精品解析：甘肃省武威市凉州区2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试卷

高二试数学答案 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定直线斜率，由倾斜角与斜率的关系即可得倾斜角大小. 【详解】直线，即， 所以直线斜率为， 又直线的倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 在等差数列中，已知，则的公差（ ） A B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件列出方程组，即可求解. 【详解】由题可得解得 故选：B 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为所以所以． 故选：D. 4. 下列函数中，即是奇函数又是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的定义域，以及根据奇偶函数的定义判断，判定是否满足函数是奇函数，排除A、C，再借助导函数判定单调性. 【详解】解：因为，，均为定义域上的奇函数， 对于A：是偶函数，所以A错误； 对于B：是奇函数，且，为单调递增函数，所以B正确； 对于C：是偶函数，所以C错误； 对于D：是奇函数，但不是单调函数，所以D错误 故选：B． 5. 有个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用“捆绑法”求解，解决此问题分两步，第一步把要求相邻的三人捆绑在一起作为一个人，和其他人看作是人进行排列，第二步这三人之间也进行排列，然后用乘法原理可得解． 【详解】解：依题意总排法数为种； 故选：C． 6. 若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A. 1 B. 15 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用两条直线垂直的条件，求得m的值. 【详解】解：∵直线与直线互相垂直， ∴，求得， 故选：B. 【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件，属于基础题． 7. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】因为 所以 ，即， 故选：D 8. 已知直线m，n和平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面关系的判定定理和性质分别判断即可. 【详解】对A，若，则或，故A错误； 对B，若，则与面的关系不确定，故B不正确； 对C，若，则或，故C错误； 对D，若，则，故D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数导函数的图象如图所示，则（ ） A. 函数在x＝－3处取得最小值 B. x＝0是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 在x＝1处切线的斜率大于零 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数的图象，结合极值和最值的定义逐一判断即可. 【详解】由函数的导函数的图象可知： 当时，，当时，，当时，， 因此函数的单调递减区间为，单调递增区间为，. 当时，函数有最小值，故选项A正确； 因为函数的单调递增区间为，，所以x＝0不是函数的极值点，因此选项B不正确； 因为函数的单调递增区间为，，而有意义，所以在区间上单调递增，因此选项C正确； 因为，所以在x＝1处切线的斜率大于零，因此选项D正确， 故选：ACD 10. 已知分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为10 B. 面积的最大值为 C. 的最小值为1 D. 椭圆的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求出，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，故， 故的周长为，故A正确； 当点位于椭圆的上下顶点时，面积的最大， 最大值为，故B正确； 因为为椭圆上异于长轴端点的动点， 所以，即，故C错误； 椭圆的离心率为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（ ） A. ，点的轨迹为椭圆 B. ，点的轨迹为双曲线 C. ，点的轨迹为抛物线 D. ，点的轨迹为圆 【答案】AD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义判断A；利用双曲线的定义判断B；求得轨迹与轴的交点判断C；求得轨迹方程判断D. 【详解】因为平面内点，，所以， 又，所以由椭圆的定义知点的轨迹为椭圆，故A正确； 线段的长度与线段的长度的差为，则点的轨迹应为双曲线靠近点的一支，故B错误； 设点，由得， 整理得，即， 当时，，得或， 故曲线与轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故C错误； 由，得， 整理得 ， 即轨迹是以为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：AD. 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义求值. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为： 13. 展开式中的常数项为______． 【答案】135 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征，即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令，所以常数项为， 故答案为：135 14. 若，则此函数的图像在点处的切线的斜率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，求出的导函数，即可得该切线的斜率． 【详解】因为，所以， 所以时，，则在点处的切线的斜率为． 故答案为： 四、解答题本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，椭圆. （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，建立方程组，可得答案； （2）联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式，可得答案. 【小问1详解】 因为，整理可得， 由，解得， 此时，不管取何值，必成立. 所以直线必过定点. 【小问2详解】 当时，直线的方程为， 设直线与椭圆的交点为， 由，消去得：， ，， . 16 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调增区间为，，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可； （2）利用导数求出函数的单调区间即可. 【小问1详解】 ，则， 则切线的斜率，又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ， 则， 由，可得或；由，可得， 所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为． 17. 已知数列{an}为等差数列，且 （1）求数列{}的通项公式： （2）令，求数列{}前n项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质可得，进而即得； （2）利用裂项相消法即得. 【小问1详解】 因为， 所以，又， 所以公差， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以 18. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为； （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间； （2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案. 【小问1详解】 ， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点. 直线交椭圆于不同的两点. （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围； （3）若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形. 【答案】(1)（2）（3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上得a,b关系式求解即可； （2）将直线与椭圆联立，利用判别式大于0 求解； （3）设直线的斜率分别为和，只要证明即可 【详解】：(1)由已知椭圆焦点在轴上可设椭圆的方程为，（） 因为，所以， ① 又因为过点，所以， ② 联立①②解得，故椭圆方程为 (2)将代入并整理得， 因为直线与椭圆有两个交点， 所以，解得. （3）设直线的斜率分别为和，只要证明即可. 设，， 则. 所以 所以，所以直线与轴围成一个等腰三角形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二试数学答案 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，已知，则的公差（ ） A B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，即是奇函数又是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 有个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为( ) A. B. C. D. 6. 若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A. 1 B. 15 C. D. 7. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 已知直线m，n和平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 函数在x＝－3处取得最小值 B. x＝0是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 在x＝1处切线的斜率大于零 10. 已知分别是椭圆左､右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为10 B. 面积的最大值为 C. 的最小值为1 D. 椭圆的离心率为 11. 已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（ ） A. ，点的轨迹为椭圆 B. ，点的轨迹为双曲线 C. ，点的轨迹为抛物线 D. ，点的轨迹为圆 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_____. 13. 展开式中的常数项为______． 14. 若，则此函数的图像在点处的切线的斜率为______. 四、解答题本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，椭圆. （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长. 16. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 17. 已知数列{an}为等差数列，且 （1）求数列{}的通项公式： （2）令，求数列{}的前n项和. 18. 已知函数在处取得极值. （1）求函数解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 19. 已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点. 直线交椭圆于不同的两点. （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围； （3）若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$