大题预测04（A+B+C三组解答题）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题预测04（A组） （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且． (1)求角A； (2)若，求的长． 16．（15分）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 17．（15分）如图1，在面积为的等腰梯形ABCD中，，点为CD的中点，，，把与分别沿BE，AE折起，使点，重合于点，如图2. (1)求证：； (2)求直线PE与平面PAB所成角的正弦值. 18．（15分）如图，矩形中，分别是矩形四条边的中点，设，其中，直线和的交点在椭圆上．    (1)求椭圆的方程； (2)设，过点的动直线与椭圆交于两点，直线分别交圆于两点，设直线的斜率分别为． ①求证：为定值； ②直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由． 19．（16分）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 大题预测04（B组） （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）如图，在平面四边形中，，且成等差数列． (1)求； (2)求的长． 16.（15分）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列． (1)求与的通项公式； (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和． 17．（15分）已知四棱锥中，，E是AD上一点，． (1)若F是PE中点，证明：平面PCD． (2)若平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值． 18．（15分）已知函数． (1)斜率为的直线与的图象相切，且与轴交点的横坐标为，求的值； (2)若是上的单调函数，求的取值范围． 19．（16分）已知点在椭圆上，直线与交于，两点，直线，的斜率之和为0，点关于轴的对称点为，线段的中点为. (1)证明：，，三点共线； (2)求面积的最大值. 大题预测04（C组） （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且. (1)证明：； (2)求； (3)若，求的取值范围. 16．（15分）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面平面，点，分别是棱，的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)已知点在棱上，且，平面平面，求三棱锥的体积． 18．（15分）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程. (2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 19．（16分）已知函数，． (1)若对任意的都有，求实数的取值范围； (2)若且，，证明：． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题预测04（A组） （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且． (1)求角A； (2)若，求的长． 【解析】（1）由和正弦定理，可得， 因， 则， 即， 因为，则得， 因，则．（6分） （2） 如图，因是的平分线，则，解得， 又， 则， 即，解得.（14分） 16．（15分）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 【解析】（1）由题意得，                ①， 当时，       ② 由①②得：，即 ． 又时，满足.（6分） （2）由得，. ①当n为偶数时， 此时，，故 ②当n为奇数时， 综上，当时，．（15分） 17．（15分）如图1，在面积为的等腰梯形ABCD中，，点为CD的中点，，，把与分别沿BE，AE折起，使点，重合于点，如图2.       (1)求证：； (2)求直线PE与平面PAB所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：在面积为的等腰梯形ABCD中，因为，， 设梯形ABCD的高为，则，所以， 则， 所以是正三角形，. 在三棱锥中，，， 取AB的中点，连接PF，EF，则，， 因为，PF，平面PEF，所以平面PEF， 因为平面PEF，所以.（7分） 法二：在面积为的等腰梯形ABCD中，因为，， 设梯形ABCD的高为，则，所以， 则， 所以是正三角形，. 延长EA到，使得，延长EB到，使得， 连接PM，PN，MN，则四面体EPMN是棱长为2的正四面体. 作平面PMN，垂足为，以点为原点，在平面PMN内过点与PM垂直的直线为轴， 过点与PM平行的直线为轴，直线OE为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，分别为EM，EN的中点，所以，. （1）证明：，， 所以， 所以.（7分） （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以平面平面， 所以点在平面上的射影在PF上， 所以是直线与平面所成的角. 由（1）知是边长为1的正三角形，，， 在中，， ， 在中，， 所以. 所以直线PE与平面PAB所成角的正弦值为.（15分） 法二：由（1）知，，， 设平面PAB的一个法向量，则即 令，得，，所以， 设直线与平面所成角为，则. 即直线与平面所成角的正弦值为.（15分） 18．（15分）如图，矩形中，分别是矩形四条边的中点，设，其中，直线和的交点在椭圆上．    (1)求椭圆的方程； (2)设，过点的动直线与椭圆交于两点，直线分别交圆于两点，设直线的斜率分别为． ①求证：为定值； ②直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由． 【解析】（1）由题可知， 直线的方程为：，可化为， 直线的方程为：，可化为， 则两式联立得，所以椭圆方程为.（4分） （2）①设直线的方程为：，，， 与椭圆的方程：联立消去可得：， 则，， 所以 ， 代入，可得.（9分）    ②设直线的方程为：，，， 联立直线与圆的方程， 消去可得， 则， 所以 ， 代入，可得． 综上，直线恒过定点．（15分） 19．（16分）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【解析】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故．（4分） （2）对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故．（8分） （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5．（16分） 大题预测04（B组） （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）如图，在平面四边形中，，且成等差数列． (1)求； (2)求的长． 【解析】（1）设． 因为成等差数列，所以，又，所以． 在中，由余弦定理得， 即，即，解得（舍去）． 在中，由正弦定理得， 于是，即．（7分） （2）由题设知，由（1）知， 又， 所以． 在中，，所以．（14分） 16.（15分）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列． (1)求与的通项公式； (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和． 【解析】（1）由得， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以． 依题意，，， 解得，所以．（6分） （2）设，则，其中 注意到当k为正奇数， 能被3整除，则，，此时不能被3整除. 为正偶数时，不能被3整除， 则，其中t为正奇数， 则数列和的公共项从小到大依次为：，，，，…， 所以，，，，…构成首项为2，公比为4的等比数列， 所以，则（15分） 17．（15分）已知四棱锥中，，E是AD上一点，． (1)若F是PE中点，证明：平面PCD． (2)若平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值． 【解析】（1） 取PD的中点为S，连接SF，SC，则， 而，故，故四边形SFBC为平行四边形， 故，而平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．（7分） （2）因为，故，故， 故四边形AECB为平行四边形， 故，所以平面PAD， 而PE，平面PAD，故，，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面PAB的法向量为， 则由，可得，取， 设平面PCD的法向量为， 则由，可得， 取，故， 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为．（15分） 18．（15分）已知函数． (1)斜率为的直线与的图象相切，且与轴交点的横坐标为，求的值； (2)若是上的单调函数，求的取值范围． 【解析】（1）函数定义域为. ∵，∴， 设切点横坐标为，则，， ∴，切线方程为， ∵切线与轴交点的横坐标为，∴， ∴，即， ∵函数在上为增函数，∴在上为增函数， ∵，∴，代入得，.（7分） （2）由（1）得，， 当是上的单调递增函数时，在上恒成立， ∴， 令，则，函数对称轴为直线，在上单调递增， ∴， ∴. 当是上的单调递减函数时，在上恒成立， ∴，由得. 综上得，或．（15分） 19．（16分）已知点在椭圆上，直线与交于，两点，直线，的斜率之和为0，点关于轴的对称点为，线段的中点为. (1)证明：，，三点共线； (2)求面积的最大值. 【解析】（1）点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的标准方程为 设，， 当直线斜率不存在时，可设其方程为，则，， 由，得，舍去， 当直线斜率存在时，可设其方程为， 联立整理得， 由，得， 由韦达定理得，， 由，得， 整理得， ， 韦达定理代入，得， 化简得， 当时，直线过点，舍去； 所以，即， 此时，直线的方程为， ，所以，， 所以 又因为，， 所以，所以，，三点共线. （7分） （2）由（1）可得，，， 点到直线的距离， ， 所以， 令，则由（1）可得， 设，， 由二次函数的性质知，当时，， 所以面积的最大值为2.（16分） 大题预测04（C组） （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且. (1)证明：； (2)求； (3)若，求的取值范围. 【解析】（1） 在中，由正弦定理得，， ∴，同理得，， ∴，即.（4分） （2）在中，由正弦定理得，，∴， ∴，即， 由得，， ∴，故，∴.（8分） （3）设，由，得，故. ∵，，∴，故， ∴， 令，则， ∵，当且仅当时等号成立，∴，故， ∵在上单调递增，当时，，当时，， ∴的取值范围是.（14分） 16．（15分）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，．（4分） （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ．（9分） （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ．（15分） 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面平面，点，分别是棱，的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)已知点在棱上，且，平面平面，求三棱锥的体积． 【解析】（1）如图，连接，，连接， ∵四边形为菱形，∴，为，的中点． ∵，∴，为等边三角形， ∴， ∵，∴，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，， ∴，，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即 令，则，，即平面的一个法向量为， ∴， ∴平面与平面的夹角的余弦值为．（6分） （2） 由（1）得，，， ∴，故， ∴，． ∵平面平面， ∴，即， ∴，即． ∴， ∵， ∴三棱锥的体积为．（15分） 18．（15分）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程. (2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 【解析】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6， 所以, 故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）， 且，所以， 所以的轨迹的方程为；（5分） （2）设直线的方程为：，， 联立方程得：， 则， 所以， 又直线的方程为：， 又直线的方程为：， 联立方程得：， 把代入上式得： ， 所以当点运动时，点恒在定直线上（15分） 19．（16分）已知函数，． (1)若对任意的都有，求实数的取值范围； (2)若且，，证明：． 【解析】（1）由，，得，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以，即实数t的取值范围为．（6分） （2）由可得，两边取对数并整理，得， 即，即． 不妨设，得到， 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，且当时，恒成立， 记，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即，于是， 又在上单调递减，所以，即． 所以，得证．（16分） 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$