热点02 方程与不等式（14大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

热点02 方程与不等式 中考数学中《方程与不等式》部分主要考向分为五类： 1、 一元一次方程（每年1~2道，3~6分） 2、 二元一次方程（组）（每年1~2道，3~6分） 三、一元二次方程（每年2~4道，6~12分） 四、分式方程（每年2~4题，6~12分） 五、不等式（组）（每年1~4题，3~12分） 方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察。其中，一元一次方程与二元一次方程（组）一般出在选择题，难度不大，一元一次方程多考察其在实际问题中的应用，；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多。一元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题。分式方程的考察内容不多，但基本属于必考考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题。不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到。虽然该热点难度中等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意。 考向一：一元一次方程 【题型1 一元一次方程及其解法】 1． 一元一次方程的定义，一个未知数，次数为1的方程。 2． 方程的解与等式的基本性质。 3． 牢记一元一次方程的解法，移项需要变号，注意系数化为1 。 1．（2025·广东·模拟预测）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（   ） A． B．1 C．4 D． 2．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．（2024·广东广州·一模）方程的解为 ． 5．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 6．（2024·广东广州·一模）解方程：． 【题型2 实际问题与一元一次方程】 1、解一元一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下： 步骤 要点 “审”（即审题） “审”题目中的已知量、未知量、基本关系； “设”（即设未知数） 一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量 “列”【即列方程】 找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程 “解”【即解方程】 根据一次方程（组）的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现 “验”（即检验） 非题目要求，此步可以不写 检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意 “答”（即写出答案） 最后的综上所述 2、中考中对于一元一次方程的应用题并不会考这么多，多以选择题出题，也就只考到列方程这步就可以了。 1．（2024·广东深圳·三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东中山·三模）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘问共有 辆车 4．（2024·广东肇庆·二模）如图，在中，，动点以的速度从向移动，（不与重合），动点以的速度从向移动，（不与重合），现同时出发，则经过 秒后，是等腰三角形． 5．（2024·广东广州·二模）某班去研学，有两种套票可供选择，已知甲种套票每张80元，乙种套票每张70元，如果每人只购买其中一种，40名学生恰好用去2900元，那么该班购买甲种套票的张数是________． 6．（2024·广东肇庆·二模）某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打 折出售． 7．（2024·广东潮州·一模）把9个整数填入方格中，使每一横行、每一坚列以及两条斜对角线上的数之和都相等，就得到一个三阶幻方（即九宫格）．题图是一个不完整的三阶幻方，则其中的值是 ． 5 0 4 8．（2024·广东云浮·一模）某商场以110元的价格购进某种商品进行销售，销售过程中发现．以原售价销售5件该商品与打8折销售9件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价． 考向二：二元一次方程组 【题型3 二元一次方程组及其求解】 解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法 不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。 1．（2024·广东江门·模拟预测）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 3．（2023·广东潮州·模拟预测）关于x，y的方程组的解为 ． 4．（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 5．（2024·广东广州·三模）解下列方程组：； 6．（2024·广东广州·二模）解二元一次方程组：． 7．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 8．（2024·广东中山·模拟预测）已知是方程组的解，求代数式的值． 【题型4 实际问题与二元一次方程组】 二元一次方程组的应用题解决步骤同一元一次方程应用题解题步骤及注意事项差不多，审题和找等量关系都是方程类应用题解题的关键。通常难度不大，个别时候，二元一次方程组的应用题也可以用一元一次方程来解。 1．（2024·广东深圳·模拟预测）九年级女生外出社会实践，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍．设该年级女生有x人，预安排给女生宿舍有y间，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·三模）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 3．（2024·广东佛山·一模）中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算．《九章算术》第八章名为“方程”，其中有一例为：  从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，  表示的方程是 ． 4．（2024·广东·模拟预测）某公司积极响应节能减排号召，决定采购A，B两种型号的新能源汽车．已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的倍，购进100辆A型汽车和120辆B型汽车共需5400万元．每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ 5．（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 6．（2024·广东·模拟预测）某校七年级10个班师生举行传统诗词进校园文艺表演，每班2个节目，有诗词吟诵与诗词吟唱两类节目，学校统计后发现诗词吟唱类节目是诗词吟诵类节目数的一半多2个． (1)七年级师生表演的诗词吟诵与诗词吟唱类节目数各有多少个？ (2)该校八年级学生有诗词编舞节目参与，在诗词吟诵、诗词吟唱、诗词编舞三类节目中，每个节目的演出用时分别是5分钟，6分钟，8分钟，预计所有演出节目交接用时共花16分钟．若从开始，之前演出结束，问参与的诗词编舞类节目最多能有多少个？ 7．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 考向三：一元二次方程 【题型05 一元二次方程及其求解】 一元二次方程的解法有4种，重点记忆配方法、因式分解法、公式法。 其中注意事项： 配方法——需要加上的数字是一次项系数一半的平方（的系数为1），并且先移项，再配方； 因式分解法——重点掌握十字相乘法（常用公式：）； 公式法——使用这种解法，必须先分析a、b、c的值，求出的值，再带入公式 1．（2024·广东广州·二模）关于y的一元二次方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·广东中山·模拟预测）如果是方程的一个根，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（   ） A． B．2023 C． D．2024 4．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 5．（2024·广东肇庆·一模）二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为 ．（写成的形式） 6．（2024·广东深圳·模拟预测）若a，b是关于x的方程的两个实数根，则 ． 7．（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：． 8．（2024·广东广州·二模）解方程：． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：． 10．（2024·广东广州·二模）已知两个多项式． (1)化简； (2)若，求x的值． 【题型06 一元二次方程的判别式】 对于一元二次方程的一般形式：， (1) 方程有两个不相等的实数根 (2) 方程有两个相等的实数根 (3) 方程没有实数根 注意：在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件； 当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知 1．（2023·广东深圳·模拟预测）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（2024·广东汕头·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 3．（2024·广东云浮·一模）关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根 4．（2025·广东深圳·一模）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是 ．（只需写出一个即可） 5．（2024·广东·中考真题）如果关于x的方程有两个相等的实数根，则 ． 6．（2024·广东深圳·三模）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是 【题型07 一元二次方程根与系数的关系】 若一元二次方程的两个根为，则有， 当问题中出现“方程的两个根是……”时，通常就要想其根与系数的关系了，若不能直接利用原公式，则结合完全公式，想其常用变形： 1．（2024·广东东莞·三模）已知方程的两根是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·广东广州·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值是（    ） A． B． C． D．或 3．（2023·广东佛山·模拟预测）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为 ． 5．（2025·广东揭阳·一模）已知和为方程的两个实数根，且，则实数n的最大值为 ． 6．（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【题型08 实际问题与一元二次方程】 解题步骤依然遵循——审、设、列、解、答。 应用题中解出方程的解一般都有2个，做题时注意区分是否都可取，不符合题意的答案需舍去。 1．（2025·广东阳江·模拟预测）为积极响应国家“双减政策”，某学校年第三季度平均每周作业时长为分钟，经过年第四季度和年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为，则可列方程为 ． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元． 3．（2023·广东阳江·一模）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 4．（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 5．（2024·广东东莞·三模）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 6．（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：． (1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (2)设销售这种文具每天获利（元），求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 考向四：分式方程 【题型09 分式方程及其求解】 1、解分式方程基本步骤：①去分母；②解整式方程；③验根 2、分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值； 1．（2024·广东广州·二模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）代数式与代数式的值相等，则 ． 3．（2024·广东广州·中考真题）解方程：． 4．（2024·广东广州·模拟预测）解方程： 5．（2024·广东东莞·一模）解分式方程: 【题型10 分式方程解的情况问题】 1、分式方程会无解的几种情况 ①解出的x的值是增根，须舍去，无解②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解 ③同时满足①和②，无解 2、求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤： ①让最简公分母为 0 确定增根； ②去分母，将分式方程转化为整式方程； ③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）； ④解含参数字母的方程的解。 1．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东揭阳·一模）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3．（2024·广东揭阳·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 4．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程无解，则a的值为 ． 【题型11 实际问题与分式方程】 列分式方程解应用题的一般步骤： ①审， ②设， ③列， ④解， ⑤验， ⑥答 其中，检验这一步必须有! 1．（2023·广东阳江·一模）由于市场急需A产品，某工厂现在平均每天比原计划多生产A产品50万件，现在生产A产品400万件所需时间比原计划生产A产品450万件所需时间少5天，设现在平均每天生产A产品x万件，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·模拟预测）某施工队要铺设一段全长2000米的管道，中考期间需停工两天，实际施工时，每天需比原来计划多铺设50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米，设原计划每天施工x米，则根据题意可列方程为 ． 3．（2024·广东清远·模拟预测）广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 4．（2024·广东·模拟预测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 5．（2024·广东深圳·三模）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元． (1)求排球、足球的单价各为多少？ (2)若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 6．（2024·广东广州·模拟预测）年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同． (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ (2)已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？ 考向五：不等式与不等式组 【题型12 一元一次不等式（组）解】 一元一次不等式组的解法中，同除以一个负数时，不要忘记改变不等号的方向，同除一个分数时，不要除反了。 1．（2024·广东·模拟预测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）若使二次根式有意义，则a 的取值范围是 ． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）不等式的解集是 4．（2024·广东韶关·模拟预测）解不等式，并在数轴上表示解集： 5．（2024·广东·模拟预测）解不等式组：． 6．（2024·广东广州·模拟预测）解不等式组：． 7．（2024·广东中山·三模）解不等式组． 8．（2024·广东·模拟预测）解不等式组并求它的所有的非负整数解的和． 【题型13 一元一次不等式（组）含参数问题】 ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 1．（2024·广东云浮·一模）若不等式的解集为，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·一模）已知不等式组的解集是，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2024 4．（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 5．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是 ． 6．（2024·广东阳江·一模）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为 ． 【题型14 实际问题与一元一次不等式（组）】 一元一次不等式（组）应用题的解法步骤：审，设，列，解，答。 审题过程中，找不等量关系时，多注意“不超过”、“低于”、“不少于”等不等量关系的词语；不等式组的应用题也常和方程结合，不等式的解作为方案类问题选择的范围，取整后得到对应方案。 1．（2024·广东清远·模拟预测）我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和这箱鹰嘴桃的个数． 2．（2024·广东清远·模拟预测）耕地是粮食生产的命根子，是中华民族永续发展的根基．某地区积极响应国家“退林还耕”号召，将该地区 3500 亩林地改为耕地，经招标，全部“退林还耕”工作由甲、乙两工程队共同完成，已知甲队每天完成的“退林还耕”面积是乙队的 2 倍，如果两队各自“退林还耕”500 亩，甲队比乙队少用 5 天． (1)求甲、乙两队每天完成的“退林还耕”面积； (2)若甲队每天费用是 1.5 万元，乙队每天费用为 0.8 万元，求在总费用不超过 55 万元的情况下，至多安排乙队施工多少天？ 3．（2023·广东清远·一模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，某商品旗舰店计划购进部分吉祥物，购进3个琮琮玩偶和4个莲莲玩偶需要192元；购进2个琮琮玩偶和1个莲莲玩偶需要78元． (1)琮琮玩偶和莲莲玩偶单价各是多少元？ (2)该旗舰店计划购进琮琮和莲莲玩偶共100件，其中莲莲玩偶的个数不低于琮琮玩偶的个数，并且计划费用不超过2735元，请问共有几种购买方案？ 4．（2024·广东东莞·模拟预测）为了抓住五一小长假旅游商机，广州长隆度假区中的一家商店决定购进A，B两种纪念品，若购进A种纪念品7件，B种纪念品2件，则需要98元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，则需要102元． (1)求购进的A，B两种纪念品每件各需多少元． (2)已知该商店中A种纪念品的售价为20元/件，B种纪念品的售价为12元/件，若该商店决定购进这两种纪念品共100件，且A种纪念品数量不超过B种纪念品数量的一半，应如何设计购进方案才能使全部售完后获得最大利润，最大利润是多少． 一、单选题 1．（2024·广东河源·二模）若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 2．（2024·广东湛江·二模）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东湛江·二模）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 的一个根为1，则另一个根为（      ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．（2024·广东汕头·模拟预测）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·广东清远·二模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 7．（2024·广东珠海·一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则 ． 8．（2024·广东惠州·三模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是 ． 9．（2023·广东汕头·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ． 10．（2023·广东深圳·二模）对于实数，，定义一种新运算“θ”为：，例如：，则的解是 ． 三、解答题 11．（2024·广东东莞·一模）解答题：． 12．（2025·广东揭阳·一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 13．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程 (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为， 且求m的值． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． (1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； (2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 15．（2024·广东·模拟预测）某网店以35元/件的进价购进一批纪念品，当售价为60元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求日销售量的平均增长率． (2)由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售4件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 16．（2024·广东惠州·二模）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形． (1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3． (2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 17．（2024·广东东莞·二模）某学校准备购进一批足球和篮球，从体育商城了解到：足球单价比篮球单价少25元，用250元购买足球与用375元购买篮球的数量相等． (1)求足球和篮球的单价各是多少元； (2)若该学校准备同时购进这两种足球和篮球共80个，并且足球的数量不多于篮球数量的3倍，求本次购买最少花费多少钱． 18．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点02 方程与不等式 中考数学中《方程与不等式》部分主要考向分为五类： 1、 一元一次方程（每年1~2道，3~6分） 2、 二元一次方程（组）（每年1~2道，3~6分） 三、一元二次方程（每年2~4道，6~12分） 四、分式方程（每年2~4题，6~12分） 五、不等式（组）（每年1~4题，3~12分） 方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察。其中，一元一次方程与二元一次方程（组）一般出在选择题，难度不大，一元一次方程多考察其在实际问题中的应用，；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多。一元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题。分式方程的考察内容不多，但基本属于必考考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题。不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到。虽然该热点难度中等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意。 考向一：一元一次方程 【题型1 一元一次方程及其解法】 1． 一元一次方程的定义，一个未知数，次数为1的方程。 2． 方程的解与等式的基本性质。 3． 牢记一元一次方程的解法，移项需要变号，注意系数化为1 。 1．（2025·广东·模拟预测）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（   ） A． B．1 C．4 D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，把代入一元一次方程，得到关于m的一元一次方程，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴把代入得： ， 解得：． 故选A． 2．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了一元一次方程的解．设被污染的常数■是a，把代入计算即可求出a的值． 【详解】解：设被污染的常数■是a， 把代入，得：， 解得， 故选A． 3．（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【知识点】等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质对各选项进行分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：解：A、由5，得，原变形正确，故此选项符合题意； B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由，得，原变形正确，故此选项符合题意； D、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C 4．（2024·广东广州·一模）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键． 【详解】， ， 解得， 故答案为：． 5．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 6．（2024·广东广州·一模）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解方程即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 解得：． 【题型2 实际问题与一元一次方程】 1、解一元一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下： 步骤 要点 “审”（即审题） “审”题目中的已知量、未知量、基本关系； “设”（即设未知数） 一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量 “列”【即列方程】 找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程 “解”【即解方程】 根据一次方程（组）的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现 “验”（即检验） 非题目要求，此步可以不写 检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意 “答”（即写出答案） 最后的综上所述 2、中考中对于一元一次方程的应用题并不会考这么多，多以选择题出题，也就只考到列方程这步就可以了。 1．（2024·广东深圳·三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，然后根据“粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽”列方程即可． 【详解】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 根据题意得． 故选：B． 2．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可． 【详解】解：设该车企去年5月交付新车辆， 根据题意得：， 故选：A． 3．（2024·广东中山·三模）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘问共有 辆车 【答案】15 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有辆车，根据人数相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有辆车，由题意，得：， 解得：； 答：共有辆车； 故答案为：15． 4．（2024·广东肇庆·二模）如图，在中，，动点以的速度从向移动，（不与重合），动点以的速度从向移动，（不与重合），现同时出发，则经过 秒后，是等腰三角形． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等腰三角形的定义；可用表示出，，，由于，当是等腰三角形，则只有一种可能，据此列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设秒后是等腰三角形，则，，， 解得： 故答案为：． 5．（2024·广东广州·二模）某班去研学，有两种套票可供选择，已知甲种套票每张80元，乙种套票每张70元，如果每人只购买其中一种，40名学生恰好用去2900元，那么该班购买甲种套票的张数是________． 【答案】10 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲种套票买了x张，则乙种套票买了张，根据“40名学生恰好用去2900元”列出方程并解答即可． 【详解】解：设甲种套票买了x张，则乙种套票买了张， 依题意得：， 解方程得：． 即甲种套票买了10张． 故答案为：10． 6．（2024·广东肇庆·二模）某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打 折出售． 【答案】8 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设打折，用含的式子表示出售价，再减去进价就是利润，列出方程求解即可． 【详解】解：设打折，根据题意得 解得 即打8折出售． 故答案为：８． 7．（2024·广东潮州·一模）把9个整数填入方格中，使每一横行、每一坚列以及两条斜对角线上的数之和都相等，就得到一个三阶幻方（即九宫格）．题图是一个不完整的三阶幻方，则其中的值是 ． 5 0 4 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的等量关系，列出方程是解题的关键．设第2列第二个数为x，由每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等，列出方程，即可求解． 【详解】解：设第2列第二个数为y， 由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 8．（2024·广东云浮·一模）某商场以110元的价格购进某种商品进行销售，销售过程中发现．以原售价销售5件该商品与打8折销售9件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价． 【答案】该商品的原售价为200元． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设该商品的原售价为元．利用以原售价销售5件该商品与打8折销售9件该商品所获得的利润相同，再建立方程求解即可． 【详解】解：设该商品的原售价为元． 根据题意，得， 解得． 答：该商品的原售价为200元． 考向二：二元一次方程组 【题型3 二元一次方程组及其求解】 解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法 不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。 1．