精品解析：吉林省长春市吉林大学附属中学2024-2025学年 下学期九年级开学考试数学试题

九年级数学学科期初大练习 总分：120分 时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 1与 的差是（ ） A. B. 2023 C. D. 2025 2. 2024年清明小长假期间，长春站客流主要以短途流为主，预计发送旅客505000人次．505000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下图是几个小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（）可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度x为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在 轴上，顶点在第一象限，且纵坐标为4，点 为边的中点，反比例函数的图象经过点 、 ．若，则点 的横坐标为（ ） A. B. C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 因式分解：______． 10. 多项式的次数是______． 11. 若抛物线与直线 只有一个公共点，则的值为______． 12. 如图，在正六边形ABCDEF的外侧作正方形ABGH，连结AC，AG，则∠CAG的大小为______度 13. 如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_____． 14. 如图，在矩形中，， ．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且 ，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：① ；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简．再求值：，其中． 16. 如图，随机闭合开关，，中的两个，用列表法或画树状图法求出让小灯泡，同时发光的概率． 17. 小颖乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，若小颖回来路上所花的时间比去时所用时间节省了，求公共汽车的平均速度． 18. 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则菱形的面积为 ． 19. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1， 的顶点在格点上，已知 的外接圆． （1）仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图： ①确定 的外接圆的圆心O； ②作出过点C的切线，与的延长线交于点D；（上述两问都要保留作图痕迹） （2）线段的长为__________． 20. 社会消费品零售总额按消费类型可划分为商品零售和餐饮收入，它是表现国内消费需求最直接的数据，也是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．如图是我国2019年上半年﹣2023年上半年按消费类型分零售额同比增速和社会消费品零售总额的统计图． ​ 请根据以上信息，解答下列问题： （1）2019年上半年﹣2023年上半年，我国社会消费品零售总额的中位数是 亿元． （2）根据国家统计局数据显示，2023年上半年我国的商品零售额为68643亿元，则2023年上半年我国的餐饮收入为 亿元． （3）设2019年上半年﹣2023年上半年商品零售增长率的方差为，餐饮收入增长率的方差为，则 （填写“＞”或“＜”）． （4）下列说法正确的是 （填序号） ①从2021年起我国上半年的社会消费品零售总额逐年增加． ②因为2020年上半年餐饮收入和商品零售的增长率都小于零，所以2020年上半年的餐饮收入和商品零售额也都小于零． ③2021年上半年﹣2023年上半年餐饮收入和商品零售的增长率逐年减小，所以餐饮收入和商品零售额也逐年减少． 21. 甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走．设甲、乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数图象的一部分如图所示． （1）求甲行走的速度； （2）在坐标系中，补画s关于t函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两入何时相距390米？ 22. 如图1，在矩形中，点是上的点，沿折叠点的对应点是点，延长 交直线于点． （1）求证：； （2）是上的点，；沿折叠 点的对应点是点，且、、、在同一直线上． ①如图2，若M、N互相重合，求的值； ②若，求的长．（自己画草图） 23. 如图，在中，是的对角线，，，点为的中点．动点从点出发，沿线段向点运动，连接，以、为邻边作．设． （1）点 到的距离是______． （2）连接 ，设线段 的长为，求的最小值． （3）当和有一个内角相等时，求 的值． （4）作点关于直线 的对称点，当点落在的边所在直线上时，直接写出 的值． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． （1）抛物线的解析式为________； （2）点E是直线下方的抛物线上的动点，直接写出的面积的最大值：______； （3）若此抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标； （4）以，，，四个点为顶点作矩形 ，将此抛物线在矩形 内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当时，直接写出a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科期初大练习 总分：120分 时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 1与 的差是（ ） A. B. 2023 C. D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数减法，掌握有理数减法法则是解题关键．根据题意列出算式，计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 2. 2024年清明小长假期间，长春站客流主要以短途流为主，预计发送旅客505000人次．505000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：505000这个数用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 下图是几个小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体由几何体的俯视图，可知从正面看这个几何体，会看到左边有2个小正方形，右边有1个小正方形，从而确定答案． 【详解】解：由几何体的俯视图，可知从正面看这个几何体，左边有2个小正方形，右边有1个小正方形． 故选A． 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据表达式的性质即可求解． 【详解】解：A．，不一定成立， B．，则 ，不成立 ， C．，一定成立， D．即 ，不成立， 故选：C． 5. 如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质定理，邻补角． 由直尺得，所以，已知，进而可得的度数． 【详解】解：由题意得，， ， 故选：B． 6. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，米，， ， （米， 故选：B． 7. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（）可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度x为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出x的长．求出和 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答． 解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵外径为， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在第一象限，且纵坐标为4，点为边的中点，反比例函数的图象经过点、．若，则点的横坐标为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．作 轴，轴， 轴，根据值的几何意义可知，依据已知条件求出值，得到反比例函数解析式，将 代入解析式可知点的横坐标． 【详解】解：如图，作 轴，轴， 轴，垂足分别为、、， 点在第一象限，纵坐标为4，为的中点， ，， 根据反比例函数值的几何意义， ，， ， ，解得． 反比例函数解析式为：， 当 时，， 点的横坐标为4． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式y，然后再利用平方差公式进行分解即可. 【详解】 = =， 故答案为. 【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10. 多项式的次数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：多项式的次数是3， 故答案为：3． 11. 若抛物线与直线 只有一个公共点，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的综合，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．当抛物线与直线 只有一个公共点，联立方程，根据 ，解出 ，即可． 【详解】解：抛物线与直线 只有一个公共点， ， ， ， 解得： ． 故答案为： ． 12. 如图，在正六边形ABCDEF的外侧作正方形ABGH，连结AC，AG，则∠CAG的大小为______度 【答案】75 【解析】 【分析】先根据正方形的性质可得∠CAB=45°，再根据正六边形的性质可得AB=BC，∠ABC=120°，从而可得∠BAC=∠BCA=30°，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形ABGH是正方形， ∴∠CAB=45°， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB=BC，， ∴， ∴ ∠CAG=∠CAB+∠BAC=45°+30°=75°. 故答案为：75． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正多边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握正多边形的性质． 13. 如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图： ∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM， ∴点M在以AB为直径的圆上，OM=AB=1， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AD=AB=2，∠DAB=90°， ∵E是AD的中点， ∴DE=AD=×2=1， ∵点E与点E'关于DC对称， ∴DE'=DE=1，PE=PE'， ∴AE'=AD+DE'=2+1=3， 在Rt△AOE'中，， ∴线段PE+PM的最小值为： PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，， ．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且 ，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：① ；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由勾股定理判断①，由反证法判断②，由矩形定义判断③，由三角形全等判断④即可． 【详解】解：①，故①正确； ②若， ∵，， ， ∴， 又∵是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴，与已知矛盾，故②错误； ③∵， ∴是矩形，故③正确； ④∵，， ∴， 在矩形中， ，， 又∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 如图，设、分别交于点J、K， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴平分四边形的周长， 故④正确； 正确的序号为①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简．再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： 当时，原式 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 16. 如图，随机闭合开关，，中的两个，用列表法或画树状图法求出让小灯泡，同时发光的概率． 【答案】答：让小灯泡，同时发光的概率为． 【解析】 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握树状图的知识，根据题意，用树状图列出所有等可能的结果，进行解答，即可． 【详解】解：树状图如下： 共种等可能的结果，其中能让两盏灯泡亮起来的结果有种，闭合；闭合， ∴． 答：让小灯泡，同时发光的概率为． 17. 小颖乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，若小颖回来路上所花的时间比去时所用时间节省了，求公共汽车的平均速度． 【答案】公共汽车的平均速度为 【解析】 【分析】设公共汽车的平均速度为，则出租车的平均速度为，然后根据小颖回来路上所花的时间比去时所用时间节省了列出方程求解即可． 【详解】解：设公共汽车的平均速度为，则出租车的平均速度为， 由题意得，， 解得 ， 经检验， 是原方程的解， ∴公共汽车的平均速度为． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 18. 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则菱形的面积为 ． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到 ，，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理得到结论； （2）根据菱形的性质得到 ， ，，根据三角函数的定义得到 ，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， 菱形的面积 ． 故答案为：24． 19. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上，已知的外接圆． （1）仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图： ①确定的外接圆的圆心O； ②作出过点C的切线，与的延长线交于点D；（上述两问都要保留作图痕迹） （2）线段的长为__________． 【答案】（1）①详见解析②详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①由，知，垂直平分，由图知垂直平分，两线相交于点，则点即为所求； ②，知 ，根据切线的判定知即为所求， （2）利用相似三角形的判定与性质计算即可得解． 【小问1详解】 解：①如图，分别作线段，的垂直直平分线，相交于点，则点即为所求， ②如图，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则即为所求， 【小问2详解】 解：由图可知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图一应用与设计作图、三角形的外接圆、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 社会消费品零售总额按消费类型可划分为商品零售和餐饮收入，它是表现国内消费需求最直接的数据，也是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．如图是我国2019年上半年﹣2023年上半年按消费类型分零售额同比增速和社会消费品零售总额的统计图． ​ 请根据以上信息，解答下列问题： （1）2019年上半年﹣2023年上半年，我国社会消费品零售总额的中位数是 亿元． （2）根据国家统计局数据显示，2023年上半年我国的商品零售额为68643亿元，则2023年上半年我国的餐饮收入为 亿元． （3）设2019年上半年﹣2023年上半年商品零售增长率的方差为，餐饮收入增长率的方差为，则 （填写“＞”或“＜”）． （4）下列说法正确的是 （填序号） ①从2021年起我国上半年的社会消费品零售总额逐年增加． ②因为2020年上半年餐饮收入和商品零售的增长率都小于零，所以2020年上半年的餐饮收入和商品零售额也都小于零． ③2021年上半年﹣2023年上半年餐饮收入和商品零售的增长率逐年减小，所以餐饮收入和商品零售额也逐年减少． 【答案】（1）69737 （2）8424 （3）＜ （4）① 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与折线图中获取信息，中位数的含义，方差的含义，理解统计图体现的信息是解本题的关键． （1）先把数据按照从小到大排序，再结合中位数的含义可得答案； （2）利用总额减去商品零售额可得答案； （3）根据折线图可得数据的波动幅度可得答案； （4）根据折线图与条形图逐一分析即可． 【小问1详解】 解：将我国社会消费品零售总额按从小到大的顺序排列为52130，66064，69737，74426，77067，则最中间的数据为第3个数据，即中位数是69737亿元， 【小问2详解】 2023年上半年我国的餐饮收入为：（亿元）． 【小问3详解】 由折线统计图可以看出2019年上半年﹣2023年上半年餐饮收入增长率的波动比较大，故方差也比较大． ∴． 【小问4详解】 从条形统计图可以看出从2021年起我国上半年的社会消费品零售总额逐年增加，故①正确． 2020年上半年餐饮收入和商品零售的增长率都小于零，说明2020年上半年的餐饮收入和商品零售额比上年减少，并不是小于0，故②不正确． 2021年上半年﹣2023年上半年餐饮收入和商品零售的增长率逐年减小，说明餐饮收入和商品零售额增长速度减慢，但仍在增加，并不是逐年减少．故③不正确． 故答案为：①． 21. 甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走．设甲、乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数图象的一部分如图所示． （1）求甲行走的速度； （2）在坐标系中，补画s关于t函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两入何时相距390米？ 【答案】（1）甲行走的速度是（米/分钟） （2）详见解析 （3）甲行走32分钟或37分钟时，甲、乙两人相距390米 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲行走的速度； （2）根据题意可以分别求得甲乙到达图书馆用的时间和乙追上甲用的时间，从而可以解答本题； （3）根据题意和函数图象可以得到甲、乙两人何时相距390米． 【小问1详解】 解：由题意可得，甲行走的速度是：（米/分钟）； 【小问2详解】 解：甲到达图书馆用的时间为：(分钟)， 乙到达图书馆用的时间为：(分钟）， 乙追上甲用的时间为：(分钟）， 关于函数图象的其余部分如图所示， 【小问3详解】 解：当时， 设这段线段对应的函数解析式为， ，得， 当时，这段线段对应的函数解析式为， 令，得， 当时， 设这段线段对应的函数解析式为， ，得， 当时，这段线段对应的函数解析式为， 令，解得，， 综上，甲行走32分钟或37分钟时，甲、乙两人相距390米． 22. 如图1，在矩形中，点是上的点，沿折叠点的对应点是点，延长 交直线于点． （1）求证：； （2）是上的点，；沿折叠点的对应点是点，且、、、在同一直线上． ①如图2，若M、N互相重合，求的值； ②若，求的长．（自己画草图） 【答案】（1）见详解 （2）①②的长为或4 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质证明，则可得出结论； （2）①证出，设，则，，则可得出结论； ②分两种情况，由矩形的性质及勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 证明： 沿折叠点的对应点是点， ， 四边形为矩形， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①四边形是矩形， ，， ， ， 四边形 为平行四边形， 折叠， ， ， 四边形 为菱形， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ； ②如图，若，在在上方，设， ， ， ， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， ， ， ，（舍， ； 如图，设， 同理可得， ，（舍， ， 综上所述，的长为或4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，在中，是的对角线，，，点为的中点．动点从点出发，沿线段向点运动，连接，以、为邻边作．设． （1）点到的距离是______． （2）连接 ，设线段 的长为，求的最小值． （3）当和有一个内角相等时，求的值． （4）作点关于直线 的对称点，当点落在的边所在直线上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）， 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中，勾股定理即可求解； （2）连接 ，证明，得出，则，点到 的距离为点之间的距离，过点作 于点，根据中位线的性质即可求解； （3）由（2）可得，，分当点落在上时，连接 ，当 时，如图所示，过点作于点，过点作于点， 分别求解即可； （4）当在直线上时，证明，在中，求得 的长，进而根据，即可求解；当在直线上时，则 ，由（3）可知，解，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴ 在中，, 即点到的距离是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示，连接 ， ∵． ∴， ∴， 又点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时 最小， ∴此时点到 的距离为点之间的距离， 如图所示，过点作 于点， 由（1）可得到的距离为， 又点为的中点， ∴是的中点， ∴． 【小问3详解】 由（2）可得，， ∴四边形是平行四边形， ∵为的中点， ∴， 当点落在上时，连接 ，如图所示 ∴． 当 时，如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵ ，， ∴，, ∴． 【小问4详解】 解：如图所示，当在直线上时，如图所示，作于点 ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 依题意，由（2）可得， 在中，， 又， ∴， ∴， 如图所示，当在直线上时， ∴， ∴ ， 由（3）可知， ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． （1）抛物线的解析式为________； （2）点E是直线下方的抛物线上的动点，直接写出的面积的最大值：______； （3）若此抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标； （4）以，，，四个点为顶点作矩形 ，将此抛物线在矩形 内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当时，直接写出a的值． 【答案】（1） （2）8 （3）或或． （4）a的值为或或或 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，矩形的性质，数形结合解题是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据A，B两点坐标，可求出直线的解析式，过点E作作轴，交于F，交x轴与H，，设点的横坐标为m，则点F的横坐标也为m，根据点E，F的横坐标，可分别表示出E，F的纵坐标，即可表示出的长度，然后根据三角形的面积公式，即可求出的面积，从而求出其最大值． （3）根据题意，可得出此抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于时，抛物线的顶点到直线的距离等于，即可求出n的值，从而求出抛物线上到直线的距离等于的点的坐标； （4）结合函数图象，分情况讨论，把两个临界点的距离差表示出来，分别求出即可． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点，． ， 解得， 故抛物线的表达式为 ． 故答案为： ． 【小问2详解】 解： 设直线为，过点，． ， 解得， 故直线的表达式为 ． 作轴，交于F，交x轴于H， 设E点坐标为，则F点坐标为． ． ， 当时，的面积的最大值：8， 故答案为：8． 【小问3详解】 解：抛物线 ， 抛物线的顶点坐标为． 当时，抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于． 当时，，解得，． 综上所述点的坐标为或或． 【小问4详解】 解：由（3）知抛物线的顶点坐标为，以，，，四个点为顶点作矩形 ，， 当时，，如图， 此抛物线在矩形 内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0， 当时，函数有最低点，最低点纵坐标为， 解得（舍去）或． 当时； 当时，如图 第一种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为， 为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ，解得(舍去)或． 当时； 第二种情况当 离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为， 为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ，解得或（舍去） 当时； 当时，如图 结合函数图像可知，此抛物线在矩形 内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0， 当a为横坐标时，为内部最低点，纵坐标为， ，解得（舍去）或 ． 当时； 综上所述：当时，a的值为或或或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $