：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当相邻三个添加括号时， 情况：， ∵，， ∴， ∴； 情况：； 情况：， ∵，， ∴， ∴； 当相邻四个添加括号时， 情况：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 情况：， ∵，， ∴， ∴； 当相邻五个添加括号时， 情况：， 其中情况的化简结果与原多项式相同， 故①正确； 要使“双添变换操作”的化简结果与原多项式的差为， 则“双添变换操作”的化简结果为， 所有情况中没有符合的， 故②错误； 十种情况中，情况的结果与情况的结果相同；情况的结果与情况的结果相同；其余结果互不相同， 故所有的“双添变换操作”共有种不同的化简结果， 故③正确； 综上所述，正确的结果有个， 故选：C． 4．若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有3个整数解， ∴，且三个整数解为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 5．来宾市某校组织开展了“民族团结”的知识竞赛，共有30道竞赛题，选对一题得5分，不选或者错选一道题扣2分，若得分不低于60分获奖，那么至少答对 道题才能获奖． 【答案】18 【分析】本题考查一元一次不等式应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设应选对x道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解:：设应选对x道题，则不选或错选的有道， 依题意得：， 解得： ∴至少应选对18道题才能获奖， 故答案为：18． 6．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表： 月用电量 电费价格／［元／ 0.48 0.52 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 先判断出电费是否超过度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过元，列不等式计算即可． 【详解】解：（元）， 李叔家七月份用电量不超过， 设李叔家七月份最用电， 依据题意可得， ， 解得，， 故李叔家七月份最多可用电， 故答案为：． 7．解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、再数轴上表示解集等知识点，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分为不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示即可； （2）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分为不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示即可； 【详解】（1）解：（1）解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下： （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下： 8．解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并求出该不等式组所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为3，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，将不等式组的解集在数轴上表示出来，求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，在数轴上表示出来后，求出整数解再求和即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为． 解集表示在数轴上如图： 故所有整数解的和为． 9．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】(1)无缘组合 (2) 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“有缘组合”和“无缘组合”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“有缘组合”的定义一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解进而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 10．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． (4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个． 【答案】(1)3，4 (2)制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个 (3)12 (4)27 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）根据题意得到所需纸板的数量，然后根据大纸板的数量不超过18张列不等式计算最大整数接即可； （4）设可以制作横式纸盒个，根据横式纸盒所需的型长方形和型正方形纸板的数量计算出所需大纸板的数量，根据题意列不等式，求最大值即可． 【详解】（1）由题意可得， 1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：根据题意，得． 解得． 为非负整数， 的最大值为12； （4）设可以制作横式纸盒个． 个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型， 需要张型和张型， ，解得， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个． 故答案为：27． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$