（2024·广东江门·模拟预测）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法求解即可 【详解】解： 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴方程组的解为， 故选：D 2．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2023·广东潮州·模拟预测）关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】①-②，消去y，求出x，再把x的值代入②得y值即可． 【详解】解： ①-②得： 解得： 把代入②得： ，解得： ∴方程组的解为： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解．消元法是求解关键． 4．（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】7 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用． 【详解】解：将代入原方程组得， 得：， ∴的值为7． 故答案为：7． 5．（2024·广东广州·三模）解下列方程组：； 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 方程组利用代入消元法求出解即可； 【详解】解：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 6．（2024·广东广州·二模）解二元一次方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．利用加减消元法解二元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 故原方程组的解为． 7．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算即可； （2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， 把代入①，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 化简方程组可得，， 得，， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为． 8．（2024·广东中山·模拟预测）已知是方程组的解，求代数式的值． 【答案】8 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解， 以及解二元一次方程组，以及代数式求值， 先根据二元一次方程组的解得出新的二元一次方程组， 再根据加减消元法求出a，b的值，然后代入求值即可． 【详解】解：依题意得方程组， ①②得， ∴， 把代入①得； 则． 【题型4 实际问题与二元一次方程组】 二元一次方程组的应用题解决步骤同一元一次方程应用题解题步骤及注意事项差不多，审题和找等量关系都是方程类应用题解题的关键。通常难度不大，个别时候，二元一次方程组的应用题也可以用一元一次方程来解。 1．（2024·广东深圳·模拟预测）九年级女生外出社会实践，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍．设该年级女生有x人，预安排给女生宿舍有y间，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据总人数相等构造方程组解答即可．本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选：A． 2．（2024·广东深圳·三模）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等.列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】由题意得： ， 解得： ， 故答案为： 3．（2024·广东佛山·一模）中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算．《九章算术》第八章名为“方程”，其中有一例为：  从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，  表示的方程是 ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查根据图意列方程，解题的关键是读懂图的意思． 【详解】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项， 一个竖线表示一个，一条横线表示一十， 所以该图表示的方程是：． 故答案为：． 4．（2024·广东·模拟预测）某公司积极响应节能减排号召，决定采购A，B两种型号的新能源汽车．已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的倍，购进100辆A型汽车和120辆B型汽车共需5400万元．每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ 【答案】每辆A型汽车的进价为30万元，每辆B型汽车的进价为20万元． 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组，求解即可，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【详解】解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为30万元，每辆B型汽车的进价为20万元． 5．（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】(1)2，3 (2)应放入大球6 个，小球4 个 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法，解答时理解图的含义是解答本题的关键． （1）水面升高量除以球的个数即可求解； （2）可设应放入大球x个，小球y个，根据要使水面上升到，列出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：， ； 答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； （2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有 解得：， 答：应放入大球6个，小球4个． 6．（2024·广东·模拟预测）某校七年级10个班师生举行传统诗词进校园文艺表演，每班2个节目，有诗词吟诵与诗词吟唱两类节目，学校统计后发现诗词吟唱类节目是诗词吟诵类节目数的一半多2个． (1)七年级师生表演的诗词吟诵与诗词吟唱类节目数各有多少个？ (2)该校八年级学生有诗词编舞节目参与，在诗词吟诵、诗词吟唱、诗词编舞三类节目中，每个节目的演出用时分别是5分钟，6分钟，8分钟，预计所有演出节目交接用时共花16分钟．若从开始，之前演出结束，问参与的诗词编舞类节目最多能有多少个？ 【答案】(1)诗词吟诵节目有12个，诗词吟唱节目有8个 (2)3个 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组与不等式的实际应用，根据题意设出未知数，找出等量关系，列出方程或不等式是解题的关键． （1）设七年级师生表演的诗词吟诵节目有个，诗词吟唱节目有个，根据“两类节目的总数为20个、诗词吟唱类节目是诗词吟诵类节目数的一半多2个”列方程组求解可得； （2）设参与的诗词编舞节目有个，根据“三类节目的总时间交接用时”列不等式求解可得． 【详解】（1）解：设七年级师生表演的诗词吟诵节目有个，诗词吟唱节目有个， 根据题意，得：， 解得：， 答：七年级师生表演的诗词吟诵节目有12个，诗词吟唱节目有8个； （2）设参与的诗词编舞节目有个，根据题意，得：， 解得：， 为整数， 的最大值为3， 答：参与的诗词编舞节目最多能有3个． 7．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 【答案】(1)A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元 (2)W的最大值为10562.5元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组与二次函数关系式是解题的关键． （1）设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，根据每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等，列出方程组，求解即可； （2）根据利润=每份利润×销售量，列出w关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，                         依题意得： ， 解得， 答：A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元． （2）解：依题意：获得的利润 ， 由于A类速食餐每份的利用率不低于，那么 ， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为10562.5， 答：W的最大值为10562.5元． 考向三：一元二次方程 【题型05 一元二次方程及其求解】 一元二次方程的解法有4种，重点记忆配方法、因式分解法、公式法。 其中注意事项： 配方法——需要加上的数字是一次项系数一半的平方（的系数为1），并且先移项，再配方； 因式分解法——重点掌握十字相乘法（常用公式：）； 公式法——使用这种解法，必须先分析a、b、c的值，求出的值，再带入公式 1．（2024·广东广州·二模）关于y的一元二次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 先把方程转化成一般形式，然后提取公因式y分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：D． 2．（2024·广东中山·模拟预测）如果是方程的一个根，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：C． 3．（2024·广东·模拟预测）如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（   ） A． B．2023 C． D．2024 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键． 由题意知，，则，根据，然后代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是， ∴，则， ∴． 故选：D． 4．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 5．（2024·广东肇庆·一模）二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为 ．（写成的形式） 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，根据题意得出，进而根据二次项系数为，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵二次项系数为，两根分别为， ∴，， ∴， ∴这个方程为：， 故答案为：． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）若a，b是关于x的方程的两个实数根，则 ． 【答案】2024 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解 【分析】根据根与系数关系定理，方程根的定义解答即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ a，b是关于x的方程的两个实数根， ∴ ， ，， ∴ ， 故答案为：2024． 7．（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ∴或， 解得：． 8．（2024·广东广州·二模）解方程：． 【答案】，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得： 10．（2024·广东广州·二模）已知两个多项式． (1)化简； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了整式的加减，解一元二次方程； （1）根据整式的加减进行计算即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 【题型06 一元二次方程的判别式】 对于一元二次方程的一般形式：， (1) 方程有两个不相等的实数根 (2) 方程有两个相等的实数根 (3) 方程没有实数根 注意：在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件； 当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知 1．（2023·广东深圳·模拟预测）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵ ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（2024·广东汕头·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选C． 3．（2024·广东云浮·一模）关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况． 【详解】 解：由题意，， ， ， ． ， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 4．（2025·广东深圳·一模）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是 ．（只需写出一个即可） 【答案】0 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意可得，计算即可得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 解得：， ∴的值可能是， 故答案为：． 5．（2024·广东·中考真题）如果关于x的方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】1 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：1． 6．（2024·广东深圳·三模）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：当，则； 由关于x的方程有实数根， ∴，即得， ∴， ∴a的取值范围为且． 当时为一元一次方程，方程有一根． 综上所知a的取值范围为． 故答案为：． 【题型07 一元二次方程根与系数的关系】 若一元二次方程的两个根为，则有， 当问题中出现“方程的两个根是……”时，通常就要想其根与系数的关系了，若不能直接利用原公式，则结合完全公式，想其常用变形： 1．（2024·广东东莞·三模）已知方程的两根是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键；由根与系数的关系得，再直接代入即可求解． 【详解】解：∵的两根是， ， ． 故选：D． 2．（2024·广东广州·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由可知，然后根据根与系数的关系代入计算即可；熟知一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式是关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， 经检验时，，符合题意； 故的值为 故选：C． 3．（2023·广东佛山·模拟预测）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 先利用根与系数的关系得到，，再计算，然后利用整体代入的方法计算即可求解． 【详解】解：、b是方程的实数根， ，， ． 故答案为：． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式，是解题关键．先求出，，再整体代入即可求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．（2025·广东揭阳·一模）已知和为方程的两个实数根，且，则实数n的最大值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数的最值问题，根据根解析式的关系可得，，进而结合已知条件，表示出的函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵和为方程的两个实数根， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴存在最大值，最大值为 故答案为：． 6．（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【答案】(1)方程是“邻近根方程”； (2)48 【知识点】配方法的应用、公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用等等： （1）利用公式法求出，则，据此可得答案； （2）设关于x的方程的两个实数根为，则由根与系数的关系可得，再根据题意得到，则，据此推出，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 解得， ∴， ∴方程是“邻近根方程”； （2）解：设关于x的方程的两个实数根为， 则由根与系数的关系可得， ∵关于x的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值48，即有最大值48． 【题型08 实际问题与一元二次方程】 解题步骤依然遵循——审、设、列、解、答。 应用题中解出方程的解一般都有2个，做题时注意区分是否都可取，不符合题意的答案需舍去。 1．（2025·广东阳江·模拟预测）为积极响应国家“双减政策”，某学校年第三季度平均每周作业时长为分钟，经过年第四季度和年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，设每季度平均每周作业时长的下降率为m，分别表示出年第四季度和年第一季度平均每周作业时长，由此列得方程． 【详解】解：设每季度平均每周作业时长的下降率为，根据题意得， ， 故答案为：． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元． 【答案】10 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解． 【详解】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 故每件应降价10元． 故答案为：10． 3．（2023·广东阳江·一模）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【答案】(1)12只 (2)2197只 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可； （2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得： ， 解，得，，(不符合题意舍去)， 答：每只病鸡传染健康鸡12只； （2）解：， 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只． 4．（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 【答案】(1)设应邀请6支球队参加比赛 (2)实际共比赛22场 【知识点】有理数乘法的实际应用、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设应该邀请支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛， 由题意得： 解得：，（不合题意，舍去）． 答：设应邀请6支球队参加比赛． （2）解：（场） 答：实际共比赛22场． 5．（2024·广东东莞·三模）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 【答案】(1)AB的长为 (2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． （1）根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意得到，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （2）解：花圃的面积， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 6．（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：． (1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (2)设销售这种文具每天获利（元），求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)销售单价为元； (2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据每天的获利=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意得： 整理得： 解得：(不合题意，舍去)， 答：销售单价为元； （2）解：根据题意得： ， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为： ， ∴关于的函数关系式为： 当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 考向四：分式方程 【题型09 分式方程及其求解】 1、解分式方程基本步骤：①去分母；②解整式方程；③验根 2、分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值； 1．（2024·广东广州·二模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程．先去分母，转化为整式方程，再求解，检验即可． 【详解】解：， 去括号得， 解得：， 经检验：是原方程的根， 故选：A． 2．（2024·广东·模拟预测）代数式与代数式的值相等，则 ． 【答案】4 【知识点】分式方程的实际应用、解分式方程 【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键． 通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可． 【详解】由题可得：， 去分母得，， 解得，， 检验：当时，， ∴是所列方程的根， 故答案为：4． 3．（2024·广东广州·中考真题）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 该分式方程的解为． 4．（2024·广东广州·模拟预测）解方程： 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 5．（2024·广东东莞·一模）解分式方程: 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查解分式方程，观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解并检验即可． 【详解】解：原分式方程化为， 去分母，方程两边同乘以得： ， 解得，， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【题型10 分式方程解的情况问题】 1、分式方程会无解的几种情况 ①解出的x的值是增根，须舍去，无解②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解 ③同时满足①和②，无解 2、求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤： ①让最简公分母为 0 确定增根； ②去分母，将分式方程转化为整式方程； ③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）； ④解含参数字母的方程的解。 1．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程解的定义，分式方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可． 【详解】解：是分式方程的解， ， 解得：， 故选：C． 2．（2024·广东揭阳·一模）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得出，根据解是负数得出，且，求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 关于的方程的解是负数， ，且， 解得：且， 故选：B． 3．（2024·广东揭阳·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程 【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程无解，则a的值为 ． 【答案】1或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】此题考查了分式方程的无解问题，先整理方程得到，分和两种情况，分别进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 当时，方程无解，故； 当时，时，分式方程无解， 则， ∴关于x 的方程无解，则a的值为：1或． 故答案为：1或． 【题型11 实际问题与分式方程】 列分式方程解应用题的一般步骤： ①审， ②设， ③列， ④解， ⑤验， ⑥答 其中，检验这一步必须有! 1．（2023·广东阳江·一模）由于市场急需A产品，某工厂现在平均每天比原计划多生产A产品50万件，现在生产A产品400万件所需时间比原计划生产A产品450万件所需时间少5天，设现在平均每天生产A产品x万件，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产A产品400万件所需时间比原计划生产A产品450万件所需时间少5天”这一个条件，列出分式方程是解题关键． 【详解】解：设现在平均每天生产A产品x万件，则原来可生产万件． 由题意得：， 故选：B． 2．（2024·广东广州·模拟预测）某施工队要铺设一段全长2000米的管道，中考期间需停工两天，实际施工时，每天需比原来计划多铺设50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米，设原计划每天施工x米，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天施工x米，则实际每天施工米，再根据实际比原计划少施工两天列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工米， 由题意得，， 故答案为：． 3．（2024·广东清远·模拟预测）广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 【答案】该商家第一批购进40个吉祥物． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物，利用单价总价数量，结合第二批购进吉祥物的单价比第一批贵了5元，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商家第一批购进40个吉祥物． 4．（2024·广东·模拟预测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【答案】(1)甲单价为55元，乙单价为50元 (2)40个 【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元． （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． 答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器． 5．（2024·广东深圳·三模）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元． (1)求排球、足球的单价各为多少？ (2)若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 【答案】(1)排球的单价为元，足球的单价为元； (2)张老师带的钱不够，最少还差元． 【知识点】分式方程的实际应用、一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（）设排球的单价为元，则足球的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设学校购买个足球，则购买个排球，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，设费用为元，再求出与的一次函数关系，最后根据一次函数的性质即可解答； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设排球的单价为元，则足球的单价为元， 依题意得，， 解得（不符合题意，舍去），， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为元，足球的单价为元； （2）解：设学校购买个足球，则购买个排球， 依题意得，， 解得， 设费用为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，， ∵，， ∴张老师带的钱不够，最少还差元， 答：张老师带的钱不够，最少还差元． 6．（2024·广东广州·模拟预测）年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同． (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ (2)已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？ 【答案】(1)B款文化衫每件元，A款文化衫每件元 (2)购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量与不等量关系，正确列出分式方程和不等式． （1）设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，可求，由题意知，，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可． 【详解】（1）解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， ∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元； （2）解：设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元， 依题意得，， 解得，， 由题意知，， ∵， ∴当时，费用最低为（元）， ∴购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元． 考向五：不等式与不等式组 【题型12 一元一次不等式（组）解】 一元一次不等式组的解法中，同除以一个负数时，不要忘记改变不等号的方向，同除一个分数时，不要除反了。 1．（2024·广东·模拟预测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握不等式的解法．根据不等式的性质解不等式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）若使二次根式有意义，则a 的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零求解即可． 【详解】∵二次根式有意义 ∴ ∴． 故答案为：． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）不等式的解集是 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可. 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 故答案为： 4．（2024·广东韶关·模拟预测）解不等式，并在数轴上表示解集： 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．先求出不等式的解集，后在数轴上表示即可． 【详解】解：由． 去分母，得 ， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 数轴表示为： ． 5．（2024·广东·模拟预测）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求解每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等组的解集为：． 6．（2024·广东广州·模拟预测）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解不等式组，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 7．（2024·广东中山·三模）解不等式组． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查求不等式组的解集，求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式，得 解不等式，得 不等式组的解集为 8．（2024·广东·模拟预测）解不等式组并求它的所有的非负整数解的和． 【答案】，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键．分别得出两个不等式的解集，找出两个解集的公共部分即可得不等式组的解集，进而可得不等式组的非负整数解，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解有：， 不等式组的非负整数解的和为． 【题型13 一元一次不等式（组）含参数问题】 ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 1．（2024·广东云浮·一模）若不等式的解集为，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．根据不等式的解集为得出，然后求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， ∴m的取值范围为． 故选：A． 2．（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了不等式组的解集，解题关键是根据不等式组解集的确定方法，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：一元一次不等式组的解集为， 所以，， 解得，， 故选：D 3．（2024·广东深圳·一模）已知不等式组的解集是，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2024 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 解集是， ， 解得， 则原式， 故选B． 4．（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式的应用，掌握整体求未知数的方法是解本题的关键．得，根据得出关于n的不等式求解． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，可以确定整数解为①或②5，4，3，2，1，0，，再根据解集确定m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式组， 解得：， ∵所有整数解的和是12，且或 ∴不等式组的整数解为①或②5，4，3，2，1，0， ∴或； 故答案为：或． 6．（2024·广东阳江·一模）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据不等式组有个整数解即可求出的取值范围，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有个整数解， ∴， 故答案为：． 【题型14 实际问题与一元一次不等式（组）】 一元一次不等式（组）应用题的解法步骤：审，设，列，解，答。 审题过程中，找不等量关系时，多注意“不超过”、“低于”、“不少于”等不等量关系的词语；不等式组的应用题也常和方程结合，不等式的解作为方案类问题选择的范围，取整后得到对应方案。 1．（2024·广东清远·模拟预测）我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和这箱鹰嘴桃的个数． 【答案】游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查一元一次不等式组，根据条件列出不等式组是解题的关键． 设设有名游客，则鹰嘴桃有个，根据如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，列出不等式组解出即可得到答案． 【详解】解：设有名游客，则鹰嘴桃有个， 依题意得：， 解得：． ∵游客人数应取整数， ∴． ∴（个）． 答：游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个． 2．（2024·广东清远·模拟预测）耕地是粮食生产的命根子，是中华民族永续发展的根基．某地区积极响应国家“退林还耕”号召，将该地区 3500 亩林地改为耕地，经招标，全部“退林还耕”工作由甲、乙两工程队共同完成，已知甲队每天完成的“退林还耕”面积是乙队的 2 倍，如果两队各自“退林还耕”500 亩，甲队比乙队少用 5 天． (1)求甲、乙两队每天完成的“退林还耕”面积； (2)若甲队每天费用是 1.5 万元，乙队每天费用为 0.8 万元，求在总费用不超过 55 万元的情况下，至多安排乙队施工多少天？ 【答案】(1)甲每天完成的“退林还耕”面积为100亩，乙每天完成的“退林还耕”面积为50亩 (2)至多安排乙队施工50天 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙每天完成的“退林还耕”面积为亩，则甲每天完成的“退林还耕”面积为亩，由“退林还耕”500亩，甲队比乙队少用5天．即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设安排乙施工天，则安排甲队施工天，根据总费用不超过55万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙每天完成的“退林还耕”面积为亩，则甲每天完成的“退林还耕”面积为亩， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲每天完成的“退林还耕”面积为100亩，乙每天完成的“退林还耕”面积为50亩． （2）解：设安排乙队施工天，则安排甲队施工天， 依题意，得：， 解得：． 答：至多安排乙队施工50天． 3．（2023·广东清远·一模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，某商品旗舰店计划购进部分吉祥物，购进3个琮琮玩偶和4个莲莲玩偶需要192元；购进2个琮琮玩偶和1个莲莲玩偶需要78元． (1)琮琮玩偶和莲莲玩偶单价各是多少元？ (2)该旗舰店计划购进琮琮和莲莲玩偶共100件，其中莲莲玩偶的个数不低于琮琮玩偶的个数，并且计划费用不超过2735元，请问共有几种购买方案？ 【答案】(1)琮琮玩偶的单价为24元，莲莲玩偶的单价为30元 (2)6种方案 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设琮琮玩偶的单价是x元，莲莲玩偶的单价是y元，根据“购进3个琮琮玩偶和4个莲莲玩偶需要192元；购进2个琮琮玩偶和1个蓬莲玩偶需要78元”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个琮琮玩偶，则购买个莲莲玩偶，根据“购买莲莲玩偶的个数不低于琮琮玩偶的个数，并且计划费用不超过2735元”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有6种购买方案． 【详解】（1）解：设琮琮玩偶的单价为元，莲莲玩偶的单价为元，根据题意，得 解得 答：琮琮玩偶的单价为24元，莲莲玩偶的单价为30元． （2）解：设购进琮琮玩偶个，则购进莲莲玩偶个，根据题意，得 解得，且为正整数， 可取45，46，47，48，49，50，共6种方案． 4．（2024·广东东莞·模拟预测）为了抓住五一小长假旅游商机，广州长隆度假区中的一家商店决定购进A，B两种纪念品，若购进A种纪念品7件，B种纪念品2件，则需要98元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，则需要102元． (1)求购进的A，B两种纪念品每件各需多少元． (2)已知该商店中A种纪念品的售价为20元/件，B种纪念品的售价为12元/件，若该商店决定购进这两种纪念品共100件，且A种纪念品数量不超过B种纪念品数量的一半，应如何设计购进方案才能使全部售完后获得最大利润，最大利润是多少． 【答案】(1)购进A种纪念品每件需12元，购进B种纪念品每件需7元 (2)当购进A种纪念品33件，购进B种纪念品67件时，全部售完后才能获得最大利润，最大利润是599元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元，根据“购进A种纪念品7件，B种纪念品2件，则需要98元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，则需要102元”列出方程组求解即可； （2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件，根据题意列出不等式，求出m的取值范围，设利润为w元，列出w关于m的函数表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元． 由题意，得， 解得． 答：购进A种纪念品每件需12元，购进B种纪念品每件需7元． （2）解：设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件． 由题意，得， 解得． 设利润为w元． 由题意，得． ∵， ∴w随m的增大而增大． ∵m为整数， ∴当时，w有最大值，为：． 此时． 答：当购进A种纪念品33件，购进B种纪念品67件时，全部售完后才能获得最大利润，最大利润是599元． 一、单选题 1．（2024·广东河源·二模）若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入方程，求出的值，从而求出的值．掌握其解法是本题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 则． 故选：D． 2．（2024·广东湛江·二模）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查解分式方程，先把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入公分母进行检验即可； 【详解】解：， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， 即方程的解是， 故选：A 3．（2024·广东湛江·二模）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 4．（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 的一个根为1，则另一个根为（      ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系可得出两根之和为4，从而得出另一个根． 【详解】∵关于x的一元二次方程 的一个根为1，设方程的另一个根为， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2024·广东汕头·模拟预测）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，因为方程有两个相等的实数根，说明根的判别式，由此可以得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：C． 二、填空题 6．（2024·广东清远·二模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 7．（2024·广东珠海·一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，直接代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ 故答案为： 8．（2024·广东惠州·三模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式等知识．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式是解题的关键． 加减消元法解二元一次方程组，进而可得，计算求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 将代入②得，， 解得，， ∴， 解得，． 故答案为：． 9．（2023·广东汕头·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程的根与有如下关系：当时， 方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；根据方程有实数根，则且求解即可； 【详解】关于x的一元二次方程有实数根， 且， 且； 故答案为：且． 10．（2023·广东深圳·二模）对于实数，，定义一种新运算“θ”为：，例如：，则的解是 ． 【答案】/ 【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程 【分析】利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：∵， ∴，即， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解是， 故答案为： 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 三、解答题 11．（2024·广东东莞·一模）解答题：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．利用配方法求解该方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ∴，． 12．（2025·广东揭阳·一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）    （2） 【知识点】代入消元法、求不等式组的解集 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据代入消元法求解即可； （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， 所以原方程组的解为； （2）， 解不等式得：， 解不等式得：， 所以原不等式组的解集为． 13．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程 (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为， 且求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合该一元二次方程有两个实数根，由一元二次方程的根的判别式列出不等式并求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，结合，求出m的值即可获得答案． 【详解】（1）解：在方程中，， 当方程有两个实数根时，， ∴ 解得：； （2）解：由根与系数的关系得：，   ∵ ，   ∴，   解得：， 由（1）可知 ， ∴． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． (1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； (2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 【答案】(1)38吨 (2)3个 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设每个B型点位每天处理生活垃圾吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾吨，根据一共要处理920吨垃圾列出方程求解即可； （2）设需要增设个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，则提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨），个B型点位每天处理生活垃圾（吨），再根据一共处理的垃圾要不少于吨列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个B型点位每天处理生活垃圾吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾吨， 根据题意，得， 解得． 答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨． （2）解：设需要增设个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾， 由（1）可知垃圾分类要求提高前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则垃圾分类要求提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨）； 垃圾分类要求提高前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则垃圾分类要求提高后，每个B型点位每天处理生活垃圾（吨）． 根据题意，得， 解得． 是正整数， 符合条件的的最小值为3． 答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾． 15．（2024·广东·模拟预测）某网店以35元/件的进价购进一批纪念品，当售价为60元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求日销售量的平均增长率． (2)由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售4件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)将旧款纪念品的售价定为每件52元时，每天可获得最大利润，最大利润是1156元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设日销售量的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设旧款纪念品降价元，每天可获得的利润为元，建立关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设日销售量的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：日销售量的平均增长率为． （2）解：设旧款纪念品降价元，每天可获得的利润为元， 由题意得：， 这个二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， 则当时，取得最大值，最大值为1156，此时售价为（元）， 答：将旧款纪念品的售价定为每件52元时，每天可获得最大利润，最大利润是1156元． 16．（2024·广东惠州·二模）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形． (1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3． (2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不存在，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用； （1）根据矩形的周长和面积公式进行计算即可求解； （2）设该“减半”矩形长和宽分别为，，()，根据新定义得出联立解关于的一元二次方程，进而根据方程无实数解，即可求解． 【详解】（1）解： 矩形的周长为： ， 矩形的周长为： ， 矩形 的周长 矩形的周长． 矩形的面积为： ， 矩形的面积为： ， 矩形的面积 矩形 的面积． 矩形是矩形的“减半”矩形． （2）该矩形不存在“减半”矩形， 若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为，， 原矩形的长和宽分别为，， 由题可知：   由①得： 将 代入②得： 即 方程 无解． 该矩形不存在“减半”矩形． 17．（2024·广东东莞·二模）某学校准备购进一批足球和篮球，从体育商城了解到：足球单价比篮球单价少25元，用250元购买足球与用375元购买篮球的数量相等． (1)求足球和篮球的单价各是多少元； (2)若该学校准备同时购进这两种足球和篮球共80个，并且足球的数量不多于篮球数量的3倍，求本次购买最少花费多少钱． 【答案】(1)足球的单价是50元，篮球的单价是75元 (2)本次购买最少花费4500元 【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设足球的单价是x元，则篮球的单价是元，根据题意列式，进行作答即可． （2）先列不等式得出，再设总费用w，依题意得出，结合一刹那函数的性质进行作答． 【详解】（1）解：设足球的单价是x元，则篮球的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：足球的单价是50元，篮球的单价是75元； （2）设购买足球m个，则购买篮球个， 根据题意得：， 解得：， 设学校购买足球和篮球的总费用为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，为4500元 ∴本次购买最少花费4500元． 18．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元 (2)购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式以及一次函数的解析式成为解题的关键． （1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元．根据题意列不等式可求得，再列出函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A，B两种香料的单价分别为x元，y元， 根据题意得：，解得：． 答：A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元． （2）解：设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元． 由题意可得:， , 由题意可得, , ，． 答：购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$