专题06因式分解压轴题（7大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

专题06 因式分解压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、因式分解的意义 2 类型二、完全平方公式的运用 4 类型三、配方法的运用 5 类型四、二换元法因式分解 7 类型五、高次方因式分解 8 类型六、几何背景中因式分解 10 类型七、因式分解创新题 13 压轴能力测评 14 一、因式分解 (1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式． (2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). ②公式法： ③十字相乘法 （3）一般步骤：①若有公因式，必先提公因式； ②提公因式后，看是否能用公式法分解； ③检查各因式能否分解彻底. 2、 必备知识 （1） 两个因式相乘，，令x-a=0，x-b=0等式左边为0，把x=a，x=b,代入右边，多项式，这样就可以求m,n; （2） 乘法公式运用：①有平方和，凑乘积两倍，配方成为完全平方公式； ②有平方差，拆分法， 凑平方差公式； 类型一、因式分解意义 例1．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则 ， 解得：， 另一个因式为，的值为． 问题： （1）若二次三项式可分解为，则　　； （2）若二次三项式可分解为，则　　； （3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 变式1-1．仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 对比等式左右两边的二次项系数，可知，于是． 则， ，， 解得，， 另一个因式为，的值为6． 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式可分解为，则　　； （2）若二次三项式可分解为，则　　； （3）已知代数式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 变式1-2．仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．另一个因式为，． （1）若二次三项式可分解为，则　　； （2）若二次三项式可分解为，则　　； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 类型二、乘法公式运用 例2．若是完全平方式，则　　． 变式2-1．当　　时，关于二次三项式是完全平方式． 变式2-2．如果是一个完全平方式，则　　． 例3．若加上一个单项式后能成为一个多项式的完全平方式，则这个单项式可能就是下列单项式：①；②；③；④；⑤中的　　 A．①②③④⑤ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 变式3-1．在多项式中添加一个单项式，使其成为一个多项式完全平方式，则这个单项式有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-2．把加上一个单项式，使其成为多项式的完全平方式，请你写出所有符合条件的单项式　 　． 例4．已知，，，则的值为　　 A．16 B．12 C．10 D．无法确定 变式4-1．已知，且，则的值为 　　． 变式4-2．已知，，分别是的三边长，若，，则的周长是　　 A．3 B．6 C．8 D．12 类型三、配方法运用 例5．已知，，，那么的值为 　　． 变式5-1． 利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．利用公式解决下列问题：若，，，求的值． 例6．（1）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式、为常数）写成、为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为 　　； （2）配方：　　； 【知识运用】： （3）已知，则　　，　　； （4）求多项式：的最小值． 变式6-1．阅读材料：若，求、的值． 解：， ，， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长、、，且满足，求的最大边的范围； （3）已知，，则　　． 变式6-2．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ，这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）； （2）已知、、分别是△三边的长且，请判断△的形状，并说明理由． 类型五、换元法因式分解 例7．先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：设，则原式 再将还原，得到：原式 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式： （2）若为正整数，则为整数的平方，试说明理由． 变式7-1．阅读下列材料： 小颖同学对多项式进行因式分解的过程中发现，如果把看成一个整体，用一个新的字母代替，此多项式就可以运用公式法进行因式分解，以下是她的做法． 解：设， 原式 ． （1）小颖同学进行因式分解时，所得到的最后结果是否分解彻底？　　（填“是”或“否” ； 如果否，直接写出因式分解最后的结果 　　； （2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 变式7-2．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请问： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　　 ．提取公因式法 ．平方差公式 ．两数和的完全平方公式 ．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？　　．（填“彻底”或“不彻底” 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　　 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 类型五、高次方因式分解 例8．1637年笛卡尔．，在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． 原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ， 等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当　　时，原式，所以原式可分解为 　　与另一个整式的积．若设另一个整式为．则　　，　　． （2）已知多项式为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值．下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． （3）已知二次三项式为常数）有一个因式是，则另一个因式为 　　，的值为 　　． 变式8-1．【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：，恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得． ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 （1）若，则　　； （2）若有一个因式是，求的值； （3）请判断多项式能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由． 变式8-2．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出、的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中　　，　　； （2）对于一元多项式，必定有　　； （3）请你用“试根法”分解因式：． 类型六、几何背景中因式分解 例9．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为 　　； （2）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为 　　、　　； （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 变式9-1．