几何模型总结专题6：全等之一线三等角含K型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙江专用）
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内容正文：
专题6 “全等之一线三等角含K型”模型
模型: 全等之一线三等角含K型
【模型介绍】当遇到一个“一线三等角问题时，解决问题的逻辑很容易想到“构造全等法或者相似等”方法，本文重点分析全等方法，相似会后期文章重点总结，不过此法就是相似的基础，相似也是此时全等的延伸，利用类比学习法，很容易学习好。如下图这样的模型我们美其名曰“一线三等角全等模型”。
【模型分析】
1. (核心点)如下图同侧型归类，主要是在直线一侧出现三个角相等，如下图;
2.(关键点)在发现一线三等角模型，需要注意角的转化，如下图；
类型1：同侧型--一线三等角（含K型图）模型
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：∠B=∠AED=∠C，AE=DE(其他边均可)；
结论：△ABE≌△ECD，AB+CD=BC.
类型2：异侧型--一线三等角（含K型图）模型
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：∠B=∠AED=∠FCD，AE=DE(其他边均可)；
结论：△ABE≌△ECD，AB-CD=BC.
【模型分层应用—基础】
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C且与AB相交，AE⊥l，垂足为点E，BD⊥l，垂足为点D．若AE＝5，BD＝3，则ED的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解】：∵∠ACB＝90°，AE⊥l，BD⊥l，
∴∠ACE+∠BCD＝90°，∠AEC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴AE＝CD＝5，CE＝BD＝3，
∴DE＝CD﹣CE＝2，
故选：B．
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线DE，分别过点A、B作DE的垂线，垂足分别为E、D，若AE＝4，BD＝3，则DE之长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．12
【答案】B
【解】：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝90°．
∵∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCD＝∠CAE．
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴CE＝BD＝3，CD＝AE＝4，
∴DE＝CE+CD＝7，
故选：B．
3．如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．将点C放在直线l上，过点A作AD⊥l于点D；三角形纸片MPN中，顶点P放在直线l上，∠MPN＝90°，MP＝NP．点M与点B重合，过点N作NH⊥l于点H．若DP＝12，CD＝3，AD＝4，则NH＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解】：作BE⊥DP于点E，
∵AD⊥l于点D，NH⊥l于点H，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠BEP＝∠PHN＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠MPN＝90°，点M与点B重合，MP＝NP，
∴∠BPN＝90°，BP＝NP，
∴∠DAC＝∠ECB＝90°﹣∠ACD，∠BPE＝∠PNH＝90°﹣∠NPE，
在△DAC和△ECB中，
，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴AD＝CE＝4，
∵DP＝12，CD＝3，
∴PE＝DP﹣CD﹣CE＝12﹣3﹣4＝5，
在△BPE和△PNH中，
，
∴△BPE≌△PNH（AAS），
∴PE＝NH，
∴NH＝5，
故选：C．
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t为（ ）秒时，△PEC与△QFC全等．
A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12
【答案】D
【解答】解：①如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE⊥l，QF⊥l，
由题意得，AP＝t，BQ＝2t，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴CP＝6﹣t，CQ＝8﹣2t，
∵∠PEC＝∠CFQ＝∠ACB＝90°，
∴∠CPE+∠PCE＝∠PCE+∠FCQ＝90°，
∴∠CPE＝∠FCQ，
当△PEC≌△CFQ时，
则PC＝CQ，
即6﹣t＝8﹣2t，
解得：t＝2；
②如图2，当点P与点Q重合时，
由题意得，AP＝t，BQ＝2t，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴CP＝6﹣t，CQ＝2t﹣8，
当△PEC≌△QFC，
则PC＝CQ，
∴6﹣t＝2t﹣8，
解得：；
③如图3，当点Q与A重合时，
由题意得，AP＝t，
∵AC＝6cm，
∴CP＝t﹣6，CQ＝6，
∵∠QCF+∠CQF＝∠QCF+∠PCE＝90°，
∴∠CQF＝∠PCE，
当△PEC≌△CFQ，
则PC＝CQ，
即t﹣6＝6，
解得：t＝12；
当综上所述：当t＝2秒或秒或12秒时，△PEC与△QFC全等．
故选：D．
5．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出三个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解答】解：∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBC＝∠BCE+∠EBC＝90°，即∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BEC中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BD＝CE，故①正确；
∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD＝∠BCE，
∴∠BAD+∠BCE＝90°，
即∠BAD与∠BCE互余，故②正确；
∵△ABD≌△BCE，
∴AD＝EB，DB＝CE，
∵BE+D＝DE，
∴AD+CE＝DE，故③正确．
故选：D．
6．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm．点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以x cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当x为 时，△ABP与△PCQ全等．
【答案】2或．
【解答】解：设点Q从点C出发t s，同时点P从点B出发t s，
①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∵BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，
解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4cm，
∴x×2＝4，
解得：x＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵BA＝CQ，
∴2t＝8，
∴t＝4，
∴BP＝PC＝6cm，
∴4x＝6，
解得：x，
综上所述，当x＝2或时，△ABP与△PQC全等，
故答案为：2或．
【模型分层应用—综合】
1．问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，得到线段ED，连接BE．试探究线段BE和CD的数量关系．
【尝试发现】
（1）小明经过独立思考，先考虑当点D在线段BC上时的情况，如图1所示，他的解题思路是：过点E作EH⊥CB，垂足为H，易证△ACD≌△DHE，得出CD＝HE，AC＝DH．再由AC＝BC得出CD＝BH，由此得出线段BE与CD的数量关系是： ．
【类比探究】
（2）“希望小组”受小明的启发，考虑当点D在线段BC的延长线上时的情况，请你先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）“智慧小组”也不甘落后，提出的问题是：若AC＝BC＝1，CD＝3，连接CE，请你直接写出CE的值．
【答案】（1）BECD，理由见解答；（2）图形见解答，BECD，理由见解答；（3）CE＝5或．
【解】：（1）如图1，过点E作EH⊥CB延长线于点H，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDH＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DHE，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠HDE，
∴△ACD≌△DHE（AAS），
∴CD＝EH，AC＝DH，
∵AC＝BC，
∴BH＝DH﹣BD＝AC﹣BD＝BC﹣BD＝CD，
∴BH＝EH，
∵EH⊥CB，
∴BEEHCD，
故答案为：BECD；
（2）补全图形如图1.1，BECD，理由如下：
过点E作EM⊥BC于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴DM＝BC，
∴DM﹣CM＝BC﹣CM，
∴CD＝BM，
∴EM＝BM，
∵EM⊥CB，
∴BEEMCD；
（3）如图2.1，当点D在CB延长线上时，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝4，
∴CE5；
如图2.2，当点D在BC延长线上时，过点E作EM⊥CB于点M，
同理可得：△ACD≌△DME（AAS），
∴DM＝AC＝1，ME＝CD＝3，
∴CM＝3﹣1＝2，
∴CE，
综上，CE＝5或．
2．（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请问线段DE、BD与CE之间存在的数量关系是 ；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证DF＝EF．
【答案】（1）DE＝BD+CE；（2）成立；（3）见解答．
【解】（1）解：DE＝BD+CE；
∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）解：成立．
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）证明：由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵BF＝AF，
在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DF＝EF．
3．（1）问题提出：将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为（0，2），C的坐标为（﹣1，0），则B点坐标为 ．
（2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知A（4，2）、B（﹣1，1），若∠A＝90°，点C在第一象限，且AB＝AC，试求出C点坐标．
（3）问题解决：如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．
【答案】（1）（﹣3，1）；（2）（3，7）； （3）D（3，1）或．
【解】：（1）如图1，过点B作x轴的垂线，交x轴于点E，
∵∠BCE+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠BCE＝∠CAO，
在△BEC与△COA中，
，
∴△BEC≌△COA（AAS），
∴EC＝AO＝2，CO＝BE＝1，
∴EO＝EC+CO＝2+1＝3，BE＝1，
故答案为：（﹣3，1）；
（2）过点B、点C分别作x轴的平行线、分别交过点A与x轴的垂线于点E、D，
与（1）同理△ABE≌△CAD（AAS），
∴BE＝AD，AE＝CD＝1，BE＝4+1＝5＝AD，
∴点C的横坐标为：5﹣1﹣1＝3，C点的纵坐标为：1+ED＝1+5+1＝7，
故点C的坐标为（3，7）；
（3）设D坐标为（x，2x﹣5），当D在AB下方时，如图3，过D作DE⊥y轴于E，交BC于F，
同（1），可证得△ADE≌△DPF，
∴DF＝AE＝6﹣（2x﹣5）＝11﹣2x，DE＝x，
∴11﹣2x+x＝8，
解得 x＝3，
∴D（3，1）；
当D在AB上方时，如图4，过D作DE⊥y轴于E，交BC延长线于F，
同（1），可证得△ADE≌△DPF，
∴DF＝AE＝（2x﹣5）﹣6＝2x﹣11，DE＝x，
∴2x﹣11+x＝8，
解得 ，
∴；
综上所述：D（3，1）或．
4．（1）如图①，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．BD＝2.5，CF＝0.8．DF的长为 ．
（2）探索证明：如图②，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．
（3）拓展应用：如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠BED＝∠CFD＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
【答案】（1）1.7；（2）见解析过程；（3）5．
【解】（1）解：如图①，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴BD＝AF＝2.5，CF＝AD＝0.8，
∴DF＝AF﹣AD＝1.7，
故答案为：1.7；
（2）证明：∵∠BED＝∠CFD＝∠BAC，∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠CFD＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）解：∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积15＝5，
∵∠BED＝∠CFD＝∠BAC，∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠CFD＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
∴S△ABE＝S△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积为5．
5．过正方形ABCD（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一条直线MN．
（1）当MN不与正方形任何一边相交时，过点B作BE⊥MN于点E，过点D作DF⊥MN于点F如图（1），请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线MN的位置，使MN与CD边相交如图（2），其它条件不变，EF，BE，DF的关系会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图（3），其它条件不变，EF，BE，DF的关系又会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明．
【答案】见试题解答内容
【解】：（1）EF，BE，DF之间的数量关系为：EF＝BE+DF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝90°，
∵BE⊥MN，DF⊥MN，
∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中，，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF＝BE，AE＝DF，
∴EF＝AF+AE＝BE+DF；
（2）EF，BE，DF的数量关系为：EF＝BE﹣DF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝90°，
∵BE⊥MN，DF⊥MN，
∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中，，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF＝BE，AE＝DF，
∴EF＝AF﹣AE＝BE﹣DF；
（3）EF，BE，DF的数量关系为：EF＝DF﹣BE；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝90°，
∵BE⊥MN，DF⊥MN，
∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中，，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF＝BE，AE＝DF，
∴EF＝AE﹣AF＝DF﹣BE．
6．如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解】：（1）△ACP与△BPQ全等，
理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，
则BP＝9﹣2＝7，
∴BP＝AC，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
（2）PC⊥PQ，
证明：∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直；
（3）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
∴9﹣2t＝7，
解得，t＝1（s），则x＝2（cm/s）；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则2t9，
解得，t（s），则x＝7（cm/s），
故当t＝1s，x＝2cm/s或ts，xcm/s时，△ACP与△BPQ全等．
7．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：CD＝BE．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为（4，2），求点M的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣4x+4与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
【答案】（1）见详解答过程；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（，0）．
【解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，
∴∠ACB＝∠ADC．
∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC．
∴△ACD≌△CBE，
∴CD＝BE，
（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，
由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°，
∴由（1）得△OFM≌△MGN，
∴MF＝NG，OF＝MG，
设M（m，n），
∴MF＝m，OF＝n，
∴MG＝n，NG＝m，
∵点N的坐标为（4，2），
∴，
解得，
∴点M的坐标为（1，3）；
（3）解：如图3，
过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，
对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4，
∴P（0，4），
∴OP＝4，
由y＝0得x＝1，
∴Q（1，0），OQ＝1，
∵∠QPR＝45°，
∴∠PSQ＝45°＝∠QPS．
∴PQ＝SQ．
∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP．
∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1．
∴S（5，1），
设直线PR为y＝kx+b，
则，
解得．
∴直线PR为yx+4．
由y＝0得，x，
∴R（，0）．
8．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE（注：“四边形是矩形”不需要具体证明过程，矩形的对边相等，正方形四条边相等）
（1）当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
（2）当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，线段AF、BF、CE之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想．结论：2CE＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）AF﹣BF．
【解】：（1）AF+BF＝2CE仍成立，
过B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH+∠ACE＝90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCH，
在△ACE与△CBH中，
，
∴△ACE≌△CBH（AAS）．
∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝BH，
∴AF+BF＝AE+EF+BF＝CH+EF+HE＝CE+EF＝2EC．
（2）如图3，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，
∵AC＝BC，
可得∠AEC＝∠CGB，
∠ACE＝∠BCG，
在△CBG与△CAE中，
∴△CBG≌△CAE（AAS），
∴AE＝BG，
∵AF＝AE+EF，
∴AF＝BG+CE＝BF+FG+CE＝2CE+BF，
∴AF﹣BF＝2CE，
故答案为：AF﹣BF．
9．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．求证：BC＝AE．
[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ．
[深入探究]如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝21，AF＝12，则△ADG的面积为 ．
【答案】见试题解答内容
【解】[模型呈现]证明：∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝90°，
∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴∠ACB＝∠DEA＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠DAE，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴BC＝AE；
[模型应用]解：由[模型呈现]可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，
∴AP＝BG＝3，AG＝EP＝6，CG＝DH＝4，CG＝BG＝3，
则S实线围成的图形（4+6）×（3+6+4+3）3×63×63×43×4＝50，
故答案为：50；
[深入探究]过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，
由[模型呈现]可知，△AFB≌△DPA，△AFC≌△EQA，
∴DP＝AF＝12，EQ＝AF＝12，AP＝BF，AQ＝CF，
在△DPG和△EQG中，
，
∴△DPG≌△EQG（AAS），
∴PG＝GQ，
∵BC＝21，
∴AQ+AP＝21，
∴AP+AP+PG+PG＝21，
∴AG＝AP+PG＝10.5，
∴S△ADQ10.5×12＝63，
故答案为：63．
10．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）DE，AE；（2）①证明见解析部分；②（3，1）或（﹣1，3）．
【解】（1）解：∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SAS），
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE，AE；
（2）①证明：如图2，作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，
∵BC⊥AF，
∴∠BFA＝∠AMD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠1+∠B＝90°，
∴∠B＝∠2，
在△ABF与△DAM中，∠BFA＝∠AMD，
，
∴△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF＝DM，
同理，AF＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中，
，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，即点G是DE的中点；
②解：如图3，△ABO和△AB′O是以OA为斜边的等腰直角三角形，
过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，
则四边形OCDE为矩形，
∴DE＝OC，OE＝CD，
由①可知，△ADB≌△BCO，
∴AD＝BC，BD＝OC，
∴BD＝OC＝DE＝AD+2＝BC+2，
∴BC+BC+2＝6，
解得，BC＝2，OC＝4，
∴点B的坐标为（4，2），
同理，点B′的坐标为（﹣2，4），
综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（4，2）或（﹣2，4）．
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专题6 “全等之一线三等角含K型”模型
模型: 全等之一线三等角含K型
【模型介绍】当遇到一个“一线三等角问题时，解决问题的逻辑很容易想到“构造全等法或者相似等”方法，本文重点分析全等方法，相似会后期文章重点总结，不过此法就是相似的基础，相似也是此时全等的延伸，利用类比学习法，很容易学习好。如下图这样的模型我们美其名曰“一线三等角全等模型”。
【模型分析】
1. (核心点)如下图同侧型归类，主要是在直线一侧出现三个角相等，如下图;
2.(关键点)在发现一线三等角模型，需要注意角的转化，如下图；
类型1：同侧型--一线三等角（含K型图）模型
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：∠B=∠AED=∠C，AE=DE(其他边均可)；
结论：△ABE≌△ECD，AB+CD=BC.
类型2：异侧型--一线三等角（含K型图）模型
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：∠B=∠AED=∠FCD，AE=DE(其他边均可)；
结论：△ABE≌△ECD，AB-CD=BC.
【模型分层应用—基础】
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C且与AB相交，AE⊥l，垂足为点E，BD⊥l，垂足为点D．若AE＝5，BD＝3，则ED的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线DE，分别过点A、B作DE的垂线，垂足分别为E、D，若AE＝4，BD＝3，则DE之长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．12
3．如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．将点C放在直线l上，过点A作AD⊥l于点D；三角形纸片MPN中，顶点P放在直线l上，∠MPN＝90°，MP＝NP．点M与点B重合，过点N作NH⊥l于点H．若DP＝12，CD＝3，AD＝4，则NH＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t为（ ）秒时，△PEC与△QFC全等．
A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12
5．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出三个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm．点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以x cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当x为 时，△ABP与△PCQ全等．
【模型分层应用—综合】
1．问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，得到线段ED，连接BE．试探究线段BE和CD的数量关系．
【尝试发现】
（1）小明经过独立思考，先考虑当点D在线段BC上时的情况，如图1所示，他的解题思路是：过点E作EH⊥CB，垂足为H，易证△ACD≌△DHE，得出CD＝HE，AC＝DH．再由AC＝BC得出CD＝BH，由此得出线段BE与CD的数量关系是： ．
【类比探究】
（2）“希望小组”受小明的启发，考虑当点D在线段BC的延长线上时的情况，请你先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）“智慧小组”也不甘落后，提出的问题是：若AC＝BC＝1，CD＝3，连接CE，请你直接写出CE的值．
2．（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请问线段DE、BD与CE之间存在的数量关系是 ；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证DF＝EF．
3．（1）问题提出：将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为（0，2），C的坐标为（﹣1，0），则B点坐标为 ．
（2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知A（4，2）、B（﹣1，1），若∠A＝90°，点C在第一象限，且AB＝AC，试求出C点坐标．
（3）问题解决：如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．
4．（1）如图①，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．BD＝2.5，CF＝0.8．DF的长为 ．
（2）探索证明：如图②，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．
（3）拓展应用：如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠BED＝∠CFD＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
5．过正方形ABCD（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一条直线MN．
（1）当MN不与正方形任何一边相交时，过点B作BE⊥MN于点E，过点D作DF⊥MN于点F如图（1），请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线MN的位置，使MN与CD边相交如图（2），其它条件不变，EF，BE，DF的关系会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图（3），其它条件不变，EF，BE，DF的关系又会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明．
6．如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
7．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：CD＝BE．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为（4，2），求点M的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣4x+4与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
8．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE（注：“四边形是矩形”不需要具体证明过程，矩形的对边相等，正方形四条边相等）
（1）当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
（2）当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，线段AF、BF、CE之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想．结论：2CE＝ ．
9．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．求证：BC＝AE．
[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ．
[深入探究]如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝21，AF＝12，则△ADG的面积为 ．
10．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
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