精品解析：辽宁省朝阳市建平县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试卷

2024—2025学年度第一学期期末学业水平质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 在（相邻两个8之间6的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：无理数有（相邻两个8之间6的个数逐次加1）共3个， 故选：B． 2. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角； B. 如果，那么； C. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； D. 若二次根式有意义，则的取值范围是． 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的定义，平方的性质，三角形外角的性质和二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； B、如果，那么或，原命题是假命题，不符合题意； C、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，原命题是真命题，符合题意； D、若二次根式有意义，则的取值范围是，原命题是假命题，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知对顶角的定义，平方的性质，三角形外角的性质和二次根式有意义的条件是解题的关键． 3. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 4. 一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为（ ） A. 42 B. 27 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．先根据2个正方形的面积求出两个正方形的边长，再分别求出长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， 剩余木板的面积为：． 故选：C． 5. 已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 6. 为庆祝神舟十四号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛． 【详解】解：乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大， 应从乙和丁同学中选， 乙同学的方差比丁同学的小， 乙同学成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学； 故选：B 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 7. 已知直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，先根据三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质得出的度数，由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 已知一次函数与的图象如图所示，下列结论：①；②；③关于的方程的解为． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据和的图象可知：，，当时，函数值相等． 【详解】解：一次函数的图象经过一、二、四象限， ，故①正确； 一次函数的图象经过一、三、四象限， ，故②错误； 一次函数与的交点的横坐标为3， 关于的方程的解为，故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力，一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 9. “践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键； 根据米乐说：“我比你多收集了7节废电池．”可得，根据琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”得，据此得出二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意得 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点A第2023次跳动至的坐标是（ ） A. （1012，1011） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，正确寻找出点的变化规律是解题关键． 根据给出的图形找出规律：点的坐标为，点的坐标为，最后计算即可． 先分别求出点的坐标，再归纳类推出一般规律即可求得答案． 【详解】解：由题意得：点的坐标为， 点的坐标为，即， 点的坐标为， 观察可知，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 归纳类推得：点的坐标为，点的坐标为（其中，为正整数）， ， 点的坐标为． 故选：B ． 第II卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的点的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减的原则即可求出答案. 【详解】解：点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的点的坐标是，即， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化-平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键. 12. 若，则的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据平方根的定义解答． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， ∴， ∴， ∵20的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及平方根的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件． 13. 任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为．例如：，所以的“雅区间”为，无理数的“雅区间”是______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考估算无理数的大小，不等式的性质，根据“雅区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅区间” 【详解】解：∵ ∴， ∴的“雅区间”是， 故答案为： 14. 如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点E，与边交于点F，若，，则__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵的平分线与外角的平分线交于点E， ∴，， ∵是的一个外角，，， ∴，则， ∵是一个外角， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键． 15. 如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B´处，当DB´的长度最小时，BF的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定当，，E共线时，的值最小，再根据勾股定理解题即可． 详解】解：如图，连接， ∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∵， 又∵，， ∴， ∴当，，E共线时，的值最小，设此时点落在DE上的点处，设， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理（在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方） ．解题的关键是确定当，，共线时，的值最小． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. 计算： （1）； （2） （3）解方程组： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）由二次根式的性质和乘法运算进行化简，然后再计算加减运算即可； （2）先完全平方公式和平方差公式计算，在算加减即可； （3）整理方程组然后利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：解方程组 原方程组变形得 得， ， 将代入①得， 该方程组的解为. 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）请直接写出点关于轴的对称点的坐标______； （3）的面积______； （4）在轴上找一点，使得周长最小，并求出周长的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）4 （4） 【解析】 【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征得到点的坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积，去计算的面积； （4）点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断此时最小，然后计算和，从而得到周长的最小值． 【小问1详解】 解：如图，为所求； 【小问2详解】 解：点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：的面积； 【小问4详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求， ， 此时的值最小，周长最小， ，， 周长的最小值为． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路径问题． 18. 某养鸡场有2500只鸡准备对外出售．从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）图①中m的值为 ； （2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的约有多少只？ 【答案】（1） （2）平均数是，众数为，中位数为 （3）这2500只鸡中，质量为的约有200只 【解析】 【分析】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．