第三章 图形的平移与旋转（基础+中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第三章 图形的平移与旋转思维导图 【类型覆盖】 类型一、图形的平移 【解惑】下面的左面图形平移后可以得到右面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的平移变换．注意平移不改变图形的形状和大小，属于基础题，一定要熟记平移的性质及特点． 根据平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，即可判断出答案． 【详解】A、两个图形大小不一样，左面的图形不能通过平移得到右面图形，故本选项不符合题意； B、两个图形大小不一样，左面的图形不能通过平移得到右面图形，故本选项不符合题意； C、两个图形箭头方向不一样，左面的图形不能通过平移得到右面图形，故本选项不符合题意； D、左面的图形平移后可以得到右面图形，故本选项符合题意． 故选D． 【融会贯通】 1．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．“滨滨”和“妮妮”的原型是2023年9月出生于黑龙江东北虎林园的两只可爱的小东北虎，“滨滨”名字取自“哈尔滨”，“妮妮”取自“您”的读音，两个名字寓意“哈尔滨欢迎您”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解决本题的关键． 根据平移的定义判断即可． 【详解】解：根据平移的定义，平移前后的图形形状、大小完全一样，仅位置不一样，那么D符合题意． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，有一个船形的图案．若图案各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标都减去2，则所得到的图案是由原图案向 平移 个单位长度得到的．    【答案】 左 2 【解析】略 3．如图，长方形中，，，现将该长方形沿方向平移，得到长方形，若重叠部分的面积为16，则长方形向右平移的距离为 cm． 【答案】6 【分析】根据重叠部分的面积求出的长，然后根据平移的性质可知，平移的距离为线段与线段的差，即可得到答案． 【详解】解：重叠部分为矩形，面积为，， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平移的性质，矩形的性质，解题关键是确定平移的距离为线段与线段的差． 类型二、中心对称图形 【解惑】窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【融会贯通】 1．下列四个图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念，逐项判断能力即可． 【详解】解：A．既不是中心对称图形又不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．既不是中心对称图形又不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 【答案】线段、圆 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念作答． 【详解】解：线段、圆既是轴对称图形又是中心对称的图形； 等边三角形只是轴对称图形； 平行四边形只是中心对称的图形； 故答案为：线段、圆． 3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 （填序号）． ①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； ②矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ③等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ④线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ⑤菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故答案为：②④⑤． 类型三、旋转度数重合 【解惑】如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转角的定义解答即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后与重合，C与N是对应点， ∴下列角一定等于的是． 故选A． 【融会贯通】 1．把图中的风车图案绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形，即把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，旋转的角度叫旋转角．根据旋转对称图形的定义求解即可． 【详解】解：观察发现，该图形可以平分成四部分，即旋转的整数倍，可与原来的图案重合， 旋转角的度数至少为， 故选：C． 2．如图，在四边形中，，连接，将绕点B逆时针旋转，点C恰好与点D重合，得到，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转变换，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转的性质和等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可解决问题．解题的关键是证明． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，，， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】72 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，故最小旋转角为； 故答案为：72． 类型四、坐标系中的平移 【解惑】如图，在平面直角坐标系内，其中．点的坐标分别为．将沿轴向右平移；当点落在直线时，线段扫过的面积为（   ） A．14 B．28 C．32 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，求一次函数自变量的值，勾股定理，掌握平移的性质是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，进而求得平移的值，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为， ∴ ，． 当点落在直线时， 解得 ∴平移后点 平移了个单位 线段扫过的面积为 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，平移的距离为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及坐标与图形变化-平移，过点C作轴于点D，则点D是线段的中点，结合点A，B的坐标，可得出点D的坐标及的长，在中，利用勾股定理，可求出的长，进而可得出点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出平移后的点C的坐标，结合平移前点C的坐标，即可得出平移的距离． 【详解】过点C作轴于点D，如图所示 ∵， ∴点D是线段的中点， 又∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点D的坐标为， ∴． 在中，， ∴， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得：， ∴当点C落在直线上时，点C的坐标为， ∴平移的距离为． 故选：D． 2．在平面直角坐标系内，把点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点先向左平移2个单位长度，向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段平移的距离为 ． 【答案】4 【分析】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段平移的距离为点C平移的路程． 由于平移，则即为的平移距离，的纵坐标为4，与直线相交，可得坐标，由此推出距离． 【详解】如图所示： ， ∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴，解得．即， ∴， ∴线段平移的距离为4． 故答案为：4． 类型五、坐标系中的旋转 【解惑】如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是旋转的旋转，坐标规律的探究，勾股定理的应用，如图，过作轴于，求解，旋转1次后，再结合每旋转4次为一个循环可得答案． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得：， 由，可知每旋转4次为一个循环， ， 故第2025次旋转结束时点B的位置与第1次旋转结束时点B（即）的位置相同， 故选A． 【融会贯通】 1．如图，线段在平面直角坐标系内，A点坐标为，线段绕原点O旋转，得到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质作图，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：如图，    由图可知：点的坐标为或； 故选D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将绕点顺时针旋转得到，若点的对应点恰好在轴上，则点的坐标是 ，点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，30度直角三角形的性质，旋转的性质，先由30度直角三角形的性质得，，再由旋转的性质得，进而得，，，，再由30度直角三角形的性质得，，继而可得答案． 【详解】解：∵点，，， ∴，，， 如图，点的对应点恰好在轴上，过点D作轴于点M， 由旋转的性质得， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 3．已知在平面直角坐标系中存在点，将点A向右平移2个单位后，以原点O为旋转中心逆时针旋转后得到点，则的坐标为 ； 【答案】 【分析】本题考查平移变换，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：将点A向右平移2个单位后，可得， 过，分别作轴的垂线，垂足为，，则，，， 由旋转可知，，，则， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 类型六、坐标系中的中心对称 【解惑】已知点A、点B、点C在平面直角坐标系内，点A、点B关于直线对称，点B、点C关于原点中心对称．若点A坐标是，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了坐标与轴对称、坐标与中心对称．先根据点A、点B关于直线对称求出点B坐标，再根据点B、点C关于原点中心对称即可求出点C的坐标． 【详解】解：∵点A坐标是，点A、点B关于直线对称， ∴点B坐标是， ∵点B、点C关于原点中心对称． ∴点C的坐标是， 故选：D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键；根据“点的坐标关于原点对称，这两个点的横纵坐标都互为相反数”可得，然后代入求解即可． 【详解】解：由点和点关于原点对称，可知， ∴； 故选A． 2．平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中有一点P． （1）点P的坐标为 ； （2）将点P向下平移 个单位长度后得到的点在x轴上，此时点的坐标为 ；点向左平移2个单位后得到的点的坐标为 ﹔ （3）点P关于x轴对称的点的坐标是 ，关于y轴对称的点的坐标是 ，关于原点对称的点的坐标是 ﹔ （4）点P绕点O顺时针旋转后得到的点的坐标为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的平移规律，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据图形即可解答； （2）根据平面直角坐标系内点的平移规律“上加下减，右加左减”即可解答； （3）根据关于x轴对称的点横坐相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，即可解答； （4）画出点P绕原点旋转90度后的对应点，根据全等三角形的判定和性质，即可得出坐标． 【详解】解：（1）由图可知，点P的坐标为， 故答案为∶； （2）∵点P的坐标为， ∴点P向下平移2个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∴点向左平移2个单位后得到的点的坐标为， 故答案为：2，，； （3）∵点P的坐标为， ∴点P关于x轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的坐标为，关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：，，； （4）设点P绕点O顺时针旋转后得到的点为点Q， 连接， 由旋转可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴点Q的坐标为， 故答案为：． 类型七、平移中的长度与角度 【解惑】如图，将三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置．已知点A，D之间的距离为1，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据平移的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：∵三角形沿水平方向向右平移到三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，沿着方向平移至，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平移的性质，由平移的性质得，于是得出，，再根据三角形内角和定理即可求出的度数，从而得出的度数． 【详解】解：由平移的性质得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，三角形的顶点坐标为，把三角形沿轴向右平移得到三角形．如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化一平移，根据平移的性质得，则，根据点的坐标求出，再求出，对应点间的距离等于平移距离求出，再根据计算即可得解，熟记平移的性质并求出的长是解题的关键． 【详解】∵沿轴向右平移得到， ∴， ∴， ∵的坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得到的度数，再根据直角、周角的定义即可求得的度数； （2）如图②，过O点作，根据平行线的判定和性质可得、的数量关系； （3）由已知推出，得到，结合角平分线的定义可推出，根据（2），进而推出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 证明：如图②，过O点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵由（2）知，， ∴， ∴． 类型八、旋转中的长度与角度 【解惑】如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到．若，且的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据旋转的旋转，可知，，由三角形内角和定理，求得的度数，最后计算，即可解题． 【详解】将绕点A逆时针旋转一定角度，得到， ， ， ． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，平分．将绕点逆时针旋转得到，且点在上，点在的延长线上，与相交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据等腰三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，，可证，得到，，根据勾股定理计算即可得到答案. 【详解】解：，平分 ，， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ∴， ，， ， ， ， 故选B： 2．如图，等腰中，，，点P在外，， ，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转变换、全等三角形的判定和性质勾股定理、直角三角形的特征，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 把绕点A逆时针旋转得到，由题意可知，进而计算，再证明，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：把绕点A逆时针旋转得到， ∵， 则此时点B与点C重合，过点A作于点， ∵， ，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6 3．如图，中，，把绕着B点逆时针旋转，得到，点E在上． (1)则以下线段的数量关系为：______，______，______（填“”，“”或“”）； (2)若，求的度数； (3)若，求中边上的高． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理． （1）由旋转的性质得，进而可得对应边相等； （2）由旋得，，据此可得，从而得，结合可得答案； （3）先由勾股定理得，再由得且，从而得，利用勾股定理得，设边上的高为h，根据三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：由旋转得， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 由得，且， ∴， 在中，， 设边上的高为h， ∴， ∴． 即中边上的高为． 类型九、中心对称中的长度与角度 【解惑】如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的图形的性质、三角形全等的性质、勾股定理，由题意得出，从而得出，，，求出，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．下列说法正确的有（    ）个 ①三角形的一个外角大于它的任何一个内角 ②若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是直角三角形 ③长方形既是中心对称图形又是轴对称图形 ④如图，图形绕着中心旋转或或后能与自身重合    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形外角性质，直角三角形的定义，中心对称图形以及轴对称图形的特点，进行判断即可． 【详解】解：①三角形的一个外角大于它任何一个不相邻的内角，原说法错误； ②若一个三角形的三个内角度数的比为，，则这个三角形是直角三角形，原说法正确； ③长方形既是中心对称图形又是轴对称图形，原说法正确； ④如图，图形绕着中心旋转或或后能与自身重合，原说法正确； 综上，正确的有②③④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形外角性质，直角三角形的定义，中心对称图形以及轴对称图形，属于概念分析题，比较简单． 2．如图，已知与关于点A成中心对称，且，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、中心对称的性质，由直角三角形的性质得出，由中心对称的性质得出，推出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵与关于点A成中心对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在直角坐标系中，点，点在第一象限，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)在图中画出关于原点对称的图形； (2)求的度数； (3)求出点的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了中心对称图形，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，解直角三角形，读懂题意，构造直角三角形是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，利用关于原点对称点的坐标的性质，得到，由此得到． （2）根据旋转的性质，得到，，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质，得到，由此得到答案． （3）过点作轴于点，利用已知条件，求出，，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，做图如下：   即为所求． （2）解：由旋转得，， ， 在中，， ， ． （3）解：在中，， 如图，过点作轴于点，    在中，， ， ， ， ． 类型十、利用平移、轴对称、旋转设计图案 【解惑】现实生活中有很多图形都有圆的影子，它们看上去非常漂亮，这是因为圆不仅是轴对称图形，还是中心对称图形． (1)图①中的三个图形是轴对称图形的有________，是中心对称图形的有________；（分别用a、b、c填空） (2)在图②的两圆中，按要求分别画出与图①不重复的图案．（用尺规画、徒手画均可，但要尽可能准确、美观） A．是轴对称图形但不是中心对称图形； B．既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)、、；、； (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，作图设计，熟练掌握中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合；据此进行解答即可． （1）根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，逐个分析，判断即可求解； （2）根据题意，设计图形，使得A 是轴对称图形但不是中心对称图形； B既是轴对称图形又是中心对称图形． 【详解】（1）三个图形中轴对称的为、、．是中心对称的为和； 故答案为：、、；、； （2）如图，即为所求， 【融会贯通】 1．山西民间建筑的门窗图案中，蕴涵着丰富的数学思想，图①是其中的一个代表，该窗格图案是以图②为基本图案经过变换得到的，图③是放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请利用直尺和圆规画图． (1)根据图②将图③补充完整； (2)在图④的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称图形． 【答案】(1) (2) 【解析】略 2．图①、图②和图③都是的正方形网格，每个小正方形边长均为．按要求分别在图①、图②和图③中画图： (1)在图①中画等腰，使其面积为，并且点在小正方形的顶点上； (2)在图②中画四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； (3)在图③中画四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）取格点，连接、即可； （2）取格点、，连接、、即可； （3）取格点、，连接、、即可． 【详解】（1）解：取格点，连接、，取格点，连接， ∵图①是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴等腰面积为，且点在小正方形的顶点上， 则即为所作； （2）取格点、，连接、、， ∵图②是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，，， ∴， ∴四边形是梯形， ∵，， ∴， ∴四边形是等腰梯形，它是一个轴对称图形，不是中心对称图形， 则四边形即为所作； （3）取格点、，连接、、即可， ∵图③是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，， ∴四边形是平行四边形，它是一个中心对称图形，不是轴对称图形， 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的判定，勾股定理，平行四边形的判定，中心对称图形，轴对称图形，三角形的面积等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 3．认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在图中设计出一个图案，使它也具备你所写出的上述特征． 【答案】(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转180°后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【详解】（1）（1）特征1：都是轴对称图形； 特征2：都是中心对称图形； 特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积； （2）满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 【点睛】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合． 【一览众山小】 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2．如图，将绕B点顺时针方向旋转到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查旋转的性质、平行线的性质、等边对等角等知识．由旋转得，，则，，求出，然后由平行线的性质即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移﹣最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键．先根据平移的性质，把问题转化为最短路径问题，再轴对称的性质作图． 【详解】解：∵， ∴先把和点P向上平移，使与重合，点P平移到，再连接交于点F， 再反方向平移回原来位置即可， 故选：A． 4．如图，的斜边在轴正半轴上，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，过点作轴于点D，由旋转得，，，可得，，进而可得答案． 【详解】解：过点作轴于点D， 由旋转得，，， ∴，， ∴点C的对应点的坐标是． 故答案为：． 5．如图，，两点的坐标分别为，，线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化−−旋转，根据题意画出旋转后的线段即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：∵线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点， ∴线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段，如图所示： 根据图形可知：点的对应点的坐标是． 故答案为：． 6．如图，将绕点A逆时针旋转得到，．连接，则的长为 ． 【答案】5 【分析】此题考查旋转的性质、勾股定理等知识，由旋转得，，根据勾股定理可以求出的长． 【详解】解：由旋转可知：， ， 由旋转得， ，， ， 的长为． 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (2)请画出绕原点O顺时针旋转后的（点A，B，C的对应点分别为点，，）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——旋转变换（旋转作图，原点对称作图），正确理解旋转的性质，原点性质是解题关键． （1）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数确定对应点，，的坐标，依次连接即可； （2）根据旋转的性质可知，对应角都相等旋转角，对应线段也相等，再通过作直角，在角的边上截取相等的线段的方法，确定对应点，，的坐标，依次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作． 8．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点，的坐标． (2)若是由绕着某点旋转得到的，且，，的对应点分别为，，，则这点的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析，点， (2) 【分析】本题考查作图中心对称，旋转的性质． （1）作出、、关于原点对称的的对应点、、，顺次连接即可，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 点， （2）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； ∴旋转中心在线段、的中垂线上，即为图中点； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 9．已知和都是等腰三角形，，，． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点，分别在边，上，则______．（填、或） 【发现证明】（2）将图①中的绕点顺时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请就图②中给出的情况加以证明． 【深入研究】（3）如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3），，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定． （1）根据线段的和差关系即可得到； （2）由旋转得到的结论判断出，得到； （3）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，证明如下： ， 即：， 在和中， ， ， ； （3），，理由如下： 延长，分别交、于点、， 和都是等腰直角三角形， ，，， 即：， 在和中， ， ， ，， ， 即：． 10．中，，，点是边中点，点是边上一动点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，若点刚好落在边上，连接，求证：； (2)在图2中判断、和的数量关系，并证明； (3)若，，直接写出的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由旋转可得：，，根据三角形内角和定理得出，进而得出，根据垂直平分线的性质，即可得证； （2）过点作，，则，证明，进而证明得出，，在中，根据勾股定理即可得出结论； （3）连接，证明得出，进而可得，根据垂线段最短以及含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转可得：，， ， ∵，点刚好落在边上， ∴ ∴ 又∵点是边中点， 垂直平分， ， （2）解：，理由如下， 如图所示，过点作，，则 ∴， 又∵点是边中点， ∴ ∴ ∴， ∵是上的中线， ∴， ∴ ∵，则 ∴ 又∵旋转，则，， ∴，， 在中， ∴ ∴ 在中，， ∴ （3）解：如图所示，连接， 由旋转可得：，， ∵是上的中线， ∴， ∴ ∵，则 ∴ ∴ ∴ ∴时，取得最小值 在中，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形的平移与旋转思维导图 【类型覆盖】 类型一、图形的平移 【解惑】下面的左面图形平移后可以得到右面图形的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．“滨滨”和“妮妮”的原型是2023年9月出生于黑龙江东北虎林园的两只可爱的小东北虎，“滨滨”名字取自“哈尔滨”，“妮妮”取自“您”的读音，两个名字寓意“哈尔滨欢迎您”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，有一个船形的图案．若图案各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标都减去2，则所得到的图案是由原图案向 平移 个单位长度得到的．    3．如图，长方形中，，，现将该长方形沿方向平移，得到长方形，若重叠部分的面积为16，则长方形向右平移的距离为 cm． 类型二、中心对称图形 【解惑】窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列四个图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 （填序号）． ①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形． 类型三、旋转度数重合 【解惑】如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．把图中的风车图案绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，连接，将绕点B逆时针旋转，点C恰好与点D重合，得到，连接，若，，则的长为 ． 3．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 类型四、坐标系中的平移 【解惑】如图，在平面直角坐标系内，其中．点的坐标分别为．将沿轴向右平移；当点落在直线时，线段扫过的面积为（   ） A．14 B．28 C．32 D．40 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，平移的距离为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．在平面直角坐标系内，把点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的点的坐标是，则点的坐标为 ． 3．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段平移的距离为 ． 类型五、坐标系中的旋转 【解惑】如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，线段在平面直角坐标系内，A点坐标为，线段绕原点O旋转，得到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C．或 D．或 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将绕点顺时针旋转得到，若点的对应点恰好在轴上，则点的坐标是 ，点的对应点的坐标是 ． 