2 图形的旋转 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

2 图形的旋转 一、旋转的定义 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。旋转的三要素是旋转中心、旋转方向和旋转角度。 二、旋转的性质 1.旋转前后的图形全等。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 三、作图方法 在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素。确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角。作图步骤为： 1.连接图形中的每一个关键点与旋转中心。 2.把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）。 3.在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点。 4.连接所得到的各对应点。 四、生活中的旋转现象 旋转现象在生活中非常常见，如钟表的指针转动、旋转门、旋转木马等。这些现象都可以帮助我们更好地理解旋转的概念和性质。 巩固课内例1:旋转中心、旋转角 1．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 2．如图，将含有角的直角三角板绕着点顺时针旋转到处（点，，在一条直线上），则这次旋转的旋转角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了找旋转角，深刻理解旋转角的定义是解题的关键. 根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：旋转角是： ， 故答案为：． 3．已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点A，B，C分别对应点，，． (1)请通过画图找到旋转中心，将其记作O； (2)直接写出旋转方向________（填顺时针或逆时针），旋转角度________； (3)在图中画出． 【答案】(1)见解析 (2)顺时针，90 (3)见解析 【分析】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别作，的中垂线，两者的交点即为所求； （2）结合图形，根据旋转的定义可得答案； （3）作出点绕点顺时针旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由图可知，是由绕点顺时针旋转得到； 故答案为：顺时针，90； （3）如图所示，即为所求． 巩固课内例2:画出线段旋转后的图形 1．在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图旋转变换，根据旋转的性质作图，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，可得， 故选：C． 2．如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，，则点A的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．根据题意画出图形，即可可得结论． 【详解】解：如图，． 故答案为：． 3．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），，，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点O逆时针旋转得到线段； (1)画出线段，； (2)将线段绕点O逆时针旋转（）得到线段，连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，线段，即为所求 （2）解：作图如下： 由题意得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 巩固课内例3:画出三角形旋转后的图形 1．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形， ∴旋转角为：，，旋转中心为点A， 根据网格可知：， ∴，故A、B、D正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心． 【详解】解：∵经过旋转后得到， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． ∵， ∴其旋转中心的坐标为， 故答案为：． 3．动手实践，规范操作． (1)画出三角形A以直线L为对称轴的三角形B； (2)画出三角形A绕O点逆时针旋转后的三角形C； (3)画出三角形A按放大后的三角形D． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查轴对称作图，旋转作图，画放大的图形，掌握作图的变换是解题的关键 （1）根据轴对称求作即可； （2）根据旋转的性质求作即可； （3）把三角形A的三边长分别扩大到原来的两倍，作对应的三角形即可； 【详解】（1）解：三角形B就是求作的三角形，如图所示， （2）解：三角形C就是求作的三角形，如图所示， （3）解：三角形D就是求作的三角形，如图所示， 类型一、生活中的旋转现象 1．下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 2．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 3．我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【答案】(1)曲线运动 (2)见解析 【分析】本题考查了生活中的旋转． （1）根据几种运动的路线分析得出答案； （2）根据运动方式得出几种运动都属于旋转，根据旋转的性质，即可解答． 【详解】（1）解：上述几种运动是做曲线运动； （2）解：运动的共同点是都属于旋转，运动前后对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中线的距离相等． 类型二、旋转中的图案 1．在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用旋转设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转，进而判断得出即可，正确理解旋转图形的特点是解题的关键． 【详解】解：、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、是通过一个基本图形经过旋转得到的，符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 故选：． 2．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    【答案】 旋转 平移 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过旋转变换得到图形③； 图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 3．如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了利用旋转变换、轴对称变换设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【详解】解：①如图1，将阴影部分三角形沿着翻折，得到； ②如图2，将分别绕着的中点和的中点旋转，得到，； ③如图3，将四边形沿着翻折，即可得到四边形； ④将图3绕着点旋转，即可得到图4． 类型三、旋转对称图形 1．下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（   ） A．（3）和（4） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（4）和（3） 【答案】A 【分析】本题考查的是学生对旋转和平移的掌握程度，根据平移后的图形与原图形完全相同，旋转后的图形与原图形方向不同，形状大小相同判断即可． 【详解】解：图（3）是由图（1）平移得到的，图（4）是由图（1）旋转得到的． 故选A． 2．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 【详解】解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 3．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题： (1)下列选项是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 (2)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是度的有：________（填序号）．    (3)下列三个结论：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③平行四边形是旋转对称图形．其中正确的个数有________个； A．0    B．1    C．2    D．3 (4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整．    【答案】(1)B (2)（1）（3）（5） (3)C (4) 【分析】（1）本题考查旋转图形及中心对称图形的判断，根据旋转图形及中心对称图形定义逐个判断即可的答案； （2）本题考查旋转图形，根据旋转对称图形的定义逐个判断即可得到答案； （3）本题考查旋转图形，根据旋转对称图形的定义逐个判断即可得到答案； （4）本题考查旋转图形，根据旋转角有，，，，结合等腰直角三角形的性质作图即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 矩形，菱形，正六边形即是旋转对称图形又是中心对称图形， 正五边形是是旋转对称图形但不是中心对称图形， 故选：B； （2）解：由图形可得， （1）（3）（5）的旋转角有度， （2）（4）的旋转角最小为， （6）的旋转角是及其整数倍数， 故答案为：（1）（3）（5）； （3）解：由题意可得， 中心对称图形是旋转对称图形，平行四边形是旋转对称图形，①③正确， 等腰三角形不是旋转对称图形，②错误， 故选：C； （4）解：由题意可得， ∵旋转角有，，，， ∴每一个四分之一半圆里均要有两个等腰直角三角形， ∴图形如下图所示， 类型四、旋转角度重合 1．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（   ） A．120 B．90 C．60 D．45 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转对称图形，把一个图形绕着一个定点选择一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫旋转角．结合图形即可解决． 【详解】该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为120． 故选：A． 2．如图，这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身完全重合，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称，如果把一个图形绕着旋转中心旋转一定的角度后，可以与自身完全重合，这个图形就是旋转对称图形． 【详解】解：这个图形可以被平均分成四份，每份所对的圆心角的度数为， 这个图形绕着它的中心旋转后能够与它本身完全重合． 故答案为：． 3．为了美化校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案．图案只能用圆弧在正方形内加以设计，要求使正方形和所画的圆弧构成的图案是旋转对称图形，且旋转后能与自身重合，种植花草部分用阴影表示．请你在三个正方形中画出三种不同的设计图案． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据旋转对称图形的概念即可得到结果． 【详解】解：如答图．答案不唯一． 类型一、旋转的基本性质求长度 1．如图，中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过作于，若，则长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用旋转的性质，得到，证明，得到，利用以及含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 2．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ．    【答案】7 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵点B的对应点D恰好落在边上， ∴； 故答案为：7． 3．如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． (1)在旋转过程中， ①当A，D，M三点在同一直线上时，的长为 ； ②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求的长； (2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，即满足，，连接、、，如图2，此时，，求的长． 【答案】(1)①2或8；②4或 (2) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键． （1）①分两种情况，由线段的和差关系求解即可；②分两种情况，由勾股定理求解即可； （2）连接，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长，然后证明，可得，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①当点在上，当A，D，M三点在同一直线上时，；当点不在上，当A，D，M三点在同一直线上时，； 故答案为：2或8； ②当为斜边时，在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， 当为斜边时，在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， ∴的长为4或； （2）解：连接，如图： 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， 在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， ∴； 类型二、旋转的基本性质求角度 1．如图，，把绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于确定角度之间的数量关系． 由旋转性质得，，在中由三角形内角和求得，便可求得结果． 【详解】解：∵， ∴ ∵绕点B顺时针旋转一个角度得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 2．如图，三角形的底边与等腰直角三角形的直角边重合，保持三角形不动，等腰直角三角形绕直角顶点按顺时针旋转，已知，若在旋转的过程中，旋转角度不大于且三角形与三角形有一条边平行，则的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】根据顺时针方向，分，，，计算解答即可． 【详解】解：∵，等腰直角三角形， ∴； 如图①中，当时， ∴， ∴；       ②如图②中，当时， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； ③如图③中，当时， ∴． ∵， ∴；    ④如图④中，当时， ∴． ∵， ∴． 综上所述，满足条件的的值为或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 3．阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；， 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可； （2）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可，再根据三角形的三边关系即可求出的最大值． 【详解】解：（1）． 证明：绕点按顺时针方向旋转， 与是等边三角形， ，， ， ． （2）． 绕点按顺时针方向旋转的角度为， ， 与是等边三角形， ，， ， ． 根据上面的操作过程可知，由，当在上时即当为时 线段的长度最大，等于． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的三边关系求最值． 类型三、绕点旋转90°的坐标 1．如图，在中，，，，将绕点旋转后得到，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．把绕点O逆时针或顺时针旋转后得到时，根据点的位置得出坐标． 【详解】解：∵在中，，，， ∴绕点O逆时针旋转后得到，点在第二象限， ∴； 当绕点O顺时针旋转后得到，点在第四象限， ∴． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，画出的中垂线，得到点的横坐标，设出点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵由绕点旋转得到， ∴， ∵， ∴点的横坐标为：， 设， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)以点C为旋转中心将旋转，画出旋转后的； (2)将平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】坐标与图形变换—旋转和平移： （1）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解； （2）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解； （3）根据旋转的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：因为将绕点旋转可以得到， 所以旋转中心的坐标为． 故答案为： 类型四、绕原点旋转一定角的坐标 1．在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴两点在第二象限的角平分线上， ∴直线与轴正半轴的夹角为， 当绕原点O顺时针旋转时，如图： 过点作轴，过点作轴， 则：，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ 当绕原点O逆时针旋转时，如图： 同法可得：，， ∴； 故选C． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点B顺时针旋转，则点A的对应点C的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】把绕B点顺时针旋转得到，延长交x轴于E点，过C点作轴于H点，如图，根据旋转的性质得到，，，，所以，利用等腰直角三角形的性质计算出，，则，，所以，从而得到C点坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， 把绕B点顺时针旋转得到，延长交x轴于E点，过C点作轴于H点，如图， ∴，，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴C点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，把线段绕点B顺时针旋转转化为把绕B点顺时针旋转得到是解决问题的关键． 3．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 类型一、旋转的基本性质求周长 1．如图，在中，，，点在的内部，，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，交延长线于点E，证明得，可证，得出，从而，将绕点C逆时针旋转至，求出，可证B，D，F三点共线，然后依次利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点B作，交延长线于点E，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 将绕点C逆时针旋转至， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴B，D，F三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 2．如图，在等边三角形中，点D在边上，将绕点B顺时针旋转得到，连接．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 先由等边三角形的性质得到，再由旋转的性质得到，再证明，即可证明；推出，再证明是等边三角形，得到，则，即的周长是． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长是． 故答案为：． 3．如图，在等边中，D在边上，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，直接写出的周长． 【答案】(1)见解析 (2)11.5 【分析】此题重点考查等边三角形的性质与判定、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，即可得出结论； （2）由，，得，再证明是等边三角形，则，所以，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长是11.5． 类型二、旋转的基本性质求面积 1．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，设分别交于点，交于点，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理分别求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图，设分别交于点，交于点， 绕点顺时针旋转得到，， ， ∴， ， ，，， ． 故选A． 2．如图，在中，，把绕点B逆时针旋转，得到，点E在上，若，，那么的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、三角形的面积公式等知识，推导出，且于点E是解题的关键． 根据勾股定理求得，由旋转得，，则于点E，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵把绕着B点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为30， 故答案为：30． 3．已知，在中，，将边绕点顺时针旋转得，使、两点在直线的同侧，连接，，，过点作于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，猜想线段、、三者之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）设，得到，得到，，继而得到，求出的值即可得到答案； （2），过点作于点，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论； （3）作于点，于点，于点，证明，得到，，再证明，得到，求出，得出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下， 过点作于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，作于点F，于点，于点， ， ， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定，三角形内角和定理的应用，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型三、旋转中的规律 1．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　） A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024 【答案】B 【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据余数为1可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环， ∵2023÷3＝674…1，， ∴翻转2023次后点C在数轴上， ∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每3次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 2．如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加．第一次直走后转动，第二次直走后转动，第三次直走后转动，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了 米． 【答案】45 【分析】根据走路规律，求出走的次数即可解得． 【详解】解：设第n次转动面向西方， 第二次面向西方时一共转了， 当时第二次面向西方， 一共走了（米）； 故答案为：45． 【点睛】此题考查了行程规律问题，解题的关键时根据规律列式求出走的次数． 3．图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 【答案】(1)将菱形B绕点O旋转 (2)见解析 (3)①图见解打，②③ 【分析】此题主要考查了图形变化规律，作图平移和旋转，点的坐标，关键是掌握平移与旋转的性质． （1）根据图形直接得出结论； （2）从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转，每个阴影部分也随之旋转． （3）①首先确定、、三点平移后的对应点位置，再连接，然后写出点点的坐标即可； ②根据关于原点对称的点的坐标特点可得的坐标； ③根据旋转的性质确定点的位置． 【详解】（1）解：观察分析①②的不同，变化前后，的位置不变， 而的位置由的下方变为的上方，进而可得两者对应点的连线交于点， 即进行了中心对称变化，变换方法是将菱形绕点旋转， 故答案为：菱形绕点旋转． （2）解：如图： （3）解：①如图所示，即为所求，的坐标为， ②将绕点按顺时针方向旋转后得到，点的坐标为， 故答案为：； ③将绕点按顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是， 故答案为：． 类型四、特殊三角形的旋转 1．如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：为直角三角形． 淇淇：当时，． 珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况． 下列说法正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质证明，可以判断嘉嘉正确：然后利用含30度角的直角三角形的性质判断淇淇正确：珍珍错误，进而可以解决问题． 【详解】解：由旋转可得： ∵ ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴为直角三角形，故嘉嘉正确； ∵在等边中，， 当时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故淇淇正确； 当时， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ 由旋转性质可得：， ∴是等边三角形 ∴ ∴，故珍珍错误； 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定与性质． 2．如图，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，,平分，将绕点D按逆时针方向旋转（），在旋转过程中，当 时，与的一边平行． 【答案】或或 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用三角形内角和定理，得到，，根据与的一边平行，分以下三种情况讨论，若时，当时，若时，结合平行线的性质求解，即可解题． 【详解】解：如图，设与的交点为H， ，， ，， 若时，如图， ， ， 当时， ， 若时，如图， ， ， ， 故答案为：或或． 3．如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，把绕A顺时针旋转到，，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的左侧作等腰直角，连接BP，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质及含30度直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据旋转的性质及等腰三角形的性质得出，结合图形，利用勾股定理求解即可； （2）延长至，使，连接，．根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出，即可证明； 【详解】（1），， 把绕顺时针旋转到， ，． ． ． 即． ． ，． ． ， ． ，， ． ． ． （2）证明：延长至，使，连接，． 以为底边得等腰直角， ，，． 垂直平分． ， ． ． ． 即． ． ． ． ． ． 1．下列图案中，可以通过把一个基础图形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转和平移，能理解图形的旋转及平移是解题的关键． 【详解】解：A.可以由圆旋转得到，故不符合题意； B.可以由菱形旋转得到，故不符合题意； C.可以由菱形平移得到，故符合题意； D.可以由等腰直角三角形旋转得到，故不符合题意； 故选：C． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，，即可求解．掌握旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 故选：D． 3．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，图形的旋转的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， 由旋转的性质得：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 4．如图，将（）绕点O逆时针旋转得到，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，即可得解，熟练掌握旋转的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵将（）绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取，连接，过点D作于点E，证明，得出，结合垂线段最短可知当点P与点E重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，过点D作于点E，如图， ∵，， ∴． 由旋转可知，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴当最短时，最小． ∵垂线段最短， ∴当点P与点E重合时，最短，即为的长． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为2． 故答案为：2． 6．如图，，为轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得．连接、，则当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与图形的变化，绕原点顺时针旋转等知识，熟练掌握是解题的关键．如图，设点坐标为，将线段和线段向左平移，得到点、、，此时点与点重合，点，根据线段绕点顺时针旋转得，可得点，即点，则，显然当时，取最小值，此时点． 【详解】解：如图，设点坐标为，将线段和线段向左平移，得到点、、，作轴于点E，作轴于点F， 将线段绕点顺时针旋转得， ， ， ， 坐标为， 点坐标为，即点， 则， 当时取最小值时， 此时点坐标为， 故答案为． 7．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．将绕原点逆时针旋转可得到，请画出，并写出点的坐标． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握旋转的性质，坐标系的特点是解题的关键． 利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可． 【详解】解：如图，即为所求， ∴． 8．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向右平移4个单位长度的； (2)画出关于原点成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称： （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如上图，即为所作． 9．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，，的坐标分别为，，，． (1)以点为旋转中心，将旋转得到，画出并写出点，，的坐标； (2)直接写出以，，，为顶点的四边形的面积； (3)若外接圆的圆心为点，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析，，， (2) (3) 【分析】（1）按照画旋转图形的方法画出并写出点，，的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式求出以，，，为顶点的四边形的面积即可； （3）在图中找到边与边的垂直平分线的交点，然后写出其坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作， 点，，的坐标分别为： ，，； （2）解：； （3）解：由图可得： 外接圆圆心点的坐标为：． 【点睛】本题主要考查了画旋转图形，写出直角坐标系中点的坐标，三角形的面积公式，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质及画旋转图形的方法是解题的关键． 10．等边中，点为上一点．    (1)如图1，连接，点为上一点，连接，，若，求的度数； (2)如图2，点关于直线的对称点为点，连接，，，点为中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，点在上运动的过程中，当线段取最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，由外角的性质可求解； （2）由轴对称的性质可得，，，即可证明，可得，，可证，可得，即可求解； （3）由题意可得当时，有最小值，即有最小值，由旋转的性质可证是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下：如图，连接，延长交于，     点关于直线的对称点为点， ，，， ， ， 点为中点， ， 又， ， ，， ，， 又，， ， ， ； （3）解：如图，连接，，，过点作直线于，    设， 将绕点顺时针旋转得到， ，， 点在上运动， 当时，有最小值，即有最小值， 是等边三角形，， ， ，，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2 图形的旋转 一、旋转的定义 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。旋转的三要素是旋转中心、旋转方向和旋转角度。 二、旋转的性质 1.旋转前后的图形全等。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 三、作图方法 在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素。确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角。作图步骤为： 1.连接图形中的每一个关键点与旋转中心。 2.把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）。 3.在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点。 4.连接所得到的各对应点。 四、生活中的旋转现象 旋转现象在生活中非常常见，如钟表的指针转动、旋转门、旋转木马等。这些现象都可以帮助我们更好地理解旋转的概念和性质。 巩固课内例1:旋转中心、旋转角 1．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，将含有角的直角三角板绕着点顺时针旋转到处（点，，在一条直线上），则这次旋转的旋转角为 度． 3．已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点A，B，C分别对应点，，． (1)请通过画图找到旋转中心，将其记作O； (2)直接写出旋转方向________（填顺时针或逆时针），旋转角度________； (3)在图中画出． 巩固课内例2:画出线段旋转后的图形 1．在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，，则点A的对应点的坐标是______． 3．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），，，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点O逆时针旋转得到线段； (1)画出线段，； (2)将线段绕点O逆时针旋转（）得到线段，连接．若，求的度数． 巩固课内例3:画出三角形旋转后的图形 1．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 2．如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ． 3．动手实践，规范操作． (1)画出三角形A以直线L为对称轴的三角形B； (2)画出三角形A绕O点逆时针旋转后的三角形C； (3)画出三角形A按放大后的三角形D． 类型一、生活中的旋转现象 1．下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 2．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 3．我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 类型二、旋转中的图案 1．在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    3．如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 类型三、旋转对称图形 1．下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（   ） A．（3）和（4） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（4）和（3） 2．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 3．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题： (1)下列选项是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 (2)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是度的有：________（填序号）．    (3)下列三个结论：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③平行四边形是旋转对称图形．其中正确的个数有________个； A．0    B．1    C．2    D．3 (4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整．    类型四、旋转角度重合 1．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（   ） A．120 B．90 C．60 D．45 2．如图，这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身完全重合，则的最小值为 ． 3．为了美化校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案．图案只能用圆弧在正方形内加以设计，要求使正方形和所画的圆弧构成的图案是旋转对称图形，且旋转后能与自身重合，种植花草部分用阴影表示．请你在三个正方形中画出三种不同的设计图案． 类型一、旋转的基本性质求长度 1．如图，中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过作于，若，则长为（   ） A． B． C． D．2 2．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ．    3．如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． (1)在旋转过程中， ①当A，D，M三点在同一直线上时，的长为 ； ②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求的长； (2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，即满足，，连接、、，如图2，此时，，求的长． 类型二、旋转的基本性质求角度 1．如图，，把绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，三角形的底边与等腰直角三角形的直角边重合，保持三角形不动，等腰直角三角形绕直角顶点按顺时针旋转，已知，若在旋转的过程中，旋转角度不大于且三角形与三角形有一条边平行，则的度数为 ． 3．阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 类型三、绕点旋转90°的坐标 1．如图，在中，，，，将绕点旋转后得到，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 2．如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)以点C为旋转中心将旋转，画出旋转后的； (2)将平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为________． 类型四、绕原点旋转一定角的坐标 1．在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点B顺时针旋转，则点A的对应点C的纵坐标是 ． 3．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 类型一、旋转的基本性质求周长 1．如图，在中，，，点在的内部，，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等边三角形中，点D在边上，将绕点B顺时针旋转得到，连接．若，则的周长为 ． 3．如图，在等边中，D在边上，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，直接写出的周长． 类型二、旋转的基本性质求面积 1．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，把绕点B逆时针旋转，得到，点E在上，若，，那么的面积是 ． 3．已知，在中，，将边绕点顺时针旋转得，使、两点在直线的同侧，连接，，，过点作于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，猜想线段、、三者之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，请直接写出的面积． 类型三、旋转中的规律 1．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　） A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024 2．如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加．第一次直走后转动，第二次直走后转动，第三次直走后转动，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了 米． 3．图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 类型四、特殊三角形的旋转 1．如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：为直角三角形． 淇淇：当时，． 珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况． 下列说法正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 2．如图，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，,平分，将绕点D按逆时针方向旋转（），在旋转过程中，当 时，与的一边平行． 3．如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，把绕A顺时针旋转到，，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的左侧作等腰直角，连接BP，求证：； 1．下列图案中，可以通过把一个基础图形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将（）绕点O逆时针旋转得到，则 ． 5．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为 ． 6．如图，，为轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得．连接、，则当取最小值时，点的坐标是 ． 7．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．将绕原点逆时针旋转可得到，请画出，并写出点的坐标． 8．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向右平移4个单位长度的； (2)画出关于原点成中心对称的． 9．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，，的坐标分别为，，，． (1)以点为旋转中心，将旋转得到，画出并写出点，，的坐标； (2)直接写出以，，，为顶点的四边形的面积； (3)若外接圆的圆心为点，请直接写出点的坐标． 10．等边中，点为上一点．    (1)如图1，连接，点为上一点，连接，，若，求的度数； (2)如图2，点关于直线的对称点为点，连接，，，点为中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，点在上运动的过程中，当线段取最小值时，请直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$