精品解析：广东省茂名市某校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

初三数学 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数-3，，0，-1中，最小的数是（　　） A. -3 B. 0 C. -1 D. 2. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. 无系数，3 B. 1，2 C. 1，3 D. 2，2 3. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统．目前，北斗定位服务日均使用量已超过360000000000次，360000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 数据7，7，10，14，8的众数和中位数分别是（ ） A. 7，10 B. 8，7 C. 7，8 D. 7，7.5 5. 已知一次函数的图像经过第一，三，四象限，则b的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 6. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　　） A. 2500(1＋x)2＝9100 B. 2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 C. 2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 D. 9100(1＋x)2＝2500 7. 如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 8. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两正方形相邻，大正方形的边长为，涂色部分的面积是斜线部分面积的2倍，则小正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线，其对称轴是，且与轴的一个交点在和之间，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④对于任意实数，总有； ⑤关于的方程的另一个根在和之间． 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 14. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）． 15. 如图，在矩形中，、分别在、上运动（不与端点重合），、，交于点，且满足．连接，若，，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中x满足． 18. 如图，的三边分别为、、． （1）利用尺规作的内切圆（保留作图痕迹，不必写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，，若，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某中学校志愿者社团为了解全校名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行以下问卷调查： 1．本学期您参加志愿服务的时长大约是 （每项含最大值，不含最小值）； ．　　　．　　　．　　　．以上 2．学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是 ． ．山西博物院　．晋商博物馆．地质博物馆．中国煤炭博物馆 形成了如下不完整的调查报告： 回答以下问题 （1）参与本次抽样调查的学生人数为_______，将条形统计图和扇形统计图补充完整； （2）请估计在本校名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数； （3）若该校志愿者社团要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到最想去山西博物院的女生的概率是________． 20. 如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 某新商品每件进价是10元，在试销期间发现，当每件商品售价为15元时，每天可销售8件，当每件商品售每降价0.5元，日销售量就多售出2件． （1）若使该商品每天的销售利润为48元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （2）为了每日所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）已知点，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点M，交反比例函数上的图象于点N．若，结合函数图象直接写出m的取值范围． 23. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接，求的值； （3）在（2）的条件下，点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当和相似时，求点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数-3，，0，-1中，最小的数是（　　） A. -3 B. 0 C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵-3＜-1＜0＜， ∴在实数，，0，中，最小的数是． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. 无系数，3 B. 1，2 C. 1，3 D. 2，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式的概念，数与字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和，据此求解即可． 【详解】解：的系数为1，次数为， 故选：C． 3. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统．目前，北斗定位服务日均使用量已超过360000000000次，360000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 4. 数据7，7，10，14，8的众数和中位数分别是（ ） A. 7，10 B. 8，7 C. 7，8 D. 7，7.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数据的众数和中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第个数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是，得到这组数据的众数，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，， 中位数位于第个数，是，故中位数为， 这组数据中出现次数最多的是，故众数为， 故选：C． 5. 已知一次函数的图像经过第一，三，四象限，则b的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第一，三，四象限， ∴，只有A选项符合题意， 故选：A． 6. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　　） A. 2500(1＋x)2＝9100 B. 2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 C. 2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 D. 9100(1＋x)2＝2500 【答案】B 【解析】 【分析】用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到9100万元，即可列方程． 【详解】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x， 则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]=9100， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 7. 如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案． 【详解】解：连接CD， ∵AD是的直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 8. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，最后再确定不等式组的解集． 【详解】解： 由①得x＞3 由②得x＞5 所以不等式组的解集为x＞5． 故答案为A． 【点睛】本题考查了解不等式组，掌握不等式的解法和确定不等式组解集的方法是解答本题的关键． 9. 如图，两正方形相邻，大正方形的边长为，涂色部分的面积是斜线部分面积的2倍，则小正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质．如图，涂色部分的面积和斜线部分的面积是大正方形的面积的一半为，由涂色部分的面积是斜线部分面积的2倍，可得斜线部分面积为，求出，设小正方形的边长为，则，再根据正方形的性质证明，得到，即可解答． 【详解】解：如图， 由图形得涂色部分的面积和斜线部分的面积是大正方形的面积的一半为， ∵涂色部分的面积是斜线部分面积的2倍， ∴斜线部分面积为， ∴， ∵大正方形的边长为，即， ∴， 设小正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴小正方形的边长是， 故选：C． 10. 如图，抛物线，其对称轴是，且与轴的一个交点在和之间，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④对于任意实数，总有； ⑤关于的方程的另一个根在和之间． 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据开口方向，对称轴以及与轴的交点可判断①②④，由二次函数图象的对称性，结合图象判断③⑤即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵抛物线交的正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与关于直线对称， ∵时，， ∴时，，即，故③错误； ∵， ∴变形可得：， ∵当时，，此时二次函数的值最大，即，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，故⑤正确； 综上正确的有：①②⑤； 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案． 【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵底面半径为， ∴圆锥底面圆的周长为， 即扇形纸片的弧长为， ∵母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为： 15. 如图，在矩形中，、分别在、上运动（不与端点重合），、，交于点，且满足．连接，若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，证明，推出，可得最短时点的位置，设为中点，连接，与圆交于，再利用即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，又， ∴， ∴即 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆周上，设为中点，连接，与圆交于， 即此时最短， ∴， ∴， ∴此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及圆的性质，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，立方根定义进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先将除法转化为乘法，再化简，然后解出一元二次方程，根据分式有意义的条件可得，再代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵，且， ∴且， ∴， ∴原式． 18. 如图，的三边分别为、、． （1）利用尺规作的内切圆（保留作图痕迹，不必写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，，若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，尺规作角平分线，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作垂线，尺规作角平分线，三角形的内角和定理是解题的关键， （1）分别作和的角平分线交于点，过作的垂线，以为圆心，到的距离为半径作即可； （2）由角平分线定义及三角形的内角和定理得，求解即可得解． 【小问1详解】 解：如图，为所作． 【小问2详解】 解：由（）的作图可知，平分，平分， ∴， ∵，， ∴ ， ∴ ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某中学校志愿者社团为了解全校名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行以下问卷调查： 1．本学期您参加志愿服务的时长大约是 （每项含最大值，不含最小值）； ．　　　．　　　．　　　．以上 2．学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是 ． ．山西博物院　．晋商博物馆．地质博物馆．中国煤炭博物馆 形成了如下不完整的调查报告： 回答以下问题 （1）参与本次抽样调查的学生人数为_______，将条形统计图和扇形统计图补充完整； （2）请估计在本校名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数； （3）若该校志愿者社团要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到最想去山西博物院的女生的概率是________． 【答案】（1），补全统计图见解析 （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图，条形统计图和利用频率估计概率，能够熟练算出调查总人数是解题的关键． （1）参与本次抽样调查的学生人数为，计算即可，然后再补全条形统计图和扇形统计图； （2）本校本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数有：； （3）想去山西博物院的女生的概率：想去山西博物院的女生人数被调查的女生总人数； 【小问1详解】 解：人， ∴、志愿时间为的有：人， 、志愿时间为以上的占比为：， 补全的条形统计图和扇形统计图如下： 故答案为：． 【小问2详解】 解：人， 答：本校本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数有人． 【小问3详解】 解：∵被调查的女生总人数：人， ∴想去山西博物院的女生的概率：， 答：被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到想去山西博物院的女生的概率是． 20. 如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案． 【小问1详解】 证明：点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， 为中点， 即线段的长度为． 21. 某新商品每件进价是10元，在试销期间发现，当每件商品售价为15元时，每天可销售8件，当每件商品售每降价0.5元，日销售量就多售出2件． （1）若使该商品每天的销售利润为48元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （2）为了每日所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）当该商品每月销售利润为48元，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为13元 （2）13.5元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确找到等量关系是解题的关键． （1）设该商品降低元，则销量上涨件，根据每天的销售利润为48元列方程解答即可； （2）设每月总利润为w，售价降低，得到二次函数，利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设该商品降低元，则销量上涨件，依题意得 ，解得：，， 当该商品每月销售利润为48，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元； 【小问2详解】 解：设每月总利润为w，售价降低，依题意得 , ， ∵,此图象开口向下， ∴当，w有最大值49 为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为13.5元． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）已知点，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点M，交反比例函数上的图象于点N．若，结合函数图象直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）本题考查了一次函数和反比例函数的求法，解题的关键是求出B点坐标，利用待定系数法即可求得； （2）本题考查了三角形面积的求法，解题的关键是求出直线与x轴的交点； （3）本题考查了函数的性质，解题的关键是利用函数图象的性质． 【小问1详解】 解：将代入得，， ， 当时，， ， 将，代入得，， 解得：， ； 【小问2详解】 如下图，直线与x轴相交与点C， 把代入得，，解得：， ， ； 【小问3详解】 如下图，由图象可得：当时，． 23. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接，求的值； （3）在（2）的条件下，点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当和相似时，求点P坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得到方程组，求出解即可； （2）先求出点B，C，D的坐标，进而得出线段长，再说明是直角三角形，根据正切的定义得出答案； （3）先确定点B，E的坐标，进而求出直线的解析式，可分两种情况进行解析， ①时，点P在x轴上，根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，求出点P的坐标；②时，求出，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【小问1详解】 解：将点B、C的坐标代入抛物线表达式． 可得， 解得， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， . ， ． ， ， ， 是直角三角形，， ； 【小问3详解】 解：∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，的对称轴为直线， . 又， 可设直线的解析式为，将点B、E的坐标代入， 得， 解得， ∴直线为， 当时，， ； 由（2）知是直角三角形，， 若和相似，可分两种情况进行解析： ①时，点P在x轴上， ， ， ， ， 和相似， ； ②时， ， . 和相似， ， ， 解得， ∴点的纵坐标为， ． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定，求一次函数的关系式，注意分情况讨论，不能丢解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $