1 图形的平移 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

1 图形的平移 一、平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。 二、平移的两个要素 平移的方向和平移的距离。一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形。 三、平移的性质 1.对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。 2.对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等。 3.图形的形状与大小都不变（全等）。 4.图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。 四、平移方向和距离的确定 要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离。确定平移方向和距离的方法包括： 1.若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度表示平移距离。 2.若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平移来完成，而移动距离是由最终要达到的位置确定的。 3.具体给出从某点P到另一点P'的方向为平移方向，线段PP'的长度为平移距离。 4.给出具体方位（如向东或者西北等）和移动长度（如10CM）。 五、平移的判别方法 如果两个图形的位置给定，判别其中一个图形能否经另一个图形平移得到的方法包括： 1.这两个图形必须是全等形。 2.这两个全等形的对应线段必须互相平行（或者在同一条直线上）。 或者： 1.这两个图形必须是全等形。 2.这两个全等形的对应顶点字母的排列顺序在图中的方向必须相同（同位顺时针或同为逆时针）。 3.这两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）。 巩固课内例1:对应点、对应线段、对应角 1．在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后得到线段，点A、B的对应点分别是点C、D．若点C的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握平移变换的规律是解题的关键．先通过点A的对应点为C，进而确定平移方式，然后利用平移变换的规律即可解答． 【详解】解：∵将线段平移后得到线段，点经过平移后的对应点C的坐标为， ∴线段向右平移3个单位，向下平移2个单位得到线段， ∴点的对应点D的坐标为，即， 故选：A． 2．如图，△经过一次平移到△的位置，请回答下列问题： （1）点的对应点是点 ， ， ； （2）连接，那么平移的方向就是 的方向，平移的距离就是线段 的长度，可量出约为 cm； （3）连接、、，与线段相等的线段有 ． 【答案】 点到点的方向 2 、 【详解】本题考查了平移的性质，熟记平移性质是解题的关键，是基础题，难度不大． （1）根据平移前后的三角形的对应顶点填写； （2）根据平移的性质进行解答； （3）根据平移的性质，对应点的连线相等进行解答． 【解答】解：（1）观察图形可知，点与点是对应点，与是对应角，与是对应边； 故答案为：，，； （2）根据对应点的连线就是平移的方向，线段的长度等于平移的距离， 故答案为：点到点的方向，，2； （3）对应点的连线都等于平移的距离，相等， 故答案为：、． 3．（1）如图，平移三角形，使点A平移到点，画出平移后的三角形； （2）在（1）的条件下，指出点B的对应点，并指出的对应线段和的对应角． 【答案】（1）见解析；（2）；； 【分析】本题主要考查的是作图—平移变化，掌握平移的方向和距离是解题的关键． （1）依据点A到点移动的方向和距离，可确定出点B和点C平移后对应点的位置，从而可画出平移后的图形； （2）根据平移后的图形进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形为所求．    （2）根据作图可知：点B的对应点，的对应线段，的对应角． 巩固课内例2:三角形平移 1．如图，在三角形中，，，，把三角形沿着直线向右平移后得到三角形，连接，，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等． 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行分析，选出正确答案． 【详解】解： 沿着直线向右平移后得到， ，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； 又， ， ， ， 故④正确； 故选：D． 2．如图，将三角形沿射线的方向平移得到三角形，如果平移的距离是3，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质和线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵将三角形沿射线的方向平移得到三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．平移三角形，使点A与原点O重合，此时点B的对应点为，点C的对应点为． (1)请你写出一种由三角形得到三角形的平移方式：_____________________； (2)画出平移后的三角形，并写出平移后点B、C的对应点的坐标； (3)求平移后的三角形的面积． 【答案】(1)将三角形先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度 (2)见解析，， (3) 【分析】本题考查图形的平移和三角形面积的计算． （1）根据点A平移到到点O的平移方式即可解答； （2）根据平移的规律确定点的对应点，然后再顺次连接即可完成作图；最后直接确定点的坐标即可； （3）根据三角形的面积公式以及割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵点平移后的对应点为， ∴将三角形先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度． 故答案为：将三角形先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度（不唯一）． （2）解：如图：三角形即为所求．，． （3）解：． 巩固课内例3:四边形平移 1．剪纸是中国古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图，这是一张蕴含着轴对称图形的蝴蝶剪纸，点A和点B对称，点C与点D对称，将其放置在平面直角坐标系中，连接，得到四边形．若点，现将四边形沿着y轴向下平移3个单位长度，再沿着x轴向右平移4个单位长度，得到四边形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的平移，解题的关键是求出点坐标． 由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，求出点坐标，即可求解． 【详解】解：∵对称， ∴对称轴为直线， ∵与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 点沿着y轴向下平移3个单位长度，再沿着x轴向右平移4个单位长度，得到． 故选：B． 2．如图，将长度为10的线段先向左平移8个单位，再向下平移6个单位，得到线段，连接，，则 ，四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质得出，，即可求解． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长为： 故答案为：； ． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别为，，，． (1)将四边形沿x轴负方向平移2个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． (2)将四边形沿y轴正方向平移3个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， 【分析】本题主要考查图形的平移及坐标的平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键； （1）根据平移方式确定各个点的坐标，然后作图即可； （2）根据平移方式确定各个点的坐标，然后作图即可． 【详解】（1）解：所作四边形如图所示： ∴； （2）解：所作四边形如图所示： ∴． 类型一、生活中的平移现象 1．在中国园林建筑中，洞窗是最生动的眼睛，主要以镂空图案填心为主，故也称镂空花窗．花窗图案丰富多样，以各种植物，动物，字体，几何图案和其他图案为基础，相互交错形成多种吉祥图案．以下花窗的图样中，是通过平移设计的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的定义是解题的关键； 根据平移的定义逐项判断即可； 【详解】解∶A．该图案可以看作是由一个基本图形沿着某个方向进行平移，重复排列而形成的．平移过程中，基本图形的形状、大小和方向都没有发生变化，只是位置发生了改变，符合平移的定义，故该选项符合题意； B．该图案明显是围绕着一个中心点进行旋转，旋转角度相同，从而形成了该图案，并非平移， 故该选项符合题意； C．该图案是围绕着一个中心点进行旋转，旋转角度相同，从而形成了该图案，不满足平移的特征，故该选项符合题意； D．该图案是基本图形围绕一个中心点进行旋转，其旋转一定角度后得到整个图案，不是平移得到的，故该选项符合题意； 故选：A． 2．在以下现象中：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；③在笔直的公路上行驶的汽车；④随风摆动的旗帜；⑤钟摆的摆动，属于平移现象的有 （只填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平移的性质，对题中的现象进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；是平移运动； ②传送带上，瓶装饮料的移动；是平移运动； ③在笔直的公路上行驶的汽车；是平移运动； ④随风摆动的旗帜；不是平移运动； ⑤钟摆的摆动，不是平移运动； ∴属于平移现象的有：①②③； 故答案为：①②③． 【点睛】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 3．下列图案可以由什么图形平移形成？ 【答案】见解析 【分析】根据平移的性质以及基本图形的组成分别得出即可． 【详解】如图所示， 虚线方框图形平移形成此图案， 图案分别由虚框中的图像平移而成． 【点睛】本题考查了利用平移设计图案，正确根据已知图形得出基本图形是解题关键． 类型二、由平移方式确定坐标 1．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点平移的规律，熟记坐标系中点平移的规律是解题的关键．横坐标左减右加，纵坐标上加下减，据此解答， 【详解】解：∵将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到的对应点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， 故选：D 2．将点先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移与坐标的变化，解题的关键是掌握左减右加，下减上加．根据题意得将先向上平移3个单位长度，再向左平移个单位长度得到点A，根据左减右加，下减上加进行计算即可得． 【详解】解：∵将点A先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点， ∴先向上平移3个单位长度，再向左平移个单位长度得到点A， ∴， 故答案为：． 3．如图，的顶点坐标分别为，，将向右再向下平移后得到，且点A的对应点的坐标是，点B、的对应点分别是． (1)直接写出点的坐标；：________，：_______； (2)请在图中画出△A'B'C'； (3)点A，之间的距离是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平移变换、勾股定理等知识点，准确判断平移方向和平移距离是解题关键． （1）先根据对应点的坐标变化确定平移方向和平移距离，进而确定，点B、写的对应点的坐标； （2）先描出 、，然后再顺次连接即可解答； （3）根据两点间的距离公式计算即可解答． 【详解】（1）解：∵将平移得到，且点的对应点是， ∴将向右平移4个单位、向下平移1个单位得到， ∴， ∴． 故答案为． （2）解：如图：即为所求． （3）解：． 故答案为． 类型三、求沿x轴、y轴平移的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的平移．根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，计算即可得解． 【详解】解：∵向左平移3个单位长度后，再向下平移1个单位长度， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：C． 2．将点关于y轴对称后再向左平移 个单位，其对应点落在y轴上． 【答案】2 【分析】此题考查了关于y轴对称的点的坐标，点平移的规律，直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标，进而结合平移的性质得出答案． 【详解】解：点关于y轴对称点坐标为，则再向左平移2个单位，其对应点落在y轴上． 故答案为：2． 3．如图，在平面直角坐标系中，．    (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； (3)求出的面积； (4)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3.5 (4) 【分析】（1）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，再顺次连接即可； （2）作点、、向下平移4个单位后有对应点、、，再顺次连接即可； （3）用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积求解即可； （4）先根据关于y轴对称点的坐标特征“横坐标互为相反数，纵坐标不变”求出点M关于关于y轴对称点，再根据平移坐标变换规律“上加下减，左减右加”求得点平移后的对应点． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；    （2）解：如图所示：即为所求；    （3）解：． （4）解：∵与关于轴的对称， ∴点经过第一次变换后对应点， ∵沿轴向下平移4个单位长度后得到的， ∴点经过两次变换后对应点， 故答案为：． 【点睛】本题考查作轴对称图形，平移作图，轴对称的坐标变换，平称的坐标变换，利用网格求三角形的面积．熟练掌握作轴对称图形和平移作图及其坐标变换规律是解题的关键． 类型一、已知平移前后的坐标，判定平移方式 1．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点B的对应点的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．求原来点的坐标正好相反． 直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到2，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动5个单位，向下移动3个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 2．将点向 平移 个单位长度后得到的点与点关于y轴对称． 【答案】 上 5 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点特征、点平移的特征，根据关于轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得出点关于轴对称的点，再根据点平移的特征：把一个点左右平移，则横坐标是左减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减，即可得出结果． 【详解】解：根据关于坐标轴对称的点特征，可知：点关于轴对称的点为， 又∵点， ∵， ∴将点A向上平移个单位长度后得到的点． 故答案为：上；． 3．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为． (1)在图中画出，并求其面积； (2)已知是由经过平移得到的，若为三角形内的一点，求点P在内的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析，8 (2) 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，能够根据平移前后坐标的变化得出平移方式是解题的关键． （1）根据题意描点，顺次连接A、B、C，即可；再根据长方形减去三个三角形的面积，即可求解； （2）根据图形的位置关系得出平移方式，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； ； （2）解：∵点平移到， ∴平移规律为横坐标加4，纵坐标减3， ∴平移后为， ∴的坐标为． 类型二、已知平移后的坐标求原坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，逆向思考，把点向下平移个单位长度后即可得到点的坐标．解题的关键是掌握点平移的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．据此解答即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，把点向下平移个单位长度后的坐标为，即， ∴点的坐标为． 故选：C． 2．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为 ． 【答案】（4，8） 【分析】设A（x，y），根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列方程求解，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：设A（x，y）， ∵点A向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（−2，5）， ∴x＋2＝−2，y−3＝5， 解得x＝−4，y＝8， ∴点A的坐标为（−4，8）， ∴A点关于y轴的对称点坐标为（4，8）． 故答案为：（4，8）． 【点睛】本题考查了坐标的平移规律，以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴平移后的如图所示： （2）由（1）得：平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为． 类型三、平移的基本性质求长度 1．如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意数形结合思想的应用．根据平移的性质即可得到结论． 【详解】解：∵以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知线段的长为6厘米，将它向左平移3厘米，点平移到点，点平移到点，得到线段，那么线段 厘米． 【答案】3 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，根据对应点的连线的长等于平移的距离直接写出答案即可． 【详解】解：线段的长为6厘米，将它向左平移3厘米，点平移到点，点平移到点，得到线段， 平移的距离厘米， 故答案为：3． 3．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接，求平移的距离和的长． 【答案】2； 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，由平移的性质可知平移的距离，以及，，故可得出，在中利用勾股定理即可得出的长． 【详解】解：由平移而成， 平移的距离为：， ， ∴， ∴ ， 是直角三角形， ，， ． 类型四、平移的基本性质求角度 1．如图，将平移后得到．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形外角的性质，由平移的性质得到，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，平移后得到，，，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，平移的性质，熟知三角形内角和是；平移后新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 先根据三角形内角和定理得出的度数，进而得出的度数，由平移的性质得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平移后得到， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中，过点C作的平行线； (2)在图②中，以点B为顶角，为一边，作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查网格作图； （1）利用平移作平行线即可； （2）根据图形可得与水平方向的线夹角中钝角为，据此作图可得． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求． （2）解：如图②，即为所求（答案不唯一）． 类型一、平移的基本性质求周长 1．如图，中，，现将沿着射线的方向平移2个单位得到，则的周长是（   ） A．15 B．21 C．17 D．19 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的性质，明确题意，求出的边长是解题的关键．根据平移的性质和等边三角形的判定和性质，求得的边长，即可求解． 【详解】解：∵，，，将沿着射线的方向平移2个单位得到， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长是：， 故选：A． 2．如图，将沿方向平移得到，若四边形的周长为，则的周长为 cm． 【答案】34 【分析】本题主要考查平移的性质；由题意得到，再得出周长，即可求出． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵四边形的周长为， ∴ ∴． 故答案为：34． 3．将沿的方向平移得到． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，连结，则四边形的周长为 　　cm． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查图形的平移． （1）根据平移的性质求出，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解； （2）先求出，再根据平移的性质和四边形的周长解答即可． 【详解】（1）解：由图形平移的特征可知和的形状与大小相同， 即， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴四边形的周长（）， 故答案为：14． 类型二、平移的基本性质求面积 1．如图，等腰直角三角形，， 将沿射线平移个单位，得到， 连接， 则的面积是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题关键． 作于点D，由勾股定理求得的长，由平移的性质可得的长，由面积法求出的长，进而可求出的面积． 【详解】解：如图，作于点D， ， 由题意得，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：A． 2．如图，如图所示，一块白色正方形板，边长，上面横竖各两道黑条，黑条宽都是，问黑色部分面积是 ． 【答案】 【分析】本题题考查平移的知识，以及正方形面积，解答此题的关键是：利用“平移法”，求出空白部分正方形的边长，进而求其面积．根据平移的知识，把横竖各两道黑条平移到正方形的边上，利用黑色部分面积正方形面积空白部分的面积，即可解题． 【详解】解：将两道黑条平移，如图： 黑色部分面积是（）， 故答案为：． 3．已知：如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． (1)写出（______，______）、（ ______，______）、（ ______，______）的坐标； (2)求出的面积=______； (3)点P在y轴上，且是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)，，； (2)6； (3)或 【分析】本题考查了坐标的平移，坐标特征，三角形面积公式，熟练掌握相应的知识是解题的关键． （1）根据平移规律，确定变换后的坐标，解答即可． （2）根据三角形的面积公式，坐标特征，计算面积即可． （3）设，根据是的面积的2倍，坐标特征，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度的新坐标分别为，，， 故答案为：，，； （2）解：根据题意，得， 故的面积为：， 故答案为：6； （3）解：∵的面积为6，是的面积的2倍， ∴的面积为12， 设， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故或． 类型三、平移(作图) 1．如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题，熟练掌握轴对称最短路径中的“造桥选址问题”的方法是解题的关键．“造桥选址问题”是先利用平移的思想转化为常见的最值问题，再利用“两点之间线段最短”即可解决． 【详解】解：由于河岸是固定的，桥与河的两岸相互垂直 所以桥的长度是固定的， 因此当最小时，即最小， 将沿河岸垂直的方向平移，点移动到点，点移动到点， 则，， 则，其中点，位置固定， 则当点，，共线时，最短， 则最小， 故C选项符合题意， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，平移线段，使点M落在点处，则点N对应的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用平移的性质画出图形，可得结论． 【详解】解：观察图象可知，N′（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 3．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)建立适当的平面直角坐标系后，若点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为______； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的； (3)在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据点B的坐标为，点C的坐标为，建立平面直角坐标系，进而可得点A的坐标； （2）根据平移的性质即可将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，进而画出平移后的； （3）结合（2）根据点，可得平移后的对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求，点A的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵点， ∴平移后的对应点的坐标为， 故答案为：． 类型四、平移中的实际问题 1．如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据图形可得所走路线长为，进行计算即可． 【详解】解：由图可知，横向距离等于的长，纵向距离等于的2倍， ∴入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为米； 故选B． 2．如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为2米时耕地面积为 平方米． 【答案】504 【分析】本题考查利用平移解决实际问题，利用平移思想，得到耕地面积为长为，宽为的长方形的面积，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：504． 3．政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【答案】(1)， (2) (3)元 【分析】本题考查了平移的实际应用，能将图形中的等宽路利用平移重合组合成一个矩形是解题的关键． （1）利用平移的思想将分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可得出和，即可解决； （2）利用平移的思想将分成的四块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可； （3）代入数据求值即可． 【详解】（1）解：由图1可得小路是长为，宽为的长方形， 则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为米，宽为的长方形， 则， 由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形， 由图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线， 则， 故答案为：，； （2）由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为米，宽为米的长方形， 则； （3）当，时， ， 因为铺草地平均每平方米需要花费元， 所以铺设这块草地一共需要花费（元）， 答：铺设这块草地一共需要花费元． 类型五、特殊三角形的平移 1．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为12，则阴影部分的面积（    ） A．160 B．168 C．180 D．192 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质可知，，， ， 阴影部分的面积， 平移距离为12， ， ，，， ， 阴影部分的面积为：，     故选：D． 2．已知中，，若沿射线方向平移个单位得到，顶点分别与顶点对应，若以点为顶点的三角形是等腰三角形，则的值是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了图形的平移，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握平移的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质可得的值，根据平移的性质，等腰三角形的判定和性质，分类讨论：当时；当时；当时；根据等腰三角形的性质，边的数量关系即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴，，， ∵沿平移个单位得到， ∴，，，，， 第一种情况，如图所示，，是等腰三角形，    ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，； 第二种情况，如图所示，，是等腰三角形，    ∴， ∵， ∴； 第三种请，如图所示，，是等腰三角形，    ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，以点为顶点的三角形是等腰三角形时，的值为或或， 故答案为：或或 ． 3．综合与探究 【问题情境】 数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在中，，于点D，平分交于点F，交于点E． 【初步分析】 （1）智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论． （2）博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形．添加的条件可以是_______．（写出一种即可） 【操作探究】 （3）创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下探究：将沿射线的方向平移，使点F的对应点恰好落在线段上． ①请在图中画出平移后的； ②判断此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）（答案不唯一）；（3）①见解析，②，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平移的性质，等边三角形的判定，等边对等角． （1）由角平分线的定义和余角的性质可得，可得，可得结论； （2）添加，由，可证成为等边三角形； （3）①根据题意画出即可； ②由可证，可得； 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：添加，可使成为等边三角形，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 又∵， ∴是等边三角形； 故答案为：； （3）解：①如图，即为所求； ②，理由如下： ∵将沿射线的方向平移， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 1．中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了四方连续纹样，四方连续纹样是一种图案设计形式，由一个单位纹样向上下左右四个方向反复连续循环排列而成．据此分析即可． 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 2．如图，沿射线方向平移后得到，若，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答的关键． 根据平移性质求即可求出的长度． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， 故选：A． 3．如图，点I为的角平分线的交点，，，，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据点I为的角平分线的交点，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长． 【详解】解：如图，连接，， 点I为的角平分线的交点， 和分别平分和， ，， 将平移，使其顶点与点重合， ，， ，， ，， ，， ． 所以图中阴影部分的周长为． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质及平移的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质及平移的性质． 4．在平面直角坐标系中，把点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点．若点在第三象限，则的值可以是 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了坐标平面内的图形变换—平移，根据坐标的平移规则，左减右加，上加下减，计算出B点坐标，根据点B在第三象限，列出关于a的不等式，解不等式，即可得出答案． 【详解】解：根据点的平移规则可知，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B的坐标为：，即， 根据第三象限的坐标特征可知：， 解得：， 故答案为：0．（答案不唯一） 5．已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的坐标与图形变化，根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”得出平移规律，求出的值即可解答． 【详解】解：由题可得，， 解得：，， ∴ 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，先水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着先水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点；…按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律探究，观察可知：下标为奇数的点在第三象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：观察题图可知，下标为奇数的点在第三象限， 因为，，，…， ∴， 当时，， 所以点的坐标为． 故答案为：． 7．作图题 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是点、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接和； (3)直接写出三角形的面积为______． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】本题主要考查图形的平移，网格求三角形面积，理解网格的特点，掌握平移的性质，网格求面积的计算是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据题意连线即可； （3）根据网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下， （2）解：根据题意，连线如图所示； （3）解：， 故答案为：． 8．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移3个单位得到的； (2)在网格中画出关于直线m对称的； (3)在直线m上画一点P，使得的值最大（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图、轴对称作图及三角形三边关系的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）作出点A、B、C平移后的对应点，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B、C关于直线m的对称点，然后再顺次连接即可； （3）连接，并延长，交直线m于一点，该点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：连接，并延长，交直线m于一点，该点即为点P，如图所示：    ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴当、、P在同一直线上时，的值最大． 9．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，三角形中任意一点，经平移后对应点为．将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)求三角形的面积； (3)D是x轴上一动点，当时，点D的坐标为 ． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据平移，画出图形即可写出点的坐标； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）设，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由图知，，， 故答案为：，； （2）解：如上图， 三角形的面积； （3）解：设，由题意，， 或， 或， 故答案为：或． 10．如下图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)分别将点A，B水平向左平移2个单位长度到达点M，N处，连接，，．求三角形的面积； (2)过点B作y轴的垂线，垂足为E．若点F在y轴上，且，求点F的坐标； (3)Q为线段上一动点（不含端点），连接，．试猜想，和之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，理由见解析 【分析】（1）首先由平移方式确定点，的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积； （2）由题意可得，设点F的坐标为，则，由三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值，进而可得点F的坐标； （3）过点Q作交于点H，由平移的性质可知，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，进而可得，于是结论得证． 【详解】（1）解：，，分别将点A，B水平向左平移2个单位长度到达点M，N处， ，， ； （2）解：过点B作y轴的垂线，垂足为E， ， 设点F的坐标为，则， ， 解得：或， 点F的坐标为或； （3）解：，理由如下： 如图，过点Q作交于点H， 由平移的性质可知：， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，平移的性质，三角形的面积公式，平行公理的推论，两直线平行内错角相等，绝对值方程等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——平移及平移的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 图形的平移 一、平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。 二、平移的两个要素 平移的方向和平移的距离。一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形。 三、平移的性质 1.对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。 2.对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等。 3.图形的形状与大小都不变（全等）。 4.图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。 四、平移方向和距离的确定 要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离。确定平移方向和距离的方法包括： 1.若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度表示平移距离。 2.若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平移来完成，而移动距离是由最终要达到的位置确定的。 3.具体给出从某点P到另一点P'的方向为平移方向，线段PP'的长度为平移距离。 4.给出具体方位（如向东或者西北等）和移动长度（如10CM）。 五、平移的判别方法 如果两个图形的位置给定，判别其中一个图形能否经另一个图形平移得到的方法包括： 1.这两个图形必须是全等形。 2.这两个全等形的对应线段必须互相平行（或者在同一条直线上）。 或者： 1.这两个图形必须是全等形。 2.这两个全等形的对应顶点字母的排列顺序在图中的方向必须相同（同位顺时针或同为逆时针）。 3.这两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）。 巩固课内例1:对应点、对应线段、对应角 1．在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后得到线段，点A、B的对应点分别是点C、D．若点C的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，△经过一次平移到△的位置，请回答下列问题： （1）点的对应点是点 ， ， ； （2）连接，那么平移的方向就是 的方向，平移的距离就是线段 的长度，可量出约为 cm； （3）连接、、，与线段相等的线段有 ． 3．（1）如图，平移三角形，使点A平移到点，画出平移后的三角形； （2）在（1）的条件下，指出点B的对应点，并指出的对应线段和的对应角． 巩固课内例2:三角形平移 1．如图，在三角形中，，，，把三角形沿着直线向右平移后得到三角形，连接，，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，将三角形沿射线的方向平移得到三角形，如果平移的距离是3，，那么 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．平移三角形，使点A与原点O重合，此时点B的对应点为，点C的对应点为． (1)请你写出一种由三角形得到三角形的平移方式：_____________________； (2)画出平移后的三角形，并写出平移后点B、C的对应点的坐标； (3)求平移后的三角形的面积． 巩固课内例3:四边形平移 1．剪纸是中国古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图，这是一张蕴含着轴对称图形的蝴蝶剪纸，点A和点B对称，点C与点D对称，将其放置在平面直角坐标系中，连接，得到四边形．若点，现将四边形沿着y轴向下平移3个单位长度，再沿着x轴向右平移4个单位长度，得到四边形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将长度为10的线段先向左平移8个单位，再向下平移6个单位，得到线段，连接，，则 ，四边形的周长为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别为，，，． (1)将四边形沿x轴负方向平移2个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． (2)将四边形沿y轴正方向平移3个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． 类型一、生活中的平移现象 1．在中国园林建筑中，洞窗是最生动的眼睛，主要以镂空图案填心为主，故也称镂空花窗．花窗图案丰富多样，以各种植物，动物，字体，几何图案和其他图案为基础，相互交错形成多种吉祥图案．以下花窗的图样中，是通过平移设计的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．在以下现象中：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；③在笔直的公路上行驶的汽车；④随风摆动的旗帜；⑤钟摆的摆动，属于平移现象的有 （只填序号） 3．下列图案可以由什么图形平移形成？ 类型二、由平移方式确定坐标 1．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．将点先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 3．如图，的顶点坐标分别为，，将向右再向下平移后得到，且点A的对应点的坐标是，点B、的对应点分别是． (1)直接写出点的坐标；：________，：_______； (2)请在图中画出△A'B'C'； (3)点A，之间的距离是 ． 类型三、求沿x轴、y轴平移的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．将点关于y轴对称后再向左平移 个单位，其对应点落在y轴上． 3．如图，在平面直角坐标系中，．    (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； (3)求出的面积； (4)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是___________． 类型一、已知平移前后的坐标，判定平移方式 1．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点B的对应点的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．将点向 平移 个单位长度后得到的点与点关于y轴对称． 3．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为． (1)在图中画出，并求其面积； (2)已知是由经过平移得到的，若为三角形内的一点，求点P在内的对应点的坐标． 类型二、已知平移后的坐标求原坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 类型三、平移的基本性质求长度 1．如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．已知线段的长为6厘米，将它向左平移3厘米，点平移到点，点平移到点，得到线段，那么线段 厘米． 3．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接，求平移的距离和的长． 类型四、平移的基本性质求角度 1．如图，将平移后得到．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，平移后得到，，，则的度数是 ． 3．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中，过点C作的平行线； (2)在图②中，以点B为顶角，为一边，作． 类型一、平移的基本性质求周长 1．如图，中，，现将沿着射线的方向平移2个单位得到，则的周长是（   ） A．15 B．21 C．17 D．19 2．如图，将沿方向平移得到，若四边形的周长为，则的周长为 cm． 3．将沿的方向平移得到． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，连结，则四边形的周长为 　　cm． 类型二、平移的基本性质求面积 1．如图，等腰直角三角形，， 将沿射线平移个单位，得到， 连接， 则的面积是（    ） A．6 B． C．12 D． 2．如图，如图所示，一块白色正方形板，边长，上面横竖各两道黑条，黑条宽都是，问黑色部分面积是 ． 3．已知：如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． (1)写出（______，______）、（ ______，______）、（ ______，______）的坐标； (2)求出的面积=______； (3)点P在y轴上，且是的面积的2倍，求点P的坐标． 类型三、平移(作图) 1．如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，平移线段，使点M落在点处，则点N对应的点的坐标为 ． 3．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)建立适当的平面直角坐标系后，若点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为______； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的； (3)在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为_____． 类型四、平移中的实际问题 1．如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 2．如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为2米时耕地面积为 平方米． 3．政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 类型五、特殊三角形的平移 1．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为12，则阴影部分的面积（    ） A．160 B．168 C．180 D．192 2．已知中，，若沿射线方向平移个单位得到，顶点分别与顶点对应，若以点为顶点的三角形是等腰三角形，则的值是 ． 3．综合与探究 【问题情境】 数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在中，，于点D，平分交于点F，交于点E． 【初步分析】 （1）智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论． （2）博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形．添加的条件可以是_______．（写出一种即可） 【操作探究】 （3）创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下探究：将沿射线的方向平移，使点F的对应点恰好落在线段上． ①请在图中画出平移后的； ②判断此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 1．中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，沿射线方向平移后得到，若，那么（   ） A． B． C． D． 3．如图，点I为的角平分线的交点，，，，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，把点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点．若点在第三象限，则的值可以是 ． 5．已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，先水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着先水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点；…按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 7．作图题 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是点、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接和； (3)直接写出三角形的面积为______． 8．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移3个单位得到的； (2)在网格中画出关于直线m对称的； (3)在直线m上画一点P，使得的值最大（保留作图痕迹）． 9．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，三角形中任意一点，经平移后对应点为．将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)求三角形的面积； (3)D是x轴上一动点，当时，点D的坐标为 ． 10．如下图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)分别将点A，B水平向左平移2个单位长度到达点M，N处，连接，，．求三角形的面积； (2)过点B作y轴的垂线，垂足为E．若点F在y轴上，且，求点F的坐标； (3)Q为线段上一动点（不含端点），连接，．试猜想，和之间的关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$