如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，． （1）用含，，的代数式分别表示，． （2）若，且，求的值． （3）若，试说明是完全平方式． 例10．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式 　　； （2）猜测　　． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； （4）在（3）的条件下，若、、分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 变式10-1．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　　； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为 　　； （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则的值为 　　． 变式10-2． 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则　　． （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则　　． （4）两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成图4．请你根据图4中图形的关系，写出一个代数恒等式，并写出推导过程． 类型七、因式分解创新题 例11．观察下面计算过程： ； ； ； 你发现了什么规律？用含的式子表示这个规律，并用你发现的规律直接写出 的值． 变式11-1．观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）　 　． 变式11-2．定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有　　 A．14个 B．15个 C．26个 D．60个 1．多项式是关于的完全平方式，则　　． 2．已知是一个关于的完全平方式，则常数的值为 　　． 3．多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是　　 A． B．或 C． D．或或或 4．已知，0，那么　　，　　． 5．已知，，则的值为 　　． 6．已知，，，则　　． 7． 已知乘法公式：；．利用或者不利用上述公式，分解因式：． 8．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你完成下列各题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 9．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求，的值． （3）在（2）的条件下，把多项式因式分解． 10．常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解，过程如下：．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）； （2）； （3）已知三角形的三条边长分别为、、，当，求． 11．变式5-2．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式 　　； （2）猜测　　． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； （4）在（3）的条件下，若、、分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 12．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　　． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则　　． （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则　　． （4）如图4所示，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，，你能求出阴影部分的面积吗？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 因式分解压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、因式分解的意义 2 类型二、完全平方公式的运用 4 类型三、配方法的运用 7 类型四、二换元法因式分解 11 类型五、高次方因式分解 13 类型六、几何背景中因式分解 17 类型七、因式分解创新题 22 压轴能力测评 24 一、因式分解 (1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式． (2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). ②公式法： ③十字相乘法 （3）一般步骤：①若有公因式，必先提公因式； ②提公因式后，看是否能用公式法分解； ③检查各因式能否分解彻底. 2、 必备知识 （1） 两个因式相乘，，令x-a=0，x-b=0等式左边为0，把x=a，x=b,代入右边，多项式，这样就可以求m,n; （2） 乘法公式运用：①有平方和，凑乘积两倍，配方成为完全平方公式； ②有平方差，拆分法， 凑平方差公式； 类型一、因式分解意义 例1．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则 ， 解得：， 另一个因式为，的值为． 问题： （1）若二次三项式可分解为，则　　； （2）若二次三项式可分解为，则　　； （3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】：答案为：（1）；（2）9；（3）另一个因式是，； 【解析】：解：（1）， ，解得：； （2）， ； （3）设另一个因式为，得， 则，，解得：，， 故另一个因式为，的值为12． 答案：（1）；（2）9；（3）另一个因式是，． 变式1-1．仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 对比等式左右两边的二次项系数，可知，于是． 则， ，， 解得，， 另一个因式为，的值为6． 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式可分解为，则　　； （2）若二次三项式可分解为，则　　； （3）已知代数式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】：（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为，的值为5； 【解析】：解：（1） ． ，， 解得：． （2） ． ． （3）设另一个因式为，得． 对比左右两边三次项系数可得：． 于是． 则． ，，． 解得：，，． 故另一个因式为，的值为5． 变式1-2．仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．另一个因式为，． （1）若二次三项式可分解为，则　　； （2）若二次三项式可分解为，则　　； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】：（1）4；（2）1；（3）另一个因式是，的值为； 【解析】：解：（1）由题意得：， 所以，所以，解得， 答案：4． （2）由题意得：， 所以，所以， 答案：1． （3）设另一个因式为， 则，所以， 所以，，解得，， 所以另一个因式是，的值为． 类型二、乘法公式运用 例2．若是完全平方式，则　　． 【答案】： 【解析】：解：因为是完全平方式，可得：，解得：， 答案： 变式2-1．当　　时，关于二次三项式是完全平方式． 【答案】：2或 【解析】：解：二次三项式是完全平方式， 故可以表示为： ， 化简为：解得：或 答案：2或． 变式2-2．如果是一个完全平方式，则　　． 【答案】：-1； 【解析】：解：是一个完全平方式， ，即，解得：， 答案： 例3．若加上一个单项式后能成为一个多项式的完全平方式，则这个单项式可能就是下列单项式：①；②；③；④；⑤中的　　 A．①②③④⑤ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】：B； 【解析】：解：是单项式，因此①不合适； 是单项式，因此②不合适； ，因此③合适； ，因此④合适； ，因此⑤合适； 选：． 变式3-1．在多项式中添加一个单项式，使其成为一个多项式完全平方式，则这个单项式有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】：C; 【解析】：解：在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式可以是，，，共3个． 选：． 变式3-2．把加上一个单项式，使其成为多项式的完全平方式，请你写出所有符合条件的单项式　 　． 【答案】：、，，； 【解析】：解：； ； 加上的单项式可以是、，、中任意一个． 答案：、、、． 例4．已知，，，则的值为　　 A．16 B．12 C．10 D．无法确定 【答案】：A; 【解析】：解：将与相减得， ， ， ， ，即， ． 选：． 变式4-1．已知，且，则的值为 　　． 【答案】：-3; 【解析】：解：，， ，， 即，则， 那么，则， 答案：． 变式4-2．已知，，分别是的三边长，若，，则的周长是　　 A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】：B; 【解析】：解：，．． ． ． 选：． 类型三、配方法运用 例5．已知，，，那么的值为 　　． 【答案】：7; 【解析】：解：，，， ，，， ， 答案：7． 变式5-1． 利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．利用公式解决下列问题：若，，，求的值． 【答案】：; 【解析】：解：，，， ， ． 例6．（1）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式、为常数）写成、为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为 　　； （2）配方：　　； 【知识运用】： （3）已知，则　　，　　； （4）求多项式：的最小值． 【答案】：（1）; （2）10 ; （3），4； （4）2 ; 【解析】：解：（1）多项式是一个完全平方式， ， ， 答案：； （2）， 答案：10； （3）， ， ，， ， 答案：，4； （4）， ， ， ，， 的最小值为2． 变式6-1．阅读材料：若，求、的值． 解：， ，， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长、、，且满足，求的最大边的范围； （3）已知，，则　　． 【答案】：（1）2; （2） ; （3）3； 【解析】：解：（1）， ， ， ，，，； ； （2）， ，，，； ，， 是最大边， ， 答：的最大边的范围是：； （3），， 代入得：， ， ， ，， ， ； 答案：3． 变式6-2．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ，这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）； （2）已知、、分别是△三边的长且，请判断△的形状，并说明理由． 【答案】：（1）; （2）等边三角形,理由见解析 ; 【解析】：（1）解： ； （2）解：由可分解得： ， 利用拆项得：， ， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是，， 所以可以得到， 即：△的形状是等边三角形． 类型五、换元法因式分解 例7．先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：设，则原式 再将还原，得到：原式 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式： （2）若为正整数，则为整数的平方，试说明理由． 【答案】：（1）; （2）原式即为整数的平方．; 【解析】：解：（1）设， 则原式， 将代入还原可得原式； （2）原式 令， 为正整数， 也是整数， 则原式 ， 为整数， 原式即为整数的平方． 变式7-1．阅读下列材料： 小颖同学对多项式进行因式分解的过程中发现，如果把看成一个整体，用一个新的字母代替，此多项式就可以运用公式法进行因式分解，以下是她的做法． 解：设， 原式 ． （1）小颖同学进行因式分解时，所得到的最后结果是否分解彻底？　　（填“是”或“否” ； 如果否，直接写出因式分解最后的结果 　　； （2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】：（1）否，；; （2）； 【解析】：解：（1）设， 原式 ， 小颖同学进行因式分解时，所得到的最后结果没有分解彻底， 答案：否，； （2）解：设， 原式 ． 变式7-2．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请问： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　　 ．提取公因式法 ．平方差公式 ．两数和的完全平方公式 ．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？　　．（填“彻底”或“不彻底” 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　　 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】：（1）C ; （2）不彻底；；（3）； 【解析】：解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择， 故答案为：； （2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为； 故答案为：不彻底；； （3）原式． 类型五、高次方因式分解 例8．1637年笛卡尔．，在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． 原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ， 等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当　　时，原式，所以原式可分解为 　　与另一个整式的积．若设另一个整式为．则　　，　　． （2）已知多项式为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值．下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． （3）已知二次三项式为常数）有一个因式是，则另一个因式为 　　，的值为 　　． 【答案】：（1）1，，3，3；; （2），另一个因式为；（3），20； 【解析】：解：（1）观察可知，当时，原式． 原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ， 等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ． 答案：1，，3，3； （2）设另一个因式为，则， ， ， ，解得：， ，另一个因式为； （3）设另一个因式为，则， ， ， ，解得：， ，另一个因式为； 答案：，20． 变式8-1．【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：，恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得． ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 （1）若，则　　； （2）若有一个因式是，求的值； （3）请判断多项式能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由． 【答案】：（1）1 ； （2）-5；（3）； 【解析】：解：（1）， ， ， 故答案为：1； （2）设另一个因式为， ， ， ，， 解得，； 答：的值为； （3）多项式能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下： 设多项式能分解成①或②， ① ， ，，， 由得， ② ， ，， 解得． 即， 能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积． 答：多项式能分解成两个整系数二次三项式的乘积． 变式8-2．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出、的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中　　，　　； （2）对于一元多项式，必定有　　； （3）请你用“试根法”分解因式：． 【答案】：（1）；; （2）-1；（3）； 【解析】：解：（1） ， ，， 则，， 答案：；； （2）多项式的奇次项系数之和为，偶次项系数之和为， 则， 答案：； （3）由（2）可知因式分解后必有因式， 设， 则 ， 则，， 即，， ． 类型六、几何背景中因式分解 例9．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为 　　； （2）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为 　　、　　； （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】：（1）; （2），；（3）①6； ②16； 【解析】：解：（1）观察图形可知：， 答案：； （2） ， 这个长方形相邻两边长为、， 答案：，； （3）①，，， ， ， ， ； ②，， ， ， ， ． 变式9-1．如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，． （1）用含，，的代数式分别表示，． （2）若，且，求的值． （3）若，试说明是完全平方式． 【答案】：（1）；; （2）；（3）见解析； 【解析】：解：（1）， ． （2）， ．． ，， ． （3）当时，， ， ． 是完全平方式． 例10．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式 　　； （2）猜测　　． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； （4）在（3）的条件下，若、、分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】：（1）； （3） ； （3）48；（4）等边三角形，见解析； 【解析】：解：（1）， 答案：； （2）， 答案：； （3）， ， ； （4），， ，即， ， ， ， ，，， ，，， ， 该三角形是等边三角形． 变式10-1．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　　； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为 　　； （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则的值为 　　． 【答案】：（1）； （2）；（3）155；（4）9； 【解析】：解：（1）大正方形的面积， 又大正方形的面积， ． 答案：； （2）由（1）得， ，， ， 答案：155． （3），，，， ， 答案：9． 变式10-2． 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则　　． （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则　　． （4）两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成图4．请你根据图4中图形的关系，写出一个代数恒等式，并写出推导过程． 【答案】：（1）；（2）30；（3）9；（4）； 【解析】：解：（1）由图2可得：； （2），， ； 答案：30； （3）由面积相等关系得： ，即， ，，， ； 答案：9； （4），证明如下： 梯形的面积为：， 化简即可得：． 类型七、因式分解创新题 例11．观察下面计算过程： ； ； ； 你发现了什么规律？用含的式子表示这个规律，并用你发现的规律直接写出 的值． 【答案】：；； 【解析】：解：， ，， ， 当时，上式． 变式11-1．观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）　 　． 【答案】：； 【解析】：解：根据题意得：第（5）个等式为． 答案：. 变式11-2．定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有　　 A．14个 B．15个 C．26个 D．60个 【答案】：B； 【解析】：解：设任取的两个自然数为，， 则可得到的“完全数”为：， ，且为非负整数， 可取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14． 任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有15个． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面 1．多项式是关于的完全平方式，则　　． 【答案】：； 【解析】：解： ． 答案：． 2．已知是一个关于的完全平方式，则常数的值为 　　． 【答案】：-2； 【解析】：解：， 当时，原式， 答案：． 3．多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是　　 A． B．或 C． D．或或或 【答案】：D； 【解析】：解：多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方， 那么加上的单项式可以是或或或． 选：． 4．已知，0，那么　　，　　． 【答案】：-1；0; 【解析】：解：，， ，， ， ，； ，，． ，，． ． 答案：；0． 5．已知，，则的值为 　　． 【答案】：3; 【解析】：解：， ， ，， ，， ，， 解得，，， ． 答案：3． 6．已知，，，则　　． 【答案】：3; 【解析】：解：，，， ，，， 则原式． 答案：3． 7．已知乘法公式：；．利用或者不利用上述公式，分解因式：． 【答案】：; 【解析】：解：， 则有． 8．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你完成下列各题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 【答案】：（1）;（2）； 【解析】：解：（1）设， 则原式，， 把代入得，原式， ； （2）设， 则原式，， ， 把代入得， 原式，， ． 9．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求，的值． （3）在（2）的条件下，把多项式因式分解． 【答案】：（1）-7;（2）；（3）； 【解析】：解：（1）是多项式的一个因式 时， 的值为． （2）和是多项式的两个因式 和时， 解得 、的值分别为和0． （3），， 可化为： 10．常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解，过程如下：．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）； （2）； （3）已知三角形的三条边长分别为、、，当，求． 【答案】：（1）;（2）；（3）； 【解析】：解：（1） ； （2） ； （3）， ， ， ， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， ，， ， ． 11．变式5-2．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式 　　； （2）猜测　　． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； （4）在（3）的条件下，若、、分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】：（1）; （2）；（3）48；（4）等边三角形； 【解析】：解：（1）， 答案：； （2）， 答案：； （3）， ， ； （4），， ，即， ， ， ， ，，， ，，， ，该三角形是等边三角形． 12．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　　． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则　　． （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则　　． （4）如图4所示，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，，你能求出阴影部分的面积吗？ 【答案】：（1）; （2）155；（3）9；（4）42； 【解析】：解：（1）大正方形的面积， 又大正方形的面积， ． 答案：． （2）由（1）得， ，， ， 答案：155． （3）， ，，， ， 答案：9． （4）由图可知，， ， 将，代入， 得原式． 阴影部分的面积为42． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$