第7章 一元一次不等式（基础+中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

第7章 一元一次不等式思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式(组)的定义 【解惑】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．理解不等式的定义是解题关键．主要依据不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：②，③是等式，④是代数式，①⑤⑥是不等式， 因此不等式有3个， 故选：A． 【融会贯通】 1．现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 2．下列各式是一元一次不等式的有 个． ，，，，， 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．利用一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 是等式，不是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 故是一元一次不等式的有个， 故答案为：． 3．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义和绝对值的意义进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 且， ∴， 故答案为：． 类型二、列一元一次不等式(组) 【解惑】明明准备用自己的零花钱买一台学习机，他现在已经存了125元，计划从现在起以后每个月存20元，直到他至少有500元时再买学习机．设x个月后他至少有500元，则根据题意可列一元一次不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，可知x个月后他的零花钱有元，结合“他至少有500元时再买学习机”即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 【融会贯通】 1．小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查看图列不等式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答．本题是看图列不等式，要不低于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过120，进而作答． 【详解】解：由图可知最低限速60， ∴， 又自驾游的车属于小轿车， 小轿车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C． 2．在播种之前，需要先给土壤施肥，刘叔叔选择了一款由硫酸铵、氯化铵（氯化铵添加量）混合的铵态氮肥，已知该种肥料一袋净含量是，设其中硫酸铵的含量为，则可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题抽象出一元一次不等式，找出不等量关系是解题的关键．根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设其中硫酸铵的含量为，根据题意可得：， 故答案为：． 3．盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组即可． 【详解】根据题意知：盐湖区今天的最高气温是，最低气温是， ∴当天盐湖区气温的变化范围为： 故答案为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 类型三、不等式的基本性质 【解惑】若，则下列不等式不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； 当时，，故选项D符合题意； 故选D． 【融会贯通】 1．若，那么下列式子中错误的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A.， ，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项不符合题意； C．， ，故本选项不符合题意； D．， ，故本选项符合题意． 故选：D 2．若，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质求解即可，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．用“>”或“<”填空：若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；根据不等式的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； 故答案为：<，>． 类型四、一元一次不等式(组)的解 【解惑】在﹣2、3、﹣4、0、1、、﹣中能使不等式x﹣2＞2x成立的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】直接解不等式，进而得出符合题意的个数． 【详解】解：x﹣2＞2x， 解得：x＜﹣2， 故符合题意的有：﹣4，﹣共2个． 故选：C． 【点睛】此题考查不等式的解集，正确解不等式是解题关键． 【融会贯通】 1．下列不等式的解集为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法． 分别解出四个选项中不等式的解集即可解答． 【详解】解：A．解得，故该选项不符合题意； B．解得，故该选项符合题意； C．解得，故该选项不符合题意； D．解得，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．已知满足不等式组，则符合条件的的值可以是 （写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法步骤是解答的关键．先解得每个不等式的解集，然后求得它们的公共部分可得不等式组的解集，进而可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴符合条件的的值可以是0、1等，答案不唯一， 故答案为：0（答案不唯一） 3．写出一个解集为的一元一次不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解集，关键是根据不等式的解写出一元一次不等式即可． 根据一元一次不等式的解直接进行解答即可． 【详解】因为， 所以满足这个解集的一元一次不等式有、等等． 故答案为：（答案不唯一）． 类型五、在数轴上表示不等式(组)的解集 【解惑】如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 根据数轴上表示的解集写出不等式即可． 【详解】解：根据数轴上表示的解集得：， 故选：B． 【融会贯通】 1．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集．熟练掌握一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集是解题的关键．先分别解出不等式组的每一个不等式的解集，再找出其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：B． 2．如图，根据数轴所示，关于x的不等式可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集．根据不等式的解集的表示方法，即可解答． 【详解】解：如图，根据数轴所示，关于的不等式可以表示为， 故答案为：． 3．若关于 x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键． 根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 类型六、一元一次不等式(组)求参 【解惑】已知是不等式的解，的值可以是（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，解不等式，熟练掌握不等式的解是解题的关键．先把代入不等式，得出关于的不等式，解之得到的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：是不等式的解， ， ． 故选：A． 【融会贯通】 1．不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 2．若关于的不等式的解集为．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先解不等式得到，由不等式得解集为，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式得解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围． 解：∵一元一次不等式组的解集为， ， 解得． 故答案为：． 类型七、一元一次不等式(组)有、无解 【解惑】关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根据一元一次不等式组的解集求解参数范围，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解． 【详解】解：∵， 由①得：， 由②得：， ∴关于的一元一次不等式组可得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：； 故选A． 【融会贯通】 1．若整数a使关于x的方程的解为非负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查根据不等式组解情况求参数，解题的关键是正确解出不等式根据解情况得到新的不等式．根据方程的解为非负数，得出，解出两个不等式，根据不等式组无解可得出，即可得到答案． 【详解】解∶解方程，得， ∵整数a使关于x的方程的解为非负数， ∴， ∴， ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值为，0，1，2，3，4， ∴所有满足条件的整数a的值的和为， 故选：C． 2．已知关于的不等式组有解，实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数范围．根据题意解出不等式组，继而得到本题答案． 【详解】解：∵有解， ∴解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴，即：， 故答案为：． 3．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先把a当作已知条件表示出不等式的解集，再由不等式组无解即可得出结论． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 类型八、解一元一次不等式(组) 【解惑】解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解①，得； 解②，得， ∴， 故不等式组的解集为． 【融会贯通】 1．解下列一元一次不等式，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的求解方法为解题关键． （1）根据去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求出解集，在数轴上表示出来即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求出解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图． （2）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图． 2．下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，合并同类项，得．…第三步 两边都除以3，得．…第四步 任务一：填空：①以上运算步骤中，去分母的依据是________； ②以上运算步骤中，第二步变形所依据的运算律是________； ③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请求出正确的计算结果． 【答案】任务一：①不等式的基本性质2；②乘法分配律；③二；括号前是负号，去括号时，第二项没有变号；任务二： 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式； 任务一：①根据不等式的性质求解即可；②根据解题步骤可知运用了乘法分配律；③根据去括号法则可知在第二步去括号时，第二项没有变号； 任务二：按照解一元一次不等式的步骤解不等式即可． 【详解】解：任务一：①以上运算步骤中，去分母的依据是不等式的基本性质2； ②以上运算步骤中，第二步变形所依据的运算律是乘法分配律； ③第二步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是负号，去括号时，第二项没有变号． 故答案为：①不等式的基本性质2；②乘法分配律；③二  括号前是负号，去括号时，第二项没有变号． 任务二： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以3，得． 3．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．    【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 把解集在数轴上表示出来如下：    类型九、一元一次不等式的应用 【解惑】近年来，江西省委、省政府十分重视生态环境保护，某公交公司为落实省委，省政府的政策要求，计划购买型和型两种型号的新能源公交车若干辆，若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需340万元；若购买型公交车3辆，型公交车4辆，共需820万元． (1)求购买型和型公交车每辆各需多少万元？（用二元一次方程解答） (2)若该公交公司购买型和型公交车的总费用不超过1640万元，共购买14辆，则该公交公司哪种购买型车的量最少？这种购车方案应花费多少钱呢？ 【答案】(1)型公交车每辆需108万元，型公交车需124万元 (2)购买型车6辆，型车8辆时购买型车的量最少，应花1640万元 【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题． （1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需340万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需820万元”可列出二元一次方程组解决问题； （2）设型公交车购买辆，则型公交车购买辆．，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1640万元”可列出不等式组探讨得出答案即可得到购车方案，利用一次函数的性质可求最少总费用． 【详解】（1）解：设型公交车每辆需万元，型公交车需万元． 由题意得：，解得 所以，型公交车每辆需108万元，型公交车需124万元． （2）解：设型公交车购买辆，则型公交车购买辆． 由题意得： 解得： 所以，当时，购买型车的量最少，应花（万元） 答：购买型车6辆，型车8辆时购买型车的量最少，应花1640万元． 【融会贯通】 1．某业主用货款万元购进一台机器，生产印有巴黎奥运会吉祥物的水杯，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的．若每天能生产、销售2000个产品，问至少几天能够赚回这台机器的贷款． 【答案】至少5天能够赚回这台机器的贷款． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据不等关系列出不等式是解题的关键．设x天能够赚回这台机器的贷款，根据赚回这台机器的贷款需要万元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：设x天能够赚回这台机器的贷款，根据题意得： ， 解得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为5， 答：至少5天能够赚回这台机器的贷款． 2．某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种， 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减70元． （如：所购商品原价为300元，可减70元，需付款230元；所购商品原价为700元，可减140元，需付款560元） （1）若购买一件原价为400元的健身器材，更合算的选择方式为活动 ； （2）若购买一件原价为元的健身器材，选择活动二比选择活动一更合算，则的取值范围是 ． 【答案】 一 或 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用． （1）根据该专卖店推出两种优惠活动，求分别求出选择活动一及选择活动二需付款金额，比较后即可得出结论； （2）分，及三种情况考虑，分别列不等式解不等式可得答案． 【详解】解：（1）选择活动一需付款（元）， 选择活动二，可减70元，需付款（元）， ∵， ∴更合算的选择方式为活动一， 故答案为：一； （2）当时，选择活动二无优惠，舍去； 当时，选择活动二可减70元，需付款元， 若， 解得：， ∴当时，选择活动二比选择活动一更合算； 当时，选择活动二可减140元，需付款元， 若， 解得， ∴当时，选择活动二比选择活动一更合算． 综上所述，a的取值范围是或，选择活动二比选择活动一更合算． 故答案为：或． 3．春节期间，甲、乙两个商场针对某品牌冰箱的促销方案如下： 商场 甲 乙 第一次优惠 八折 降价500元 第二次优惠 打折后消费1500元及以上，减免200元 降价后消费2000元及以上，减免400元 (1)设某冰箱的原价为x（）元，在享受两次优惠后，甲商场该冰箱实付价为_________元，乙商场该冰箱实付价为_________元． (2)小华在甲商场购买了一台冰箱，小东在乙商场购买了一台冰箱，均享受了两次优惠，以下是他们的对话． 小华：真有意思，我买的冰箱原价比你的冰箱原价低，但我的实付价却比你的实付价高 小东：更有意思的是，我买的冰箱原价比你的冰箱原价高了105元，实付价却恰好比你的实付价低了105元 分别求小华和小东购买的冰箱的原价 (3)若某冰箱的原价高于2500元，请你帮忙计算在哪家商场购买比较划算？ 【答案】(1) (2)小华购买的冰箱的原价为2450元，小东购买的冰箱的原价为2555元 (3)见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用及不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列方程． （1）依据表格，即可求得； （2）设小华购买的冰箱的原价为y元，则小东购买的冰箱的原价为元，根据题意列出方程求解即可； （3）分别令，令，令，求出各自x的范围，即可作答． 【详解】（1）解：设某冰箱的原价为x（）元，在享受两次优惠后， 甲商场该冰箱实付价为元， 乙商场该冰箱实付价为元． （2）解：设小华购买的冰箱的原价为y元，则小东购买的冰箱的原价为元． 由题意，得， 解得． （元）． 答：小华购买的冰箱的原价为2450元，小东购买的冰箱的原价为2555元． （3）解：设该冰箱的原价为x元 令，解得， 令，解得， 令，解得． 当时，在乙商场购买比较划算； 当时，在两家商场购买价格相同； 当时．在甲商场购买比较划算． 类型十、一元一次不等式组的应用 【解惑】某小区计划购买台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元． (1)型健身器材和型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】(1)型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元 (2)有种购买方案．购买台型健身器材，台型健身器材最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，能够理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解答本题的关键． （1）设型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元，根据“购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买台型健身器材，则购买台型健身器材，根据“购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各购买方案，求出选择各方案所需购买资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元， 依题意得：， 解得：， 答：型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元； （2）解：设购买台型健身器材，则购买台型健身器材， 依题意得：， 解得：，   又为整数， 可以为，， 共有种购买方案， 方案：购买台型健身器材，台型健身器材，所需购买资金为（元）； 方案：购买台型健身器材，台型健身器材，所需购买资金为（元）； ， 最省钱的购物方案为：购买台型健身器材，台型健身器材． 【融会贯通】 1．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 2．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？ 【答案】(1)生产种产品8件，种产品2件． (2)见解析 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用． （1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据“工厂计划生产，两种产品共10件，工厂计划获利14万元”列出方程组即可得出结论； （2）设生产产品件，则生产产品件，根据题意，列出一元一次不等式组，求出m的取值范围，即可求出方案． 【详解】（1）解：设生产种产品件，则生产种产品件， 根据题意，得解得 答：应该生产种产品8件，种产品2件． （2）解：设生产产品件，则生产产品件， 根据题意，得 解得． 为正整数， 的值为5，6或7， 该工厂有三种生产方案： 方案①：生产种产品5件，种产品5件； 方案②：生产种产品6件，种产品4件； 方案③：生产种产品7件，种产品3件． 3．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 【答案】(1)， (2)三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人 ②招聘工种工人人，工种工人人 ③招聘工种工人人，工种工人人 方案③，万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键． （1）设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，根据题意列方程求解即可； （2）设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元， 根据题意可列方程：， 解得：， 则， 、两个工种工人的月工资分别为万元、万元； （2）解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人， 根据题意可列不等式组： ， 解得：， 为整数， 的值为、、， 该车间共有三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人； ②招聘工种工人人，工种工人人； ③招聘工种工人人，工种工人人； 工种工人的月工资比工种工人的月工资低， 招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少， 招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元， 答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元． 【一览众山小】 1．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，根据数轴上的点确定式子的符号，不等式的性质，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 根据数轴上点的特点得到，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项正确，符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 2．若，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，即：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴，故本选项不符合题意； B、∵，∴，故本选项不符合题意； C、∵，∴，故本选项符合题意； D、∵，∴，∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 数轴上表示，如图所示： 故选：C． 4．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值： ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解是解题的关键．根据不等式组的解及解集可得出a的范围，再范围内选取任一个符合条件的数即可． 【详解】解：关于x的不等式组的解集是， a的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 5．不等式组的解集 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 故答案为：． 6．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，例如：．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】首先根据新定义把转化成一般的不等式，然后解不等式即可．本题主要考查的是新定义，利用新定义列不等式，理解题意，掌握解不等式的方法是解题的关键 【详解】解：由题意得：，且 ∴， ， 解得：， 故答案为：． 7．八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． (1)______； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确理解新定义和求出每一个不等式解集是解答此题的关键． （1）根据表示不大于A的最大整数即可得； （2）根据新定义知，解之可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：， 解得：， 故答案为：． 8．解不等式组并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的整数解为0和1 【分析】先分别解出两个不等式的解集，并表示在数轴上，找到公共解集，再解出其中的整数解即可．本题考查解一元一次不等式组的整数解、将不等式组的解集表示在数轴上等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 在数轴上表示不等式①，②的解集： 所以不等式组的解集是， 不等式组的整数解为0和1 9．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． (2)学校共有以下3种购买方案：方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元，根据购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个甲种品牌毽子，根据甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． （2）设购买个甲种品牌毽子，则购买个乙种品牌毽子． 根据题意，得 解得． 又因为均为正整数， 所以可以为60，62，64， 所以学校共有以下3种购买方案： 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 10．若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (2)若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键． （1）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义即可解答． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为， 解方程，得， 因为方程是不等式组的“子方程”，所以，解得； （2）解方程，得， 解方程，得． 解不等式③，得， 解不等式④，得， 所以原不等式组的解集为． 因为方程都是关于x的不等式组的“子方程”， 所以， 解得． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 一元一次不等式思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式(组)的定义 【解惑】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【融会贯通】 1．现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列各式是一元一次不等式的有 个． ，，，，， 3．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 类型二、列一元一次不等式(组) 【解惑】明明准备用自己的零花钱买一台学习机，他现在已经存了125元，计划从现在起以后每个月存20元，直到他至少有500元时再买学习机．设x个月后他至少有500元，则根据题意可列一元一次不等式为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．在播种之前，需要先给土壤施肥，刘叔叔选择了一款由硫酸铵、氯化铵（氯化铵添加量）混合的铵态氮肥，已知该种肥料一袋净含量是，设其中硫酸铵的含量为，则可列不等式为 ． 3．盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为 ． 类型三、不等式的基本性质 【解惑】若，则下列不等式不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若，那么下列式子中错误的是（　　　） A． B． C． D． 2．若，则 （填“”或“”）． 3．用“>”或“<”填空：若，则 ， ． 类型四、一元一次不等式(组)的解 【解惑】在﹣2、3、﹣4、0、1、、﹣中能使不等式x﹣2＞2x成立的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【融会贯通】 1．下列不等式的解集为的是（   ） A． B． C． D． 2．已知满足不等式组，则符合条件的的值可以是 （写出一个即可） 3．写出一个解集为的一元一次不等式： ． 类型五、在数轴上表示不等式(组)的解集 【解惑】如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，根据数轴所示，关于x的不等式可以表示为 ． 3．若关于 x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是 ． 类型六、一元一次不等式(组)求参 【解惑】已知是不等式的解，的值可以是（   ） A． B．4 C．0 D． 【融会贯通】 1．不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式的解集为．则的值为 ． 3．如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 类型七、一元一次不等式(组)有、无解 【解惑】关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若整数a使关于x的方程的解为非负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 2．已知关于的不等式组有解，实数的取值范围为 ． 3．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 类型八、解一元一次不等式(组) 【解惑】解不等式组：． 【融会贯通】 1．解下列一元一次不等式，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 2．下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，合并同类项，得．…第三步 两边都除以3，得．…第四步 任务一：填空：①以上运算步骤中，去分母的依据是________； ②以上运算步骤中，第二步变形所依据的运算律是________； ③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请求出正确的计算结果． 3．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．    类型九、一元一次不等式的应用 【解惑】近年来，江西省委、省政府十分重视生态环境保护，某公交公司为落实省委，省政府的政策要求，计划购买型和型两种型号的新能源公交车若干辆，若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需340万元；若购买型公交车3辆，型公交车4辆，共需820万元． (1)求购买型和型公交车每辆各需多少万元？（用二元一次方程解答） (2)若该公交公司购买型和型公交车的总费用不超过1640万元，共购买14辆，则该公交公司哪种购买型车的量最少？这种购车方案应花费多少钱呢？ 【融会贯通】 1．某业主用货款万元购进一台机器，生产印有巴黎奥运会吉祥物的水杯，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的．若每天能生产、销售2000个产品，问至少几天能够赚回这台机器的贷款． 2．某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种， 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减70元． （如：所购商品原价为300元，可减70元，需付款230元；所购商品原价为700元，可减140元，需付款560元） （1）若购买一件原价为400元的健身器材，更合算的选择方式为活动 ； （2）若购买一件原价为元的健身器材，选择活动二比选择活动一更合算，则的取值范围是 ． 3．春节期间，甲、乙两个商场针对某品牌冰箱的促销方案如下： 商场 甲 乙 第一次优惠 八折 降价500元 第二次优惠 打折后消费1500元及以上，减免200元 降价后消费2000元及以上，减免400元 (1)设某冰箱的原价为x（）元，在享受两次优惠后，甲商场该冰箱实付价为_________元，乙商场该冰箱实付价为_________元． (2)小华在甲商场购买了一台冰箱，小东在乙商场购买了一台冰箱，均享受了两次优惠，以下是他们的对话． 小华：真有意思，我买的冰箱原价比你的冰箱原价低，但我的实付价却比你的实付价高 小东：更有意思的是，我买的冰箱原价比你的冰箱原价高了105元，实付价却恰好比你的实付价低了105元 分别求小华和小东购买的冰箱的原价 (3)若某冰箱的原价高于2500元，请你帮忙计算在哪家商场购买比较划算？ 类型十、一元一次不等式组的应用 【解惑】某小区计划购买台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元． (1)型健身器材和型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【融会贯通】 1．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 2．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？ 3．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 【一览众山小】 1．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值： ． 5．不等式组的解集 ． 6．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，例如：．不等式的解集是 ． 7．八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． (1)______； (2)若，求的取值范围． 8．解不等式组并写出它的整数解． 9．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 10．若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (2)若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$