7.1—7.2 认识不等式、不等式的基本性质 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

7.1—7.2 认识不等式、不等式的基本性质 一、认识不等式 一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围。不等式的解集可以用不等式表示，也可以用数轴直观地表示出来。 二、不等式的基本性质 不等式的基本性质是解不等式的重要依据，以下是其主要内容： 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。即如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c（c为任意实数或整式）。 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果a>b，并且c>0，那么ac>bc，a/c>b/c（c为正数）。 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果a>b，并且c<0，那么ac<bc，a/c<b/c（c为负数）。 此外，不等式还具有以下性质： 性质4：不等关系具有传递性，即如果a>b且b>c，那么a>c。 性质5：同向不等式可加性，即如果x>y，z>w，那么x+z>y+w。 性质6：正值不等式可乘性，即如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn。 性质7：倒数法则，即对于正数a、b（a≠b），如果a>b，那么1/a<1/b；如果a<b，那么1/a>1/b。 巩固课内例1:用不等式表示下列关系 1．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意v与30应满足的不等关系为， 故选：A． 2．“m的平方比m的5倍小”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是关键． x的5倍即为，小即“”，据此列不等式． 【详解】解：根据题意得： 故答案为：． 3．用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 (4)用P表示明天下雨的可能性，则有 (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 【分析】（1）非正数用“”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有； （5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 巩固课内例2:不等式中的票价问题 1．某班人去科技馆参观，科技馆票价是每人10元，但若购团体票（不低于50张），则可享受八五折优惠．班长算了算，购买50张票反而更合算，则m至少为（    ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】B 【分析】根据题意即可列出一元一次不等式，解不等式即可求得． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 是正整数， 最小取43， 故m至少为43， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，根据题意列出不等式是解决本题的关键． 2．某班级若干名同学星期天去公园游览，公园票价元人，团体人以上（含人）8折优惠，他们发现买团体票比买单人票便宜，则他们至少有 人 【答案】21 【分析】本题可设有人．则买团体票需要的钱数是：，买单人票需要的钱数是：，根据买团体票比买单人票便宜，就可以列出不等式，解出的取值． 【详解】解：设有人． 则， 解得：， 因此他们至少有21人． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时要注意购买团体票即至少要买25张票因此若小于25也要按25张票的价钱来计算． 3．某公司40名员工到一景点集体参观，票价为每张10元，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折．这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠．请你帮助他们选择购票方案． 【答案】当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于16人时，购买团体票合算；当女士人数多于16人不超过40人时，购买女士五折票合算 【分析】 此题考查一次函数应用问题的方案问题，利用建立一元一次不等式和一元一次方程，找到方案选择的临界数值是解题的关键．设该公司参观者中有女士人，选择购买女士五折票时所需费用为元，选择购买团体票时所需费用为元，根据题意求得、的函数关系式，分三种情况求得相应的的取值范围：，，． 【详解】 解：设该公司参观者中有女士人，选择购买女士五折票时所需费用为元，选择购买团体票时所需费用为元，根据题意得： ， 整理得， ， 由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得． ∴当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于16人时，购买团体票合算；当女士人数多于16人不超过40人时，购买女士五折票合算． 巩固课内例3:不等式的解 1．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的基本性质、不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质的运用，注意符号的变化是解答的关键． 2．下列各数中，是不等式的解的是 （填序号）． ①；②；③0；④；⑤4． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，由得，据此可得答案． 【详解】解：由得， ∴是不等式的解得是④，⑤4， 故答案为：④⑤． 3．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解 (2)是该不等式的解，5不是该不等式的解 【分析】本题考查不等式的解的意义． （1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立； （2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立． 【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式不成立； 当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式成立； 故是该不等式的解，不是该不等式的解． （2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得， 因为，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式成立； 当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式不成立， 故是该不等式的解，5不是该不等式的解． 巩固课内例4:不等式的基本性质1 1．解不等式，下列选项中移项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，不等式未知数移到左边，常数项移到右边变形得到结果，即可做出判断． 【详解】解：一元一次不等式移项时，移动的项要变号 因此将方程移项可得到 故选A． 2．若，则 2（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边同乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变. 【详解】解：， 不等式两边同时减去，得， 即， 故答案为： 3．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 这种比较大小的方法称为作差法，请运用这种方法比较与的大小． 【答案】 【分析】根据材料提示的“作差法”与平方数的非负性即可求解． 本题主要考查整式的加减混合运算，作差法比较两个代数式的大小，不等式的性质，掌握以上知识的运用是解题的关键． 【详解】解：由题意，得 ． 因为，， 所以， 所以． 巩固课内例5:不等式的基本性质2 1．由得到的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边同时乘（或除以）同一个数时，不等号方向的变化规律． 根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；不等式两边同时乘0，两边相等． 分析在的基础上，怎样变形能得到，从而确定的取值范围． 【详解】已知，要得到，说明在不等式两边同时乘后，不等号方向改变或者变为等号， 当时，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得， 当时，， 所以由得到的条件是， 故选：D． 2．若，则 （填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ． 故答案为：． 3．根据不等式的基本性质，将下列不等式化成或的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的解法； （1）根据不等式的两边都除以可得答案； （2）根据不等式的两边都除以可得答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， 即． 类型一、不等式的定义 1．下列各式中，属于不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，含有不等符号的式子叫不等式，根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：不含有不等符号，不是不等式，故选项A错误，不符合题意； 含有不等符号，是不等式，故选项B正确，符合题意； 含有等号，是方程，不是不等式，故选项C错误，不符合题意； 不含有不等符号，不是不等式，故选项D错误，不符合题意； 故选项为：B 2．有下列各式：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有 个． 【答案】3 【分析】依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．本题考查了不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，③；④；⑤都是不等式， ∴不等式的有3个， 故答案为：3． 3．下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】等式有②，不等式有①③④⑥ 【分析】表示相等关系的式子叫等式，用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫不等式，再逐个判断即可． 【详解】解：等式有②； 不等式有①；③；④；⑥； 综上，等式有②，不等式有①③④⑥． 【点睛】本题考查了等式和不等式的定义，能熟记等式和不等式定义是解此题的关键． 类型二、不等式表示数量关系 1．某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量之间的不等关系． 首先表示9件商品的平均价格为 元，而以每件元的价格把商品全部卖掉，结果赔了钱，所以有，继而得出a和b的关系． 【详解】解：∵9件商品的平均价格为 元， ∵商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了， ∴ ， 解得：， 故选：A． 2．“y的3倍与5的和不小于”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，正确理解题目中的关键词“不小于”是解题的关键．不小于表示大于或等于,根据题意即可得出答案． 【详解】“y的3倍与5的和不小于”用不等式表示为． 故答案为：． 3．根据下列数量关系列不等式： (1)x的7倍减去1是正数． (2)y的与的和不大于0． (3)正数a与1的和的算术平方根大于1． (4)y的20%不小于1与y的和． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）根据“x的7倍减去1是正数”直接列不等式即可； （2）根据“y的与的和不大于0”直接列不等式即可； （3）根据“正数a与1的和的算术平方根大于1”直接列不等式即可； （4）根据“y的20%不小于1与y的和”直接列不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查列不等式，准确理解“大于，小于，不大于，不小于”这些词语是关键． 类型三、不等式的解集在数轴上表示 1．下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】C 【分析】由得或进而即可求解； 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴（1）（4）符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查绝对值的概念、不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． 2．在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据得变形为，得到解集为，根据不等式的解集为，得到，解答即可． 本题考查了解不等式，根据不等式的解集求参数，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴变形为， 解得， 不等式的解集为， ∴， 解得． 故答案为：． 3．解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 先求解不等式，然后把它的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 将不等式的解集表示在数轴上如图所示：    类型一、不等式中的求参取值 1．若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变可知，即可得到的取值范围． 【详解】解：， ，即． 故选：C． 2．如果不等式的解集为，则必须满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出的范围即可． 【详解】解：不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 3．已知． (1)比较与的大小，并说明理由； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是掌握不等式的基本性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质判断即可． 【详解】（1）解：，理由： ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． 类型二、不等式的依据 1．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的知识，解题的关键是掌握不等式的性质，即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 当，时，；当，时，；当，时，； ∴不一定成立； B、∵， ∴； ∴B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴C符合题意； D、∵ ∴当时，；当时，； ∴D不符合题意； 故选：C． 2．用“>”“<”或“=”填空： （1）如果，那么a b； （2）试比较与的大小． ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ． 【答案】 【分析】此题考查不等式的性质， （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，故， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； ③∵，， ∴， 故答案为：． 3．已知，试着用不等式的基本性质和分别比较与的大小． 解法一（利用基本性质） 解法二（利用基本性质） 【答案】，见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解法一：∵， ∴， ∴， ∴； 解法二：∵，， ∴． 类型三、不等式的实际意义 1．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是(　　) A．两种客车总的载客量不少于500人 B．两种客车总的载客量不超过500人 C．两种客车总的载客量不足500人 D．两种客车总的载客量恰好等于500人 【答案】A 【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【详解】不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于500人， 故选A． 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠． 2．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键． 根据题意，列出不等式即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 3．一根弹簧长，在弹性限度（总长不超过）内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． (1)代数式表示的实际意义是________ (2)这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)挂质量为的物体时弹簧的长度． (2) 【分析】此题主要考查了代数式的实际意义和一元一次方程的解法，理解题意并根据题意列出相应的关系式是解题的关键． （1）根据题意得出代数式表示的实际意义是挂上质量的物体后，弹簧的总长度； （2）设这根弹簧最多可挂质量为的物体，根据题意列出方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵这根弹簧长，在弹性限度（总长不超过）内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． ∴表示的实际意义是挂质量为的物体时弹簧的长度． （2）解：设这根弹簧最多可挂质量为x千克的物体． 根据题意得：，解得． 答：这根弹簧最多可挂质量为的物体． 类型一、不等式的整数解 1．满足的最大整数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】逐项分析，求出满足题意的最大整数即可． 【详解】A选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意， B选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意， C选项，，满足的最大整数，故该选项符合题意， D选项，，不满足，故该选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解． 2．不小于且小于3的整数有 . 【答案】、0、1、2 【分析】根据不等式的定义和有理数的大小比较求解即可． 【详解】解：不小于且小于3的整数有：、0、1、2， 故答案为：、0、1、2． 【点睛】本题考查不等式的定义和有理数的大小比较，理解不小于即为“≥”是解题的关键． 3．已知x是整数，并且，在数轴上表示x可能取的所有数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上的点与实数是一一对应的关系．数轴上的点与实数是一一对应的关系，要注意解不等式的整数解，是在其取值范围内找到符合条件的数值． 【详解】解：x可能取的数有，，0，1，2．如图所示． 类型二、作差法比较大小 1．若，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，但与的大小不能确定， 选项A不一定成立，符合题意； B、， ， 选项B成立，不符合题意； C、， ， 选项C成立，不符合题意； D、， ， 选项D成立，不符合题意； 故选：A． 2．（推理能力）用等号或不等号填空． (1)比较与的大小： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； ④当时，_______． (2)当取任意实数时，_______； (3)当，取任意实数时，_______． 【答案】(1)①；②；③；④； (2)； (3)． 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是掌握不等式性质问题及由特殊到一般的解题思路． （1）先将具体数值分别代入和，再比较大小后即可得解； （2）根据（1）中的结论进行总结即可推测； （3）根据（1）（2）的结论推广后可得． 【详解】（1）解：当时，，， ， 即； 当时，，， ， 即； 当时，，， ， 即； 当时，，， ， 即． 故答案为：；；；． （2）解：由（1）可推测：当取任意实数时， ， ． 故答案为：． （3）解：当，取任意实数时， ， ． 故答案为：． 3．根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小． (1)若 则 （填“>”“=”或“<”）． (2)已知 ，试比较A，B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，整式的加减运算，注意比较两个数大小的方法：若，则；若，则；若，则，另外也考查了非负数的性质． （1）把原式化为，再移项即可得到答案； （2）利用作差法计算，再利用非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 类型三、不等式中的最值 1．已知的最小值是m，的最大值是n，则（    ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的意义，代数式求值，先根据题意得出m和n的值，再代入即可求解． 【详解】解：的最小值是m，的最大值是n， ，， ， 故选D． 2．非负数，满足，记，的最大值为，最小值，则 ． 【答案】 【分析】将变形，得到，，将其分别代入即可求得答案． 【详解】将变形，得 ，． 将，分别代入，得 ，． ∵，， ∴，当，可以取得最大值，最大值， ，当，可以取得最小值，最小值． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式，解题的关键在于通过等量代换得到不等式． 3．已知，求的最小值． 【答案】 【分析】由，得到，再由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了整式的加减，不等式的基本性质等知识，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 类型四、不等式的新定义 1．定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】符号表示不大于的最大整数，即为小于等于a的最大整数. 【详解】因为为小于等于a的最大整数，所以， 若＝－6，则的取值范围是， 故选B. 【点睛】本题考查了对不等关系的理解，解题的关键是理解符号的本质是小于或等于a的最大整数. 2．对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式性质的应用；根据题意得到关于a、b、c的方程组，得到用a的代数式表示的b、c；由b非负求得a的范围，把H用a的代数式表示，利用不等式的性质即可求出H的取值范围．关键是确定a的范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：； ∵，为非负数， ∴， 即， ∴； ∴ ， ∵， ∴， 即； 故答案为：． 3．对于有理数a，b定义一种新运算“*”，规定，例如：． (1)计算的值； (2)判断的正负． 【答案】(1) (2)正数 【分析】（1）根据定义运算法则，选择计算即可； （2）根据定义运算法则，选择计算，然后利用不等式的性质判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为正数． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则和顺序是解题的关键．也考查了不等式的性质． 1．若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，所以，所以，故A不符合题意； B、因为，所以，故B符合题意； C、因为，所以，故C不符合题意； D、因为，所以，故D不符合题意． 故选：B． 2．下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，只有当时，，故本选项符合题意； 故选：D． 3．已知，且，那么，以下正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的绝对值相等．根据绝对值的定义，由知，据此得，再由知，继而根据且无论还是，都有，，进而得出结果． 【详解】解：， ； ， 由知， 因为， ，， ， ， 而且， ， ， 故选：A． 4．若，则 ，即 9（填“”“”或“”）． 【答案】 < > 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质等知识点，利用不等式的基本性质，等式两边同时加上，然后再两边同除以即可得解，熟练掌握不等式的基本性质是解决此题的关键． 【详解】， 两边同时加上得：， 整理得：， 两边同除以得：， 故答案为：，． 5．用“”或“”填空： （1）由，可得 ； （2）由，可得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质可直接进行求解； （2）根据不等式的性质可直接进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．当取 时，代数式的值最大，最大值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由于，于是利用不等式的性质即可得解，然后通过解一元一次方程即可求得此时的值． 【详解】解：， ， ， 当时，即时，代数式的值最大，最大值等于， 故答案为：，． 7．若，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以3，得，再根据不等式的基本性质1，在不等式的两边都减去7，即可得． 【详解】解：．理由如下： 根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以3，不等号的方向不变，即， 再根据不等式的基本性质1，在不等式的两边都减去7，不等号的方向不变，即． 8．解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质3） _______（不等式的基本性质2） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)＜，＜； (2)见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的传递性：若，，则，②把不等式的两边都加(或减去)同一个数，不等号仍然成立；③不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号仍然成立；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须改变不等号方向，所得不等式成立． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质2） 故答案为：＜，＜； （2）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质2）． 9．定义：若两个有理数，满足，则称，是关于的平衡数． (1)与3是否为关于的平衡数，答： ；（填“是”或“否”） 4与是关于3的平衡数，则 ； (2)若，两数是关于1的平衡数，，试比较与4的大小，并说明理由． 【答案】(1)否；2 (2)或． 【分析】本题考查了新定义、一元一次方程的解，不等式的应用．解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． （1）根据平衡数的定义求解；由平衡数的定义得，据此求解即可； （2）根据平衡数的定义求得，分或两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：与3的平衡数是， ∴与3不是关于的平衡数， 由题意得， 即，解得， 故答案为：否；2； （2）解：由题意得， ∴， ∵， ∴或， 当时，，则， ∴， ∴； 当时，， 则，即； 综上，或． 10．（1）①如果，那么a________b； ②如果，那么a________b； ③如果，那么a________b； （2）由（1），请你归纳出比较a与b大小的方法，并用文字语言叙述出来； （3）用（2）归纳出的方法，比较与的大小． 【答案】（1）①< ②＝③>； （2）如果a与b的差大于0，那么a大于b；如果a与b的差等于0，那么a等于b；如果a与b的差小于0，那么a小于b； （3） 【分析】本题考查不等式的性质，整式的加减． （1）根据不等式的性质即可解答； （2）归纳（1）中的方法即可； （3）求出与的差，根据（1）中的方法即可解答． 【详解】（1）①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； 故答案为：①＜；②＝；③＞ （2）比较a，b两数的大小，分三种情况： 如果a与b的差大于0，那么a大于b； 如果a与b的差等于0，那么a等于b； 如果a与b的差小于0，那么a小于b． （3）∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1—7.2 认识不等式、不等式的基本性质 一、认识不等式 一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围。不等式的解集可以用不等式表示，也可以用数轴直观地表示出来。 二、不等式的基本性质 不等式的基本性质是解不等式的重要依据，以下是其主要内容： 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。即如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c（c为任意实数或整式）。 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果a>b，并且c>0，那么ac>bc，a/c>b/c（c为正数）。 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果a>b，并且c<0，那么ac<bc，a/c<b/c（c为负数）。 此外，不等式还具有以下性质： 性质4：不等关系具有传递性，即如果a>b且b>c，那么a>c。 性质5：同向不等式可加性，即如果x>y，z>w，那么x+z>y+w。 性质6：正值不等式可乘性，即如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn。 性质7：倒数法则，即对于正数a、b（a≠b），如果a>b，那么1/a<1/b；如果a<b，那么1/a>1/b。 巩固课内例1:用不等式表示下列关系 1．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 2．“m的平方比m的5倍小”用不等式表示为 ． 3．用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 巩固课内例2:不等式中的票价问题 1．某班人去科技馆参观，科技馆票价是每人10元，但若购团体票（不低于50张），则可享受八五折优惠．班长算了算，购买50张票反而更合算，则m至少为（    ） A．42 B．43 C．44 D．45 2．某班级若干名同学星期天去公园游览，公园票价元人，团体人以上（含人）8折优惠，他们发现买团体票比买单人票便宜，则他们至少有 人 3．某公司40名员工到一景点集体参观，票价为每张10元，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折．这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠．请你帮助他们选择购票方案． 巩固课内例3:不等式的解 1．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列各数中，是不等式的解的是 （填序号）． ①；②；③0；④；⑤4． 3．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 巩固课内例4:不等式的基本性质1 1．解不等式，下列选项中移项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则 2（填“”，“”或“”）． 3．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 这种比较大小的方法称为作差法，请运用这种方法比较与的大小． 巩固课内例5:不等式的基本性质2 1．由得到的条件是（   ） A． B． C． D． 2．若，则 （填“”或“”） 3．根据不等式的基本性质，将下列不等式化成或的形式： (1)； (2)． 类型一、不等式的定义 1．下列各式中，属于不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．有下列各式：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有 个． 3．下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 类型二、不等式表示数量关系 1．某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（   ） A． B． C． D． 2．“y的3倍与5的和不小于”用不等式表示为 ． 3．根据下列数量关系列不等式： (1)x的7倍减去1是正数． (2)y的与的和不大于0． (3)正数a与1的和的算术平方根大于1． (4)y的20%不小于1与y的和． 类型三、不等式的解集在数轴上表示 1．下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 2．在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 3．解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 类型一、不等式中的求参取值 1．若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如果不等式的解集为，则必须满足的条件是 ． 3．已知． (1)比较与的大小，并说明理由； (2)若，求a的取值范围． 类型二、不等式的依据 1．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．用“>”“<”或“=”填空： （1）如果，那么a b； （2）试比较与的大小． ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ． 3．已知，试着用不等式的基本性质和分别比较与的大小． 解法一（利用基本性质） 解法二（利用基本性质） 类型三、不等式的实际意义 1．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是(　　) A．两种客车总的载客量不少于500人 B．两种客车总的载客量不超过500人 C．两种客车总的载客量不足500人 D．两种客车总的载客量恰好等于500人 2．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 3．一根弹簧长，在弹性限度（总长不超过）内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． (1)代数式表示的实际意义是________ (2)这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？ 类型一、不等式的整数解 1．满足的最大整数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．不小于且小于3的整数有 . 3．已知x是整数，并且，在数轴上表示x可能取的所有数． 类型二、作差法比较大小 1．若，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（推理能力）用等号或不等号填空． (1)比较与的大小： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； ④当时，_______． (2)当取任意实数时，_______； (3)当，取任意实数时，_______． 3．根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小． (1)若 则 （填“>”“=”或“<”）． (2)已知 ，试比较A，B的大小． 类型三、不等式中的最值 1．已知的最小值是m，的最大值是n，则（    ） A．4 B． C．10 D． 2．非负数，满足，记，的最大值为，最小值，则 ． 3．已知，求的最小值． 类型四、不等式的新定义 1．定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 2．对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是 ． 3．对于有理数a，b定义一种新运算“*”，规定，例如：． (1)计算的值； (2)判断的正负． 1．若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，且，那么，以下正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若，则 ，即 9（填“”“”或“”）． 5．用“”或“”填空： （1）由，可得 ； （2）由，可得 ． 6．当取 时，代数式的值最大，最大值等于 ． 7．若，试比较与的大小，并说明理由． 8．解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质3） _______（不等式的基本性质2） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 9．定义：若两个有理数，满足，则称，是关于的平衡数． (1)与3是否为关于的平衡数，答： ；（填“是”或“否”） 4与是关于3的平衡数，则 ； (2)若，两数是关于1的平衡数，，试比较与4的大小，并说明理由． 10．（1）①如果，那么a________b； ②如果，那么a________b； ③如果，那么a________b； （2）由（1），请你归纳出比较a与b大小的方法，并用文字语言叙述出来； （3）用（2）归纳出的方法，比较与的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$