3．已知在平面直角坐标系中存在点，将点A向右平移2个单位后，以原点O为旋转中心逆时针旋转后得到点，则的坐标为 ； 类型六、坐标系中的中心对称 【解惑】已知点A、点B、点C在平面直角坐标系内，点A、点B关于直线对称，点B、点C关于原点中心对称．若点A坐标是，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 2．平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中有一点P． （1）点P的坐标为 ； （2）将点P向下平移 个单位长度后得到的点在x轴上，此时点的坐标为 ；点向左平移2个单位后得到的点的坐标为 ﹔ （3）点P关于x轴对称的点的坐标是 ，关于y轴对称的点的坐标是 ，关于原点对称的点的坐标是 ﹔ （4）点P绕点O顺时针旋转后得到的点的坐标为 ． 类型七、平移中的长度与角度 【解惑】如图，将三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置．已知点A，D之间的距离为1，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【融会贯通】 1．如图，沿着方向平移至，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 2．如图，三角形的顶点坐标为，把三角形沿轴向右平移得到三角形．如果，那么的长为 ． 3．已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 类型八、旋转中的长度与角度 【解惑】如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到．若，且的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，平分．将绕点逆时针旋转得到，且点在上，点在的延长线上，与相交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 2．如图，等腰中，，，点P在外，， ，，则的长为 ． 3．如图，中，，把绕着B点逆时针旋转，得到，点E在上． (1)则以下线段的数量关系为：______，______，______（填“”，“”或“”）； (2)若，求的度数； (3)若，求中边上的高． 类型九、中心对称中的长度与角度 【解惑】如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【融会贯通】 1．下列说法正确的有（    ）个 ①三角形的一个外角大于它的任何一个内角 ②若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是直角三角形 ③长方形既是中心对称图形又是轴对称图形 ④如图，图形绕着中心旋转或或后能与自身重合    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，已知与关于点A成中心对称，且，，，则的长为 ． 3．如图，在直角坐标系中，点，点在第一象限，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)在图中画出关于原点对称的图形； (2)求的度数； (3)求出点的坐标． 类型十、利用平移、轴对称、旋转设计图案 【解惑】现实生活中有很多图形都有圆的影子，它们看上去非常漂亮，这是因为圆不仅是轴对称图形，还是中心对称图形． (1)图①中的三个图形是轴对称图形的有________，是中心对称图形的有________；（分别用a、b、c填空） (2)在图②的两圆中，按要求分别画出与图①不重复的图案．（用尺规画、徒手画均可，但要尽可能准确、美观） A．是轴对称图形但不是中心对称图形； B．既是轴对称图形又是中心对称图形． 【融会贯通】 1．山西民间建筑的门窗图案中，蕴涵着丰富的数学思想，图①是其中的一个代表，该窗格图案是以图②为基本图案经过变换得到的，图③是放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请利用直尺和圆规画图． (1)根据图②将图③补充完整； (2)在图④的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称图形． 2．图①、图②和图③都是的正方形网格，每个小正方形边长均为．按要求分别在图①、图②和图③中画图： (1)在图①中画等腰，使其面积为，并且点在小正方形的顶点上； (2)在图②中画四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； (3)在图③中画四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； 3．认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在图中设计出一个图案，使它也具备你所写出的上述特征． 【一览众山小】 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将绕B点顺时针方向旋转到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（  ） A． B． C． D． 4．如图，的斜边在轴正半轴上，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 5．如图，，两点的坐标分别为，，线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标是 ． 6．如图，将绕点A逆时针旋转得到，．连接，则的长为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (2)请画出绕原点O顺时针旋转后的（点A，B，C的对应点分别为点，，）． 8．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点，的坐标． (2)若是由绕着某点旋转得到的，且，，的对应点分别为，，，则这点的坐标为______． 9．已知和都是等腰三角形，，，． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点，分别在边，上，则______．（填、或） 【发现证明】（2）将图①中的绕点顺时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请就图②中给出的情况加以证明． 【深入研究】（3）如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 10．中，，，点是边中点，点是边上一动点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，若点刚好落在边上，连接，求证：； (2)在图2中判断、和的数量关系，并证明； (3)若，，直接写出的最小值为________． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$