从统计图表中获取相关信息是解决本题的关键． （1）根据各种质量的百分比之和为1可得m的值； （2）根据众数、中位数、平均数的定义计算，即可分别求得； （3）将样本中质量为所占比例乘以总数量2500即可． 【小问1详解】 解： ． ∴； 【小问2详解】 解：观察条形统计图， ， 这组数据的平均数是． 在这组数据中，出现了16次，出现的次数最多， 这组数据的众数为， 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是，有． 这组数据的中位数为； 【小问3详解】 解：∵在所抽取的样本中，质量为的数量占， 由样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的数量约占， 有， 这2500只鸡中，质量为的约有200只． 19. 如图，已知平分． （1）说明：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，首先利用同位角相等两直线平行证明直线平行，然后利用平行线的性质得到角的关系解决问题． （1）由知，可得； （2）由（1）利用平行线的判定得到，根据平行线的性质得到，，然后利用已知条件即可求解． 【小问1详解】 证明：， ． ， ， ． 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ， 平分， ， 则． ， ． 20. 为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． （1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ （2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x（x＞0）支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱． 【答案】（1）每个笔记本14元，每支钢笔15元；（2）；（3）当买超过10件但少于15件商品时，买笔记本省钱；当买15件奖品时，买笔记本和钢笔一样；当买奖品超过15件时，买钢笔省钱． 【解析】 【分析】（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元，然后根据等量关系：买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；买3个笔记本和1支钢笔，则需57元，列二元一次方程组，解答即可；（2）根据y=10支钢笔的钱数+超出部分的钱数，列出关系式即可；（3）分三种情况讨论. 【详解】解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元， ，解得， 答：每个笔记本14元，每支钢笔15元； （2）； （3）当时，x<15， 当时，x=15， 当时，x>15， 综上，当时，买笔记本省钱；当时，买笔记本和钢笔一样；当时，买钢笔省钱. 考点：1.二元一次方程组的应用；2.一次函数的应用. 21. 在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． （1）求点A与点B之间的距离； （2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【答案】（1）海里 （2）最多能收到29次信号 【解析】 【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数； 【小问1详解】 由题意，得：； ∴； ∵； ∴海里； 【小问2详解】 过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里． ∵； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； 则信号次数为（次）． 答：最多能收到29次信号． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键． 22. 如图：直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且满足，若直线与直线l的交点记作． （1）求直线对应的函数解析式． （2）求四边形的面积． （3）若点为轴上一点，当的面积等于四边形面积的一半时，直接写出点坐标． 【答案】（1） （2）5 （3）当点在点左侧时坐标为，当点在点右侧时坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数应用，非负数的性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）由求出，的值，然后利用待定系数法即可得解； （2）分别求出和的面积，然后进行和差计算即可得解； （3）如图，分点在点左侧和点在点右侧两种情况计算即可得解． 【小问1详解】 解：满足， ，， ，， ，， 设直线对应的函数解析式为， ，解得， 直线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意知， 解得， ， 令得，，解得，，令得，， ，， ，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点在点左侧时 ， ， 坐标为， 如图，当点在点右侧时， ， ， 坐标为， 综上所述，的坐标为或． 23. 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，），则称点为点的“系友好点”；例如：的“3系友好点”为，即 请完成下列各题： （1）求点的“2系友好点”的坐标为 ； （2）若点的“系友好点”的坐标为，求和的值； （3）若点在轴的正半轴上，点的“系友好点”为点，若在中，，求的值． 【答案】（1）点 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，理解新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解； （2）根据“k系好友点”的定义列方程求解即可； （3）设点，得点，求出，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：点的“2系友好点”， ∴的坐标为， 点； 小问2详解】 解：的“系友好点”的坐标为， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：设点，其中， 点，即点， 轴， ， 又， ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末学业水平质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 在（相邻两个8之间6的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角； B. 如果，那么； C. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； D. 若二次根式有意义，则的取值范围是． 3. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为（ ） A. 42 B. 27 C. 12 D. 10 5. 已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 6. 为庆祝神舟十四号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 已知直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数与的图象如图所示，下列结论：①；②；③关于的方程的解为． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 9. “践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点A第2023次跳动至的坐标是（ ） A. （1012，1011） B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的点的坐标是____________． 12. 若，则的平方根是________． 13. 任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为．例如：，所以的“雅区间”为，无理数的“雅区间”是______； 14. 如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点E，与边交于点F，若，，则__________． 15. 如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B´处，当DB´的长度最小时，BF的长度为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. 计算： （1）； （2） （3）解方程组： 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）请直接写出点关于轴对称点的坐标______； （3）的面积______； （4）在轴上找一点，使得周长最小，并求出周长的最小值． 18. 某养鸡场有2500只鸡准备对外出售．从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）图①中m的值为 ； （2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的约有多少只？ 19. 如图，已知平分． （1）说明：； （2）求的度数． 20. 为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． （1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ （2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x（x＞0）支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱． 21. 在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． （1）求点A与点B之间的距离； （2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 22. 如图：直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且满足，若直线与直线l的交点记作． （1）求直线对应函数解析式． （2）求四边形的面积． （3）若点为轴上一点，当的面积等于四边形面积的一半时，直接写出点坐标． 23. 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，），则称点为点的“系友好点”；例如：的“3系友好点”为，即 请完成下列各题： （1）求点“2系友好点”的坐标为 ； （2）若点的“系友好点”的坐标为，求和的值； （3）若点在轴正半轴上，点的“系友好点”为点，若在中，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$