精品解析：贵州遵义市播州区新南高级中学2026届高三下学期第5次质量检测数学试题

遵义新南高中2026年春期第5次质量检测 高三数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，则的虚部是　　 A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. 16 C. D. 25 6. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 240 D. 300 8. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数 C. 数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数 D. 数据的75百分位数为47 10. 已知函数的图象关于点中心对称．则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是曲线的对称轴 C. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D. 在区间上单调递增 11. 如图，从双曲线 的左焦点发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点，且C在点P的切线l恰好为的角平分线所在的直线.已知 ，C的离心率为2，则下列结论正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 若，则的面积为 C. 若l与x轴交于点，则 D. 若l的斜率为2，则为直角三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记为等差数列的前项和，已知 ，，则 ______. 13. 已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是________． 14. 已知函数在时取得极大值4，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若△ABC的周长为，且，求的面积． 16. 年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第天 票房（单位：亿元） （1）根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； （2）在某天放映结束后，随机抽取名观众，发现其中有人看过《镖人》，人看过《飞驰人生3》，只有人两部电影均没看过．现从这人中随机抽取人，记为抽取的人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：，． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 椭圆 的一个顶点是，为坐标原点，离心率为. （1）求椭圆方程； （2）是椭圆上轴上方一点，是右焦点，的斜率为，求四边形的面积. 19. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义新南高中2026年春期第5次质量检测 高三数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，则的虚部是　　 A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，故，所以的虚部是， 故选D． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可. 【详解】由，， 所以， 故选：B. 3. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 解得 或. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别判断每个数与0、1的大小关系，最后根据三个数的范围比较大小. 【详解】，对数函数是增函数，且，因此：，即； ，对数函数是减函数，且，因此：，即； ，指数函数是增函数，因此：，即； 综上，大小关系为. 5. 若正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. 16 C. D. 25 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得，所以 ， 故， 当且仅当,即，也即时取等号， 联立，解得，时，等号成立． 故最小值为. 6. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性和奇偶性结合导数可得. 【详解】，定义域为， ，为奇函数， 又，所以在上单调递增， 所以即， 即的取值范围是. 故选：C 7. 春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 240 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】先将5个不同的红包分3组，求出总的分法，再将3组分配到3个不同的红包袋中，即可得答案. 【详解】将5个不同的红包分3组，有两种不同的方式， ①：“1,1,3”型，则有种分法； ②：“2,2,1”型，则有种分法，所以共有25种分法， 将分好的3组，装入3个不同的红包袋中，共有种装法. 8. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得与的图象有三个不同的交点，作出与的图象，根据二次函数的对称性，可得，根据图象可得k的范围，进而可得的范围，即可得答案. 【详解】因为函数有三个不同的零点， 所以，即有三个不同的根， 则与的图象有三个不同的交点， 作出与的图象，如下图所示 当时，为开口向下，对称轴为的抛物线， 则关于对称，所以，即， 由图象可得， 令，解得，令，解得， 所以， 则， 即的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数 C. 数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数 D. 数据的75百分位数为47 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用正态分布的对称性判断；对于B：根据相关的概念判断；对于C：举反例说明；对于D：直接求75百分位数. 【详解】对于A：已知，若， 则，A正确； 对于B：若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，则决定系数，B正确； 对于C：不妨设， 则，解得， 此时， 故找到一组数，数据中有大于5的数，C错误； 对于D：，故这组数据的75百分位数为47，D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的图象关于点中心对称．则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是曲线的对称轴 C. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出的解析式，结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可. 【详解】由题意知，，所以， ，即， 又，所以，所以. 选项A：最小正周期，A正确. 选项B：对称轴应满足， ，解得， . 故不存在 ，使得，B错误. 选项C：的图象向右平移个单位得到，C正确. 选项D：当时，. 又在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不是单调递增，D错误. 故选：AC. 11. 如图，从双曲线 的左焦点发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点，且C在点P的切线l恰好为的角平分线所在的直线.已知 ，C的离心率为2，则下列结论正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 若，则的面积为 C. 若l与x轴交于点，则 D. 若l的斜率为2，则为直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意求得双曲线的方程，从而求得其渐近线的方程，判断A；根据双曲线的方程求得点的坐标，求出的面积，判断B；由角平分线定理结合双曲线的定义求得，判断C；利用导数的几何意义求得点的坐标，即可判断的形状，判断D. 【详解】设双曲线的焦距为 ，则，所以. 所以. 所以C的渐近线方程为，所以A错误； 若，则，所以，所以的面积为，所以B正确； 若l与x轴交于点，则， 又，所以，所以C正确； 若l的斜率为2，则点在第一象限，设. 由，得当时，， . 令，得. 所以，即. 又，所以，所以为直角三角形，所以D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记为等差数列的前项和，已知 ，，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列及其前项和的性质计算即可得. 【详解】设，则， 即，故. 故答案为：. 13. 已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题得在上恒成立，令，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】由在定义域上恒成立，即在上恒成立， ，对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； ，即， ，即的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数在时取得极大值4，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可. 【详解】由题意可知， 因为函数在时取得极大值4，所以， 解之得， 检验，此时，令或 ， 令， 即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意， 故. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若△ABC的周长为，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， 又， ， 化简得：， 由得，又，故. 【小问2详解】 由题可知：，且，故， 由余弦定理得：， 即，解得：， . 16. 年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第天 票房（单位：亿元） （1）根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； （2）在某天放映结束后，随机抽取 名观众，发现其中有人看过《镖人》，人看过《飞驰人生3》，只有人两部电影均没看过．现从这 人中随机抽取人，记为抽取的人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：，． 【答案】（1），1.6亿元． （2） 的分布列： 数学期望． 【解析】 【分析】（1）先计算，，代入回归系数公式计算即可； （2）根据题意得出的可能取值为 ，分别计算其概率即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， ， 所以回归方程为：，当时，亿元， 正月初七，预计《镖人》的票房为 亿元． 【小问2详解】 由题意可知， 人中同时看过两部电影的只有人， 所以的可能取值为 ， 则，，， 所以的分布列为： 数学期望为． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为，，所以，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以 平面. 因为平面，所以. 因为四边形是矩形，所以. 因为平面，平面，且 ，所以平面； （2） ； （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，然后由面面垂直性质可得 平面，据此可得，又由四边形是矩形可得，据此可完成证明； （2）由（1）可建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案； （3）假设存在满足条件的点D，且（），使得直线与平面所成角的正弦值为，由（2）结合题设可得，据此可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，两两垂直，则以A为坐标原点， ，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，，所以，，，，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在满足条件的点D，且（）， 使得直线与平面所成角的正弦值为. 由（2）可知，，， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以. 解得，所以，即， 则存在满足条件的点D，此时. 18. 椭圆 的一个顶点是，为坐标原点，离心率为. （1）求椭圆方程； （2）是椭圆上轴上方一点，是右焦点，的斜率为，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标和离心率公式，结合椭圆中、、的关系求解椭圆方程； （2）先求出右焦点坐标，再根据的斜率设出直线的方程，联立椭圆方程求出点的坐标，最后利用四边形面积公式计算面积. 【小问1详解】 由题知，，解得： ，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 因为，所以：，联立， 得，解得 或， 因为点在轴上方，所以，解得，故不合题意，应舍去，所以， 所以四边形的面积. 19. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出. （2）①法1，把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解；法2，利用零点的意义，构造新函数，利用导数，结合零点存在性定理求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 由曲线在处的切线方程为，得，解得， 经验证，符合题意，所以. 【小问2详解】 ①方法一：函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线 有两个不同的交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时， 在，当时， ， 所以的取范围为 方法二：令， 由方程有两个不同的解，得函数有两个不同的零点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则，解得 ， 而，， 令，求导得，函数在上递减， ， 所以 . ②，不妨令，， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $