精品解析：江苏省盐城市大丰区 2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年春学期3月份调研九年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 如图，在半径为13cm圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A. 10cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26cm 2. 如图，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的后得到△A'B'O，若B点坐标为(4，-5)，则B'的坐标为(　　) A. ( 2，-2.5) B. (-2，2.5) C. ( 2，-2.5)或 (-2，2.5) D. ( 2，2.5)或 (-2，2.5) 3. 如图，在中，，分别交，于点，．若，，则的面积与的面积的比等于（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5 m的标准视力表制作了一个测试距离为3 m的视力表.如果标准视力表中“E”的高a是72.7 mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是（ ） A. 121.17 mm B. 43.62 mm C. 43.36 mm D. 29.08 mm 5. 已知一次函数与，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，c＜﹣1，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a﹣2b+c＜﹣1；④a﹣b＞am2+bm（m≠﹣1）；其中，正确的结论个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝﹣1，则b2＝4a．其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________． 10. 点P（3，﹣5）关于原点对称点的坐标为_____． 11. 一个扇形的圆心角为，扇形的半径为6，则扇形面积是________（结果用表示）． 12. 两个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的小球.甲袋中有2 个红球，1个白球，乙袋中有1 个红球，1个白球．搅匀后，从两个袋子中各随机摸出一个球，则摸出的两个球都为白球的概率为________. 13. 如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图像经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝_____． 14. 已知二次函数，当时，函数y最大值为_______． 15. 设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=______． 16. 将一个边长为4的正方形纸片折叠，使点A落在边上的点H处，点H不与C、D重合，为折痕，则四边形面积的最小值是_______． 17. 计算：+2cos30°＝_____． 18. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝3，点E在边AD上，且DE＝1，点F为线段AB上一动点（不与点A重合），将菱形沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点A′落在菱形的对角线上时，AF的长为___． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 计算： （1）． （2）． 20. “秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/g 第1次试捕 4 166 第2次试捕 4 167 第3次试捕 6 168 第4次试捕 6 170 （1）四次试捕中平均每只蟹的质量为____________； （2）若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为____________； （3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167． ①____________； ②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差． 21. 江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度,他利用了反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离银杏树的点处,然后观测者沿着直线后退到点,这时恰好在镜子里看到树梢顶点,再用皮尺量得,观测者目高,则树高约是多少? 22. 点P的坐标是(a，b)，从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，求点P(a，b)在平面直角坐标系中第三象限内的概率． 23. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积． 24. 如图，直线MN与O相切于点M，ME=EF且EF//MN． （1）求cos∠E的值： （2）若O的半径为2．求图中阴影部分的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am（a＜0）与x轴分别交于点A、C，顶点坐标为D． （1）当a＝﹣1，m＝1时． ①求点D的坐标； ②若F为线段AD上一动点，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，当PH+OH的值最大时，求点F的坐标． （2）当m＝时，若另一个抛物线y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am的顶点为E．试判断直线AD是否经过点E？请说明理由． 26. 为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪 CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数） 27. 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）求函数与x轴交点坐标； （3）用五点法画函数图象． x … 　 　 　— 　 　 … y … 　 　 　 　 　 … （4）根据图象，直接写出当时，x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期3月份调研九年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A. 10cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26cm 【答案】C 【解析】 【分析】过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，先利用勾股定理求出BC的长，进而根据垂径定理得出AB. 【详解】解：过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D， ∴CD=8，OD=13， ∴OC=OD-CD=5， 又∵OB=13， ∴Rt△BCO中，BC==12， ∴AB=2BC=24． 故选C. 2. 如图，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的后得到△A'B'O，若B点坐标为(4，-5)，则B'的坐标为(　　) A. ( 2，-2.5) B. (-2，2.5) C. ( 2，-2.5)或 (-2，2.5) D. ( 2，2.5)或 (-2，2.5) 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算． 【详解】解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的后得到△A'B'O，若B点坐标为(4，-5)， 则B'的坐标为(4×，-5×)或(-4×，5×)，即( 2，-2.5)或 (-2，2.5)， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 3. 如图，在中，，分别交，于点，．若，，则的面积与的面积的比等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解. 解：∵，∴，又∵且，∴，∴．故选D. 4. 如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5 m的标准视力表制作了一个测试距离为3 m的视力表.如果标准视力表中“E”的高a是72.7 mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是（ ） A. 121.17 mm B. 43.62 mm C. 43.36 mm D. 29.08 mm 【答案】B 【解析】 【分析】给图中图形标上顶点，利用三角形相似，得到对应边的比例式，最后代值即可求出高b． 【详解】解：如下图所示： 由题意可知：， 故有：，即，解得， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例，求解未知边，这是解决该题的关键． 5. 已知一次函数与，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的知识，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．解决本题的关键是结合图象特征进行判断．先由一次函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可得答案． 【详解】解：A．由一次函数图象可知：，，二次函数图象可知，与一次函数互相矛盾，不符合题意， B．由一次函数图象可知：，，二次函数图象可知，与一次函数互相矛盾，不符合题意， C．由一次函数图象可知：，，二次函数图象可知，与一次函数一致，符合题意， D．由一次函数图象可知：，，二次函数图象可知，与一次函数互相矛盾，不符合题意， 故选：C． 6. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，c＜﹣1，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a﹣2b+c＜﹣1；④a﹣b＞am2+bm（m≠﹣1）；其中，正确的结论个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质逐个判断即可． 【详解】抛物线开口向上 对称轴为 a、b同号，则 ，则①错误 对称轴为，与x轴的交点为 ，即 ，即 ，则②正确 由对称性可知，当与时，y的值是相等的 即 ，则③正确 当时，y取得最小值，最小值为 当时， 则 即，则④错误 综上，正确的结论有2个 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键． 7. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝﹣1，则b2＝4a．其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a>0；然后根据对称轴为 可得b<0，据此判断即可． ②根据抛物线的图像，可得x=-1时，y>0，即，据此判断． ③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可． ④根据函数的最小值是，判断出c=-1时，a、b的关系即可． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴a>0， 又∵对称轴为 ∴b<0， ∴结论①不正确； ∵x=−1时，y>0， ∴a−b+c>0， ∴结论②不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是y=−2， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：2×2=4， ∴结论③正确； ∵c=−1， ∴ ∴结论④正确, 综上，结论正确的有2个. 故选：B. 【点睛】考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是了解二次项系数决定抛物线的开口方向，共同决定了对称轴的位置，常数项决定了抛物线与轴的交点位置. 8. 从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求随机事件的概率和一元二次方程有实数解的判定． 首先根据关于x的一元二次方程有实数根，可知，得出，再通过列表即可求得所有等可能的结果，共有12种等可能的结果，其中满足共有2种结果，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴而且， ∴而且， 列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 6 8 3 3 6 12 4 4 8 12 共有6种等可能的结果，其中满足共有2种结果， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】用因式分解法解方程即可． 【详解】解：x ( x +3)＝0， x＝0或 x +3＝0， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键． 10. 点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标为_____． 【答案】（﹣3，5） 【解析】 【分析】根据关于原点的对称的点的横纵坐标均互为相反数可得所求点的坐标． 【详解】解：点(3，−5)关于原点的对称点的坐标为(−3，5)， 故答案为(−3，5) 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的知识；掌握关于原点对称的点的坐标的特点是解决本题的关键． 11. 一个扇形的圆心角为，扇形的半径为6，则扇形面积是________（结果用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：扇形面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求扇形面积公式，牢记公式是解题的关键． 12. 两个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的小球.甲袋中有2 个红球，1个白球，乙袋中有1 个红球，1个白球．搅匀后，从两个袋子中各随机摸出一个球，则摸出的两个球都为白球的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查画树状图法或列表法求概率，画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：由题意画树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的情况，其中摸出的两个球都为白球的情况有1种， 因此摸出的两个球都为白球的概率为， 故答案为：． 13. 如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图像经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝_____． 【答案】﹣12 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题． 【详解】解：∵AB⊥OB， ∴S△AOB＝＝6， ∴k＝±12， ∵反比例函数的图像在二四象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣12， 故答案为﹣12． 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数比例系数的几何意义． 14. 已知二次函数，当时，函数y的最大值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是：， ∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， ∴函数y的最大值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 15. 设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=______． 【答案】2016 【解析】 【详解】由题意可得， ， ， ∵，为方程的个根， ∴， ， ∴． 16. 将一个边长为4的正方形纸片折叠，使点A落在边上的点H处，点H不与C、D重合，为折痕，则四边形面积的最小值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】作于点M，连接AH，先证明四边形是矩形，再结合折叠性质，得出，，，然后运用勾股定理，得出，证明，运用三角形面积公式列式，最后运用二次函数的性质，即可作答．． 【详解】如图，作于点M，连接AH， ∵纸片是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ 设，， ∵折叠 ∴，， 在中，由勾股定理得， 化简得， ∵ ∴ ∵， ∴， 则， ∴， ， ∵开口向上， ∴当时，S有最小值6． 【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 17. 计算：+2cos30°＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用立方根的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】原式＝﹣4+2× ＝﹣4+． 【点睛】本题考查立方根的性质及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键. 18. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝3，点E在边AD上，且DE＝1，点F为线段AB上一动点（不与点A重合），将菱形沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点A′落在菱形的对角线上时，AF的长为___． 【答案】2或 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论：①当点A′在BD上时，可以证明△A′DE∽△FBA′，对应边成比例，可求出AF的长；②当点A′在AC上时，可得△EAF是等边三角形，进而可求AF的长． 【详解】解：①当点A′在BD上时，如图， 由折叠可知： ∠EA′F＝∠DAB＝60°， ∴∠DA′E+∠FA′B＝120°， ∵∠A＝60°，AB＝AD， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠DBA＝∠ADB＝60°， ∴∠A′FB+∠BA′F＝120°， ∴∠DA′E＝∠BFA′， ∴△A′DE∽△FBA′， ∴， ∵AB＝AD＝DB＝3，DE＝1， ∴EA′＝EA＝AD-DE＝2， 设FA′＝FA＝x，DA′＝y， 则BA′＝3-y，BF＝3-x， ∴， 解得x＝5-； ②当点A′在AC上时，如图： 由折叠可知：EF垂直平分AA′， ∴∠AOF＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＝30°， ∴∠AFE＝60°， ∴△EAF是等边三角形， ∴AF＝AE＝AD-DE＝2． 综上所述：AF＝5-或2． 故答案为：2或5-． 【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算， （1）先进行有理数的乘方及化简绝对值、特殊角的三角函数值计算，再加减计算即可； （2）先分别进行有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂运算，再加减运算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. “秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/g 第1次试捕 4 166 第2次试捕 4 167 第3次试捕 6 168 第4次试捕 6 170 （1）四次试捕中平均每只蟹的质量为____________； （2）若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为____________； （3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167． ①____________； ②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差． 【答案】（1）168 （2） （3）①164；②7 【解析】 【分析】（1）用四次试捕中蟹的总质量除以蟹的数量，即可求解； （2）用四次试捕中平均每只蟹的质量乘以成活的蟹的数量，即可求解； （3）①用第3次试捕的蟹的总质量减去其它蟹的质量，可得a的值；②根据方差公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：四次试捕中平均每只蟹的质量为 ； 故答案为：168 【小问2详解】 解：； 故答案为： 【小问3详解】 解：①； 故答案为：164 ② 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，求方差，用样本估计总体，熟练掌握加权平均数，方差的求法是解题的关键． 21. 江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度,他利用了反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离银杏树的点处,然后观测者沿着直线后退到点,这时恰好在镜子里看到树梢顶点,再用皮尺量得,观测者目高,则树高约是多少? 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．根据题意证出,再代入条件中具体数值继而得到本题答案． 【详解】解:由题意知,,, ∴, ∴, ∵,,, ∴,解得:, 答:树高约是． 故答案为:． 22. 点P的坐标是(a，b)，从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，求点P(a，b)在平面直角坐标系中第三象限内的概率． 【答案】见解析， 【解析】 【详解】先画树状图，共有20种等可能的结果，其中点在平面直角坐标系中第三象限内的结果数为2，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中点在平面直角坐标系中第三象限内的结果数为2， 所以点在平面直角坐标系中第三象限内的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状法求概率，通过列表法或树状法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件A或B的结果的数目，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了坐标确定位置． 23. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，从而得到∠DAC=∠CAO； （2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27=（r+3）2，解得r=3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影=S△COE﹣S扇形COB进行计算即可． 【详解】解：（1）连接OC，如图， ∵CD与⊙O相切于点E， ∴CO⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴AD∥CO， ∴∠DAC=∠ACO， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠DAC=∠CAO， 即AC平分∠DAB； （2）设⊙O半径为r， 在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2， ∴r2+27=（r+3）2，解得r=3， ∴OC=3，OE=6， ∴cos∠COE=， ∴∠COE=60°， ∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=•3•3﹣． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式． 24. 如图，直线MN与O相切于点M，ME=EF且EF//MN． （1）求cos∠E的值： （2）若O的半径为2．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）连接MF，连接MO，并延长MO交EF于H，判断出△MEF为等边三角形即可求出cos∠E； （2）连接OM，OE，过O作OA⊥EM，根据圆周角和圆心角的关系可得到∠EOM=120°和∠AEO=30°，进而可求出OA和EM，然后根据阴影部分面积=计算即可． 【详解】解：如图，连接MF，连接MO，并延长MO交EF于H， ∵MN与⊙O相切， ∴MH⊥MN， ∵MN∥EF， ∴MH⊥EF， ∴HE=HF， ∴ME=MF， ∵ME=EF， ∴ME=EF=MF， ∴△MEF为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴cos∠E=cos60°=． （２）如图，连接OM，OE，过O作OA⊥EM， 由（1）知△MEF为等边三角形， ∴∠EOM=120°， ∴∠AEO=30°， ∵OE=2， ∴OA=1， ∴， ∴EM=， ∴， ∴阴影部分面积=． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，锐角三角函数、扇形的面积公式、勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，并综合利用相关知识解题． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am（a＜0）与x轴分别交于点A、C，顶点坐标为D． （1）当a＝﹣1，m＝1时． ①求点D的坐标； ②若F为线段AD上一动点，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，当PH+OH的值最大时，求点F的坐标． （2）当m＝时，若另一个抛物线y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am的顶点为E．试判断直线AD是否经过点E？请说明理由． 【答案】（1）①点D的坐标为；②F（，）； （2）∵m=， ∴y＝==， ∴D ∵y＝==， ∴E ∵y＝ 当y=0时，=0 解得， ∴A（-2，0） 设直线AD的表达式为：y=mx+n 解得 ∴直线AD的表达式为 当，= ∴点E在直线AD上 ∴直线AD经过点E. 【解析】 【分析】（1）①把a=-1，m=1代入可得抛物线解析式，化为顶点式后即可求得D点坐标； ②设点F的横坐标为t，则由①可求出A点坐标并求得直线AD的解析式；由F横坐标t可写出P和H的坐标，并表示出PH+OH，然后求出PH+OH的值最大时t的值，代入直线AD的解析式求得F的纵坐标即可得到问题答案； （2）分别求出m=时直线AD的解析式和E点坐标，再把E点坐标代入直线AD解析式即可得出正确判断． 【详解】（1）①解：当a=-1，m=1时， = ∴点D的坐标为 ②∵， 当y=0时， 解得：， ∴点A的坐标为 设直线AD的表达式为： 解得 ∴直线AD的表达式为： ∵F为线段AD上一动点， 设点F的横坐标为t， ∵FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P ∴点P的横坐标也为t，点P的纵坐标为 ∴P，H（t,0) ∴PH+OH=== ∴当时，PH+OH有最大值， 当时，= ∴F（，） （2）略 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握一次函数与二次函数解析式的求法及一次函数与二次函数的图像与性质是解题关键． 26. 为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪 CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数） 【答案】这个电视塔的高度AB为23米． 【解析】 【分析】设AE＝x，在Rt△ACE中表示出CE，在Rt△AFE中表示出FE，再由DH＝CF＝12米，可得出关于x的方程，由此即可求解． 【详解】解：设AE＝x， 在Rt△ACE中，CE＝＝1.1x， 在Rt△AFE中，FE＝＝0.55x， 由题意得，CF＝CE﹣FE＝1.1x﹣0.55x＝12， 解得：x＝， 故AB＝AE＋BE＝＋1.5≈23米． 答：这个电视塔的高度AB为23米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键． 27. 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）求函数与x轴交点坐标； （3）用五点法画函数图象． x … 　 　 　— 　 　 … y … 　 　 　 　 　 … （4）根据图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）与x轴交点坐标为， （3）见解析 （4）当时，或 【解析】 【分析】(1)化成顶点式，即可解答； (2)令，解一元二次方程，即可求得； (3)取值、描点、连线，即可画得； (4)根据函数图象，即可解答． 【小问1详解】 解： ， 所以，抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得 ， ， ∴函数与x轴交点坐标为，； 【小问3详解】 解：列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 描点、连线，画出函数图象如图： 【小问4详解】 解：观察图象，当或时，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、与x轴的交点坐标问题、画二次函数的图象，利用图象求不等式的解集，准确画出图象是解决本题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $