精品解析：2025届吉林省延边朝鲜族自治州高三教学质量检测（一模）数学试题

延边州2025年高三教学质量检测 数学 本试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，，为中点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 编号为，，，，的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求品种不能种在1，2试验田里，品种必须与品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 54 8. 如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲，乙组成的总体样本的方差为 B. 已知随机变量，则 C. 数据，，，，，，的第80百分位数是8 D. 已知随机变量，则 10. 设是上的奇函数，且对都有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是1，最小值是0 B. 当时， C. 点是函数的对称中心 D. 在区间上是增函数 11. 过点的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ） A. 以为直径的圆过坐标原点 B. 若，则 C. 若直线的斜率存在，则斜率为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为______. 13. 在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为______. 14. 若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足. （1）求，； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的通项公式. 16. 如图，在四棱柱中，底面是矩形，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 17. 某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有，个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记种棉花和种棉花的绒长（单位：）分别为随机变量，，其中服从正态分布，服从正态分布. （1）从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间的概率； （2）记该地区棉花的绒长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（1）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）； （3）在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.参考数据：若，则，，. 18. 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率. （1）求双曲线C的方程； （2）记双曲线C的右顶点为，过点作直线，与C的左支分别交于两点，且，为垂足. （i）证明：直线恒过定点，并求出点坐标； （ii）判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求的值； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边州2025年高三教学质量检测 数学 本试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 2. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义和复数的除法运算即可得到答案. 【详解】由题意得， 则， 其对应的点为，位于第四象限． 故选：D 3. 在中，，为中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，根据图象，利用平面向量的线性运算，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 则，，由为的中点，则， . 故选：A. 4. 已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式及余弦二倍角公式即可求解； 【详解】由， 可得， 即， 所以， 故选：C 6. 在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因为，利用正弦定理得外接圆半径为，利用勾股定理即可得外接球半径为，代入球的体积公式即可求解. 【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为： ， 故选：D. 7. 编号为，，，，的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求品种不能种在1，2试验田里，品种必须与品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】对A所种位置进行分类讨论即可. 【详解】当A种在4号田时，B只能种在3号，其余三种蔬菜在三个位置全排列，共有种结果， 当A种在5号田时，结果相同，也有6种； 当A种在3号田时，B有3种结果，余下的三种蔬菜在三个位置全排列，有种结果； 根据分类计数原理，共有种结果． 故选：B． 8. 如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图确定是的极小值点，求得，即可求解. 【详解】由图可知，是的极小值点，由已知得， 令，得，得，经验证符合题意， 所以，由，， 可得，解得. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲，乙组成的总体样本的方差为 B. 已知随机变量，则 C. 数据，，，，，，的第80百分位数是8 D. 已知随机变量，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据方差公式即可判断；对B，根据随机变量的特点即可判断；对C，利用百分位数计算公式即可判断；对D，根据随机变量的均值计算公式即可判断. 【详解】对于A，记样本甲，乙的平均数分别为，由甲乙组成的总体样本的平均数为， 则甲乙组成的总体样本的方差为，故A不正确； 对于B，因为随机变量，所以，故B正确； 对于C，因为，所以数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD． 10. 设是上的奇函数，且对都有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是1，最小值是0 B. 当时， C. 点是函数的对称中心 D. 在区间上是增函数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据是上的奇函数得到，再由都有，得到的图象关于对称，然后推出是周期为4的周期函数，结合时，逐项判断. 【详解】因为是上的奇函数，所以， 又对都有，所以的图象关于对称， 因为，即，所以， 所以是周期为4的周期函数， 又当时，单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增，由的图象关于对称， 得在上单调递增，所以在上的最大值是， 最小值是，故A错误； 当时，，则，故B正确； 由对都有，得的图象关于对称，故C错误； 由在上单调递增，且周期为4，则在区间上是增函数，故D正确； 故选：BD 11. 过点的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ） A. 以为直径的圆过坐标原点 B. 若，则 C. 若直线的斜率存在，则斜率为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，联立抛物线方程得到韦达定理式，计算即可判断A；直接代入并利用焦半径公式即可判断B；求出，则，即可判断C；计算得即可判断D. 【详解】由题意可知直线斜率不为0，设， 联立得， 则， 对于A选项，， 因为，所以，所以以为直径的圆过坐标原点，A说法正确； 对于B选项，若，则，由抛物线的定义可得，B说法错误； 对于C选项，因为为线段中点，所以， 若直线的斜率存在，则， 直线的斜率，C说法正确； 对于D选项，，D说法正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设线法并联立抛物线方程得到韦达定理式，再整体代入一一判断即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得，再由的周长为10，可得，求出，从而可求出离心率. 【详解】由椭圆方程可得，得， 因为是上一点，所以， 因为的周长为10， 所以，得， 所以的离心率为. 故答案为： 13. 在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，先根据正弦定理边化角，再利用余弦定理求出角即可. 【详解】由题意知，， 由正弦定理得，，即，所以， 由余弦定理得，， 又，所以. 故答案为：. 14. 若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得有正根，参变分离后构造函数，借助导数研究其单调性即可得其值域，即可得解. 【详解】当时，，有解，∴有正根， 即，令， 则， 故当时，，当单调递增，， 故在单调递减，单调递增， ，∴. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 函数的图象上存在关于原点对称的点，问题转化为有解，得到在上有解，通过构造函数求值域解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足. （1）求，； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的通项公式. 【答案】（1），； （2） 由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）变形得，即可证明； （3）根据（2）的结论得，再移项即可. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即. 16. 如图，在四棱柱中，底面是矩形，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 因为四边形为矩形，所以， 又，，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可求解； （2）根据体积求出，利用空间直角坐标系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，所以， 因为，即， 所以，即， 由（1）可知，，，两两互相垂直， 以为原点，以直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则，取，则， 设平面的一个法向量， 则，取，则， 于是， 故二面角的正弦值为. 17. 某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有，个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记种棉花和种棉花的绒长（单位：）分别为随机变量，，其中服从正态分布，服从正态分布. （1）从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间的概率； （2）记该地区棉花的绒长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（1）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）； （3）在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.参考数据：若，则，，. 【答案】（1）； （2），． （3） 0 1 2 3 期望为. 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的对称性计算即可； （2）首先求得，再根据（1）得到方程组，解出即可； （3）利用二项分布的模型即可得到其分布列，再计算其期望即可. 【小问1详解】 记这朵棉花的线长为． 因为A种棉花和种棉花的个体数量大致相等，所以这朵棉花是A种还是种的可能性是相等的． 所以． 【小问2详解】 由于两种棉花的个体数量相等，，的方差也相等， 根据正态曲线的对称性，可知， 由（1）可知得． 【小问3详解】 设棉花的绒长为，则， 由题有，所以， 因此的分布列为 0 1 2 3 . 18. 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率. （1）求双曲线C的方程； （2）记双曲线C的右顶点为，过点作直线，与C的左支分别交于两点，且，为垂足. （i）证明：直线恒过定点，并求出点坐标； （ii）判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，整理得， ，即， 设，由韦达定理可得. 因为，所以，可得， 即， 即， 整理得， 即， 即， 可得，解得， 将代入直线， 此时直线过定点，不合题意； 将代入直线， 此时直线过定点， 当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为， 因为，所以为等腰直角三角形， 此时点坐标为， 所以（舍）或， 此时过定点， 综上可知，直线恒过定点 （ii）存在，理由如下： 因为，此时存在以为斜边的直角三角形， 所以存在定点为中点满足，此时. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法结合双曲线的几何性质即可求得双曲线C的方程： （2）（i）设直线方程为，与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理，并结合条件进行运算，即可证明直线过定点； （ii）由，此时存在以为斜边的直角三角形，从而可知存在定点为中点满足，从而可求出点坐标 【小问1详解】 由题意，双曲线的中心为坐标原点， 左焦点为，离心率为， 可得，解得， 所以双曲线方程. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：第二小问中通过分析直线与双曲线的交点，求解直线MN的特性及其与双曲线的交点M、N的坐标关系，进而确定直线MN是否通过一个定点P，并探索是否存在一个定点Q，使得从点D到Q的距离为一个固定值。本题主要考查双曲线的性质和直线与双曲线的综合问题，属于较难题. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求的值； （3）求证：. 【答案】（1）在处取得极小值，无极大值 （2） （3） 证明：先证， 设，则， 所以在区间上单调递减， 所以，即， 所以， 再证， 由（2）可知，当时等号成立， 令，则， 即， 所以，，， 累加可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得最值； （2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值； （3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证. 【小问1详解】 当时，，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值； 【小问2详解】 由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为恒成立，所以， 记，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以， 又， 所以， 所以； 【小问3详解】 略 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $